1
00:00:00,700 --> 00:00:02,779
Hola, vamos ahora con este ejercicio.

2
00:00:03,620 --> 00:00:05,879
Son tres cuestiones que tenemos que resolver, ¿vale?

3
00:00:06,160 --> 00:00:10,119
La primera, me piden calcular el ángulo formado por dos rectas R1 y R2.

4
00:00:10,220 --> 00:00:12,820
Las dos rectas vienen dadas en forma continua.

5
00:00:13,519 --> 00:00:21,219
A ver, el ángulo que forman dos rectas es el mismo ángulo que forman sus vectores directores, ¿vale?

6
00:00:21,859 --> 00:00:24,179
Entonces, bueno, vamos a ver cuáles son.

7
00:00:24,839 --> 00:00:28,420
Voy a ir poniendo, aunque no lo necesitemos, de la recta R1,

8
00:00:28,420 --> 00:00:53,920
Lo de siempre, tenemos el punto A, 0, menos 2, 1, lo voy a sacar todo, ¿vale? Y voy a llamar U a su vector directo, que es el 1, 2, 2, y de la recta R2 tenemos el punto B, que es el 1, ay, que se me ha ido, 1, 0, 3, ¿vale?

9
00:00:53,920 --> 00:01:01,060
y el vector que le voy a llamar v, que es el 2 menos 3, 2, ¿vale?

10
00:01:01,500 --> 00:01:06,659
Entonces, para calcular el ángulo, lo único que tengo que hacer es calcular el ángulo del vector u y v.

11
00:01:08,760 --> 00:01:12,379
¿Cómo podemos calcular el ángulo de dos vectores con lo que nosotros hemos visto hasta ahora?

12
00:01:12,840 --> 00:01:15,200
Bueno, pues utilizando el producto escalar, ¿vale?

13
00:01:15,620 --> 00:01:18,659
Recordáis que el producto escalar teníamos dos posibilidades.

14
00:01:18,659 --> 00:01:34,280
Por un lado teníamos que el producto escalar de dos vectores u por v era el módulo de u por el módulo de v por el coseno del ángulo que forman que le voy a llamar alfa.

15
00:01:35,260 --> 00:01:46,620
Pues de aquí si despejamos, el coseno de alfa es por tanto el producto escalar de los dos vectores partido por el módulo de u por el módulo de v.

16
00:01:46,620 --> 00:01:52,400
vale pues por lo tanto para calcular el ángulo pues lo único que tenemos que hacer es aplicar esa formulita

17
00:01:52,400 --> 00:01:58,680
venga vamos a ello coseno de alfa va a ser igual producto escalar de u por v

18
00:01:58,680 --> 00:02:05,420
pues esto será 1 por 2 es 2 2 por menos 3 es menos 6 y 2 por 2 es 4

19
00:02:05,420 --> 00:02:11,360
más 4 y aquí tenemos que hacer aunque si nos damos cuenta que lo de arriba directamente ya es 0

20
00:02:11,360 --> 00:02:16,479
me da lo mismo un poco el módulo pero para trabajarlo un poquito y recordarlo vamos a calcular los módulos

21
00:02:16,620 --> 00:02:32,280
El módulo de u sería la suma del cuadrado de cada uno de los elementos, es decir, 1 más 4 más 4, raíz de 9, por la otra raíz, que sería 4 más 4, 16, 16 más 9, 25.

22
00:02:33,580 --> 00:02:40,599
Los dos tienen raíces exactas, pero en el fondo esto directamente es 0.

23
00:02:40,599 --> 00:02:47,259
Entonces, lo único que tenemos que hacer es, ¿qué ángulo tiene por coseno 0? Pues 90 grados.

24
00:02:48,240 --> 00:02:54,900
Entonces, ¿qué significa? Pues que la recta R1 es perpendicular a R2.

25
00:02:55,500 --> 00:03:01,259
Ya hemos sacado el ángulo que forman las dos, ¿vale?

26
00:03:02,439 --> 00:03:05,020
Venga, el apartado B.

27
00:03:05,020 --> 00:03:12,360
Me dicen, calcula una recta R3 perpendicular a las rectas R1 y R2 y exprésala en forma paramétrica.

