1
00:00:02,000 --> 00:00:14,939
Propiedades de los determinantes. Si los elementos de una línea, bien sea fila o columna, son combinación lineal de las dos líneas restantes o de las líneas restantes, el determinante es nulo.

2
00:00:17,420 --> 00:00:27,019
Vale, vamos a ver esto. Por ejemplo, con esta matriz de orden 3. Fijaos, yo esta tercera columna la he descompuesto o se descompone en dos sumandos.

3
00:00:27,019 --> 00:00:33,119
Luego este determinante se podría descomponer como suma de dos determinantes.

4
00:00:34,240 --> 00:00:40,859
Primer determinante que tuviese esta columna, esta columna y este sumando de aquí.

5
00:00:41,500 --> 00:00:46,600
Más un segundo determinante que tiene esta columna, esta columna y este sumando de aquí.

6
00:00:47,979 --> 00:00:54,659
Si pienso en el primer determinante que he dicho, esta columna y esta son proporcionales, determinante cero.

7
00:00:54,659 --> 00:01:00,140
Y si pienso en el segundo determinante, donde la tercera columna es este sumando de aquí,

8
00:01:00,939 --> 00:01:04,840
esta columna y esta columna son proporcionales, determinante nulo.

9
00:01:09,799 --> 00:01:18,900
Demuestra que este determinante, es decir, el determinante donde la tercera columna es combinación lineal de las dos primeras columnas, es cero.

10
00:01:19,599 --> 00:01:24,000
Y luego calcula el determinante de este determinante de los nombres.

11
00:01:24,500 --> 00:01:27,260
Vale, bueno, pues vamos a demostrarlo.

12
00:01:27,760 --> 00:01:34,659
Determinante a1,1,a1,2 y la combinación lineal de los dos primeros elementos.

13
00:01:35,879 --> 00:01:43,219
a2,1,a2,2 y la misma combinación lineal de los dos primeros elementos.

14
00:01:43,980 --> 00:01:55,599
Y a3,1,a3,2 y la misma combinación lineal de los dos primeros elementos.

15
00:01:55,599 --> 00:01:59,299
Bueno, vamos a aplicar propiedades

16
00:01:59,299 --> 00:02:01,159
Lo que no me voy a hacer es ponerme a calcular

17
00:02:01,159 --> 00:02:03,799
Ni por sarros, ni desarrollando por adjuntos

18
00:02:03,799 --> 00:02:05,959
Este determinante

19
00:02:05,959 --> 00:02:09,120
Lo que vamos a hacer es aplicar propiedades conocidas

20
00:02:09,120 --> 00:02:12,000
Entonces, la tercera columna

21
00:02:12,000 --> 00:02:18,379
La hemos puesto en descomposición de dos sumandos

22
00:02:18,379 --> 00:02:21,039
Bueno, pues entonces este determinante

23
00:02:21,039 --> 00:02:25,319
Se puede expresar como la suma de dos determinantes

24
00:02:25,319 --> 00:02:28,300
La suma de dos determinantes

25
00:02:28,300 --> 00:02:34,419
Y entonces, las dos primeras columnas serían iguales en los dos determinantes

26
00:02:34,419 --> 00:02:43,819
Las dos primeras

27
00:02:43,819 --> 00:02:50,580
A21, A31, A12, A22, A32

28
00:02:50,580 --> 00:02:56,360
Y en la tercera columna del primer determinante

29
00:02:56,360 --> 00:02:58,060
Será el primer sumando

30
00:02:58,060 --> 00:03:06,099
R, A, 1, 1, R, A, 2, 1 y R, A, 3, 1

31
00:03:06,099 --> 00:03:10,419
Y la tercera columna, el segundo terminante, será el segundo sumando

32
00:03:10,419 --> 00:03:19,240
S, A, 1, 2, S, A, 2, 2, S, A, 3, 3, S, A, 3, 2, perdón

33
00:03:19,240 --> 00:03:23,259
Ahí aquí era un 3, 2, 3, 2, 3, 2

34
00:03:23,259 --> 00:03:31,460
Entonces, aquí me fijo, la columna 3 es R veces la columna 1

35
00:03:31,460 --> 00:03:39,479
Es decir, que la columna 3 y la columna 1, estas dos, son proporcionales

36
00:03:39,479 --> 00:03:48,360
Y aquí me fijo, que la columna 3 es S veces la columna 1

37
00:03:48,360 --> 00:03:54,080
Es decir, que la columna 1 y la columna 3 son proporcionales

38
00:03:54,080 --> 00:04:07,099
Por lo tanto, hemos visto también otra propiedad que nos dice que cuando dos líneas, fila o columna son proporcionales, entonces el determinante es cero, luego cero más cero, cero.

