1
00:00:09,009 --> 00:00:15,849
En este vídeo voy a explicaros cómo se racionalizan los denominadores y para qué sirve hacer esto.

2
00:00:18,429 --> 00:00:21,589
Lo voy a hacer con una serie de ejemplos. Entonces, el primero sería este.

3
00:00:22,809 --> 00:00:32,250
Bueno, aquí como veis el denominador es raíz de 2. Raíz de 2 es un número irracional.

4
00:00:33,429 --> 00:00:40,310
Y entonces racionalizar el denominador consiste en que en el denominador tengamos un número racional y no irracional.

5
00:00:40,310 --> 00:01:00,670
De manera que no tengamos esto que tenemos ahora. ¿Cuál es la forma de conseguir esto? Pues mirad, si ahora esta fracción la multiplico y la divido, es decir, multiplico el numerador y el denominador por raíz de 2, que es lo que tenía en el denominador, ¿vale?

6
00:01:00,670 --> 00:01:18,870
¿Vale? Veréis que ahora abajo tengo raíz de 2 por raíz de 2 y raíz de 2 por raíz de 2 es raíz de 2 al cuadrado, que es 2.

7
00:01:19,629 --> 00:01:28,489
¿Vale? De manera que aquí lo que me queda es arriba 1 por raíz de 2, que es raíz de 2, y abajo 2.

8
00:01:28,489 --> 00:01:34,010
es decir, 1 partido raíz de 2 es raíz de 2 partido por 2

9
00:01:34,010 --> 00:01:39,750
y ahora ya estaría la fracción racionalizada

10
00:01:39,750 --> 00:01:43,090
con lo cual ya estaría resuelto el ejercicio

11
00:01:43,090 --> 00:01:49,650
lo primero que hay que hacer de todas formas es darnos cuenta

12
00:01:49,650 --> 00:01:56,290
lo primero que vamos a hacer siempre es fijarnos bien en si realmente hace falta hacer esto

13
00:01:56,290 --> 00:02:10,469
Si hace falta realmente racionalizar, porque en este caso tenemos una raíz en el denominador, pero raíz de 4 no es un número irracional, sino que es un número racional, ¿vale?

14
00:02:10,469 --> 00:02:16,430
Porque raíz de 4, como sabemos, es más menos 2, ¿vale?

15
00:02:17,050 --> 00:02:26,750
De manera que esta fracción, para racionalizarla, lo único que tenemos que hacer es resolver la raíz del denominador, ¿vale?

16
00:02:26,789 --> 00:02:27,530
No hay que hacer nada más.

17
00:02:27,650 --> 00:02:35,069
Entonces sería un medio, pero como tiene dos soluciones, sería más menos un medio, ¿vale?

18
00:02:36,870 --> 00:02:42,360
Bien, a ver que no se ve muy bien esto.

19
00:02:42,680 --> 00:02:57,099
lo voy a volver a escribir los signos, más menos un medio, vale, perfecto, luego en este caso no hacía falta hacer lo que hemos hecho antes de multiplicar arriba y abajo por raíz de 4

20
00:02:57,099 --> 00:03:12,280
porque el denominador ya era un número racional, bien, natural de hecho, otro ejemplo, 3 partido raíz cuadrada de 48, bueno, en este caso

21
00:03:12,680 --> 00:03:22,780
Como en todos los ejercicios de raíces, lo primero que tenemos que hacer es factorizar el número 48 y ver si podemos simplificar esa raíz.

22
00:03:23,300 --> 00:03:29,680
Si podemos extraer algún factor externo, sacarlo del radicando y si podemos simplificarlo.

23
00:03:29,680 --> 00:03:46,039
Entonces 48 entre 2 son 24, entre 2 son 12, entre 2 son 6, entre 2 son 3 y entre 3 son 1.

24
00:03:46,039 --> 00:04:13,139
De manera que lo que tengo aquí sería 3 partido raíz cuadrada de 2 al cubo, porque el 2 está, no, perdón, a la cuarta, porque está cuatro veces, voy a borrar la raíz, sería raíz cuadrada de 2 a la cuarta por 3.

25
00:04:17,600 --> 00:04:27,100
Por lo tanto, puedo sacar aquí fuera, como está la cuarta, puedo sacar dos doces, dos al cuadrado por dos al cuadrado,

26
00:04:27,100 --> 00:04:35,939
luego sale como dos por dos, que son cuatro, es decir, como dos al cuadrado, raíz de tres, tres partido cuatro raíz de tres.

27
00:04:36,519 --> 00:04:44,579
De momento no he hecho nada especial, el denominador sigue sin estar racionalizado,

28
00:04:44,579 --> 00:05:08,089
Pero ahora puedo multiplicar el numerador y el denominador, ¿vale? Voy a borrar aquí la factorización. Puedo multiplicar el numerador y el denominador por el número raíz de 3, ¿vale?

29
00:05:08,089 --> 00:05:31,670
Si multiplico numerador y denominador por raíz de 3, tendríamos en el numerador 3 raíces de 3 y en el denominador 4 por raíz de 3 por raíz de 3, igual que antes ocurría con raíz de 2 por raíz de 2, es raíz de 3 al cuadrado, es decir, es 3.

