1
00:00:00,720 --> 00:00:23,710
Bueno, vamos a resolver el ejercicio de análisis del modelo de Madrid de 2021, opción B, ejercicio 2.

2
00:00:24,410 --> 00:00:36,509
Nos dan una función polinómica, x a la sexta menos 4x a la cuarta, nos piden estudiar intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos locales, y decir si son o no globales.

3
00:00:36,509 --> 00:00:40,509
Nosotros normalmente lo llamamos relativos y absolutos.

4
00:00:41,289 --> 00:00:44,509
Los relativos son los locales y los absolutos son los globales.

5
00:00:45,369 --> 00:00:49,130
Y ahí haré el área de la región limitada, área de una gráfica o una integral.

6
00:00:50,289 --> 00:00:56,990
¿De acuerdo? Vamos a empezar hablando un poquito de esta función, x a la sexta menos 4x cuarta,

7
00:00:56,990 --> 00:01:04,849
que si lo vemos en GeoGebra, pues podéis ver que es una función par.

8
00:01:04,849 --> 00:01:07,489
es una función polinómica

9
00:01:07,489 --> 00:01:09,709
todos los monomios que la forman

10
00:01:09,709 --> 00:01:10,890
son de grado par

11
00:01:10,890 --> 00:01:12,750
por tanto es una función par

12
00:01:12,750 --> 00:01:14,049
eso quiere decir que es simétrica

13
00:01:14,049 --> 00:01:17,469
respecto al eje de las i's

14
00:01:17,469 --> 00:01:19,590
x igual a 0

15
00:01:19,590 --> 00:01:23,730
y que eso me permite

16
00:01:23,730 --> 00:01:25,450
que lo que hagamos a un lado

17
00:01:25,450 --> 00:01:28,269
puedo decir que tiene que ocurrir al otro

18
00:01:28,269 --> 00:01:29,650
por otro lado

19
00:01:29,650 --> 00:01:34,170
el grado mayor de este polinomio es par

20
00:01:34,170 --> 00:01:36,090
x a la sexta

21
00:01:36,090 --> 00:01:38,510
y por tanto quiere decir que los dos cuernos

22
00:01:38,510 --> 00:01:39,750
van para el mismo sitio

23
00:01:39,750 --> 00:01:41,250
función polinómica

24
00:01:41,250 --> 00:01:43,810
todos sabemos

25
00:01:43,810 --> 00:01:45,569
cómo se suelen pintar

26
00:01:45,569 --> 00:01:47,409
si el grado es impar

27
00:01:47,409 --> 00:01:49,530
un cuerno irá para arriba y otro para abajo

28
00:01:49,530 --> 00:01:52,010
si el grado es par

29
00:01:52,010 --> 00:01:54,010
los dos cuernos irán para el mismo sitio

30
00:01:54,010 --> 00:01:55,810
también mirando el signo

31
00:01:55,810 --> 00:01:58,090
podemos saber que los dos cuernos

32
00:01:58,090 --> 00:01:59,049
van para arriba

33
00:01:59,049 --> 00:02:01,849
porque cuando me voy tanto a menos infinito

34
00:02:01,849 --> 00:02:03,829
como a más infinito la función se hace

35
00:02:03,829 --> 00:02:05,730
infinito, así que los dos

36
00:02:05,730 --> 00:02:07,750
cuernos van para arriba. Toda esa información

37
00:02:07,750 --> 00:02:09,710
nos sirve para las preguntas que nos

38
00:02:09,710 --> 00:02:11,669
hacen de los intervalos y

39
00:02:11,669 --> 00:02:13,530
sobre todo para el apartado B.