39
00:04:07,759 --> 00:04:17,420
De ahí que si una de las líneas, fila o columna es combinación lineal de las restantes, ese determinante es cero.

40
00:04:17,420 --> 00:04:31,180
Vale, calcula este determinante. 4, 3, 7, 3, 1, 4, menos 2, 7, 5.

41
00:04:31,180 --> 00:04:36,579
Y yo observo, esto es 4 más 3

42
00:04:36,579 --> 00:04:40,720
4 es 3 más 1 y 5 es menos 2 más 7

43
00:04:40,720 --> 00:04:47,100
Es decir, que la columna 3 es la columna 1 más la columna 2

44
00:04:47,100 --> 00:04:49,620
Es una combinación lineal de las anteriores

45
00:04:49,620 --> 00:04:53,959
Por lo tanto, por la propiedad que acabamos de ver ahora, ese determinante es 0

46
00:04:53,959 --> 00:04:57,160
Si yo tengo soltura con las propiedades de los determinantes

47
00:04:57,160 --> 00:05:01,300
me voy a reducir tiempo en calcular algunos determinantes.

48
00:05:03,870 --> 00:05:08,310
Si a los números de una línea, fila o columna se le suma una combinación lineal

49
00:05:08,310 --> 00:05:11,589
de las restantes líneas paralelas, el determinante no varía.

50
00:05:13,389 --> 00:05:17,949
Si a esta tercera columna lo que he hecho es sumar una combinación lineal de las dos primeras,

51
00:05:18,110 --> 00:05:19,449
pues el determinante queda invariante.

52
00:05:20,889 --> 00:05:27,470
De nuevo, por ejemplo, si yo me fijo, esta tercera columna realmente la puedo descomponer

53
00:05:27,470 --> 00:05:37,990
entre sumandos 1, 2 y 3. Luego este determinante sería la suma de tres determinantes. El primer

54
00:05:37,990 --> 00:05:44,490
determinante tendría como primera columna esta, esta y esta. El segundo determinante

55
00:05:44,490 --> 00:05:52,149
tendría como primera columna esta, esta, invariable, y esta de aquí, que es proporcional

56
00:05:52,149 --> 00:05:57,850
a la primera, luego ese determinante cero. Y el tercer determinante tendría como primera

57
00:05:57,850 --> 00:06:04,269
columna esta, segunda columna esta, invariantes, y tercera columna esta de aquí, que es proporcional

58
00:06:04,269 --> 00:06:09,490
a la segunda, luego ese determinante cero. Por tanto, solo me quedaría este primer determinante

59
00:06:09,490 --> 00:06:10,589
igual a ese determinante.

60
00:06:13,170 --> 00:06:18,209
Dado ese determinante, realiza la transformación. Columna 3 la sustituimos por la columna 3

61
00:06:18,209 --> 00:06:22,649
más columna 1 más 2 veces columna 2, es decir, por una combinación lineal de las

62
00:06:22,649 --> 00:06:27,889
3 y comprueba que el determinante obtenido es igual al de partida. Bueno, vamos lo primero

63
00:06:27,889 --> 00:06:32,730
todo a calcular el determinante de la matriz que me dan, o sea, el determinante que me

64
00:06:32,730 --> 00:06:45,519
dan, perdón. Venga, calculamos el determinante, si lo hacemos por la regla de Sarrus, 0 menos

65
00:06:45,519 --> 00:07:03,720
Menos 4, menos 21 por 5, menos 105, menos 40, más 18 y ya estaría.

66
00:07:04,019 --> 00:07:10,240
Luego me queda menos 149 más 18, menos 131.

