1
00:00:06,700 --> 00:00:14,619
Bienvenidos a un nuevo vídeo en el cual vamos a intentar ver el área y el perímetro de las diferentes figuras planas.

2
00:00:15,279 --> 00:00:23,719
Comenzamos con los cuadriláteros, aquellos polígonos de cuatro lados, y dentro de ellos los paralelogramos, los que tienen los lados paralelos dos a dos.

3
00:00:24,640 --> 00:00:27,940
Vamos a demostrar que el área del rectángulo es base por altura.

4
00:00:29,160 --> 00:00:32,380
Hemos trazado un segmento que tiene longitud B.

5
00:00:33,299 --> 00:00:40,619
Observar que si lo desplazamos de forma perpendicular hacia arriba una cierta cantidad que llamamos altura,

6
00:00:41,359 --> 00:00:46,159
en ese proceso se queda sombreada toda la forma del rectángulo.

7
00:00:47,539 --> 00:00:54,140
De esta manera el área del rectángulo es el producto de la base por la altura.

8
00:00:56,920 --> 00:01:02,640
Para hallar el perímetro del rectángulo lo que tenemos que hacer es sumar la longitud de todos sus lados.

9
00:01:02,640 --> 00:01:07,260
Como el rectángulo es un paralelogramo y tiene los lados paralelos 2 a 2

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00:01:07,260 --> 00:01:14,319
el perímetro es igual a dos veces la base más dos veces la altura

11
00:01:14,319 --> 00:01:22,739
Recordar que los cuatro ángulos interiores del rectángulo son de 90 grados

12
00:01:22,739 --> 00:01:25,700
y su suma da 360 grados

13
00:01:25,700 --> 00:01:43,069
trazamos ahora un segmento de longitud L

14
00:01:43,069 --> 00:01:46,250
y lo desplazamos perpendicularmente hacia arriba

15
00:01:46,250 --> 00:01:49,049
una misma longitud L

16
00:01:49,049 --> 00:01:52,489
así obtenemos el cuadrado

17
00:01:52,489 --> 00:01:55,790
paralelogramo con los cuatro lados iguales

18
00:01:55,790 --> 00:01:59,469
observar que el área es el producto del lado por el lado

19
00:01:59,469 --> 00:02:02,450
es decir, la base por la altura, igual que en el rectángulo

20
00:02:02,450 --> 00:02:05,469
como los lados son iguales

21
00:02:05,469 --> 00:02:08,930
Lado por lado nos queda lado al cuadrado

22
00:02:08,930 --> 00:02:15,050
Para calcular el perímetro tenemos que sumar todos los lados que son iguales

23
00:02:15,050 --> 00:02:22,550
Así nos queda que el perímetro es igual a L más L más L más L que es igual a 4L

24
00:02:22,550 --> 00:02:35,759
Si consideramos un rectángulo y ahora lo que hacemos es empujar los dos lados

25
00:02:35,759 --> 00:02:41,840
de forma que queden paralelos, tenemos lo que llamamos un romboide.

26
00:02:42,159 --> 00:02:45,719
Es un paralelogramo con los lados paralelos 2 a 2.

27
00:02:46,939 --> 00:02:51,599
El lado inferior vamos a llamarlo base y la altura es la distancia perpendicular

28
00:02:51,599 --> 00:02:55,639
entre la base inferior y el lado superior.

29
00:02:56,680 --> 00:03:05,710
Su área es la misma que la que tenía el rectángulo inicial,

30
00:03:06,009 --> 00:03:08,090
es decir, el producto de la base por la altura.

31
00:03:08,090 --> 00:03:15,610
Para ya el perímetro, vamos a sumar la longitud de sus cuatro lados.

32
00:03:16,310 --> 00:03:22,789
Como tiene dos lados paralelos 2A2, nos queda 2B más 2A.

33
00:03:28,729 --> 00:03:38,810
Si ponemos nombres a los vértices del polígono, A, B, C y D, podéis ver que los ángulos A y C son iguales,

34
00:03:38,810 --> 00:03:46,610
iguales, diferentes de 90 grados, así como los ángulos B es igual al ángulo D.

35
00:03:48,430 --> 00:03:54,509
La diferencia con respecto al rectángulo es que estos cuatro ángulos no son de 90 grados,

36
00:03:55,050 --> 00:04:01,310
pero la suma de los cuatro da 360, igual que en el rectángulo.

37
00:04:01,310 --> 00:04:21,610
Consideremos a continuación el dibujo de un rectángulo en el cual he llamado a su base con la letra B y a la altura con la letra H

38
00:04:21,610 --> 00:04:31,410
y tenemos también un romboide con base también le he nombrado con la letra B y su altura correspondiente con la letra H

39
00:04:31,410 --> 00:04:36,389
Vamos a demostrar que el área del triángulo es base por altura entre 2

40
00:04:37,110 --> 00:04:40,709
Para ello, comenzando con el rectángulo, trazamos una de las diagonales.