40
00:02:14,289 --> 00:02:15,830
Vamos a empezar a trabajar

41
00:02:15,830 --> 00:02:17,550
y para

42
00:02:17,550 --> 00:02:19,689
calcular los intervalos de

43
00:02:19,689 --> 00:02:21,750
crecimiento y decrecimiento, pues

44
00:02:21,750 --> 00:02:23,669
el apartado A empezamos

45
00:02:23,669 --> 00:02:24,969
por hacer la derivada

46
00:02:24,969 --> 00:02:27,789
será 6x a la

47
00:02:27,789 --> 00:02:29,090
quinta menos

48
00:02:29,090 --> 00:02:31,250
16x al cubo

49
00:02:31,250 --> 00:02:33,509
que si sacamos factor

50
00:02:33,509 --> 00:02:40,469
común, pues lo podemos expresar como x al cubo o incluso como 2x al cubo, si queréis,

51
00:02:40,669 --> 00:02:52,710
por 3x al cuadrado menos 8 y ya estaría. Ahora lo que vamos a hacer es, para hallar

52
00:02:52,710 --> 00:02:57,430
los extremos, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, vamos a igualar a cero la

53
00:02:57,430 --> 00:03:07,210
primera derivada y vamos a resolver esta ecuación 2x al cubo por 3x al cuadrado menos 8 tiene dos

54
00:03:07,210 --> 00:03:18,810
soluciones o que bien 2x al cubo sea 0 o que me proporciona la solución x 0 o que bien 3x no se

55
00:03:18,810 --> 00:03:26,210
nos olvide igual a 0 si no no es una ecuación 3x menos cuadrado menos 8 igual a 0 lo que

56
00:03:26,210 --> 00:03:44,360
proporciona x cuadrado igual a 8 tercios o x igual a más o menos la raíz de 8 tercios

57
00:03:44,360 --> 00:03:53,520
o más o menos 2 raíz de 2 partido por raíz de 3, que si racionalizamos sería más o

58
00:03:53,520 --> 00:03:58,879
menos 2 raíz de 6 partido por 3, ¿de acuerdo?

59
00:03:59,139 --> 00:04:04,039
Vamos a ponerla incluso separadas, ¿vale?

60
00:04:04,639 --> 00:04:11,099
Vamos a poner x sub 2 menos 2 raíz de 2 de 6, perdón, partido por 3,

61
00:04:11,840 --> 00:04:15,659
y x sub 3, 2 raíz de 6 partido por 3.

62
00:04:15,939 --> 00:04:17,779
Como hemos dicho que la función era par,

63
00:04:17,939 --> 00:04:23,000
era evidente que las dos soluciones que anulan la derivada

64
00:04:23,000 --> 00:04:31,839
tienen que ser simétricas respecto a cero, el otro punto como es cero, pues no presenta dos valores.

65
00:04:32,680 --> 00:04:42,959
Ya tenemos nuestros valores y eso va a servir para saber los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

66
00:04:42,959 --> 00:04:49,879
Si nosotros en la recta real ponemos menos dos raíz de seis partido por tres, cero,

67
00:04:49,879 --> 00:04:56,879
Y 2 raíz de 6 partido por 3, pues vamos a ver dónde crece y dónde decrece.

68
00:04:58,060 --> 00:05:16,800
Si nosotros lo hacemos con la calculadora, todavía 2 por la raíz cuadrada de 6 entre 3, no tiene claro el valor que es, pues ya sabéis que es 1,6.

69
00:05:16,800 --> 00:05:34,399
Así que podemos coger menos 2, ¿vale? Si nosotros hacemos f de menos 2 y lo sustituimos en la primera derivada, aquí tenemos negativo, f de menos 2 sería 2 al cuadrado 4 por 3, 12, menos 8 positivo.

70
00:05:34,399 --> 00:05:49,199
¿Por qué me he equivocado? Se me ha olvidado el 2x³. Sería menos 8 por 2 menos 16, negativo por lo de dentro que es positivo, negativo, lo cual quiere decir que la función decrece.

