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00:00:01,330 --> 00:00:11,769
Hola, ¿qué tal? Bienvenidos de nuevo a mi canal. En esta ocasión os presento un resultado

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00:00:11,769 --> 00:00:17,989
crucial en la teoría del análisis de funciones. Se trata del teorema de Bolzano. Este teorema,

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00:00:18,089 --> 00:00:21,969
este resultado afirma lo siguiente. Si yo tengo una función continua en un intervalo

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00:00:21,969 --> 00:00:28,550
cerrado AB y el valor de la función en los extremos toma distintos signos, entonces necesariamente

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00:00:28,550 --> 00:00:32,570
la función alcanzará al menos una raíz dentro de ese intervalo abierto.

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00:00:34,009 --> 00:00:41,789
Este resultado de forma intuitiva asegura que si yo tengo que atravesar, pasar por el eje uniendo con un lápiz

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00:00:41,789 --> 00:00:46,810
un punto que está a un lado del eje con otro que está al otro lado del eje, al menos tendré que atravesar el eje alguna vez.

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00:00:47,509 --> 00:00:51,310
Claro, parece obvio, ¿no? Si yo quiero cruzar un río me tendré que mojar los pies.

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00:00:51,310 --> 00:01:02,890
Pero ojo, no es tan sencillo. Para poder demostrarlo necesitamos asegurar que en la recta real, en el eje, no hay agujeros, porque esto llevaría al traste todo.

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00:01:03,670 --> 00:01:13,730
Vamos a centrar nuestra atención en cómo demostrar, cómo asegurar, cómo conseguir que en la recta real no haya agujeros. Vamos con ella.

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00:01:13,730 --> 00:01:18,750
El primer tipo de números que aprendiste fue el de los números naturales

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00:01:18,750 --> 00:01:22,870
Se pueden representar, como sabes, en la recta y los has usado un montón

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00:01:22,870 --> 00:01:26,549
Básicamente para contar y para ordenar

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00:01:26,549 --> 00:01:34,109
Con estos números podemos sumar, multiplicar, pero para restar necesitamos los números negativos

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00:01:34,109 --> 00:01:40,310
Todos ellos, naturales, negativos y el cero, se denominan números enteros

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00:01:40,310 --> 00:01:42,969
Y con ellos ya sí podemos restar sin problemas

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00:01:42,969 --> 00:01:52,870
La dificultad aparece cuando queremos dividir. Para realizar divisiones no exactas necesitamos otro tipo de números, los racionales.

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00:01:53,489 --> 00:01:56,950
Un número racional sirve para representar la división entre dos enteros.

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00:01:57,909 --> 00:02:01,590
Podemos usarlos también para representar una parte del total.

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00:02:03,049 --> 00:02:05,189
Y por último sirven para representar medidas.

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00:02:05,950 --> 00:02:10,969
Los racionales expresan la relación entre dos segmentos A y B conmensurables.

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00:02:10,969 --> 00:02:15,229
Esto es, que se pueden medir mediante un segmento común C.

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00:02:15,990 --> 00:02:23,509
En nuestro ejemplo, el segmento C cabe exactamente 5 veces en el segmento A y 8 en el segmento B.

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00:02:24,129 --> 00:02:30,310
Por ello decimos que el segmento largo B mide 8 quintos tomando como unidad de medida el segmento corto A.

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00:02:30,650 --> 00:02:34,550
Los números racionales se pueden representar también en la recta real.

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00:02:35,409 --> 00:02:43,509
Esto es posible gracias a una aplicación sencilla del teorema de Tales que seguro te ha contado algún profe de mates o de dibujo técnico alguna vez.

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00:02:44,210 --> 00:02:50,650
En la imagen se ha representado nuestra fracción 8 quintos que, como ves, está comprendida entre el 1 y el 2.

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00:02:51,330 --> 00:02:54,009
Las fracciones verifican una propiedad muy interesante.

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00:02:54,469 --> 00:02:59,069
Para cada pareja de fracciones, la media aritmética es una fracción que está justo en medio, la mitad.