28
00:03:12,599 --> 00:03:18,240
Vale, a ver, lo primero, hemos escrito antes los vectores directores de U y V, ¿verdad?

29
00:03:19,060 --> 00:03:20,979
Está claro que no son proporcionales.

30
00:03:21,860 --> 00:03:28,599
A ver, no he dicho los vectores directores de U y V, no, quería decir los vectores directores de R1 y R2 que son U y V.

31
00:03:28,919 --> 00:03:33,919
Las coordenadas no son proporcionales, por lo tanto, está claro que las rectas se cortan

32
00:03:33,919 --> 00:03:39,280
y además ya sabemos con qué ángulos se cortan, porque el ángulo que están formando las dos es 90 grados, ¿vale?

33
00:03:39,699 --> 00:03:47,500
Entonces lo primero que vamos a hacer va a ser, o sea, para calcular una recta sabemos que necesitamos un punto y un vector director.

34
00:03:48,020 --> 00:03:53,780
Y ese vector director que yo estoy buscando, ¿cuál va a ser? Pues uno que sea perpendicular a ambas rectas,

35
00:03:53,840 --> 00:04:02,560
es decir, un vector que es perpendicular tanto a u como a v, es decir, lo que buscamos es el producto vectorial de los vectores u y v.

36
00:04:03,539 --> 00:04:07,439
Eso sería para tener el vector director, pero ¿cómo calculamos el punto?

37
00:04:08,020 --> 00:04:14,099
Bueno, pues como sabemos que las dos rectas son perpendiculares, vamos a buscar el punto de intersección de esas dos rectas

38
00:04:14,099 --> 00:04:22,899
y justamente ese va a ser el punto que pertenezca a la recta que estamos buscando, para asegurarnos que sea perpendicular a los otros dos.

39
00:04:23,120 --> 00:04:28,600
Entonces, a ver, da igual un poquito el orden, vamos primero con el vector director, le voy a llamar W,

40
00:04:28,600 --> 00:04:46,779
que va a ser el producto vectorial de u por v, ¿vale? Es decir, i, j, k, flechitas, y ahora ponemos el vector u que es el 1, 2, 2,

41
00:04:46,779 --> 00:04:54,370
el vector v que es el 2, menos 3, 2 y calculamos el vector.

42
00:04:55,110 --> 00:04:59,410
Esto sería 4, menos menos es más, 4 más 6, 10.

43
00:05:01,089 --> 00:05:07,430
En la j sería 2, menos 4, menos 2 con el menos 2.

44
00:05:07,689 --> 00:05:13,949
Y en la k sería menos 3, menos 4, menos 7, si no me equivoco.

45
00:05:13,949 --> 00:05:23,350
Y ahora, la pregunta es, ¿cómo se calcula la intersección de dos rectas si nos vienen así en continuas?

46
00:05:23,370 --> 00:05:28,350
¿O cómo se calcula la intersección de dos rectas cuando estamos en el espacio?

47
00:05:29,009 --> 00:05:34,370
Porque cuando estamos en el plano es muy sencillo, solo tenemos que resolver el sistema.

48
00:05:34,370 --> 00:05:54,370
Bueno, pues en este caso para calcular el punto de intersección lo más fácil es escribir las ecuaciones en forma paramétrica, igualar las incógnitas, la x con la x, la y con la y, la z con la z y calcular el valor de los parámetros, ¿vale?

49
00:05:54,970 --> 00:06:03,850
Es decir, a ver, empezamos escribiendo la primera ecuación, R1 en forma paramétrica y sería,

50
00:06:03,850 --> 00:06:11,009
bueno, no sé cuántas rayitas he puesto, esto sería x menos 0, voy a llamar a los parámetros lambda y nu, ¿vale?

51
00:06:11,310 --> 00:06:20,930
Al de la primera le voy a llamar lambda, sería x igual a lambda, la coordenada y sería menos 2 más 2 lambda, ¿vale?

52
00:06:20,930 --> 00:06:45,740
Y la Z sería 1 más 2 lambda también. La R2 sería X igual a 1 más 2 lambda, lambda no, perdón, más nu, tiene que ser diferente de parámetro, ¿vale?

53
00:06:45,740 --> 00:06:59,220
Y igual a 0 menos 3 lambda, menos 3 nu, perdón, que se me va otra vez, y z que tiene que ser igual a 3 más 2 nu.