71
00:05:49,199 --> 00:05:57,800
si cojo menos 1 esto sería negativo por negativo positivo la función crece

72
00:05:57,800 --> 00:06:03,420
1 negativo por positivo negativo la función decrece

73
00:06:03,420 --> 00:06:10,680
y 2 positivo por positivo positivo la función crece

74
00:06:10,680 --> 00:06:17,420
lo cual lo resumimos poniendo los intervalos de crecimiento y decrecimiento

75
00:06:17,420 --> 00:06:45,399
La función crece cuando x pertenece de menos 2 raíz de 6 partido por 3 a 0 y unión también crece, en realidad es la conjunción o no, de 2 raíz de 6 partido por 3 hasta infinito y decrece en el resto.

76
00:06:45,399 --> 00:06:49,399
Dado que es continua, no hay ningún problema, no hay ningún punto que pueda dar problemas.

77
00:06:50,000 --> 00:07:00,500
De menos infinito a menos 2 raíz de 6 partido por 3, unión de 0 a 2 raíz de 6 partido por 3.

78
00:07:01,220 --> 00:07:01,680
¿De acuerdo?

79
00:07:04,019 --> 00:07:10,220
Bueno, pues ya tenemos el apartado A, que era estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

80
00:07:10,220 --> 00:07:21,579
Si nos vamos a GeoGebra para estudiarlo, pues podemos ver fácilmente que la derivada es lo que nosotros hemos hecho y es positiva para estos valores.

81
00:07:21,920 --> 00:07:36,819
También si la pintamos podemos ver que hasta ese menos 1,6 es negativa, está por debajo del eje x, lo cual quiere decir que desde menos infinito hasta ese punto decrece.

82
00:07:36,819 --> 00:07:59,079
Luego desde aquí hasta el cero crece, vuelve a ser negativa, decrece y crece, que es lo que hace la función, ¿vale? Vamos con el apartado B, que nos preguntaba encontrar los máximos y mínimos locales y decir si son globales.

83
00:07:59,079 --> 00:08:16,899
Bueno, pues para el apartado B, el apartado A ya nos ha servido, porque nosotros tenemos tres puntos y los vamos a poner en orden, de izquierda a derecha, el 0 y el 2 raíz de 6 partido por 3.

84
00:08:16,899 --> 00:08:23,279
necesitamos calcular f de 2 raíz de 6 partido por 3

85
00:08:23,279 --> 00:08:25,319
f de 0 es muy fácil, es 0

86
00:08:25,319 --> 00:08:32,080
y entonces repito, necesitamos calcular f de 2 raíz de 6 partido por 3

87
00:08:32,080 --> 00:08:39,000
como hay que sustituir en la función x a la sexta menos 4x a la 4

88
00:08:39,000 --> 00:08:43,820
pues vamos a coger nuestra calculadora, perdonad el baile

89
00:08:43,820 --> 00:08:47,159
y vamos a hacer simplemente

90
00:08:47,159 --> 00:08:49,419
x a la 6

91
00:08:49,419 --> 00:08:50,659
entonces ponemos

92
00:08:50,659 --> 00:08:53,220
raíz de 8 tercios

93
00:08:53,220 --> 00:08:53,840
voy a poner

94
00:08:53,840 --> 00:08:56,340
porque no necesito

95
00:08:56,340 --> 00:09:00,779
ponerlo de otra manera

96
00:09:00,779 --> 00:09:01,960
si queréis incluso

97
00:09:01,960 --> 00:09:04,799
perdonad que yo estoy acostumbrado a la calculadora

98
00:09:04,799 --> 00:09:06,399
más vieja, raíz de 8 tercios

99
00:09:06,399 --> 00:09:08,720
todo esto elevado a 6

100
00:09:08,720 --> 00:09:14,220
no, hay que ponerlo

101
00:09:14,220 --> 00:09:19,799
Cuidado con esto luego cuando manejamos la calculadora

