1
00:00:00,370 --> 00:00:07,490
Hola, vamos a ver cómo calcular el área comprendida entre el eje y una función en un intervalo concreto.

2
00:00:07,669 --> 00:00:12,810
Lo vamos a hacer con el ejercicio 7 en el que nos dan la gráfica que es un polinomio de grado 3

3
00:00:12,810 --> 00:00:21,370
y nos piden el área de la región limitada por dicha gráfica, el eje de abscisas y las rectas x igual 0 y x igual a 3.

4
00:00:21,730 --> 00:00:25,109
O sea que el intervalo de integración es el intervalo 0,3.

5
00:00:25,109 --> 00:00:34,950
Lo primero que se va a hacer siempre, que vamos a hacer siempre en estos casos, es calcular los puntos de corte de la función con el eje x, con el eje de abscisas.

6
00:00:35,450 --> 00:00:45,810
Entonces para ello resolvemos la ecuación x cubo, en este caso concreto, menos 3x cuadrado menos x más 3 igual a 0.

7
00:00:45,990 --> 00:00:49,250
Es decir, resolvemos siempre la ecuación f de x igual a 0.

8
00:00:49,250 --> 00:01:14,469
Como es un polinomio de grado 3, vamos a factorizarlo, vamos a utilizar Ruffini, 1, menos 3, menos 1, 3, y además como la suma de los coeficientes es 0, sabemos que el 1 va a ser una de las raíces, 1 por 1, 1, menos 2, menos 2, menos 3, menos 3, 0, ¿vale?

9
00:01:15,150 --> 00:01:19,670
Luego ya sabemos que el primer factor que tenemos es el x menos 1.

10
00:01:20,409 --> 00:01:27,329
Ahora aquí podríamos directamente ya resolver la ecuación de segundo grado o seguir haciendo Ruffini, ¿vale?

11
00:01:28,709 --> 00:01:40,170
El 1 no va a ser, en este caso no va a seguir siendo solución porque la suma de los coeficientes no da 0.

12
00:01:40,349 --> 00:01:42,950
Vamos a probar por ejemplo con el menos 1, a ver si tenemos suerte.

13
00:01:42,950 --> 00:01:52,790
este sería menos 1, menos 2 por menos 1 es menos 3, menos 1 por menos 3 es más 3, por lo tanto también es 0.

14
00:01:54,129 --> 00:01:57,170
Por lo tanto ya sí tenemos las tres soluciones, ¿no? Las tres raíces.

15
00:01:58,390 --> 00:02:08,530
Es decir, tenemos que el polinomio o que las soluciones de aquí son, por un lado, x igual 1, x igual menos 1,

16
00:02:08,530 --> 00:02:16,689
y del resto, el que me queda x menos tres, si lo igualo a cero, me queda x igual a tres, ¿vale?

17
00:02:17,210 --> 00:02:21,229
Pues estas van a ser mis tres raíces.

18
00:02:21,689 --> 00:02:25,490
Entonces, a ver, es un polinomio de grado tres. ¿Para qué vamos a hacer esto?

19
00:02:26,430 --> 00:02:30,750
Voy a hacer una especie de esbozo, como siempre os digo, de la función.

20
00:02:30,750 --> 00:02:39,550
mis soluciones, o sea, mis raíces son en el menos 1, 1, 2 y 3

21
00:02:39,550 --> 00:02:49,469
¿vale? aquí es donde corta en el menos 1, en el 1, donde corta al eje x

22
00:02:49,469 --> 00:02:51,889
¿vale? ¿cómo va a ser esta función?

23
00:02:51,889 --> 00:02:57,349
bueno, tenemos que tener en cuenta que nuestro intervalo de integración es el 0,3

24
00:02:57,349 --> 00:03:01,229
por lo tanto voy a mirar a partir del 0

25
00:03:01,229 --> 00:03:03,150
¿vale? pero en general

26
00:03:03,150 --> 00:03:05,210
¿cómo va a poder ser esta función?

