1
00:00:07,790 --> 00:00:15,869
Bien, en este vídeo vamos a explicar el teorema del coseno.

2
00:00:18,359 --> 00:00:22,500
Ayer vimos el teorema del seno, el teorema del seno...

3
00:00:22,500 --> 00:00:28,739
Estamos en esta fase del tema, estamos resolviendo,

4
00:00:30,519 --> 00:00:36,280
tratando de resolver triángulos que no son necesariamente triángulos rectángulos, ¿de acuerdo?

5
00:00:37,280 --> 00:00:43,219
Ayer hablábamos de cómo nombrábamos los elementos de este triángulo.

6
00:00:43,539 --> 00:00:46,060
Por ejemplo, a este ángulo lo llamamos A,

7
00:00:47,159 --> 00:00:50,880
y a su lado opuesto lo llamamos con la misma letra pero minúscula.

8
00:00:51,640 --> 00:00:55,359
A este lo llamaríamos B, el ángulo B, y este es el lado B.

9
00:00:56,179 --> 00:01:00,960
Y este es el ángulo C, con mayúscula, y este sería el lado C.

10
00:01:01,259 --> 00:01:02,119
¿De acuerdo? Bien.

11
00:01:02,119 --> 00:01:22,019
Ayer vimos el teorema del seno, que veíamos que era A partido el seno de A, igual a B partido seno de B, igual a C partido el seno de C, y que para trabajar con él necesitábamos al menos dos datos enfrentados.

12
00:01:22,519 --> 00:01:23,260
¿Recordáis o no?

13
00:01:23,819 --> 00:01:28,500
Es decir, por ejemplo, si conoces el lado A y el ángulo A,

14
00:01:29,219 --> 00:01:32,859
esta proporción la puedes obtener y a partir de aquí el resto.

15
00:01:33,239 --> 00:01:33,620
¿De acuerdo?

16
00:01:33,620 --> 00:01:40,620
Pero imaginaros que yo no conozco los dos datos enfrentados.

17
00:01:41,560 --> 00:01:46,239
Es decir, imaginaos que yo conozco, voy a señalar en rojo lo conocido.

18
00:01:46,519 --> 00:01:46,859
¿De acuerdo?

19
00:01:47,900 --> 00:01:51,859
Imaginaos que conozco este lado,

20
00:01:52,019 --> 00:01:55,659
mejor, este lado

21
00:01:55,659 --> 00:01:57,079
este lado

22
00:01:57,079 --> 00:01:59,400
y este ángulo

23
00:01:59,400 --> 00:02:02,939
puedo aplicar aquí el teorema del C

24
00:02:02,939 --> 00:02:05,099
no porque no conozco

25
00:02:05,099 --> 00:02:06,640
los datos enfrentados, por ejemplo

26
00:02:06,640 --> 00:02:08,780
el que está enfrente del ángulo A

27
00:02:08,780 --> 00:02:10,860
es este lado que no conozco

28
00:02:10,860 --> 00:02:13,159
el que está enfrente

29
00:02:13,159 --> 00:02:15,099
del lado C es este ángulo

30
00:02:15,099 --> 00:02:16,219
que no conozco

31
00:02:16,219 --> 00:02:18,879
y el que está enfrente del lado B es este ángulo

32
00:02:18,879 --> 00:02:20,340
que tampoco conozco

33
00:02:20,340 --> 00:02:34,620
Yo aquí no puedo aplicar el teorema del seno. A ver, el teorema del seno se verifica, pero poder nada más que enunciarlo y escribirlo, pero no me daría ninguna información concreta porque desconozco muchos datos para aplicar ese teorema.

34
00:02:34,620 --> 00:02:37,340
bien, pero ¿cómo proceder

35
00:02:37,340 --> 00:02:38,580
para resolver este tipo de

36
00:02:38,580 --> 00:02:40,599
triángulos? pues

37
00:02:40,599 --> 00:02:42,159
el teorema del coseno

38
00:02:42,159 --> 00:02:44,340
que paso a enunciar

39
00:02:44,340 --> 00:02:46,520
¿de acuerdo? el teorema del

40
00:02:46,520 --> 00:02:48,580
coseno lo escribo, se escribe

41
00:02:48,580 --> 00:02:50,580
es este, el lado

42
00:02:50,580 --> 00:02:52,439
A al cuadrado

43
00:02:52,439 --> 00:02:54,699
será igual al lado

44
00:02:54,699 --> 00:02:56,419
B al cuadrado más el lado

45
00:02:56,419 --> 00:02:58,280
C al cuadrado menos 2

46
00:02:58,280 --> 00:03:00,639
por B por C

47
00:03:00,639 --> 00:03:02,539
por el

48
00:03:02,539 --> 00:03:03,159
coseno

49
00:03:03,159 --> 00:03:05,080
de A

50
00:03:05,080 --> 00:03:08,039
este es el teorema

51
00:03:08,039 --> 00:03:11,099
del coseno

52
00:03:11,099 --> 00:03:13,599
del coseno

53
00:03:13,599 --> 00:03:14,599
¿de acuerdo?