102
00:09:19,799 --> 00:09:20,679
Elevado a 6

103
00:09:20,679 --> 00:09:22,299
Menos

104
00:09:22,299 --> 00:09:24,580
Otra vez a la derecha

105
00:09:24,580 --> 00:09:25,559
Menos

106
00:09:25,559 --> 00:09:27,299
4

107
00:09:27,299 --> 00:09:29,639
Otra vez por

108
00:09:29,639 --> 00:09:32,179
La raíz cuadrada

109
00:09:32,179 --> 00:09:33,600
Otra vez de 8 tercios

110
00:09:33,600 --> 00:09:35,899
Dos golpes

111
00:09:35,899 --> 00:09:38,179
Elevado a 4

112
00:09:38,179 --> 00:09:41,960
Si lo hago bien

113
00:09:41,960 --> 00:09:44,500
Ya veis que no soy muy artista con la calculadora

114
00:09:44,500 --> 00:10:00,860
Me da menos 256 veintisieteavos, que si a alguien le interesa luego lo veremos en el algebra, es menos 9,5, menos 256 veintisieteavos.

115
00:10:04,440 --> 00:10:13,080
Y por supuesto, como la función es par, habría que haberlo escrito, todo lo que he dicho hay que haberlo escrito.

116
00:10:13,080 --> 00:10:29,830
Bueno, entonces los dos puntos, el 1 y el 3, son mínimos, mínimos locales, mínimo local, y global, los dos, claro.

117
00:10:30,690 --> 00:10:39,549
¿Por qué? Porque si nosotros vemos que viene desde menos infinito decreciendo, lo tenemos aquí arriba en las contestaciones,

118
00:10:39,549 --> 00:10:42,750
si vemos que viene desde menos infinito decreciendo

119
00:10:42,750 --> 00:10:45,149
cuando llega al mínimo

120
00:10:45,149 --> 00:10:47,950
lógicamente tiene que ser

121
00:10:47,950 --> 00:10:49,330
absoluto

122
00:10:49,330 --> 00:10:50,769
lo de que sean los dos globales

123
00:10:50,769 --> 00:10:53,210
porque eso sí, es porque la función es par

124
00:10:53,210 --> 00:10:55,330
eso habría que escribirlo

125
00:10:55,330 --> 00:10:56,889
por ser par

126
00:10:56,889 --> 00:10:59,370
porque si no, uno de los dos

127
00:10:59,370 --> 00:11:00,210
podría ser

128
00:11:00,210 --> 00:11:03,350
el global y los dos serían

129
00:11:03,350 --> 00:11:05,269
locales, pero solo uno de los dos

130
00:11:05,269 --> 00:11:07,389
serían

131
00:11:07,389 --> 00:11:09,389
globales

132
00:11:09,389 --> 00:11:12,350
Pero como es una función par, está en la misma altura.

133
00:11:12,649 --> 00:11:15,289
Los dos valen menos 256 veintisiete agos.

134
00:11:15,830 --> 00:11:17,450
Así que los dos son locales.

135
00:11:17,710 --> 00:11:23,370
Y este que era el máximo local, pero no es global.

136
00:11:26,620 --> 00:11:27,100
¿Por qué?

137
00:11:27,100 --> 00:11:33,379
Porque lógicamente si viene de infinito, no puede ser el punto más alto de toda la función.

138
00:11:34,340 --> 00:11:36,399
Y este es el apartado P.

139
00:11:37,320 --> 00:11:42,100
Vamos a verlo como siempre en GeoGebra.

140
00:11:43,740 --> 00:11:56,090
Un segundito. Aquí lo tenemos, ¿veis? Los puntos A, B y C, los dos mínimos locales son globales y el máximo local no es global.

141
00:11:56,450 --> 00:12:01,710
Los valores, menos doscientos veintiséis veintisieteavos, con GeoGebra es muy fácil, ¿verdad?

142
00:12:03,750 --> 00:12:06,110
Pronto lo dejarán llevar a la...