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00:02:59,569 --> 00:03:05,150
Con lo cual, si cogemos dos fracciones por cerca que estén, podemos encontrar una, otra, otra, otra, infinitas fracciones.

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00:03:05,810 --> 00:03:09,069
Decimos que las fracciones son un conjunto denso en la recta real.

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00:03:09,949 --> 00:03:13,330
Pero resulta que hay longitudes que no se pueden escribir como fracción.

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00:03:13,610 --> 00:03:20,349
Ya se dieron cuenta los griegos hace unos 2.500 años que la diagonal del cuadrado no podía escribirse como cociente de dos enteros.

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00:03:20,849 --> 00:03:23,770
Y desde entonces hay otros muchos ejemplos que se han encontrado a lo largo de la historia.

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00:03:24,509 --> 00:03:29,689
De hecho, para cada pareja de fracciones hay también infinitos números irracionales en medio.

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00:03:30,509 --> 00:03:34,330
Pero entonces, ¿cómo trabajar, cómo definir los números reales?

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00:03:34,729 --> 00:03:41,169
No es suficiente con decir que los números reales son los que son racionales y los que no son racionales.

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00:03:41,229 --> 00:03:46,650
Es decir, los racionales y los irracionales. Eso en matemáticas es una forma muy poco rigurosa de trabajar.

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00:03:46,650 --> 00:04:09,169
A lo largo del siglo XIX, matemáticos de la talla de Dedeckin, Cantor o Ballestras lograron establecer una base formal precisa para el conjunto de números reales, estableciendo determinados conjuntos que verificaban unas propiedades aritméticas parecidas a los números racionales, en cuanto a que podía sumarse, restar, multiplicar y dividirse algo por cero.

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00:04:09,169 --> 00:04:16,170
es decir, que son cuerpos, que además son totalmente ordenados, es decir, que si tú coges dos elementos siempre hay uno que es más pequeño que otro,

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00:04:16,889 --> 00:04:24,209
y que además son conjuntos completos, que quiere decir básicamente que al disponerlos en la recta real no dejan agujeros.

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00:04:24,689 --> 00:04:34,470
Vamos a presentar a continuación varios ejemplos de axiomas que utilizaron para definir la completitud, pero adaptándolos a lo que conocemos como recta real.

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00:04:34,470 --> 00:04:42,389
Y vamos a centrarnos especialmente en el axioma de Cantor, que es el que utilizaremos después para demostrar el teorema de Bolzano.

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00:04:42,610 --> 00:04:45,769
Primero axioma que nos sirve para determinar la completitud de la recta.

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00:04:46,129 --> 00:04:49,810
Si dividimos la recta en dos semirrectas, el punto de corte es un número real.

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00:04:50,230 --> 00:04:52,050
Esto se le llaman cortaduras de Dedequín.

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00:04:52,629 --> 00:04:54,949
Segundo ejemplo, el axioma del supremo.

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00:04:55,509 --> 00:04:58,230
Todo conjunto superiormente acotado tiene supremo.

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00:04:58,649 --> 00:05:04,050
Esto es, dentro de todas las cotas superiores del conjunto existe una única que es la menor de todas.

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00:05:04,050 --> 00:05:10,209
Tercer ejemplo de axioma, toda sucesión convergente tiene por límite un número real

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00:05:10,209 --> 00:05:16,129
Y cuarto ejemplo es el axioma de Cantor, que lo vamos a ver con mayor detenimiento

52
00:05:16,129 --> 00:05:20,509
Imagina que tienes una sucesión infinita de intervalos que verifican

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00:05:20,509 --> 00:05:28,329
Que son cerrados, que están encajados, esto es, cada uno está dentro de los anteriores

54
00:05:28,329 --> 00:05:31,470
Que las amplitudes de estos intervalos tienden a cero

55
00:05:32,230 --> 00:05:38,990
En esta situación se verifica que la intersección de todos ellos es un único punto que pertenece a todos los intervalos a la vez.