30
00:05:31,670 --> 00:05:59,209
Y ahora, sencillamente, este 3 y este 3 se anulan entre sí porque están multiplicando ambos, uno arriba y otro abajo, están ambos multiplicando al numerador y denominador, entonces como ambos están multiplicando se pueden ir y me queda raíz de 3 partido por 4.

31
00:05:59,209 --> 00:06:09,350
El resultado de esta fracción y el resultado de esta fracción son iguales, pero aquí el número irracional está en el numerador y aquí está en el denominador, ¿vale?

32
00:06:09,829 --> 00:06:15,250
Es decir, hemos conseguido racionalizar el denominador.

33
00:06:17,439 --> 00:06:28,250
Bien, vamos a ver unos ejemplos un poquito más complicados.

34
00:06:28,250 --> 00:06:45,629
Por ejemplo, vamos a ver alguno que tenga una raíz con índice mayor que 2, como puede ser este.

35
00:06:45,629 --> 00:06:54,579
Como digo, lo primero de todo es siempre factorizar el radicando.

36
00:06:54,579 --> 00:07:04,540
36 entre 2, 18, entre 2, 9, entre 3, 3, y entre 3, 1.

37
00:07:05,399 --> 00:07:08,819
Es decir, 36 son 2 al cuadrado por 3 al cuadrado.

38
00:07:10,040 --> 00:07:17,300
Pues lo escribo, 5 partido raíz cuarta de 2 al cuadrado por 3 al cuadrado.

39
00:07:18,959 --> 00:07:21,740
¿Qué ocurre?

40
00:07:22,180 --> 00:07:25,800
Que aquí los exponentes del radicando son menores que el índice.

41
00:07:26,399 --> 00:07:46,600
Pero, si esto lo escribo en forma de potencia, tendríamos 2 elevado a 2 cuartos por 3 elevado a 2 cuartos, es decir, 2 elevado a 1 medio por 3 elevado a 1 medio, que esto es la raíz cuadrada de 2 por 3.

42
00:07:47,160 --> 00:07:50,660
Es decir, que esto lo puedo simplificar a raíz cuadrada de 2 por 3.

43
00:07:50,660 --> 00:07:55,660
Y ahora ya puedo preocuparme de la racionalización.

44
00:07:56,399 --> 00:08:02,000
solo que con una raíz más simple

45
00:08:02,000 --> 00:08:03,800
por eso lo primero que hay que hacer es siempre

46
00:08:03,800 --> 00:08:07,560
factorizar y simplificar los radicales

47
00:08:07,560 --> 00:08:11,579
y luego ya podemos preocuparnos de racionalizar el denominador

48
00:08:11,579 --> 00:08:13,519
entonces en este caso

49
00:08:13,519 --> 00:08:17,199
tengo 5 partido raíz de 6

50
00:08:17,199 --> 00:08:18,600
que si multiplico arriba y abajo

51
00:08:18,600 --> 00:08:20,319
o sea, numerador y denominador

52
00:08:20,319 --> 00:08:22,620
por raíz de 6

53
00:08:22,620 --> 00:08:25,379
raíz de 6 por raíz de 6 son 6

54
00:08:25,379 --> 00:08:40,440
Con lo cual tengo 5 raíces de 6 partido por 6. Y el resultado de esta fracción es el mismo resultado que el de esta fracción, con la diferencia de que esta fracción tiene el denominador racional.

55
00:08:40,440 --> 00:09:14,700
Es decir, ya estaría racionalizada. Bien, estos son los casos más simples, ¿vale? ¿Qué ocurriría si, por ejemplo, tenemos una raíz, vamos a ver, por ejemplo, 3 raíces cúbicas de 18, por ejemplo?

56
00:09:14,700 --> 00:09:34,820
¿Vale? Bueno, pues vamos a ver. De nuevo, lo primero, factorizo el número 18. 18 entre 2 son 9, entre 3 son 3, entre 3 es 1. ¿Vale? En este caso no consigo nada especial factorizando, ¿vale?

57
00:09:34,820 --> 00:09:44,320
Así que no puedo simplificar más este radical, porque no puedo sacar ni el 2 ni el 3 de esta manera, ¿vale?

58
00:09:44,320 --> 00:09:52,779
Así que no he conseguido nada con esto, así que de momento parto de lo mismo que me daban en el enunciado, ¿vale?

59
00:09:53,500 --> 00:09:59,940
Y ahora lo que nos tenemos que preguntar es, si ya hemos entendido estos ejemplos, ¿vale?

60
00:09:59,940 --> 00:10:07,000
Nos daremos cuenta de que no puedo multiplicar por raíz cúbica de 18, ¿vale?

61
00:10:07,019 --> 00:10:08,259
Que es lo que tendríamos en el denominador.

62
00:10:08,759 --> 00:10:16,320
Si multiplico ahora numerador y denominador por raíz cúbica de 18, voy a seguir teniendo aquí abajo una raíz.