54
00:07:02,319 --> 00:07:14,920
Y ahora lo que hacemos con estas 6 ecuaciones es igualar x con x y con y, z con z, es decir, me quedaría que lambda es igual a 1 más 2 nu, ¿vale?

55
00:07:14,920 --> 00:07:30,699
que menos 2 más 2 lambda es igual a menos 3 nu, y la última, que 1 más 2 lambda es igual a 3 más 2 nu.

56
00:07:34,110 --> 00:07:40,430
Ponemos un poquito más, bueno, voy a dejar la primera, ya que la tengo despejada, la voy a dejar directamente,

57
00:07:40,430 --> 00:07:53,569
lambda igual a 1 más 2 nu, y voy a jugar con las otras dos, las voy a colocar. Si la coloco me queda aquí 2 lambda más 3 nu igual 2, ¿vale?

58
00:07:53,730 --> 00:08:05,250
Y la tercera ecuación me queda 2 lambda menos 2 nu igual a 3 menos 1, 2. A ver, daros cuenta que es un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas,

59
00:08:05,250 --> 00:08:09,110
por lo tanto voy a tener bastantes soluciones, ¿vale?

60
00:08:10,430 --> 00:08:16,730
Entonces, vamos a utilizar, voy a hacer una reducción de las dos últimas.

61
00:08:18,370 --> 00:08:22,050
Si hago una reducción de las dos últimas y las restos me quedan 3 menos menos 2n,

62
00:08:22,569 --> 00:08:28,709
2nu me queda 5nu, 2 menos 2 es 0 y de aquí lo que obtengo es que la nu es 0.

63
00:08:28,810 --> 00:08:31,110
He dicho que tendríamos infinitas soluciones, no quería decir eso.

64
00:08:31,569 --> 00:08:34,929
Lo que quería decir es que es un sistema, o sea, cuando tiene infinitas soluciones

65
00:08:34,929 --> 00:08:37,009
es porque es un sistema compatible y determinado.

66
00:08:37,370 --> 00:08:40,690
Pero en este caso concreto, como sé que la intersección es un punto en concreto,

67
00:08:41,830 --> 00:08:44,850
sí que voy a obtener unos valores fijos, ¿vale?

68
00:08:44,870 --> 00:08:48,490
Por un lado, la nu vale 0, y ahora utilizo la primera ecuación,

69
00:08:48,570 --> 00:08:52,490
que no la había utilizado, para obtener el valor de lambda.

70
00:08:53,509 --> 00:08:56,850
Y lambda va a ser 1, ¿vale?

71
00:08:57,289 --> 00:08:59,649
Si os fijáis, para ver que todos los valores están bien,

72
00:08:59,649 --> 00:09:04,590
si yo sustituyera en cualquiera de las dos ecuaciones de abajo,

73
00:09:04,590 --> 00:09:09,610
estos valores, obtendría lo mismo si la nu es 0, como hemos calculado, 2 lambda es igual

74
00:09:09,610 --> 00:09:14,429
a 2, ¿vale? Y ahora, ¿qué es lo único que tengo que hacer? Pues calcular el punto correspondiente

75
00:09:14,429 --> 00:09:20,629
y vamos a comprobarlo en las dos ecuaciones para verlo. La lambda era con la r1, ¿verdad?

76
00:09:20,690 --> 00:09:28,629
Pues si este valor lo sustituyo en r1, lo que obtengo es el punto x es lambda, es decir,

77
00:09:28,629 --> 00:09:37,830
1, menos 2 más 2 lambda, menos 2, menos 2 más 2 que sería 0 y 1 más 2 lambda, 1 más

78
00:09:37,830 --> 00:09:46,850
2, 3, ¿vale? Y si yo sustituyera el valor de nu en R2, el punto que obtendría sería

79
00:09:46,850 --> 00:09:57,149
1 más 0, 1, menos 3 por 0, es decir, 0 y 3 más 0, 3, ¿vale? Veis que el punto que

80
00:09:57,149 --> 00:10:02,610
hemos obtenido es exactamente el mismo, es el punto de intersección. Bueno, pues ya

81
00:10:02,610 --> 00:10:14,539
lo tenemos todo. Para el punto, o sea, para el apartado B, entonces lo que estábamos

82
00:10:14,539 --> 00:10:19,700
buscando es la recta R3 y me dicen que la exprese de manera paramétrica. Vale, pues

83
00:10:19,700 --> 00:10:46,029
Entonces R3 va a ser X, Y, Z, el punto es el 1, 0, 3, 1, 0, 3, y el vector director es el 10, 2, menos 7, por lo tanto, más 10T, 2T, menos 7T, ¿vale?

