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Hola, ¿qué tal? Bienvenidos de nuevo a este curso de Matemáticas II de segundo de bachillerato.

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Seguimos con el tema de matrices y este es el segundo vídeo sobre multiplicación de matrices.

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En este vídeo vamos a aprender una propiedad fundamental de las matrices y es que en general

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no es lo mismo A por B que B por A, es decir, el producto de matrices no es conmutativo.

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Va a haber veces que sí esto ocurra, como veremos en un ejemplo, y otras veces que no,

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o simplemente porque A por B sí se puede calcular y B por A no por un tema de dimensiones.

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Comenzamos.

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Empecemos a explicar las propiedades principales que verifican el producto de matrices.

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00:00:52,399 --> 00:01:07,079
Y la más importante de todas es que este producto no es conmutativo, es decir, al multiplicar A por B en general da distinto del resultado de multiplicar B por A en el sentido contrario.

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A y B va a haber veces en las que simplemente A por B y B por A, alguno de ellos no se puede calcular por motivo de dimensiones de las matrices. Otras veces, sin embargo, simplemente porque el resultado da completamente distinto.

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00:01:22,180 --> 00:01:31,359
Ahí tenéis dos matrices 3x3. A por B se puede multiplicar porque tienen la misma dimensión, son matrices cuadradas y el resultado es ese que tenéis ahí.

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Si damos la vuelta veis que el resultado es completamente distinto. Para que las comparéis, ahí tenéis los dos productos A por B y B por A.

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El resto de propiedades del producto es similar al producto de números, es decir, verifican la propiedad asociativa.

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00:01:49,180 --> 00:01:55,000
asociativa. ¿Esto qué significa? Pues que si yo tengo que multiplicar tres matices lo puedo hacer

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en el orden que quiera, siempre, eso sí, respetando la secuencia A, B, C, porque como hemos visto el

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00:02:04,859 --> 00:02:10,560
producto no es conmutativo, pero puedo empezar a multiplicar por la izquierda y también podría

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00:02:10,560 --> 00:02:17,080
empezar a multiplicar por la derecha. Otra de las propiedades que verifica el producto de matrices

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es la existencia de elemento neutro. Es decir, hay una matriz que denotaremos por id de identidad

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00:02:24,639 --> 00:02:31,879
con la que al multiplicar a la izquierda o a la derecha por cualquier otra matriz, el resultado va a ser siempre el mismo, la propia matriz.

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00:02:32,379 --> 00:02:37,199
Esta matriz es la matriz cuadrada que tiene unos en la diagonal y ceros en el resto.

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00:02:37,900 --> 00:02:41,340
Puede ser de dimensión 2, dimensión 3 o dimensión lo que necesitemos.

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00:02:41,340 --> 00:03:02,900
La última propiedad es la propiedad asociativa respecto de la suma de matrices. Es la propiedad usual que utilizamos para quitar paréntesis. Muy bien, vamos a utilizar el siguiente ejemplo para comprobar que sí que hay algunos casos en los que ciertas matrices conmutan. Es decir, hay veces en las que a por b es igual a b por a.

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00:03:02,900 --> 00:03:10,479
Bien, en este problema nos piden encontrar todas las posibles matrices que conmuten con

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00:03:10,479 --> 00:03:16,879
esta matriz A, es decir, aquellas matrices X para las que X por A sea igual a A por X.

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00:03:18,300 --> 00:03:23,099
Para ello, lo primero que tenemos que hacer es determinar cuál es la dimensión de estas

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00:03:23,099 --> 00:03:30,580
matrices. Es decir, nosotros vamos a determinar cuántas filas y columnas N y M tienen que

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00:03:30,580 --> 00:03:44,759
tener estas matrices X. Para ello, si nosotros queremos que se pueda multiplicar X por A, significa que M tiene que ser igual a 2 y si nosotros

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00:03:44,759 --> 00:03:56,599
queremos que se pueda multiplicar A por X, pues entonces necesariamente N tiene que ser igual a 2. Es decir, que la matriz que estamos buscando

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00:03:56,599 --> 00:04:10,620
va a ser una matriz X, Y, Z, T. Bien, una vez visto esto, lo que vamos a hacer va a ser imponer la condición calcular estos dos productos

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00:04:10,620 --> 00:04:19,120
y de ahí va a salir un sistema de ecuaciones que determine la condición de conmutar. Empezamos.

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00:04:30,680 --> 00:04:34,779
Esta sería la matriz x por a. Vamos a calcular la matriz a por x.

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00:04:49,649 --> 00:04:57,430
Llegados a este punto, lo que tendremos que hacer será igualar término a término cada una de estas matrices, cada uno de estos términos.

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00:04:57,430 --> 00:05:03,490
Es decir, que lo que van a salir de aquí son cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas x, y, z, t.

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Vamos a poner el sistema. Esta es la ecuación que corresponde de igualar este término con este otro.

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00:05:14,500 --> 00:05:16,060
Saquemos las otras tres ecuaciones.

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00:05:26,189 --> 00:05:28,029
Y ahora hay que resolver este sistema.

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¿Cómo? Pues en realidad esto es parte del tema de sistemas de ecuaciones que veremos dentro de muy poco,

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00:05:37,250 --> 00:05:41,649
pero de momento pues vamos a hacerlo como sabemos hacer, por sustitución.

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Bien, y ahora lo que hacemos es ver que una de las ecuaciones sobra porque son iguales

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00:06:05,779 --> 00:06:17,180
Y cuando hacemos la sustitución y igual a z, estas dos ecuaciones también son iguales. En consecuencia, en realidad solo tenemos dos ecuaciones, que serían,

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00:06:22,379 --> 00:06:34,920
¿cómo se resuelve un sistema con más incógnitas que ecuaciones? Lo veremos en el tema de sistemas de ecuaciones. Ahora, pues, lo vamos a resolver más o menos como lo vamos a resolver dentro de poco.

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00:06:34,920 --> 00:06:43,360
hay que introducir unos parámetros. Es decir, hay que introducir tantos parámetros como ecuaciones falten.

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En este caso, como faltan dos ecuaciones, habrá que introducir dos parámetros.

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00:06:49,079 --> 00:06:55,879
El parámetro lambda y, pues, un parámetro, por ejemplo, para la x, que sea el parámetro nu.

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00:06:55,879 --> 00:06:57,879
Entonces tendríamos...

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Y esta sería la solución. ¿Qué significa esta solución en función de parámetros?

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00:07:08,839 --> 00:07:13,540
Significa que para cada nu y cada lambda tenemos una matriz que conmuta con A.

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Si quiero ver un ejemplo concreto de matriz de solución de este problema, pues no habría más que dar valores.

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Entonces, por ejemplo, si la lambda es igual a 1 y la nu es igual a 1, tendríamos que la matriz X sería 1, 1, 1, 3.

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00:07:34,660 --> 00:07:36,379
Y esta matriz conmuta con A.

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Así como cualquier otra matriz que se obtenga de dar parámetros lambda y nu, números reales, en este sistema paramétrico.

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Muy bien. Espero que os haya resultado sencillo el problema.