67
00:07:11,420 --> 00:07:18,339
Vamos a transformar este determinante con la transformación que me dan,

68
00:07:18,339 --> 00:07:28,699
que me dice que la columna 3 la voy a transformar con la combinación lineal

69
00:07:28,699 --> 00:07:32,079
columna 3 más columna 1 más dos veces columna 2

70
00:07:32,079 --> 00:07:36,759
la primera y la segunda columna por supuesto se quedan iguales

71
00:07:36,759 --> 00:07:41,120
6, 7 menos 4, 1 menos 2, menos 3

72
00:07:41,120 --> 00:07:47,379
y ahora la columna 3 la transformo sumando la columna 3 más la primera más dos veces la segunda

73
00:07:47,379 --> 00:07:52,500
5 más 6, 11 más 2, 13

74
00:07:52,500 --> 00:07:59,720
1 más 7, 8, menos 4, 4

75
00:07:59,720 --> 00:08:07,300
0 menos 4, menos 4, menos 6, menos 10

76
00:08:07,300 --> 00:08:11,939
Y calculamos por sarros mismo

77
00:08:11,939 --> 00:08:16,699
6 por menos, bueno, sería menos 2 por menos 10

78
00:08:16,699 --> 00:08:19,660
20, 20 por 6, 120

79
00:08:19,660 --> 00:08:23,879
menos 16

80
00:08:23,879 --> 00:08:28,629
y menos 21 por 13

81
00:08:28,629 --> 00:08:30,430
o 39 por 7

82
00:08:30,430 --> 00:08:31,129
vamos a hacer

83
00:08:31,129 --> 00:08:33,889
39 por 7, 7 por 9

84
00:08:33,889 --> 00:08:35,830
63

85
00:08:35,830 --> 00:08:37,409
llevo 6

86
00:08:37,409 --> 00:08:40,350
21 y 6, 27

87
00:08:40,350 --> 00:08:46,039
27

88
00:08:46,039 --> 00:08:48,039
vale, ahora

89
00:08:48,039 --> 00:08:50,379
menos 8

90
00:08:50,379 --> 00:08:51,340
8 por 13

91
00:08:51,340 --> 00:08:52,759
8 por 3, 24

92
00:08:52,759 --> 00:08:54,399
llevo 2, 8 por 1, 8

93
00:08:54,399 --> 00:08:56,139
y 2, 10, 104

94
00:08:56,139 --> 00:09:10,620
Ahora serían más 12 por 6, 72, y más 70.

95
00:09:11,759 --> 00:09:14,899
Bueno, sumamos por un lado los positivos, 120.

96
00:09:16,480 --> 00:09:24,039
120 más 142, pues 162 menos.

97
00:09:24,039 --> 00:09:28,039
Y ahora los negativos, me quedaría, vamos a sumarlos aparte.

98
00:09:29,659 --> 00:09:32,039
Y 16, ¿no?

99
00:09:32,679 --> 00:09:37,720
Me queda esto es 120, esto de aquí es 120, luego 293.

100
00:09:38,899 --> 00:09:47,980
Y ya restando los valores absolutos, me queda 1, 3, 1, con el signo menos.

101
00:09:48,700 --> 00:09:55,940
Luego, si una columna la transformo por una combinación lineal de las tres columnas,

102
00:09:55,940 --> 00:09:59,059
en este caso, el determinante no varía.

103
00:09:59,659 --> 00:10:03,779
El determinante del producto es el producto de los determinantes

104
00:10:03,779 --> 00:10:07,399
Evidentemente el determinante del producto de dos matrices cuadradas

105
00:10:07,399 --> 00:10:16,779
Vale, calculamos, comprueba que el determinante de A por B es el determinante de A por el determinante de B

106
00:10:16,779 --> 00:10:19,659
Siendo A y B estas matrices de orden 3

107
00:10:19,659 --> 00:10:22,980
Vamos, lo primero de todo calculamos el producto de las dos matrices

108
00:10:22,980 --> 00:10:30,139
A por B, 6, 1, 5, 7, menos 2, 1, menos 4, menos 3, 0

109
00:10:30,139 --> 00:10:38,100
Por 2, 0, 2, 1, 0, menos 1, 2, menos 2, 0

110
00:10:38,100 --> 00:10:40,059
Venga, multiplicamos

111
00:10:40,059 --> 00:10:46,700
12 más 1, 13, más 10, 23

112
00:10:46,700 --> 00:10:53,519
0 más 0, menos 10

113
00:10:53,519 --> 00:10:58,860
12 menos 1, 11

114
00:10:58,860 --> 00:11:36,559
Vale, 14 menos 2, 12, más 2, 14, 0, 0, menos 2, 14 más 2, 16, menos 8, menos 3, menos 11, 0, 0, 0, y menos 8 más 3, menos 5.

