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00:00:04,980 --> 00:00:11,699
En este vídeo vamos a ver qué ocurre cuando tenemos un movimiento armónico simple que no empieza ni en su amplitud ni en el centro.

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00:00:13,199 --> 00:00:15,359
Esto lo vamos a ver resolviendo un problema.

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00:00:16,480 --> 00:00:27,679
En este problema nos dicen que un oscilador armónico con dos segundos de periodo se encuentra inicialmente a tres centímetros de su posición de equilibrio con una velocidad de menos cinco centímetros por segundo.

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00:00:28,480 --> 00:00:30,820
Y nos piden que escribamos la ecuación de su elongación.

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00:00:30,820 --> 00:00:36,960
En primer lugar nos dicen que tiene un periodo de 2 segundos

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00:00:36,960 --> 00:00:43,880
y también nos dicen que su posición inicial es de 3 centímetros

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00:00:43,880 --> 00:00:47,619
como son positivos es a la derecha del punto de equilibrio

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00:00:47,619 --> 00:00:55,969
y su velocidad inicial es menos 5 centímetros por segundo

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00:00:55,969 --> 00:01:00,859
Sabemos que esto no se encuentra en el punto de equilibrio

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00:01:00,859 --> 00:01:06,599
porque su posición inicial es distinta de cero y también sabemos que no se encuentra en la amplitud

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00:01:06,599 --> 00:01:11,680
porque su velocidad en la amplitud debería ser cero. Por lo tanto no es ninguno de los cuatro

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00:01:11,680 --> 00:01:16,879
casos que hemos visto en el vídeo anterior. Vamos a ver cómo resolveríamos este problema.

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00:01:17,959 --> 00:01:23,140
En primer lugar nos escribimos la ecuación en general de la elongación para un movimiento

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00:01:23,140 --> 00:01:30,980
armónico simple que recordamos que es la amplitud por el coseno de omega t más phi sub cero donde

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00:01:30,980 --> 00:01:37,659
omega es la frecuencia angular y phi sub cero la fase inicial. Para calcular la amplitud y la

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00:01:37,659 --> 00:01:45,040
frecuencia y la fase inicial necesitaremos utilizar estos datos de posición y velocidad iniciales. Sin

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00:01:45,040 --> 00:01:52,379
embargo calcular la frecuencia angular es inmediato porque recordamos que es 2 pi dividido entre el

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00:01:52,379 --> 00:02:05,340
es decir y radianes por segundo una vez tenemos omega podemos empezar por sustituir los datos

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00:02:05,340 --> 00:02:12,840
que nos da el problema en la posición inicial y la velocidad inicial la posición inicial es

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00:02:12,840 --> 00:02:20,280
0 0 3 en el sistema internacional en metros esto es la posición inicial que corresponde

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00:02:20,280 --> 00:02:29,199
sustituir t por 0, por lo tanto este término desaparecerá y será a por el coseno de phi sub 0.

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00:02:30,280 --> 00:02:36,840
Para sustituir la velocidad necesito la ecuación de la velocidad, para ello derivamos la ecuación

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00:02:36,840 --> 00:02:44,939
de la posición que es la derivada de x y es, recordamos, la a es constante, no se deriva,

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00:02:44,939 --> 00:03:05,580
El coseno nos da un signo menos y un seno de omega t más phi sub cero, respetamos el contenido, pero como esto no es únicamente una t, tenemos que derivar este contenido, phi sub cero es constante y se va, y omega t, la derivada es omega, por lo tanto nos sale aquí una omega, que recordamos que esta omega vale phi, ya la hemos encontrado.

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00:03:05,580 --> 00:03:26,000
Cuando sustituimos la velocidad en cero vale menos 0,05 metros por segundo, otra vez sistema internacional nos da 9 centímetros por segundo y esto es menos a por omega que vale pi por el seno de phi sub cero.

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00:03:26,000 --> 00:03:38,490
Bien, ahora si cogemos estas dos ecuaciones observaremos que tenemos dos incógnitas, phi sub cero y a.

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00:03:39,009 --> 00:03:46,469
Podemos despejar estas dos incógnitas de cualquier forma que sepamos hacer un sistema de ecuaciones, pero una muy cómoda en este tipo de problemas es dividir.

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00:03:46,469 --> 00:04:11,080
En concreto si dividimos la velocidad entre la posición, observaremos que por un lado tenemos menos 0,05 dividido entre 0,03 y esto va a ser igual a este término de aquí,

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00:04:11,080 --> 00:04:23,560
menos a por pi por el seno de phi sub cero entre este otro término de aquí, a por el coseno de phi sub cero.

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00:04:24,100 --> 00:04:32,379
Observaremos que las a se van y esto nos queda como pi por seno entre coseno que es tangente de phi sub cero.

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00:04:32,379 --> 00:04:48,279
Podemos entonces despejar y phi sub cero es el arco cuya tangente es menos cero con cero cinco dividido entre cero con cero tres por pi

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00:04:48,279 --> 00:05:09,579
Recordando que tenemos que tener la calculadora en radianes, ponemos esto en la calculadora y nos sale que phi sub cero es 0,4878 radianes negativo

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00:05:09,920 --> 00:05:16,500
Como esto tiene radianes en las unidades nos va a ser muy cómodo siempre que encontremos radianes en las unidades escribirlo en función de pi

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00:05:16,500 --> 00:05:27,259
Si iremos a la calculadora, dividiremos entre pi y nos saldrá menos 0,1553 pi radianes.

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00:05:27,899 --> 00:05:31,060
Este pi la calculadora no nos lo dice, tendremos que ponerlo nosotros.

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00:05:32,500 --> 00:05:40,579
Para encontrar la amplitud, ahora simplemente tendremos que volver a cualquiera de las dos ecuaciones que hemos usado antes, o esta o esta.

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00:05:40,579 --> 00:06:08,819
Es mejor la primera porque tiene menos operaciones, por lo tanto la amplitud será 0,03 entre el coseno de menos 0,1553 pi, que si lo ponemos en la calculadora nos sale 0,03396 metros.

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00:06:08,819 --> 00:06:14,279
observamos que esto es mayor que los tres centímetros del principio como debe ser porque

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00:06:14,279 --> 00:06:18,939
la amplitud es la elongación máxima si esto fuese más pequeño entonces tres centímetros sería el

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00:06:18,939 --> 00:06:26,459
máximo y eso no podría ser así pues escribimos sustituyendo simplemente todos los datos en la

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00:06:26,459 --> 00:06:32,939
ecuación inicial la ecuación de la elongación la posición en función del tiempo va a ser la

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00:06:32,939 --> 00:06:44,819
amplitud que como ya resultado final quitamos una cifra significativa 0,0 340 coseno de omega que

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00:06:44,819 --> 00:06:52,500
ya hemos visto que era pi por t y la fase inicial que igualmente le quitaremos una cifra significativa

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00:06:52,500 --> 00:07:02,779
menos 0,155 pi como este es el resultado final le vamos a decir que está en unidades del sistema

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00:07:02,779 --> 00:07:07,980
internacional. Y ya habríamos terminado este problema.