143
00:12:06,110 --> 00:12:11,429
y bueno, pues vamos con el apartado C,

144
00:12:12,230 --> 00:12:13,470
que es una integral, dice,

145
00:12:13,590 --> 00:12:16,690
calcula la región acotada entre igual a cero y la gráfica de y.

146
00:12:17,830 --> 00:12:20,850
Bueno, lo que necesitamos lógicamente es ver

147
00:12:20,850 --> 00:12:23,830
dónde corta igual a cero

148
00:12:23,830 --> 00:12:31,549
y la función.

149
00:12:33,210 --> 00:12:34,850
Para eso, pues muy fácil,

150
00:12:35,029 --> 00:12:38,830
x a la sexta menos 4x a la cuarta igual a cero,

151
00:12:38,830 --> 00:12:57,730
x a la cuarta por x cuadrado menos 4 igual a 0, y tenemos tres valores, el 0, y tenemos el otro es x cuadrado menos 4 igual a 0, x cuadrado igual a 4, x igual a más menos 2.

152
00:12:58,590 --> 00:13:00,690
Así que tenemos menos 2 y 2.

153
00:13:00,690 --> 00:13:28,409
Bueno, aquí nosotros, dado que ya tenemos un poco de idea de dónde crece, dónde decrece, y como la función es par, pues como la función es par, lo que vamos a hacer es calcular solamente la integral entre 0 y 2.

154
00:13:28,409 --> 00:13:39,019
y esa integral nos va a dar el área entre 0 y 2

155
00:13:39,019 --> 00:13:40,620
que por cierto va a ser negativa

156
00:13:40,620 --> 00:13:44,360
porque sabemos que hay un mínimo que va por debajo del eje x

157
00:13:44,360 --> 00:13:45,379
¿de acuerdo?

158
00:13:45,559 --> 00:13:51,139
así que al final si a esto lo llamamos c

159
00:13:51,139 --> 00:13:52,639
por ejemplo

160
00:13:52,639 --> 00:13:58,889
pues el área va a ser menos 2 veces c

161
00:13:58,889 --> 00:14:02,029
menos porque está por debajo del eje x

162
00:14:02,029 --> 00:14:04,330
y 2 porque era par

163
00:14:04,330 --> 00:14:06,710
y no hemos calculado entre menos 2 y 0

164
00:14:06,710 --> 00:14:08,730
y 0 y 2, podríais hacerlo

165
00:14:08,730 --> 00:14:10,649
pero sería mucho más

166
00:14:10,649 --> 00:14:12,750
trabajoso, lo que sí que hay que hacer

167
00:14:12,750 --> 00:14:14,570
es justificar obviamente

168
00:14:14,570 --> 00:14:15,990
por qué vamos a hacerlo así

169
00:14:15,990 --> 00:14:18,649
bueno, la integral entre

170
00:14:18,649 --> 00:14:20,990
0 y 2 de x a la

171
00:14:20,990 --> 00:14:22,870
sexta menos 4x a la

172
00:14:22,870 --> 00:14:24,409
cuarta, es una integral

173
00:14:24,409 --> 00:14:26,490
polinómica, por lo tanto

174
00:14:26,490 --> 00:14:28,649
chupadísima, x a la 7

175
00:14:28,649 --> 00:14:30,250
partido por 7

176
00:14:30,250 --> 00:14:57,559
menos 4x a la 5 partido por 5, entre 0 y 2, cuando sustituyamos por 0, pues va a dar 0, y por 2, pues da 2 a la 7, ahora lo haremos, 2 a la 7, 2 elevado a 7 partido, vamos a ver, a la derecha,