84
00:10:46,029 --> 00:10:49,629
con t un número real, he puesto t ahora para no volver a ponerla

85
00:10:49,629 --> 00:10:52,690
pues este sería el ejercicio, el apartado b

86
00:10:52,690 --> 00:10:57,210
y ahora el apartado c me dicen que cuál es la ecuación general del plano pi

87
00:10:57,210 --> 00:11:01,309
que contiene a r1 y a r2, pues a ver

88
00:11:01,309 --> 00:11:06,110
voy a subir un poquito, voy a dejar solamente el apartado del b

89
00:11:06,110 --> 00:11:09,009
que es lo que necesito, me piden la ecuación

90
00:11:09,009 --> 00:11:13,649
de un plano, no sé si le llaman

91
00:11:13,649 --> 00:11:18,929
¿Cómo le llaman? ¿Le llaman de alguna manera? Del plano pi que contiene a r1 y a r2.

92
00:11:19,830 --> 00:11:26,289
O sea, quiero un plano pi de tal manera que r1 está contenida en pi y que r2 está contenida en pi.

93
00:11:26,830 --> 00:11:31,570
Vale, pues lo tenemos todo, ¿verdad? Porque lo podemos hacer de dos formas.

94
00:11:32,350 --> 00:11:37,309
Uno es utilizando los vectores directores r1 y r2, o sea, de la recta 1 y de la recta 2,

95
00:11:37,309 --> 00:11:40,649
porque van a ser los vectores directores del plano

96
00:11:40,649 --> 00:11:43,889
o también podemos utilizar el vector normal del plano

97
00:11:43,889 --> 00:11:46,690
que es justamente el vector W que acabamos de calcular antes

98
00:11:46,690 --> 00:11:49,710
pero necesitamos un punto, ¿qué punto vamos a utilizar?

99
00:11:49,870 --> 00:11:52,769
pues el que acabamos de calcular, sabemos que el punto

100
00:11:52,769 --> 00:11:56,149
lo voy a llamar A, el que acabamos de calcular

101
00:11:56,149 --> 00:11:58,909
1, 0, 3, si es el punto de intersección

102
00:11:58,909 --> 00:12:01,169
de las dos rectas y las dos rectas están en el plano

103
00:12:01,169 --> 00:12:03,889
este punto también pertenece a pi

104
00:12:03,889 --> 00:12:07,149
¿vale? entonces lo podemos calcular o bien

105
00:12:07,149 --> 00:12:13,690
utilizando los vectores directores o bien a partir de estos dos calcular el vector normal del plano

106
00:12:13,690 --> 00:12:20,970
va a coincidir con el vector w que hemos calculado en el apartado anterior, que es el 10, 2, menos 7.

107
00:12:21,809 --> 00:12:25,429
Lo podemos hacer de esta manera o si no directamente con los vectores directores, ¿vale?

108
00:12:25,429 --> 00:12:35,809
Y el punto. Si lo hacemos de esta forma, la ecuación del plano vendría dada por 10 por x menos el punto, x menos 1,

109
00:12:37,149 --> 00:12:41,909
más 2 por y menos el punto, y menos 0, que no hace falta ponerlo así,

110
00:12:42,549 --> 00:12:47,570
menos 7 por z menos 3, y esto lo igualamos a 0.

111
00:12:48,210 --> 00:12:52,950
Entonces aquí me queda que esto es 10x, lo voy a ir haciendo de cabeza ya,

112
00:12:52,950 --> 00:12:59,769
más 2y menos 7z, y los términos independientes que me quedan son menos 10,

113
00:13:00,509 --> 00:13:05,870
menos 10 más 21, pues me queda más 11, igual a 0.

114
00:13:05,870 --> 00:13:10,090
Pues este es el plano pi que me estaban pidiendo.