41
00:04:42,810 --> 00:04:48,410
Recordad que la diagonal es el segmento que une dos vértices no consecutivos del polígono.

42
00:04:53,620 --> 00:05:00,779
Así vemos que dentro del rectángulo se forman dos triángulos, rectángulos iguales, el verde y el gris.

43
00:05:01,220 --> 00:05:08,060
Por eso, el área de uno de ellos es el área de todo el rectángulo, es decir, base por altura, pero entre dos.

44
00:05:10,259 --> 00:05:15,319
Para hallar el perímetro de este triángulo tenemos que sumar la longitud de sus tres lados.

45
00:05:16,579 --> 00:05:23,279
Si llamamos A a la hipotenusa, el perímetro es igual a A más B más H.

46
00:05:26,160 --> 00:05:30,060
Si trazamos la diagonal en el romboide, observamos que,

47
00:05:30,259 --> 00:05:33,779
equivalentemente, se obtienen dos triángulos iguales.

48
00:05:33,779 --> 00:05:42,279
Por eso, el área de uno de ellos es el área del romboide, es decir, base por altura entre

49
00:05:42,279 --> 00:05:50,259
2.

50
00:05:50,259 --> 00:05:54,319
Vamos a estudiar a continuación el rombo, que es un cuadrilátero, es decir, un polígono

51
00:05:54,319 --> 00:05:59,779
de 4 lados paralelogramo, porque tiene los lados paralelos 2 a 2.

52
00:05:59,779 --> 00:06:04,139
Todos sus lados son de la misma longitud, que simbolizo con la letra L.

53
00:06:04,139 --> 00:06:07,519
Además, tiene dos diagonales.

54
00:06:07,519 --> 00:06:13,620
diagonal mayor de mayor longitud la simbolizó con la letra de mayúscula y la diagonal menor

55
00:06:13,620 --> 00:06:23,949
que la simbolizó con la letra de minúscula las dos diagonales se cortan formando 90 grados y

56
00:06:23,949 --> 00:06:35,779
además en su punto medio en el rombo los ángulos opuestos a y c miden igual y lo mismo ocurre con

57
00:06:35,779 --> 00:06:44,790
los ángulos opuestos B y D. La suma de los cuatro ángulos interiores

58
00:06:44,790 --> 00:06:52,930
A más B más C más D da 360 grados. Para hallar el perímetro sumamos la

59
00:06:52,930 --> 00:07:01,310
longitud de sus cuatro lados iguales. Así nos queda L más L más L más L que es 4 por L.

60
00:07:01,310 --> 00:07:11,490
Para hallar el área, lo que vamos a hacer es inscribir el rombo en un rectángulo.

61
00:07:11,490 --> 00:07:19,519
Uno de sus lados mide de mayúscula y el otro lado mide de minúscula.

62
00:07:19,519 --> 00:07:24,259
El área de todo ese rectángulo es el producto de la base por la altura, es decir, con esas

63
00:07:24,259 --> 00:07:28,199
letras diagonal mayor por diagonal menor.

64
00:07:28,199 --> 00:07:35,699
Observar que las partes señaladas en amarillo juntas forman un rombo idéntico al primero.

65
00:07:39,050 --> 00:07:47,250
Como caben dos rombos iguales dentro del rectángulo, por ello el área de uno de ellos es diagonal mayor por diagonal menor entre dos.

66
00:07:50,310 --> 00:07:58,759
Consideremos a continuación otro cuadrilátero no paralelogramo, llamado trapecio.

67
00:07:58,759 --> 00:08:08,139
Los lados paralelos son denominados bases, la de mayor longitud base mayor que vamos

68
00:08:08,139 --> 00:08:16,199
a simbolizar con la letra B mayúscula y la otra base menor, fijaros que la distancia

69
00:08:16,199 --> 00:08:22,560
entre la base inferior y la base superior en perpendicular la vamos a denominar altura

70
00:08:22,560 --> 00:08:24,420
Y la represento por la letra H.

71
00:08:25,860 --> 00:08:37,120
Para deducir la fórmula del área del trapecio, vamos a colocar a la derecha el mismo trapecio original, pero dado la vuelta.

72
00:08:38,960 --> 00:08:46,279
Así tenemos en la parte inferior la base menor y en la parte superior la base mayor, que simbolizo con la letra B mayúscula.

73
00:08:46,279 --> 00:08:55,320
Fijaros que el área de todo el rectángulo que se ha formado es base por altura

74
00:08:55,320 --> 00:09:00,779
pero la base es la letra B mayúscula más la letra B minúscula

75
00:09:00,779 --> 00:09:03,620
es decir, la suma de las bases del trapecio por la altura

76
00:09:03,620 --> 00:09:10,460
Observamos que en ese rectángulo hay dos trapecios que son exactamente iguales

77
00:09:10,460 --> 00:09:18,340
Por eso, para calcular el área de uno de ellos, tenemos que dividir la fórmula anterior entre dos.

