1
00:00:01,750 --> 00:00:07,209
Hola, soy Pedro Lomas y voy a resolver el primero de los dos problemas que aparecen en el bloque de análisis

2
00:00:07,209 --> 00:00:12,990
en el modelo de la prueba de acceso a la Universidad de la Comunidad de Madrid en el curso 24-25.

3
00:00:13,349 --> 00:00:18,429
En primer lugar nos piden estudiar la continuidad de una función definida a trozos.

4
00:00:19,550 --> 00:00:26,489
Esta función, antes del 2, es un polinomio, es una función cuadrática con lo cual siempre es continua.

5
00:00:26,489 --> 00:00:35,649
Después del 2 es una raíz y la raíz podría no estar definida cuando lo de dentro de la raíz es negativo, es menor que 0

6
00:00:35,649 --> 00:00:43,289
Pero cuando lo de dentro de la raíz es menor que 0, cuando 5x es menor que 1, es decir, cuando la x es más pequeño que un quinto

7
00:00:43,289 --> 00:00:46,789
O 0,2 si lo preferís en decimales

8
00:00:48,049 --> 00:00:54,850
Como esta semirrecta está fuera del dominio de definición de la función porque la raíz es a partir del 2

9
00:00:54,850 --> 00:00:58,649
la función siempre va a ser continua hasta el 2 y después del 2

10
00:00:58,649 --> 00:01:04,290
por lo tanto tenemos que estudiar la continuidad en el punto x igual a 2

11
00:01:04,290 --> 00:01:13,090
sabemos por teoría que una función es continua cuando en primer lugar existe el límite de la función

12
00:01:13,090 --> 00:01:16,629
cuando la x se acerca al 2

13
00:01:16,629 --> 00:01:22,489
en segundo lugar tiene que existir también imagen en el 2

14
00:01:22,489 --> 00:01:31,109
Y por último, el límite que hemos quedado que existe en el 2 tiene que coincidir con la imagen de la función.

15
00:01:31,969 --> 00:01:42,590
Para calcular el límite, vamos a ver el límite por la izquierda, es decir, esta función cuánto vale cuando me acerco al 2 por la izquierda, 1,99 o algo parecido.

16
00:01:42,590 --> 00:01:45,829
este límite sería 2 al cuadrado

17
00:01:45,829 --> 00:01:48,129
podemos tomar valores aunque no sea exactamente

18
00:01:48,129 --> 00:01:51,030
en el punto 2 donde vamos a calcular

19
00:01:51,030 --> 00:01:52,989
pero si estamos muy cerquita del 2

20
00:01:52,989 --> 00:01:56,950
este valor va a ser

21
00:01:56,950 --> 00:02:00,489
4 menos 12 más 11

22
00:02:00,489 --> 00:02:02,569
que son 3

23
00:02:02,569 --> 00:02:05,549
el límite por la derecha

24
00:02:05,549 --> 00:02:09,229
tenemos que coger la otra parte

25
00:02:09,229 --> 00:02:10,889
de la función definida de trozos

26
00:02:10,889 --> 00:02:21,409
Y en este caso sería la raíz de 5 por 2 menos 1, que es raíz de 9, que es 3.

27
00:02:22,090 --> 00:02:25,770
Estas dos cosas nos permiten afirmar que existe el límite.

28
00:02:26,490 --> 00:02:36,590
Como además la imagen está definida abajo y la f de 2 es la raíz de 5 por 2 menos 1, que también es 3,

29
00:02:36,590 --> 00:02:38,750
tenemos que existe el límite

30
00:02:38,750 --> 00:02:42,849
el límite por la izquierda es 3 y por la derecha es 3

31
00:02:42,849 --> 00:02:45,050
con lo cual el límite es 3 y la imagen es 3

32
00:02:45,050 --> 00:02:49,669
con lo cual podemos asegurar que f de x es continua

33
00:02:49,669 --> 00:02:53,360
en x igual a 2

34
00:02:53,360 --> 00:02:57,139
con lo cual f de x es continua

35
00:02:57,139 --> 00:03:01,560
en los reales

36
00:03:01,560 --> 00:03:02,580
que es todo su dominio

37
00:03:02,580 --> 00:03:05,919
en el apartado b nos piden estudiar

38
00:03:05,919 --> 00:03:09,960
los extremos relativos de la función en el intervalo 1, 3.

39
00:03:11,060 --> 00:03:13,819
Para estudiar los extremos relativos en el 1, 3

40
00:03:13,819 --> 00:03:15,879
deberíamos derivar la función.

41
00:03:17,039 --> 00:03:21,039
Una función a trozos, para derivarla tenemos que tener la precaución

42
00:03:21,039 --> 00:03:23,800
de no poner la igualdad en ninguno de los dos sitios

43
00:03:23,800 --> 00:03:25,580
por si no fuera derivable en el 2.