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00:05:39,769 --> 00:05:46,889
Bien, pues veamos ahora cómo demostrar el teorema de Bolzano si en la recta real se verifica el axioma de Cantor.

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00:05:46,889 --> 00:05:54,569
Para ello, tomemos una función continua en un intervalo cerrado AB y supongamos, por ejemplo, que f de A es positivo y f de B negativo, pues el otro caso es simétrico.

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00:05:55,529 --> 00:05:57,189
Tomemos el punto medio del intervalo AB.

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00:05:57,189 --> 00:06:00,610
si en ese punto medio la función es 0

60
00:06:00,610 --> 00:06:02,550
ya hemos acabado, pues hemos encontrado la raíz

61
00:06:02,550 --> 00:06:04,870
si no, en uno de los dos subintervalos

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00:06:04,870 --> 00:06:07,470
en los que queda dividida este intervalo grande

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00:06:07,470 --> 00:06:10,709
f tomará valores de distinto signo

64
00:06:10,709 --> 00:06:12,850
o en el de la izquierda o en el de la derecha

65
00:06:12,850 --> 00:06:16,649
y repetimos este razonamiento para este subintervalo

66
00:06:16,649 --> 00:06:19,389
lo dividimos en 2 y nos quedamos con la mitad

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00:06:19,389 --> 00:06:22,110
en la que se verifica la hipótesis de nuestro teorema

68
00:06:22,110 --> 00:06:24,430
y nos volvemos a quedar con ese intervalo

69
00:06:24,430 --> 00:06:26,269
y volvemos a dividir en 2 y en 2 y en 2

70
00:06:26,269 --> 00:06:32,670
y así sucesivamente. De esa forma hemos construido una sucesión de intervalos que verifican que son

71
00:06:32,670 --> 00:06:38,170
cerrados por definición, que son encajados, pues cada uno está dentro de los anteriores, que la

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00:06:38,170 --> 00:06:43,170
amplitud de estos intervalos tiende a cero, pues la amplitud será p menos a partido por 2 elevado a n.

73
00:06:44,329 --> 00:06:51,329
Por el postulado de Cantor podemos asegurar que existe un único punto c que está en la intersección

74
00:06:51,329 --> 00:06:57,470
de todos estos intervalos. Ahora solo nos hace falta ver, probar que el valor de la

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00:06:57,470 --> 00:07:03,889
función en C es necesariamente 0. ¿Por qué? Porque si fuese, por ejemplo, positivo, como

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00:07:03,889 --> 00:07:10,889
F es continua, F mantendría el signo, es decir, sería también positiva en todo un

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00:07:10,889 --> 00:07:18,970
intervalo alrededor de C. Es decir, que existiría algún intervalo del tipo A sub K, B sub K

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00:07:18,970 --> 00:07:23,209
para el que la función sería totalmente positiva

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00:07:23,209 --> 00:07:27,290
pero hemos creado que en todos estos intervalos encajados

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00:07:27,290 --> 00:07:29,610
la función cambia de signo, luego eso es imposible

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00:07:29,610 --> 00:07:34,089
hemos demostrado que C es una raíz de la función

82
00:07:34,089 --> 00:07:39,069
Bueno, como has podido comprobar, cuando un matemático se pone riguroso, riguroso es para echarse a temblar

83
00:07:39,069 --> 00:07:43,009
pero es cierto que sin la precisión y el formalismo de las matemáticas

84
00:07:43,009 --> 00:07:45,529
muchos de los edificios de las ciencias se tambalearían

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00:07:45,529 --> 00:07:51,449
las primeras aplicaciones del teorema de bolzano que verás son para demostrar la

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00:07:51,449 --> 00:07:55,490
existencia de raíces de ecuaciones y para aproximar estas de momento por aquí

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00:07:55,490 --> 00:07:59,110
ha sido suficiente espero que este vídeo os haya gustado y nos vemos en

88
00:07:59,110 --> 00:08:00,709
futuros hasta luego