78
00:09:20,720 --> 00:09:25,700
Para hallar el perímetro de la figura, tenemos que sumar todos los lados.

79
00:09:26,500 --> 00:09:40,580
La demostración de la fórmula del área del trapecio la podemos realizar considerando otro trapecio que no sea rectángulo.

80
00:09:40,580 --> 00:09:47,480
En este ejemplo, un trapecio quisisósceles que tiene los dos lados no paralelos con la misma longitud.

81
00:09:49,899 --> 00:09:55,539
El proceso es similar, es decir, construimos a su derecha un trapecio isósceles invertido.

82
00:09:56,820 --> 00:10:00,639
De esta manera se forma un romboide.

83
00:10:03,340 --> 00:10:07,120
Si recordamos, el área del romboide es base por altura.

84
00:10:07,120 --> 00:10:13,840
En este caso, la base es la base mayor más la base menor del trapecio.

85
00:10:14,980 --> 00:10:17,779
Y la altura la hemos denotado con la letra H.

86
00:10:18,940 --> 00:10:25,100
Como dentro del romboide caben dos trapecios iguales, para hallar el área de uno de ellos tenemos que dividir entre dos.

87
00:10:28,659 --> 00:10:35,559
Para hallar el perímetro sumaremos la longitud de todos sus lados.

88
00:10:35,559 --> 00:10:54,830
A continuación, hablemos de los trapezoides, que son cuadriláteros, es decir, polígonos de cuatro lados, pero no paralelos.

89
00:10:56,110 --> 00:10:57,870
Por eso se llaman no paralelogramos.

90
00:10:59,190 --> 00:11:01,830
Dentro de ellos, dos son de especial importancia.

91
00:11:03,710 --> 00:11:09,549
El primero de ellos es conocido como el trapezoide cometa, porque nos recuerda a una cometa.

92
00:11:09,549 --> 00:11:17,269
Las dos diagonales están en su interior y se cortan formando 90 grados

93
00:11:17,269 --> 00:11:23,529
Para hallar el perímetro tenemos que sumar como siempre la longitud de sus cuatro lados

94
00:11:23,529 --> 00:11:39,570
Para hallar el área de los trapezoides tenemos que descomponerlo en triángulos

95
00:11:39,950 --> 00:11:46,210
Con sus diagonales como hemos hecho previamente y así sumamos el área del primer triángulo más el área del segundo

96
00:11:46,210 --> 00:12:08,519
Otro trapezoide famoso es el que tiene la forma de una ala delta

97
00:12:08,519 --> 00:12:15,360
Tiene dos diagonales, una interior y otra exterior, y se cortan formando 90 grados

98
00:12:15,360 --> 00:12:22,240
Calculamos el perímetro sumando la longitud de todos sus lados

99
00:12:23,820 --> 00:12:30,159
El área total se calcula sumando el área de cada uno de los dos triángulos, que en este caso son iguales

100
00:12:30,159 --> 00:12:47,200
Consideremos a continuación un polígono regular, que es aquel que tiene los lados de la misma longitud y los ángulos interiores iguales

101
00:12:47,200 --> 00:12:49,960
En el ejemplo tenemos un hexágono

102
00:12:49,960 --> 00:13:01,019
Para hallar el perímetro únicamente tenemos que sumar todos los lados, que al ser iguales y denominados con la letra L nos da 6L

103
00:13:01,019 --> 00:13:10,200
Para hallar el área podemos fijarnos en este triángulo de altura la apotema del hexágono

104
00:13:10,200 --> 00:13:16,899
Observar que hay seis triángulos idénticos al anterior

105
00:13:16,899 --> 00:13:22,720
Y en este caso del hexágono regular estos triángulos son triángulos equiláteros

106
00:13:22,720 --> 00:13:33,750
De esta manera vamos a calcular el área del hexágono como seis veces el área de ese triángulo

107
00:13:33,750 --> 00:13:44,769
El área del triángulo mencionada anteriormente es base L por altura, que es la apotema del hexágono, entre 2.

108
00:13:49,710 --> 00:13:57,370
Sustituyendo, para calcular el área del hexágono, es 6 veces ese área del triángulo, que es el lado por la apotema entre 2.

109
00:13:59,049 --> 00:14:04,289
Observar que 6L es todo el perímetro del hexágono.

110
00:14:04,289 --> 00:14:12,009
Así hemos demostrado que el área del polígono regular es perímetro por apotema entre 2

111
00:14:12,009 --> 00:14:17,909
Recordar que el lado es igual al radio en el hexágono regular