115
00:11:39,070 --> 00:11:43,070
Calculamos ahora el determinante de A por B.

116
00:11:44,009 --> 00:11:54,350
El determinante 23 menos 10, 11, 14 menos 2, 16, menos 11, 0, menos 5.

117
00:11:55,789 --> 00:11:56,750
Ese determinante.

118
00:11:57,990 --> 00:12:01,509
Vale, lo podemos, lo vamos a hacer desarrollando por la segunda columna.

119
00:12:01,730 --> 00:12:03,690
Voy a hacerlo esta vez por la regla de Sarros.

120
00:12:04,929 --> 00:12:06,950
Lo hacemos desarrollando la segunda columna.

121
00:12:06,950 --> 00:12:30,610
Venga, desarrollando la segunda columna, primer elemento, menos 10 por menos 1 elevado y sumamos las posiciones que ocupan este elemento, la fila y la columna, fila 1, columna 2, 1 más 2 por el menor complementario, el determinante que resulta de suprimir primera fila y segunda columna, luego 14, 16, menos 11, menos 5.

122
00:12:30,610 --> 00:12:41,009
Siguiente elemento, menos 2 por menos 1 elevado a la suma de la posición fila-columna que ocupa 2 más 2

123
00:12:41,009 --> 00:12:43,190
Este elemento está en la fila 2, columna 2

124
00:12:43,190 --> 00:12:49,830
Por menor complementario que resulta de suprimir segunda columna, segunda fila

125
00:12:49,830 --> 00:12:57,590
23, 11, menos 11, menos 5

126
00:12:57,590 --> 00:13:01,750
Repasamos, a ver, este sería este, esta

127
00:13:01,750 --> 00:13:03,710
14, 16, menos 11, menos 5

128
00:13:03,710 --> 00:13:05,789
Y este sería este

129
00:13:05,789 --> 00:13:08,110
23, 11, menos 11, menos 5

130
00:13:08,110 --> 00:13:10,230
Vale, muy bien, hacemos las operaciones

131
00:13:10,230 --> 00:13:11,870
Y nos queda

132
00:13:11,870 --> 00:13:13,950
Menos elevado a exponente impar

133
00:13:13,950 --> 00:13:15,490
Menos con este menos de aquí

134
00:13:15,490 --> 00:13:17,669
Más 10, que multiplica

135
00:13:17,669 --> 00:13:19,730
14

136
00:13:19,730 --> 00:13:22,470
Por menos 5

137
00:13:22,470 --> 00:13:24,610
Serían menos 70

138
00:13:24,610 --> 00:13:24,909
¿No?

139
00:13:25,570 --> 00:13:27,710
14 por menos 5, menos 70

140
00:13:27,710 --> 00:13:29,090
Menos

141
00:13:29,090 --> 00:13:31,250
Menos 11 por 16

142
00:13:31,250 --> 00:13:32,669
pues menos por menos más

143
00:13:32,669 --> 00:13:34,509
y 11 por 16

144
00:13:34,509 --> 00:13:36,269
176

145
00:13:36,269 --> 00:13:40,940
menos 1 elevado a la exponente par sería positivo