44
00:03:26,439 --> 00:03:28,740
La derivada de un polinomio es muy sencilla,

45
00:03:29,080 --> 00:03:31,699
2x menos 6 cuando la x es menor que 2.

46
00:03:32,740 --> 00:03:34,439
Y la derivada de una raíz,

47
00:03:34,439 --> 00:03:38,400
yo cuando me plantean una raíz 5x menos 1

48
00:03:38,400 --> 00:03:40,599
la transformo en una potencia

49
00:03:40,599 --> 00:03:44,379
porque yo creo que es más sencillo derivar una potencia

50
00:03:44,379 --> 00:03:49,979
la derivada de esta potencia es 1 medio por 5x menos 1

51
00:03:49,979 --> 00:03:52,219
elevado a menos 1 medio

52
00:03:52,219 --> 00:03:54,800
por la derivada de lo de dentro, que no se me olvida

53
00:03:54,800 --> 00:03:57,379
y es 5 cuando la x es mayor que 2

54
00:03:57,379 --> 00:04:02,620
y esto de aquí lo podemos poner de una forma más sencilla

55
00:04:02,620 --> 00:04:12,139
escribiéndolo como 5 dividido entre 2 por la raíz de 5x menos 1

56
00:04:12,139 --> 00:04:16,540
pues vamos a ver qué ocurre con el signo de las derivadas

57
00:04:16,540 --> 00:04:20,959
bien, vemos que la derivada no se anula arriba, se anularía cuando la x es 3

58
00:04:20,959 --> 00:04:26,540
pero el 3 está fuera de esta semirrecta y esta derivada de abajo no se va a anular nunca

59
00:04:26,540 --> 00:04:32,540
pero sí que podemos apreciar, como nos dice que estudiamos la función en el intervalo entre el 1 y el 3

60
00:04:32,540 --> 00:04:51,220
Vemos que tenemos que hacer el estudio en dos partes. En 1, 2 y en 2, 3. En 1, 2 la derivada es 2x menos 6.

61
00:04:51,220 --> 00:04:53,339
como la x está entre 1 y 2

62
00:04:53,339 --> 00:04:57,000
la derivada siempre es negativa

63
00:04:57,000 --> 00:05:00,699
porque 2 por 1 menos 6 es negativo

64
00:05:00,699 --> 00:05:02,720
2 por 2 menos 6 también es negativo

65
00:05:02,720 --> 00:05:11,500
con lo cual f de x decrece en el intervalo 1, 2

66
00:05:11,500 --> 00:05:17,920
con lo cual habrá un máximo local en el x igual a 1

67
00:05:17,920 --> 00:05:21,040
un máximo local porque lo que estamos estudiando

68
00:05:21,040 --> 00:05:23,420
los extremos relativos en el 1, 3

69
00:05:23,420 --> 00:05:31,899
en el 2, 3 la derivada vemos que el denominador vale entre raíz de 9

70
00:05:31,899 --> 00:05:34,819
5 por 2 es 10 menos 1 es 9 y raíz de 14

71
00:05:34,819 --> 00:05:37,000
con lo cual siempre es positivo

72
00:05:37,000 --> 00:05:39,860
positivo entre positivo nos da negativo

73
00:05:39,860 --> 00:05:47,660
entonces f' de x que es 5 dividido entre 2 por la raíz de 5x menos 1

74
00:05:47,660 --> 00:05:50,180
siempre es mayor que 0

75
00:05:50,180 --> 00:06:02,220
Eso quiere decir que f de x crece en el intervalo 2, 3, con lo cual vamos a tener otro máximo en x igual a 3.

76
00:06:02,920 --> 00:06:12,740
Y si mi función decrece hasta el 2 y crece a partir del 2, claramente hay un mínimo cuando la x vale 2, otro mínimo relativo.

77
00:06:12,740 --> 00:06:18,709
Y por último nos piden calcular el área encerrada entre el 1 y el 3.

78
00:06:19,110 --> 00:06:27,079
Para hacer el apartado 3, lo que vamos a tener que hacer también es trabajar en dos intervalos,

79
00:06:27,220 --> 00:06:39,029
porque el área será la integral entre el 1 y el 2 de x cuadrado menos 6x más 11,

80
00:06:40,689 --> 00:06:47,430
diferencial de x, y a partir del 2, entre el 2 y el 3, la definición de la función cambia,

81
00:06:47,889 --> 00:06:53,810
y la que tenemos que hacer es 5x menos 1 diferencial de x.

82
00:06:54,230 --> 00:07:00,839
Le ponemos nombre a las primitivas, vamos a calcular una primitiva del polinomio,

83
00:07:00,920 --> 00:07:05,759
del primer tramo de la función que llamaremos f y esto será f de 2 menos f de 1

84
00:07:05,759 --> 00:07:14,939
más y vamos a llamar g a la primitiva de la otra parte de la función y será g de 3 menos g de 2.