177
00:14:57,559 --> 00:15:00,240
partido por 7

178
00:15:00,240 --> 00:15:02,080
menos

179
00:15:02,080 --> 00:15:04,059
a la derecha

180
00:15:04,059 --> 00:15:06,600
4 por

181
00:15:06,600 --> 00:15:10,940
2 elevado a 4

182
00:15:10,940 --> 00:15:18,690
2 elevado

183
00:15:18,690 --> 00:15:19,769
ya veis que yo por eso

184
00:15:19,769 --> 00:15:21,529
intento hacerlo de cabeza incluso

185
00:15:21,529 --> 00:15:24,110
porque voy a tardar menos

186
00:15:24,110 --> 00:15:27,429
partido por 5

187
00:15:27,429 --> 00:15:31,230
que es 2 elevado a 5

188
00:15:31,230 --> 00:15:40,759
bueno, 2 elevado a 7 partido por 7

189
00:15:40,759 --> 00:15:42,559
menos

190
00:15:42,559 --> 00:15:45,460
hay que repasarlo

191
00:15:45,460 --> 00:15:48,360
no sé por qué me gusta tanto hacerlo con la cámara

192
00:15:48,360 --> 00:15:50,460
menos no, es más

193
00:15:50,460 --> 00:15:51,620
más

194
00:15:51,620 --> 00:15:55,799
4 por 2 elevado a 5 partido por 5

195
00:15:55,799 --> 00:16:00,779
me da 1536 partido por 35

196
00:16:00,779 --> 00:16:02,799
1536

197
00:16:02,799 --> 00:16:04,539
era menos

198
00:16:04,539 --> 00:16:06,460
al final

199
00:16:06,460 --> 00:16:08,039
me he equivocado

200
00:16:08,039 --> 00:16:14,980
bueno, menos mal que eso sí

201
00:16:14,980 --> 00:16:16,600
con este tipo de calculadoras

202
00:16:16,600 --> 00:16:18,179
no se tarda nada

203
00:16:18,179 --> 00:16:19,779
menos 256

204
00:16:19,779 --> 00:16:23,179
35 agos, eso sí que me sonaba

205
00:16:23,179 --> 00:16:24,080
de GeoGebra

206
00:16:24,080 --> 00:16:27,100
sería menos 256

207
00:16:27,100 --> 00:16:29,100
partido por 35

208
00:16:29,100 --> 00:16:30,000
menos 0

209
00:16:30,000 --> 00:16:34,159
que es menos 256 partido por 20

210
00:16:34,159 --> 00:16:36,840
esto es negativo porque eso no es un área

211
00:16:36,840 --> 00:16:37,940
es una integral definida

212
00:16:37,940 --> 00:16:39,919
puede ser positiva o negativa

213
00:16:39,919 --> 00:16:42,500
el área que nosotros buscamos

214
00:16:42,500 --> 00:16:45,700
es menos 2 por menos 256

215
00:16:45,700 --> 00:16:47,919
partido por 35

216
00:16:47,919 --> 00:16:50,700
que esto es 512

217
00:16:50,700 --> 00:16:54,299
partido por 35 unidades cuadradas

218
00:16:54,299 --> 00:16:55,320
¿de acuerdo?

219
00:16:55,480 --> 00:16:57,840
y esta es la respuesta al apartado C

220
00:16:57,840 --> 00:17:23,279
Bien, si se lo decimos a GeoGebra, que lo hace muy fácil, pues aquí tenemos las cuentas, la integral x a la 7 partido por 7 menos 4x a la 5 partido por 5, los valores de sustituir 2 y 0 y menos 2 por el área, pues en regla de barro, 512 y 35 agos unidades cuadradas,

221
00:17:23,279 --> 00:17:34,720
que es esta zona rosada, la que había que calcular, y por cierto, si hacéis la cuenta, pues veis que da menos 14,63,

222
00:17:34,920 --> 00:17:44,700
porque está por debajo del eje X, 14,63, 512,35 agos da 14,63, que es el área morada.

223
00:17:44,700 --> 00:17:49,160
Y con esto, pues hemos terminado el ejercicio.