27
00:03:05,409 --> 00:03:06,409
pues a ver, esta función

28
00:03:06,409 --> 00:03:08,550
o bien, no sé, no tengo ni idea

29
00:03:08,550 --> 00:03:09,750
no he calculado nada más

30
00:03:09,750 --> 00:03:12,830
podríamos mirar también que en el 0 va a pasar por el 3

31
00:03:12,830 --> 00:03:15,069
pero bueno, la cuestión es que como es un polinomio

32
00:03:15,069 --> 00:03:17,090
es continua, la función va a ser

33
00:03:17,090 --> 00:03:17,909
algo así

34
00:03:17,909 --> 00:03:19,550
¿vale?

35
00:03:20,069 --> 00:03:23,919
y por lo tanto lo que me estarían pidiendo es

36
00:03:23,919 --> 00:03:25,979
entre 0 y 3

37
00:03:25,979 --> 00:03:28,259
me estarían pidiendo calcular esta área

38
00:03:28,259 --> 00:03:32,280
entre el 0 y 1 y entre el 1 y el 3

39
00:03:32,280 --> 00:03:35,180
serían mis métodos, mis límites de integración

40
00:03:35,180 --> 00:03:37,280
o bien sería de esa manera

41
00:03:37,280 --> 00:03:41,280
o bien sería, vamos a cambiar de color

42
00:03:41,280 --> 00:03:44,080
o bien sería al revés

43
00:03:44,080 --> 00:03:50,159
decreciendo por aquí y aquí creciendo

44
00:03:50,159 --> 00:03:52,159
¿vale? y en este caso

45
00:03:52,159 --> 00:03:55,360
lo que me estarían pidiendo es esta área que está por aquí debajo

46
00:03:55,360 --> 00:03:57,599
y esta área que está por aquí arriba

47
00:03:57,599 --> 00:04:05,280
Pero independientemente de si es la verde o si es la azul, en el fondo lo que tenemos que hacer es exactamente lo mismo

48
00:04:05,280 --> 00:04:13,060
Porque lo que tenemos que hacer para calcular el área es la integral entre 0 y 1 más la integral entre 1 y 3

49
00:04:13,060 --> 00:04:20,180
Porque son justamente los puntos en los que tenemos que integrar ya que nuestro intervalo es el 0,3

50
00:04:20,180 --> 00:04:24,920
Y fijaos también lo que os había comentado en clase

51
00:04:24,920 --> 00:04:35,379
¿Cuál es la diferencia? Aunque mis dibujos están bastante mal hechos, puede estar mucho más arriba, mucho más abajo, pero en el fondo van a ser, las áreas son simétricas

52
00:04:35,379 --> 00:04:47,259
¿Qué es lo que ocurre? Si son simétricas me refiero al azul con la verde, si fuera una hacia arriba o hacia abajo, no las dos verdes o las dos azules

53
00:04:47,259 --> 00:04:51,680
la cuestión es que si el área está por encima del eje x

54
00:04:51,680 --> 00:04:55,240
ese área es positivo, o sea el valor de la integral es positivo

55
00:04:55,240 --> 00:04:58,439
sin embargo, si está por debajo del eje x

56
00:04:58,439 --> 00:05:01,740
el área, o sea el valor que vamos a obtener es negativo

57
00:05:01,740 --> 00:05:04,839
y como las áreas no pueden ser negativas

58
00:05:04,839 --> 00:05:06,959
lo que siempre vamos a calcular es

59
00:05:06,959 --> 00:05:11,639
lo que siempre vamos a poner es valor absoluto

60
00:05:11,639 --> 00:05:14,920
entonces el área, que es lo que me piden

61
00:05:14,920 --> 00:05:21,480
El área va a ser la integral entre quien hemos dicho, entre 0 y 1, ¿vale?

62
00:05:22,399 --> 00:05:32,459
Entre 0 y 1 de mi función, que es x cubo menos 3x cuadrado menos x más 3,

63
00:05:32,459 --> 00:05:43,639
diferencial de x más la integral entre 1 y 3 de la misma función

64
00:05:43,639 --> 00:05:51,019
de x cubo menos 3x cuadrado menos x más 3 diferencial de x

65
00:05:51,019 --> 00:05:56,120
y como os acabo de decir que no sé cuál de las dos es positiva y cuál es negativa

66
00:05:56,120 --> 00:06:02,199
lo que voy a hacer es poner valores absolutos delante de cada una de las integrales

67
00:06:02,199 --> 00:06:08,600
y de esta manera me aseguro que lo que voy a calcular es el valor correcto, o sea, un área que es positivo.