85
00:07:14,939 --> 00:07:20,660
El área es esto y para ello tenemos que integrar ambas funciones

86
00:07:20,660 --> 00:07:22,959
La integral del polinomio es sencilla

87
00:07:22,959 --> 00:07:30,379
La primitiva sería integral indefinida x cuadrado menos 6x más 11

88
00:07:30,379 --> 00:07:44,550
Diferencial de x sería x al cubo tercios menos 6x cuadrado medios más 11x

89
00:07:44,550 --> 00:07:46,589
que para simplificar nuestras cuentas va a ser

90
00:07:46,589 --> 00:07:52,050
x cubo tercios menos 3x cuadrado más 11

91
00:07:52,050 --> 00:07:58,170
por tanto f de 2 será el valor de la función en 2

92
00:07:58,170 --> 00:08:00,550
que es 38 tercios

93
00:08:00,550 --> 00:08:05,930
y f de 1 sustituimos en esta expresión el 1

94
00:08:05,930 --> 00:08:08,649
y f de 1 es 25 tercios

95
00:08:08,649 --> 00:08:21,509
igualmente hacemos ahora la primitiva de la parte de la raíz

96
00:08:21,509 --> 00:08:25,029
y para hacer la primitiva de la raíz otra vez

97
00:08:25,029 --> 00:08:30,870
tenemos 5x menos 1 elevado a un medio diferencial de x

98
00:08:30,870 --> 00:08:34,230
este integral se puede hacer con un cambio de variable

99
00:08:34,230 --> 00:08:37,230
pero no es necesario porque lo único que necesitamos para tener

100
00:08:37,230 --> 00:08:41,289
tenemos una función elevada a algo y me falta su derivada

101
00:08:41,289 --> 00:08:45,470
como su derivada es un 5, podemos arreglar poniendo un quinto delante

102
00:08:45,470 --> 00:08:48,370
y un 5 después, y ahora ya sí que tenemos aquí

103
00:08:48,370 --> 00:08:53,610
un quinto por mi función elevada a un grado más, 5x-1

104
00:08:53,610 --> 00:08:57,230
elevado a un medio más uno, que son tres medios, y todo ello

105
00:08:57,230 --> 00:09:01,230
dividido entre tres medios, colocamos la raya de fracción

106
00:09:01,230 --> 00:09:03,289
lo dejamos un poco más bonito

107
00:09:03,289 --> 00:09:13,039
y nos queda 2 partido por 15

108
00:09:13,039 --> 00:09:16,850
podemos quitar aquí esta fracción

109
00:09:16,850 --> 00:09:19,289
por la raíz cuadrada

110
00:09:19,289 --> 00:09:24,240
de 5x menos 1

111
00:09:24,240 --> 00:09:25,840
elevado todo al cubo

112
00:09:25,840 --> 00:09:29,139
y de aquí sacamos que en el punto 3

113
00:09:29,139 --> 00:09:35,139
este valor va a ser 2 quintos

114
00:09:35,139 --> 00:09:38,720
raíz de 14 al cubo

115
00:09:38,720 --> 00:09:40,120
podemos sacar el 14 fuera

116
00:09:40,120 --> 00:09:44,039
y en el punto 2 esto va a ser

117
00:09:44,039 --> 00:09:46,980
2 quintos, no he dicho antes, 2 quinceavos

118
00:09:46,980 --> 00:09:56,429
por la raíz cuadrada de 9 al cubo que son 27

119
00:09:56,429 --> 00:09:59,230
con todo esto de aquí

120
00:09:59,230 --> 00:10:03,820
las operaciones que necesitábamos

121
00:10:03,820 --> 00:10:09,399
las resolvemos aquí abajo

122
00:10:09,399 --> 00:10:12,440
hacemos aquí un asterisco

123
00:10:12,440 --> 00:10:22,340
y tenemos que este asterisco

124
00:10:22,340 --> 00:10:26,679
la solución final es 38 tercios

125
00:10:26,679 --> 00:10:29,559
menos 25 tercios

126
00:10:29,559 --> 00:10:32,460
más

127
00:10:32,460 --> 00:10:34,779
2 quinceavos

128
00:10:34,779 --> 00:10:36,639
de raíz de 14

129
00:10:36,639 --> 00:10:37,639
elevado al cubo

130
00:10:37,639 --> 00:10:40,399
menos 2 quinceavos

131
00:10:40,399 --> 00:10:42,419
por 27

132
00:10:42,419 --> 00:10:44,480
el resultado final

133
00:10:44,480 --> 00:10:46,539
es el que de esta operación