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00:00:00,000 --> 00:00:05,360
Hola, en este vídeo vamos a estudiar la distancia de un punto a otro punto a una recta y a un

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00:00:05,360 --> 00:00:11,920
plano en el espacio. La distancia entre un punto y otro punto pues no es nada más que

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00:00:11,920 --> 00:00:17,560
el módulo del vector que los une, da igual si tomamos el vector AB que el vector BA porque

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00:00:17,560 --> 00:00:23,640
su longitud es la misma. La distancia de un punto a una recta pues es la que se verifica

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00:00:23,640 --> 00:00:28,520
siempre entre dicho punto y su proyección sobre la recta que es la distancia más corta

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00:00:28,520 --> 00:00:33,240
entre el punto y la recta. Por lo tanto una forma de calcular la distancia entre punto

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00:00:33,240 --> 00:00:39,920
y recta es calcular primero ese punto proyección y después calcular la distancia entre los

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00:00:39,920 --> 00:00:46,760
puntos P y Q con el módulo como se indicó en el caso anterior. Como calcular la proyección

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00:00:46,760 --> 00:00:52,120
pues lleva unos cuantos pasos, buscamos una fórmula alternativa para calcular la distancia

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00:00:52,160 --> 00:00:59,200
de un punto a una recta y que se basa en observar que la altura coincide, la altura de ese paralelogramo

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00:00:59,200 --> 00:01:03,480
que se ve en la imagen coincide justo con la distancia. Esta fórmula se explica con

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00:01:03,480 --> 00:01:09,480
detalle en otro vídeo pero básicamente consiste en calcular el área de ese paralelogramo

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00:01:09,480 --> 00:01:16,360
y dividirla por la longitud de la base lo que nos dará la altura. La distancia de un

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00:01:16,360 --> 00:01:22,000
punto a un plano también es aquella que se verifica entre el punto y su proyección

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00:01:22,000 --> 00:01:27,400
sobre el plano. Luego podríamos calcular antes esa proyección y calcular simplemente

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00:01:27,400 --> 00:01:32,660
la distancia entre dos puntos. Como de nuevo eso lleva un tiempo pues también hemos buscado

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00:01:32,660 --> 00:01:39,120
fórmulas alternativas basadas en este caso en la proyección del vector que une un punto

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00:01:39,120 --> 00:01:45,920
cualquiera con el punto P. Esta fórmula también se explica con detalle en otro vídeo al igual

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00:01:45,920 --> 00:01:51,360
que esta otra que deriva de la anterior y que es la que utilizaremos en la práctica

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00:01:51,360 --> 00:01:56,560
en la que observamos que en el numerador aparece el valor absoluto de esa expresión fabricada

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00:01:56,560 --> 00:02:01,320
con los coeficientes de la ecuación general del plano A, B, C y D serían los coeficientes

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00:02:01,320 --> 00:02:08,600
de la ecuación general de pi y Px, Py y Pz serían las coordenadas del punto P cuya distancia

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00:02:08,600 --> 00:02:14,200
al plano queremos calcular. En el denominador lo que aparece es el módulo del vector normal

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00:02:14,200 --> 00:02:22,960
al plan. Vamos ahora a resolver un par de ejemplos prácticos. En el primero pues tenemos

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00:02:22,960 --> 00:02:30,160
un punto y una recta y vamos a calcular la distancia entre ellos. En este caso empezaremos

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00:02:30,160 --> 00:02:37,640
por sacar de la ecuación de la recta pues uno de sus puntos, en este caso AR2-15 y uno

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00:02:37,640 --> 00:02:45,840
de sus vectores directores, (-1, 1, 2), podemos leer en las ecuaciones paramétricas. Estos

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00:02:45,840 --> 00:02:53,800
puntos los representamos sobre la recta, este punto y este vector y a partir de AR y P vamos

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00:02:53,800 --> 00:03:02,280
a fabricar un nuevo vector. Restando simplemente las coordenadas de P menos las de AR obtendremos

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00:03:02,280 --> 00:03:16,320
el punto (-1, 1, 8). Bien, con este nuevo vector pues ya podemos calcular la distancia

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00:03:16,320 --> 00:03:21,960
recordando que el área de ese paralelogramo que observamos en la figura puede calcularse

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00:03:21,960 --> 00:03:26,880
como el módulo del producto vectorial de los dos vectores que lo delimitan, es decir,

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00:03:26,880 --> 00:03:40,080
AR y ARP. Si ese módulo, que es el área, lo dividimos entre la base vamos a obtener la altura

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00:03:40,080 --> 00:03:44,680
que es lo que realmente equivale a la distancia, es decir, vemos la distancia como una altura

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00:03:44,680 --> 00:03:51,280
y la calculamos dividiendo área del paralelogramo entre su base. Bueno, ahí tenemos ya calculado

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00:03:51,280 --> 00:03:57,280
la distancia vectorial y por lo tanto pues bastaría calcularle su módulo, el módulo

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00:03:57,280 --> 00:04:04,000
de IBR raíz de 6 y operándolo un poco más pues vamos a llegar a la expresión raíz

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00:04:04,000 --> 00:04:13,560
de 300 partido por 3 que sería la distancia buscada. Y vamos ya a resolver el problema

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00:04:13,560 --> 00:04:18,840
mucho más directo de calcular la distancia de un punto a un plano. Para esto aplicamos

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00:04:18,840 --> 00:04:27,240
directamente la fórmula en la que los coeficientes del plano se utilizan para fabricar ese numerador

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00:04:27,240 --> 00:04:34,640
4, menos 5, menos 1 y 1 y utilizamos también las coordenadas del punto P cuya distancia

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00:04:34,640 --> 00:04:41,140
del plano queremos calcular que irán multiplicadas por los primeros coeficientes. En el denominador

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00:04:41,340 --> 00:04:48,940
situamos simplemente el módulo del vector normal. 4 al cuadrado menos 5 al cuadrado

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00:04:48,940 --> 00:04:57,940
más menos 1 al cuadrado. En este caso pues el resultado es 8 partido raíz de 42 que

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00:04:57,940 --> 00:05:06,940
es lo mismo. Después de operar un poco, 4 raíz de 42 partido 21 que sería la distancia

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00:05:06,940 --> 00:05:09,140
que necesitábamos calcular.