63
00:10:17,220 --> 00:10:20,960
¿Vale? Sería la raíz cúbica de 18 por 18, pero sigue siendo una raíz.

64
00:10:21,980 --> 00:10:25,940
Es decir, sigue siendo un número, una raíz no exacta, es decir, un número irracional.

65
00:10:25,940 --> 00:10:50,909
Ahora, ¿qué puedo hacer entonces para tener un número racional? Bueno, pues pensemos, como tenemos una raíz cúbica, necesito tener otras dos como estas, ¿vale? En el momento que tenga ya tres raíces cúbicas multiplicadas entre sí y que sean iguales, ya podré, voy a copiarlo, ya podré romper el radical, romper esto.

66
00:10:50,909 --> 00:11:03,809
¿Por qué? Porque raíz cúbica de 18, si lo multiplico tres veces por sí mismo, es decir, si hago la raíz cúbica de 18 al cubo, ¿vale?

67
00:11:04,549 --> 00:11:11,120
¿Qué ocurre? Que esto se va con esto, es decir, me queda 18, evidentemente.

68
00:11:11,559 --> 00:11:18,720
Entonces, lo único que tengo que hacer es multiplicar numerador y denominador por raíz cúbica de 18.

69
00:11:19,799 --> 00:11:22,139
¿Sí? Entonces, ¿qué ocurre?

70
00:11:23,980 --> 00:11:36,000
que en el numerador. Bueno, primero vamos a ver el denominador, que es más fácil de ver. Ya hemos dicho que es 18, ¿vale? Y en el numerador lo que tendría es 3 raíz cúbica de 18 dos veces,

71
00:11:36,000 --> 00:11:48,240
es decir, raíz cúbica de 18 al cuadrado. Y como hemos actualizado antes el 18, por si acaso, vamos a ver si ahora puede salir alguna cosa de la raíz, ¿vale?

72
00:11:48,240 --> 00:11:52,820
tendríamos raíz cúbica de y 18 al cuadrado son 2 por 3 al cuadrado

73
00:11:52,820 --> 00:11:58,259
es decir, 18 al cuadrado sería 2 al cuadrado por 3 a la cuarta

74
00:11:58,259 --> 00:12:04,500
y ahora vemos que sí que podemos sacar un 3

75
00:12:04,500 --> 00:12:13,960
porque tendríamos 3 por 3 raíces cúbicas de 2 al cuadrado por 3

76
00:12:13,960 --> 00:12:24,960
3 a la cuarta, voy a copiar aquí por si no se ve, 3 a la cuarta son 3 al cubo por 3.

77
00:12:25,200 --> 00:12:29,460
Un 3 se queda adentro y el 3 al cubo, como es una raíz cúbica, puede salir fuera.

78
00:12:30,899 --> 00:12:39,000
Entonces tengo 3 por 3 raíces cúbicas de 2 al cuadrado por 3.

79
00:12:39,860 --> 00:12:41,039
3 por 3 son 9.

80
00:12:43,960 --> 00:12:55,620
Abajo tengo 18 y la raíz cúbica ahora es la raíz cúbica de 4 por 3 que son 12, una raíz más simple que la que partíamos, ¿vale?

81
00:12:56,360 --> 00:13:11,720
Ahora si esto lo igualo, como tengo 9 arriba y 18 abajo, esta fracción se puede simplificar, me refiero a esta fracción, esta parte, ¿vale?

82
00:13:11,720 --> 00:13:13,299
Esto de aquí se puede simplificar.

83
00:13:14,200 --> 00:13:26,139
Entonces, dividiendo entre 9, efectivamente, numerador y denominador, tendríamos raíz cúbica de 12 partido por 2.

84
00:13:27,039 --> 00:13:38,269
Y esta ya sería la forma más simplificada de esta fracción con el denominador ahora sí racionalizado.

85
00:13:38,889 --> 00:13:41,509
Ahora es un número racional, es 2.

86
00:13:41,509 --> 00:13:44,590
cuando antes era un número irracional raíz cúbica de 18

87
00:13:44,590 --> 00:13:47,610
y el número irracional ha pasado al numerador

88
00:13:47,610 --> 00:13:49,129
¿vale?

89
00:13:50,429 --> 00:13:54,470
bien, estos casos pues en consecuencia o en conclusión

90
00:13:54,470 --> 00:13:58,090
podríamos decir que siempre que tengamos aquí una raíz enésima

91
00:13:58,090 --> 00:14:02,429
tenemos que multiplicar por n-1 veces esto mismo

92
00:14:02,429 --> 00:14:03,009
¿vale?

93
00:14:03,490 --> 00:14:07,250
es decir, si la raíz es cúbica tenemos que multiplicar dos veces por esa raíz cúbica

94
00:14:07,250 --> 00:14:10,169
arriba o abajo y arriba

95
00:14:10,169 --> 00:14:10,750
¿vale?