54
00:03:16,300 --> 00:03:17,780
teorema del coseno

55
00:03:17,780 --> 00:03:18,340
fijaros

56
00:03:18,340 --> 00:03:19,860
¿qué conozco?

57
00:03:23,000 --> 00:03:24,240
como siempre

58
00:03:24,240 --> 00:03:25,259
¿qué datos

59
00:03:25,259 --> 00:03:28,599
con qué datos

60
00:03:28,599 --> 00:03:30,680
¿qué datos entran en juego

61
00:03:30,680 --> 00:03:31,800
en el teorema del coseno?

62
00:03:31,919 --> 00:03:32,340
pues mira

63
00:03:32,340 --> 00:03:36,259
un lado

64
00:03:36,259 --> 00:03:38,680
y su ángulo opuesto

65
00:03:38,680 --> 00:03:44,659
pero uno de los dos puede ser desconocido

66
00:03:44,659 --> 00:03:47,180
B y C

67
00:03:47,180 --> 00:03:49,539
que son los otros lados

68
00:03:49,539 --> 00:03:51,400
¿quiénes son los lados B y C?

69
00:03:52,740 --> 00:03:53,379
son

70
00:03:53,379 --> 00:03:57,219
los que están formando el ángulo A

71
00:03:57,219 --> 00:03:58,300
este de aquí

72
00:03:58,300 --> 00:03:59,960
este dato es importante

73
00:03:59,960 --> 00:04:01,520
esta cuestión es importante

74
00:04:01,520 --> 00:04:21,379
En el teorema del coseno, estos lados son dos lados que constituyen el mismo ángulo que entra en juego del teorema.

75
00:04:21,759 --> 00:04:22,560
¿Se ha entendido o no?

76
00:04:23,160 --> 00:04:24,800
El lado, el ángulo A.

77
00:04:24,899 --> 00:04:25,759
Esto es importante.

78
00:04:26,319 --> 00:04:30,259
Quiero decir que aquí no podría poner coseno de C.

79
00:04:30,259 --> 00:04:37,889
no es que siempre sea, es que en realidad

80
00:04:37,889 --> 00:04:40,069
lo que quiero decir es que

81
00:04:40,069 --> 00:04:47,449
es que en realidad

82
00:04:47,449 --> 00:04:52,519
este ángulo es

83
00:04:52,519 --> 00:04:54,579
siempre el que está

84
00:04:54,579 --> 00:04:56,899
constituido por los lados que aquí aparecen

85
00:04:56,899 --> 00:04:58,939
y el que está enfrentado

86
00:04:58,939 --> 00:05:00,680
a este que está despejado

87
00:05:00,680 --> 00:05:01,339
¿me entiendes?

88
00:05:02,019 --> 00:05:03,720
esta es la estructura, claro

89
00:05:03,720 --> 00:05:06,639
el teorema del coseno

90
00:05:06,639 --> 00:05:08,600
entended que lo puedo enunciar

91
00:05:08,600 --> 00:05:09,800
de diferentes maneras

92
00:05:09,800 --> 00:05:12,699
es decir, si pongo aquí B al cuadrado

93
00:05:12,699 --> 00:05:14,620
perdón, aquí el avión

94
00:05:14,620 --> 00:05:15,300
me hace que se aboga

95
00:05:15,300 --> 00:05:16,600
¿qué he de poner aquí?

96
00:05:17,240 --> 00:05:19,759
el otro lado al cuadrado

97
00:05:19,759 --> 00:05:20,300
¿sí o no?

98
00:05:21,399 --> 00:05:24,120
más el otro lado al cuadrado

99
00:05:24,120 --> 00:05:24,860
que no es B

100
00:05:24,860 --> 00:05:28,220
aquí van los lados que no son este de aquí

101
00:05:28,220 --> 00:05:29,560
¿se comprende o no?

102
00:05:30,639 --> 00:05:32,319
menos 2 por

103
00:05:32,319 --> 00:05:33,899
este lado y este

104
00:05:33,899 --> 00:05:36,019
por A por C

105
00:05:36,639 --> 00:05:42,540
por el coseno del ángulo formado por A entre A y C, que es B, mayúscula.

106
00:05:42,939 --> 00:05:43,899
¿Se ha entendido o no?

107
00:05:44,680 --> 00:05:49,459
Es decir, no me interesa que os centréis en las letras que uso.

108
00:05:49,459 --> 00:05:55,779
Me interesa que os centréis en qué posición ocupan en mi triángulo.

109
00:05:56,399 --> 00:05:57,480
¿De acuerdo?

110
00:05:58,519 --> 00:06:06,339
O sea, podríamos enunciar el coseno del siguiente modo, verbalizando, sin más.

111
00:06:06,339 --> 00:06:11,879
Un lado al cuadrado es igual a otro lado al cuadrado

112
00:06:11,879 --> 00:06:14,360
Más el otro, menos dos

113
00:06:14,360 --> 00:06:16,879
Por estos dos de aquí

114
00:06:16,879 --> 00:06:21,180
Multiplicados por el coseno del ángulo de este

115
00:06:21,180 --> 00:06:22,000
¿Se entiende?