146
00:13:40,940 --> 00:13:42,820
más 1 con el menos 2 de delante

147
00:13:42,820 --> 00:13:43,700
por menos 2

148
00:13:43,700 --> 00:13:47,139
que multiplica 23 por menos 5

149
00:13:47,139 --> 00:13:48,519
sería menos

150
00:13:48,519 --> 00:13:50,259
15, 115

151
00:13:50,259 --> 00:13:52,559
y menos

152
00:13:52,559 --> 00:13:54,220
menos 11 por 11

153
00:13:54,220 --> 00:13:56,519
pues más 121

154
00:13:56,519 --> 00:14:00,519
luego me queda 10 por

155
00:14:00,519 --> 00:14:09,940
106 menos 2 por 6

156
00:14:09,940 --> 00:14:15,100
Luego 1060 menos 12

157
00:14:15,100 --> 00:14:19,600
Es decir, 1048

158
00:14:19,600 --> 00:14:25,340
1060 menos 12, 1048

159
00:14:25,340 --> 00:14:27,080
Vale, perfecto

160
00:14:27,080 --> 00:14:28,840
Determinante de A

161
00:14:28,840 --> 00:14:38,080
El determinante, 6, 1, 5, 7, menos 2, 1, menos 4, menos 3, 0

162
00:14:38,080 --> 00:14:40,740
Por la regla de Sarrus

163
00:14:40,740 --> 00:14:43,720
6 por menos 2 y por 0, 0

164
00:14:43,720 --> 00:14:46,919
Más 1 por 1 y por menos 4, menos 4

165
00:14:46,919 --> 00:14:51,559
Más 7 por menos 3 y por 5, menos 105

166
00:14:51,559 --> 00:14:56,919
Menos, menos 4 por menos 2 y por 5

167
00:14:56,919 --> 00:15:07,659
Luego, más 40, menos menos 3, por 1 y por 6, pues más 18, perdón, este es un menos 40.

168
00:15:09,700 --> 00:15:17,860
Y la última, si una matriz cuadrada es invertible, el determinante de la inversa es el inverso del determinante.

169
00:15:19,360 --> 00:15:20,779
Esa es una consecuencia de la anterior.

170
00:15:21,460 --> 00:15:27,000
Recordad que si una matriz es invertible, entonces se cumple que a la menos 1 por a es la identidad.

171
00:15:27,000 --> 00:15:30,019
O sea que la matriz A a la menos 1 por A es la identidad.

172
00:15:31,080 --> 00:15:37,039
Por tanto, el determinante de A a la menos 1 por A es igual al determinante de la identidad.

173
00:15:37,720 --> 00:15:39,200
El determinante de la identidad es 1.

174
00:15:39,919 --> 00:15:48,220
Y por la propiedad anterior, el determinante de A a la menos 1 por A se puede descomponer como el producto del determinante de A a la menos 1 por el determinante de A.

175
00:15:49,000 --> 00:15:51,840
Despejando, tendríamos la propiedad 11.

176
00:15:51,840 --> 00:15:59,850
Demuestra que el determinante de la matriz inversa es 1 partido por a

177
00:15:59,850 --> 00:16:03,610
Por supuesto, esto siempre que si a es invertible

178
00:16:03,610 --> 00:16:08,649
Esto por supuesto

179
00:16:08,649 --> 00:16:13,429
Bueno, pues si a es invertible, se cumple que a por a a menos 1

180
00:16:13,429 --> 00:16:18,070
Para que a por su inversa es la matriz identidad

181
00:16:18,070 --> 00:16:21,830
Vale, vamos a calcular el determinante en ambos lados del igual

182
00:16:21,830 --> 00:16:28,370
El determinante de A por A a la menos 1 es igual al determinante de la matriz identidad.

183
00:16:28,529 --> 00:16:31,309
Aplicamos determinantes en los dos lados del igual.

184
00:16:31,750 --> 00:16:36,389
Ahora, por la propiedad que hemos visto que el determinante del producto es el producto de los determinantes,

185
00:16:36,529 --> 00:16:42,570
tendríamos que el determinante de A por el determinante de A a la menos 1 es igual al determinante de la identidad.

186
00:16:42,730 --> 00:16:45,090
El determinante de la identidad es 1.

187
00:16:45,789 --> 00:16:52,600
Por lo tanto, despejando, esto sería 1 partido por el determinante de A.

188
00:16:52,600 --> 00:17:00,919
Por supuesto, esto siempre que el determinante de A sea distinto de 0.

189
00:17:01,080 --> 00:17:05,579
Eso, por supuesto, siempre que el determinante de A sea distinto de 0.