96
00:14:10,750 --> 00:14:35,370
Si la raíz es sexta, por ejemplo, tendríamos que multiplicar 5 veces por la raíz sexta en el denominador y 5 veces por la raíz sexta en el numerador, porque de esa manera el denominador pasa a ser el mismo número que esté en el radicando y ya no tendríamos el índice, ¿vale?

97
00:14:35,370 --> 00:14:43,409
se rompe la raíz. Bien, estos casos son, yo creo, los más complicados, pero también

98
00:14:43,409 --> 00:14:50,629
hay unos casos muy interesantes que son en los que tenemos una suma o resta de raíces.

99
00:14:51,309 --> 00:15:02,990
Por ejemplo, 2 entre 1 más raíz de 2. En estos casos vamos a tener que recordar una

100
00:15:02,990 --> 00:15:10,870
de las fórmulas notables, que era aquella que decía, suma por diferencia, a más b

101
00:15:10,870 --> 00:15:19,269
por a menos b, es igual a diferencia de los cuadrados. Esto viene de la propiedad distributiva,

102
00:15:19,350 --> 00:15:25,049
cuando aplicamos la propiedad distributiva aquí, multiplicamos a por a, menos a por

103
00:15:25,049 --> 00:15:33,669
b, porque tenemos aquí un signo menos, más b por a, menos b por b, es decir, a al cuadrado

104
00:15:33,669 --> 00:15:41,470
menos b al cuadrado, porque se eliminaría este más b a, más b a, menos ab, esto se

105
00:15:41,470 --> 00:15:47,429
eliminaría, entonces me queda que la suma por la diferencia es igual a la diferencia

106
00:15:47,429 --> 00:15:56,149
de los cuadrados. Vamos a hacer uso de esa propiedad para romper este denominador. Como

107
00:15:56,149 --> 00:16:05,970
tenemos 1 más raíz de 2, vamos a pensar que si multiplicamos esto, pero todo esto

108
00:16:05,970 --> 00:16:13,370
con un paréntesis, porque es todo ello, lo multiplicamos por 1 menos raíz de 2, ahora

109
00:16:13,370 --> 00:16:20,950
si vemos bien, tendríamos la suma por la diferencia, ¿vale? A sería, para ver la

110
00:16:20,950 --> 00:16:30,029
fórmula de arriba, A sería 1, B sería raíz de 2. A sería 1, B sería raíz de 2. Y nos

111
00:16:30,029 --> 00:16:37,070
fijamos aquí en los signos, ¿vale? Tenemos un signo positivo, multiplicamos por uno con

112
00:16:37,070 --> 00:16:41,350
signo negativo. Bueno, pues a esto, ¿vale? A esta expresión que he puesto en el color

113
00:16:41,350 --> 00:16:48,470
azul se le llama el conjugado de 1 más raíz de 2, es decir, el conjugado de 1 más raíz

114
00:16:48,470 --> 00:16:54,529
de 2 es 1 menos raíz de 2 y viceversa, el conjugado de 1 menos raíz de 2 es igual a

115
00:16:54,529 --> 00:17:00,950
1 más raíz de 2. Así que siempre que tengamos una suma en la que uno de los dos términos

116
00:17:00,950 --> 00:17:08,250
o los dos sea una raíz cuadrada, la manera de eliminar esa raíz cuadrada es multiplicar

117
00:17:08,250 --> 00:17:12,430
por el conjugado, es decir, si tenemos un signo más

118
00:17:12,430 --> 00:17:16,549
entre ambos términos, el 1 y el raíz de 2 en este caso, multiplicamos

119
00:17:16,549 --> 00:17:20,569
por la misma expresión pero con un signo menos, y si tenemos un signo menos, multiplicamos

120
00:17:20,569 --> 00:17:24,309
por la misma expresión pero con un signo más, pero claro, como tenemos una fracción

121
00:17:24,309 --> 00:17:28,329
para que esto siga siendo cierto, tenemos que multiplicar arriba también por ese mismo

122
00:17:28,329 --> 00:17:32,349
número que hemos multiplicado abajo, es decir, en este caso por esa misma expresión que hemos multiplicado abajo

123
00:17:32,349 --> 00:17:35,069
como ya tenemos lo mismo arriba que abajo

124
00:17:35,069 --> 00:17:38,069
tenemos el mismo resultado que antes

125
00:17:38,069 --> 00:17:42,650
y ahora faltaría solamente resolver esto

126
00:17:42,650 --> 00:17:44,529
como hemos dicho, esto lo hacemos

127
00:17:44,529 --> 00:17:47,549
porque yo sé que la suma por la diferencia es la diferencia de cuadrados

128
00:17:47,549 --> 00:17:49,910
y la diferencia de los cuadrados sería

129
00:17:49,910 --> 00:17:53,230
a al cuadrado sería 1 al cuadrado, es decir, 1

130
00:17:53,230 --> 00:17:58,230
la diferencia es decir, menos el cuadrado del segundo

131
00:17:58,230 --> 00:18:02,589
es decir, el cuadrado de raíz de 2 que como hemos dicho antes es 2

132
00:18:02,589 --> 00:18:20,630
Y arriba tendría, usando la propiedad distributiva, 2 por 1 menos 2 raíz de 2, es decir, 2 por 1, 2, menos 2 por raíz de 2, menos 2 raíces de 2.