116
00:06:22,459 --> 00:06:23,839
Y da igual a lo que usas

117
00:06:23,839 --> 00:06:26,060
Claro, ¿esto qué me permite?

118
00:06:27,560 --> 00:06:28,660
Pues, por ejemplo

119
00:06:28,660 --> 00:06:31,040
Si conozco

120
00:06:31,040 --> 00:06:35,220
Que esto mide cinco, esto diez

121
00:06:35,220 --> 00:06:37,939
y conozco este ángulo

122
00:06:37,939 --> 00:06:40,040
treinta grados, por ejemplo

123
00:06:40,040 --> 00:06:42,040
mediante el problema

124
00:06:42,040 --> 00:06:44,000
de ecuación, puedo conocer

125
00:06:44,000 --> 00:06:45,100
lo que mide

126
00:06:45,100 --> 00:06:48,259
este lado, ¿se entiende o no?

127
00:06:49,379 --> 00:06:49,959
¿se entiende?

128
00:06:51,300 --> 00:06:51,839
¿se entiende o no?

129
00:06:53,740 --> 00:06:54,060
bien

130
00:06:54,060 --> 00:06:55,459
me gustaría que

131
00:06:55,459 --> 00:06:56,959
analizar también

132
00:06:56,959 --> 00:07:00,139
daros cuenta de que si yo conozco

133
00:07:00,139 --> 00:07:00,939
por ejemplo

134
00:07:00,939 --> 00:07:04,519
tres lados de un triángulo

135
00:07:04,519 --> 00:07:07,639
imaginaos que conozco que este lado mide 5, este 10

136
00:07:07,639 --> 00:07:08,939
y este 2

137
00:07:08,939 --> 00:07:11,360
¿puedo conocer los ángulos?

138
00:07:11,939 --> 00:07:13,120
sí, puedo conocer este

139
00:07:13,120 --> 00:07:15,699
por ejemplo, aplicando el teorema

140
00:07:15,699 --> 00:07:16,360
del coseno

141
00:07:16,360 --> 00:07:19,660
porque esto no es incógnita, esto tampoco

142
00:07:19,660 --> 00:07:21,860
esto tampoco, esto lo puedo despejar

143
00:07:21,860 --> 00:07:23,100
¿se entiende o no?

144
00:07:23,480 --> 00:07:24,360
¿se comprende?

145
00:07:25,100 --> 00:07:26,459
y me gustaría

146
00:07:26,459 --> 00:07:28,779
que analizarais una cosa

147
00:07:28,779 --> 00:07:32,970
lo dejo como ejercicio

148
00:07:32,970 --> 00:07:33,910
de reflexión

149
00:07:33,910 --> 00:07:46,899
A la vista de este teorema, ¿podríamos decir que en algún modo generaliza al teorema de Pitágoras?

150
00:07:49,160 --> 00:07:55,560
Mirad, si el ángulo es rectángulo, aquí hay un ángulo de 90 grados, ¿sí o no?

151
00:07:56,240 --> 00:07:58,879
¿Y cuánto vale el coseno de 90 grados?

152
00:08:05,420 --> 00:08:08,100
Mirad, 90 grados es esto, ¿no?

153
00:08:09,319 --> 00:08:12,100
Este punto lo proyecta sobre el eje de los cosenos.

154
00:08:12,579 --> 00:08:13,720
cero

155
00:08:13,720 --> 00:08:15,259
por lo tanto

156
00:08:15,259 --> 00:08:16,139
si el ángulo

157
00:08:16,139 --> 00:08:17,519
el triángulo de retángulo

158
00:08:17,519 --> 00:08:18,779
este coseno

159
00:08:18,779 --> 00:08:19,360
¿cuánto vale?

160
00:08:20,480 --> 00:08:20,899
cero

161
00:08:20,899 --> 00:08:22,839
cero por algo

162
00:08:22,839 --> 00:08:24,379
cero

163
00:08:24,379 --> 00:08:25,439
¿qué te queda?

164
00:08:28,149 --> 00:08:29,569
el teorema de Pitágoras

165
00:08:29,569 --> 00:08:30,810
¿entiendes?

166
00:08:31,750 --> 00:08:32,330
por lo tanto

167
00:08:32,330 --> 00:08:33,529
en algún sentido

168
00:08:33,529 --> 00:08:34,629
podríamos decir

169
00:08:34,629 --> 00:08:37,129
esto hay que decirlo

170
00:08:37,129 --> 00:08:37,629
entre comillas

171
00:08:37,629 --> 00:08:38,850
pero en algún sentido

172
00:08:38,850 --> 00:08:39,990
podríamos decir que

173
00:08:39,990 --> 00:08:41,889
en el teorema

174
00:08:41,889 --> 00:08:43,330
del coseno

175
00:08:43,330 --> 00:08:44,769
generaliza el teorema de

176
00:08:44,769 --> 00:08:45,990
de Thales

177
00:08:45,990 --> 00:08:48,070
del teorema de Pitágoras

178
00:08:48,070 --> 00:08:49,210
¿vale?

179
00:08:50,470 --> 00:08:51,070
¿de acuerdo?

180
00:08:52,669 --> 00:08:53,429
ok