68
00:06:09,540 --> 00:06:15,000
Vale, he bajado un poquito, he pausado para bajarlo y ahora simplemente lo que tenemos que hacer es calcular estas integrales,

69
00:06:15,000 --> 00:06:23,740
o sea, es aplicar la regla de Barrow simplemente, entonces esto va a ser igual al valor absoluto, ¿de quién?

70
00:06:23,740 --> 00:06:41,500
Es un polinomio, por lo tanto es una potencia, la primitiva sería x4 partido por 4 menos x cubo menos x cuadrado partido de 2 más 3x y esto lo vamos a evaluar entre el 0 y el 1.

71
00:06:41,500 --> 00:07:04,040
Y aquí ponemos el valor absoluto. Más, y ahora lo mismo. Valor absoluto, y esto vuelve a ser, es la misma integral, x cuarta partido de 4 menos x cubo menos x cuadrado partido de 2 más 3x, y esto lo vamos a evaluar entre 1 y 3.

72
00:07:04,040 --> 00:07:18,220
y cerramos el valor absoluto, y esto va a ser igual, primer valor absoluto, en el 1 esto es un cuarto, menos 1, menos un medio, más 3,

73
00:07:19,500 --> 00:07:27,220
menos, he evaluado en el 0 que todo es 0, cierro el valor absoluto, más, siguiente valor absoluto, he evaluado en el 3,

74
00:07:27,220 --> 00:07:41,480
3 a la cuarta es 81, 81 cuartos menos 27 menos 9 medios más 3 por 3, 9

75
00:07:41,480 --> 00:07:45,199
Y ahora lo tenemos que evaluar en el 1 con un menos delante, ¿vale?

76
00:07:45,199 --> 00:07:51,439
Entonces voy a ir poniendo, lo voy a hacer ya teniendo en cuenta que siempre va a ser el opuesto de lo que debería ser

77
00:07:51,439 --> 00:07:58,319
es un cuarto, menos con el menos me queda un más uno, menos con el menos me queda más

78
00:07:58,319 --> 00:08:05,540
un medio y menos con el más me queda menos tres, ¿vale? Y ahora lo único que tenemos

79
00:08:05,540 --> 00:08:13,000
que hacer es sumar estas, vamos, todas estas fracciones, ¿vale? Lo voy a hacer con calculadora

80
00:08:13,000 --> 00:08:20,360
para acabar antes. La primera me da siete cuartos, voy a dejarlo para los absolutos,

81
00:08:20,360 --> 00:08:22,240
más, y la otra me da

82
00:08:22,240 --> 00:08:23,899
¿cuánto me da?

83
00:08:23,959 --> 00:08:24,699
voy a esperar que lo mire

84
00:08:24,699 --> 00:08:26,639
menos 4

85
00:08:26,639 --> 00:08:32,509
¿veis? por eso necesitamos poner

86
00:08:32,509 --> 00:08:33,470
el valor absoluto

87
00:08:33,470 --> 00:08:35,450
¿y esto cuánto va a ser? pues 23

88
00:08:35,450 --> 00:08:37,309
cuartos

89
00:08:37,309 --> 00:08:40,389
y vamos a poner siempre, como no sabemos cuál va a ser mi unidad

90
00:08:40,389 --> 00:08:42,149
vamos a poner unidades al cuadrado

91
00:08:42,149 --> 00:08:44,350
fijaos que la segunda parte

92
00:08:44,350 --> 00:08:45,450
voy a ir hacia arriba

93
00:08:45,450 --> 00:08:47,669
la segunda integral es la negativa

94
00:08:47,669 --> 00:08:50,009
por lo tanto la función sería

95
00:08:50,009 --> 00:08:51,210
como la verde

96
00:08:51,210 --> 00:08:52,210
¿Vale?