133
00:18:21,509 --> 00:18:29,190
Si resuelvo el denominador me queda menos 1, 1 menos 2 es menos 1, y en el numerador me queda 2 menos 2 raíces de 2.

134
00:18:29,529 --> 00:18:33,730
Como tenemos el seno menos 1, esto no se suele poner así, no queda bonito, ¿vale?

135
00:18:34,930 --> 00:18:39,809
Entonces, lo que se hace es sacar el signo fuera de la raíz o dejarlo en el numerador, ¿vale?

136
00:18:40,769 --> 00:18:46,430
Abajo tendríamos el 1 y arriba cambiamos el signo de todo, ojo, de todo lo de arriba.

137
00:18:46,549 --> 00:18:49,049
No se trata de hacer el conjugado de lo de arriba, sino cambiar el signo de todo.

138
00:18:49,049 --> 00:18:53,009
Es decir, a este 2 ponerlo en menos, a este 2 raíces de 2 ponerlo en más.

139
00:18:53,430 --> 00:19:00,789
Con lo cual tengo 2 raíces de 2 menos 2, o menos 2 más 2 raíces de 2, ¿vale?

140
00:19:00,789 --> 00:19:28,460
Y ahora, como estamos dividiendo entre 1, pues ese 1 me sobra, ¿vale? Porque estamos dividiendo entre 1, pues ya está, ¿vale? Perdón, sería, sí, he cambiado el signo dos veces, que no tiene que haberlo hecho, es decir, aquí sería esto, ¿vale? Cambio el signo a todo, en lugar de sacar el signo fuera, que es otra opción que tengo, puedo hacer esto, ¿vale?

141
00:19:28,460 --> 00:19:30,259
entonces aquí no habría

142
00:19:30,259 --> 00:19:31,559
no habría más igual

143
00:19:31,559 --> 00:19:34,240
entonces esta expresión

144
00:19:34,240 --> 00:19:35,099
racionalizada

145
00:19:35,099 --> 00:19:37,759
ni siquiera sería una fracción

146
00:19:37,759 --> 00:19:40,220
hemos racionalizado el denominador porque

147
00:19:40,220 --> 00:19:41,900
directamente aquí nos lo hemos cargado

148
00:19:41,900 --> 00:19:44,460
sin quererlo nos hemos quitado

149
00:19:44,460 --> 00:19:46,619
el denominador, entonces la expresión

150
00:19:46,619 --> 00:19:48,359
2 partido 1 más raíz de 2

151
00:19:48,359 --> 00:19:49,960
es lo mismo

152
00:19:49,960 --> 00:19:52,220
que 2 raíces de 2 menos 2

153
00:19:52,220 --> 00:19:54,420
con la diferencia de que aquí tenemos un número

154
00:19:54,420 --> 00:19:56,200
irracional porque raíz de 2 es irracional

155
00:19:56,200 --> 00:19:58,299
entonces 1 más raíz de 2 tiene que ser

156
00:19:58,299 --> 00:20:03,759
también irracional. Fijaos que los decimales de raíz de 2 no cambian, lo que cambia es

157
00:20:03,759 --> 00:20:09,019
al sumar el 1 la unidad, pero los decimales de raíz de 2 llegan aquí, son infinitos

158
00:20:09,019 --> 00:20:14,619
y no son periódicos, es decir, es un número irracional. Al multiplicar por su conjugado

159
00:20:14,619 --> 00:20:21,759
numerador y denominador hemos conseguido que el denominador valga 1, es decir, un número

160
00:20:21,759 --> 00:20:31,259
racional. Hemos racionalizado la expresión, la fracción. Y además así, de paso, hemos

161
00:20:31,259 --> 00:20:41,839
hecho que se convierta, que deje de ser una fracción. Bueno, voy a volver arriba para

162
00:20:41,839 --> 00:20:56,539
hacer otro ejemplo. Siguiendo este mismo procedimiento, podríamos hacer 3 partido 2 menos raíz de

163
00:20:56,539 --> 00:21:03,900
27. Recuerdo que lo primero que hay que hacer es, voy a ponerlo aquí, escribir, factorizar

164
00:21:03,900 --> 00:21:14,099
27, en este caso 27 serían 3 al cubo, entonces escribo esto como 3 menos, perdón, 3 partido

165
00:21:14,099 --> 00:21:25,490
2 menos raíz cuadrada de 3 al cubo, esto sería 3 2 menos raíz cuadrada de 3 por 3

166
00:21:25,490 --> 00:21:30,890
al cuadrado, ese 3 al cuadrado sale fuera de la raíz, como un 3, entonces sería 3

167
00:21:30,890 --> 00:21:39,450
menos, perdón, 3 partido 2 menos 3 raíces cuadradas de 3, y ahora necesito multiplicar

168
00:21:39,450 --> 00:21:47,309
denominador y numerador por el conjugado de esta expresión, es decir, tendríamos 3,

169
00:21:47,309 --> 00:21:50,490
2 menos 3 raíces de 3

170
00:21:50,490 --> 00:21:54,410
y todo esto, solo pongo entre paréntesis

171
00:21:54,410 --> 00:22:00,250
lo multiplico por 2 más 3 raíces de 3

172
00:22:00,250 --> 00:22:05,690
y el numerador lo multiplico por 2 más 3 raíces de 3

173
00:22:05,690 --> 00:22:08,930
porque para que la fracción valga lo mismo

174
00:22:08,930 --> 00:22:12,289
tengo que multiplicar por lo mismo numerador y denominador

175
00:22:12,289 --> 00:22:22,710
Ahora, el denominador, estamos aplicando la suma o la diferencia por la suma, es lo mismo la suma por la diferencia que la diferencia por la suma

176
00:22:22,710 --> 00:22:36,730
Es decir, la diferencia de los cuadrados sería cuadrado de 2, que es 4, menos cuadrado de 3 raíces de 3, que sería 9, que es el cuadrado de 3, por el cuadrado de raíz de 3, que es 3

177
00:22:36,730 --> 00:22:40,950
espero que esto se entienda

178
00:22:40,950 --> 00:22:45,170
estoy haciendo 3 raíces de 3 al cuadrado

179
00:22:45,170 --> 00:22:48,529
porque ese resultado

180
00:22:48,529 --> 00:22:51,210
la suma por la diferencia de la diferencia de cuadrados

181
00:22:51,210 --> 00:22:53,230
todo este denominador

182
00:22:53,230 --> 00:22:55,789
me tiene que dar

183
00:22:55,789 --> 00:22:58,450
es 4 menos esto

184
00:22:58,450 --> 00:23:01,349
y ahora esto es el cuadrado de 3

185
00:23:01,349 --> 00:23:02,009
que es 9

186
00:23:02,009 --> 00:23:04,049
y el cuadrado de raíz de 3

187
00:23:04,049 --> 00:23:05,029
que es 3

188
00:23:05,029 --> 00:23:19,940
En el numerador tengo con la propiedad distributiva 3 por 2 son 6 más 3 por 3 que son 9 raíces de 3.

189
00:23:24,230 --> 00:23:36,609
6 más 9 raíces de 3 y en el denominador tendría 4 menos 9 por 3 que son 27 y 4 menos 27 son menos 23.

190
00:23:36,609 --> 00:23:59,509
De nuevo, como tengo un signo negativo abajo, voy a pasarlo arriba o lo saco fuera de la fracción. Podríamos escribir menos 6 más 9 raíces de 3 partido 23.

191
00:23:59,509 --> 00:24:18,430
O bien podría escribirlo como menos seis menos nueve raíces de tres partido por veintitrés. Ojo, cuidado, ¿vale? Que este signo menos afecta a todo, ¿vale?

192
00:24:18,430 --> 00:24:30,910
O bien afectamos a todo el denominador o bien afectamos a todo el numerador, pero afecta a todo el numerador.

193
00:24:33,549 --> 00:24:37,230
No basta con cambiar solo el signo del 6, que es un fallo muy típico.

194
00:24:37,869 --> 00:24:44,089
Hay que cambiar el signo de todo, del 6 y de 9 raíces de 3, por eso escribo menos 6 menos 9 raíces de 3.

195
00:24:44,089 --> 00:24:51,349
Y esta expresión ya, tanto esta como esta, me valen las dos, ya estaría racionalizada.

196
00:24:52,269 --> 00:25:19,289
Y por último, un último ejemplo, voy a borrar, bueno, me cae aquí, en un lateral, voy a escribirlo aquí, un último ejemplo, tendríamos, por ejemplo, este, 3 partido raíz de 8 menos raíz de 5.

197
00:25:19,289 --> 00:25:49,170
En este caso tenemos una diferencia de dos números irracionales, el 8 si lo factorizamos sería 2 al cubo, el 5 es un número primo, nos falta que lo factoricemos, entonces tengo 3 partido, esto quedaría 2 raíces de 2, de 2, no 3, 2 raíces de 2 porque raíz de 8 es raíz de 2 al cubo, es decir, de 2 al cuadrado por 2,

198
00:25:49,289 --> 00:25:54,230
luego puede salir ese 2 que está al cuadrado, ¿vale? Menos raíz de 5.

199
00:25:54,970 --> 00:26:06,410
Y ahora lo mismo, multiplico, siempre se trata de lo mismo, multiplicar denominador y numerador por el conjugado del denominador.

200
00:26:06,509 --> 00:26:15,190
El conjugado del denominador, en este caso, como tenemos una resta de los dos términos, pues será una suma.

201
00:26:15,490 --> 00:26:18,950
El conjugado es 2 raíz de 2 más raíz de 5.

202
00:26:19,289 --> 00:26:25,430
Y en el numerador ponemos lo mismo, 2 raíces de 2 más raíz de 5.

203
00:26:26,150 --> 00:26:34,430
Ojo, tenemos que poner paréntesis para que esto sea verdad, para que se dé el resultado que tiene que dar.

204
00:26:35,250 --> 00:26:40,109
Entonces, ahora, suma por diferencia o diferencia por suma es igual a la diferencia de los cuadrados.

205
00:26:40,109 --> 00:26:48,900
Es decir, a la diferencia 4 por 2, ¿por qué? Porque sería cuadrado de esto.

206
00:26:48,900 --> 00:26:57,039
¿Vale? El cuadrado de 2 raíces de 2 menos el cuadrado de raíz de 5

207
00:26:57,039 --> 00:26:59,140
Sería eso, la suma por raíz de 5, ¿no?

208
00:26:59,500 --> 00:27:04,119
Y el cuadrado de 2 raíces de 2 es 4 por 2

209
00:27:04,119 --> 00:27:09,539
Porque es el cuadrado de 2 que son 4 y el cuadrado de raíz de 2 que son 2

210
00:27:09,539 --> 00:27:14,019
Menos, y el cuadrado de raíz de 5 es 5

211
00:27:14,019 --> 00:27:17,819
Entonces tengo 4 por 2 menos 5

212
00:27:17,819 --> 00:27:30,640
Y en el numerador tendría 6 raíces de 2, haciendo la propia distributiva, 3 por 2 son 6, por raíz de 2, 7 raíces de 2, más 3 raíces de 5.

213
00:27:33,880 --> 00:27:44,500
Esto me queda abajo, 8 menos 5 son 3, y arriba tendría 6 raíces de 2 más 3 raíces de 5.

214
00:27:44,500 --> 00:27:47,660
como 6

215
00:27:47,660 --> 00:27:49,619
a ver, esto es importante también

216
00:27:49,619 --> 00:27:50,720
arriba

217
00:27:50,720 --> 00:27:53,619
puedo sacar factor común

218
00:27:53,619 --> 00:27:55,319
¿vale? ¿por qué?

219
00:27:55,420 --> 00:27:57,119
porque 3 arriba

220
00:27:57,119 --> 00:27:58,759
tenemos un 3 que multiplica

221
00:27:58,759 --> 00:28:01,059
a 2 raíces de 2

222
00:28:01,059 --> 00:28:02,599
más

223
00:28:02,599 --> 00:28:05,200
3 raíces de 5

224
00:28:05,200 --> 00:28:12,849
que en realidad es lo que teníamos aquí

225
00:28:12,849 --> 00:28:13,609
¿vale?

226
00:28:14,549 --> 00:28:15,789
¿pero por qué me interesa tenerlo así?

227
00:28:15,789 --> 00:28:17,670
porque como abajo tengo un 3 que multiplica todo

228
00:28:17,670 --> 00:28:19,769
y arriba tengo un 3 que multiplica

229
00:28:19,769 --> 00:28:21,970
a todo, o sea a todo el numerador

230
00:28:21,970 --> 00:28:23,990
a todo el numerador le está multiplicando

231
00:28:23,990 --> 00:28:25,809
un 3 y a todo el denominador le está multiplicando

232
00:28:25,809 --> 00:28:27,769
un 3, yo aquí puedo simplificar

233
00:28:27,769 --> 00:28:29,190
quito estos dos 3

234
00:28:29,190 --> 00:28:32,130
y entonces esta expresión

235
00:28:32,130 --> 00:28:33,349
esta fracción

236
00:28:33,349 --> 00:28:36,009
deja de ser una fracción como nos pasaron en el ejemplo anterior

237
00:28:36,009 --> 00:28:37,009
y

238
00:28:37,009 --> 00:28:38,250
esta

239
00:28:38,250 --> 00:28:40,569
fracción

240
00:28:40,569 --> 00:28:43,109
pasa a convertirse en

241
00:28:43,109 --> 00:28:45,910
esta suma de números irracionales

242
00:28:45,910 --> 00:28:48,029
como ya no tenemos un denominador

243
00:28:48,029 --> 00:28:50,250
o el denominador es 1

244
00:28:50,250 --> 00:28:53,029
hemos conseguido racionalizar el denominador

245
00:28:53,029 --> 00:28:54,849
conclusión

246
00:28:54,849 --> 00:28:58,349
en resumen

247
00:28:58,349 --> 00:29:00,150
podríamos decir que

248
00:29:00,150 --> 00:29:03,450
si tenemos una sola raíz cuadrada

249
00:29:03,450 --> 00:29:04,630
en el denominador

250
00:29:04,630 --> 00:29:06,089
como son los primeros ejemplos

251
00:29:06,089 --> 00:29:08,109
lo único que tenemos que hacer es multiplicar

252
00:29:08,109 --> 00:29:10,630
numerador y denominador

253
00:29:10,630 --> 00:29:12,390
por raíz de 2

254
00:29:12,390 --> 00:29:14,230
una vez que multiplicamos

255
00:29:14,230 --> 00:29:16,670
vamos por la raíz cuadrada de lo que sea

256
00:29:16,670 --> 00:29:28,069
Una vez que multiplicamos ambos, el denominador nos va a quedar un número racional, que va a ser igual al radicando de esa raíz, ¿vale?

257
00:29:30,769 --> 00:29:35,650
Da igual la raíz de que sea, ¿vale? Lo único a que tener cuidado, dos cosas.

258
00:29:35,650 --> 00:30:01,549
Primero, que realmente sea un número irracional, que en este caso por ejemplo no lo sería, y que si es un número que se puede factorizar en potencias de exponente mayor que el índice de la raíz, podemos sacar fuera de la raíz algunos factores y por lo tanto simplificar la raíz antes de racionalizar el denominador.

259
00:30:01,549 --> 00:30:05,170
con lo cual nos vamos a ahorrar luego el paso de tener que simplificar al final

260
00:30:05,170 --> 00:30:06,549
por eso siempre es lo primero que hay que hacer

261
00:30:06,549 --> 00:30:11,950
e incluso hay casos en los que podemos simplificar la raíz como en este caso

262
00:30:11,950 --> 00:30:16,529
y pasar de una raíz cuarta a una raíz cuadrada o casos similares

263
00:30:16,529 --> 00:30:23,509
¿qué ocurre en cambio cuando no se puede simplificar una raíz que es mayor de índice 2?

264
00:30:23,509 --> 00:30:30,650
pues que ya no vale multiplicar una sola vez por esta raíz numerador y denominador

265
00:30:30,650 --> 00:30:35,630
En este caso, como tenemos una raíz cúbica, habrá que multiplicar dos veces

266
00:30:35,630 --> 00:30:39,250
Para que así, como hay tres raíces cúbicas multiplicadas entre sí

267
00:30:39,250 --> 00:30:44,369
Raíz cúbica de 18 por raíz cúbica de 18 por raíz cúbica de 18 son 18

268
00:30:44,369 --> 00:30:47,410
Ya nos queda el denominador racionalizado

269
00:30:47,410 --> 00:30:51,650
Es decir, en general, si tenemos una raíz enésima

270
00:30:51,650 --> 00:30:57,710
Tenemos que multiplicar n-1 veces por esa raíz numerador y denominador

271
00:30:57,710 --> 00:31:10,079
Si la raíz fuera quinta, por ejemplo, multiplicaríamos cuatro veces por la raíz quinta de ese número.

272
00:31:10,200 --> 00:31:12,299
Cuatro veces por la raíz quinta de ese número si fuera una raíz quinta.

273
00:31:12,720 --> 00:31:23,099
De manera que nos quedaría raíz quinta de A, por ejemplo, raíz quinta de A por raíz quinta de A por raíz quinta de A por raíz quinta de A y por raíz quinta de A cinco veces.

274
00:31:23,099 --> 00:31:33,200
nos quedaría ya abajo una a y arriba nos va a quedar la raíz quinta de a elevado a 4

275
00:31:33,200 --> 00:31:37,519
bueno pues en este caso que es más simple porque es una raíz cúbica

276
00:31:37,519 --> 00:31:38,920
pero que se hace exactamente igual

277
00:31:38,920 --> 00:31:43,299
nos queda la raíz cúbica de 18 al cuadrado

278
00:31:43,299 --> 00:31:45,579
lógicamente porque hemos multiplicado dos veces

279
00:31:45,579 --> 00:31:48,420
es decir aquí nos queda el número de veces que tenemos que multiplicar

280
00:31:48,420 --> 00:31:53,180
que va a ser siempre n-1, donde n es el índice de la raíz.

281
00:31:54,720 --> 00:32:02,799
Este caso, que quizás sea más complicado, por lo tanto, tiene esa dificultad añadida

282
00:32:02,799 --> 00:32:09,599
de que hay que fijarse en cuál es el índice y multiplicar tantas veces menos 1 como sea el número del índice.

283
00:32:09,599 --> 00:32:26,700
Y por último, cuando tenemos sumas o restas de números irracionales o de números racionales y números irracionales, como es en este caso, que es un número racional más un número irracional, lo que tenemos que hacer es multiplicar y dividir por el conjugado de esta expresión.

284
00:32:26,700 --> 00:32:36,759
Es decir, como la expresión es una suma o una resta, pues multiplicaremos por la suma si es una resta o por la resta si es una suma, como es en este caso.

285
00:32:37,380 --> 00:32:42,019
Como tenemos una suma, multiplicamos por la resta y suma por diferencia, diferencia de cuadrados.

286
00:32:42,079 --> 00:32:51,880
De esa manera, lo que conseguimos es convertir este número que a priori era irracional en un número racional.

287
00:32:51,880 --> 00:32:56,859
Como ya tenemos un número racional en el denominador hemos racionalizado la fracción

288
00:32:56,859 --> 00:33:00,940
Y además si tenemos suerte muchas veces podemos encontrarnos casos como este

289
00:33:00,940 --> 00:33:05,980
En el cual lo que tenemos realmente al final no es una fracción

290
00:33:05,980 --> 00:33:14,900
Sino simplemente una resta o suma de números irracionales