1
00:00:12,339 --> 00:00:17,480
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

2
00:00:17,480 --> 00:00:21,800
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

3
00:00:21,800 --> 00:00:33,359
de la unidad AR3 dedicada a la matemática financiera. En la videoclase de hoy estudiaremos

4
00:00:33,359 --> 00:00:38,000
la capitalización de depósitos y resolveremos los ejercicios propuestos del 8 al 11.

5
00:00:46,600 --> 00:00:51,899
En esta sección vamos a estudiar la capitalización. La idea es similar al caso del interés simple

6
00:00:51,899 --> 00:00:56,119
y el interés compuesto que hemos estudiado en las video clases anteriores, en el sentido

7
00:00:56,119 --> 00:01:00,600
en el que depositamos en el banco una cierta cantidad de dinero, en la idea de transcurridos

8
00:01:00,600 --> 00:01:05,060
una serie de años, obtener una cantidad mayor. Queremos obtener el capital inicial y los

9
00:01:05,060 --> 00:01:10,000
intereses, el capital final que denominábamos en esas dos subsecciones anteriores. En este

10
00:01:10,000 --> 00:01:14,219
caso va a funcionar de una forma ligeramente distinta. Como podemos ver aquí en la introducción

11
00:01:14,219 --> 00:01:20,299
teórica, durante un periodo de T años vamos a pagar al inicio de cada uno de ellos una

12
00:01:20,299 --> 00:01:26,879
cierta cantidad igual en todos ellos que se llama anualidad A. En la idea de obtener con ellas y sus

13
00:01:26,879 --> 00:01:32,599
intereses compuestos calculados con un cierto rédito R minúscula, ya están tanto por 1%, un

14
00:01:32,599 --> 00:01:38,459
cierto capital. Para poder calcular cuál es ese capital final que obtendríamos en estas condiciones

15
00:01:38,459 --> 00:01:43,640
lo que vamos a hacer es ver qué es lo que pasa con cada una de las anualidades. Empezamos por la

16
00:01:43,640 --> 00:01:49,579
primera como podemos ver aquí en este desarrollo teórico. La primera anualidad la hemos depositado

17
00:01:49,579 --> 00:01:54,180
al inicio del todo y va a estar en el banco durante un periodo de T años, todo el periodo

18
00:01:54,180 --> 00:01:59,980
de la capitalización. El capital final que produce esa anualidad se puede calcular con

19
00:01:59,980 --> 00:02:05,239
la fórmula del interés compuesto y sería capital 1, el de la primera anualidad, igual

20
00:02:05,239 --> 00:02:10,560
a cantidad inicial, que es igual a la anualidad, por 1 más el rédito elevado al tiempo. En

21
00:02:10,560 --> 00:02:15,199
este caso, esa anualidad va a estar en el banco depositada T años, pues elevado a T.

22
00:02:15,979 --> 00:02:18,280
¿Qué pasa con la segunda anualidad?

23
00:02:18,719 --> 00:02:21,719
Esta la hemos depositado cuando ya ha transcurrido un año.

24
00:02:22,219 --> 00:02:25,300
Y entonces permanecerá dentro del banco T-1.

25
00:02:25,659 --> 00:02:29,139
No el tiempo total, T años, sino T-1.

26
00:02:29,259 --> 00:02:30,659
Hay un año que ya ha transcurrido.

27
00:02:31,500 --> 00:02:34,400
¿Cómo calculamos el capital final que produce esa anualidad?

28
00:02:34,539 --> 00:02:37,199
Nuevamente con la fórmula anterior, la del interés compuesto.

29
00:02:37,879 --> 00:02:40,319
Capital 2, el de la segunda anualidad, igual a

30
00:02:40,319 --> 00:02:44,900
capital inicial, que es la anualidad, por 1 más el rédito, elevado a T-1.

31
00:02:45,199 --> 00:02:46,620
Está un año menos que la anterior.

32
00:02:47,840 --> 00:02:50,060
Continuamos. ¿Qué ocurre con la tercera anualidad?

33
00:02:50,680 --> 00:02:53,599
Esta la hemos depositado cuando ya han transcurrido dos años.

34
00:02:53,759 --> 00:03:01,379
Así que del periodo de años han pasado ya dos, el tiempo que permanece la anualidad dentro del banco es T menos dos años.

35
00:03:01,620 --> 00:03:03,280
No T, sino T menos dos.

36
00:03:03,759 --> 00:03:12,319
Así pues, esa anualidad produce un capital, capital tres, que sería anualidad por uno más el rédito elevado a T menos dos.

37
00:03:13,060 --> 00:03:18,159
Como podéis ver, si continuamos con qué le ocurre a la cuarta, quinta, sexta, etcétera, anualidades,

38
00:03:18,680 --> 00:03:21,919
lo que vamos a obtener es una expresión que se podría deducir por inducción.

39
00:03:22,280 --> 00:03:25,819
Fijaos, la primera anualidad produce un capital A por 1 más R elevado a T.

40
00:03:26,500 --> 00:03:30,479
La segunda anualidad, anualidad por 1 más R elevado a T menos 1.

41
00:03:31,139 --> 00:03:35,780
Tercera anualidad, anualidad por 1 más R elevado a T menos 2.

42
00:03:35,780 --> 00:03:40,340
Y la siguiente T elevado a T menos 3, la siguiente elevado a T menos 4 y así sucesivamente.

43
00:03:41,319 --> 00:03:47,599
Vamos a ir hacia el final. ¿Qué es lo que le ocurre a la última anualidad? Voy a saltar esta que tenemos aquí.

44
00:03:48,479 --> 00:03:57,000
La última anualidad es la anualidad teésima. Durante un periodo de te años estamos ingresando en cada año una anualidad.

45
00:03:57,419 --> 00:04:03,340
La última es la teésima. Quinta si son cinco años, séptima si son siete años, con carácter general se llama teésima.

46
00:04:03,340 --> 00:04:15,639
tésima. Esa última anualidad va a estar depositada durante un último año, el último, y el capital que produce será sub t igual a la anualidad por 1 más r elevado a 1.

47
00:04:17,060 --> 00:04:26,079
Podemos ver entonces que el capital final lo podríamos determinar sumando todos estos capitales que son los que producen cada una de las t anualidades.

48
00:04:26,620 --> 00:04:35,259
Sería capital 1 más capital 2 más capital 3 puntos suspensivos, capital T menos 1, capital T, esta fórmula que tenemos aquí, igual a.

49
00:04:35,779 --> 00:04:39,060
Y lo que he hecho ha sido poner a continuación estas expresiones.

50
00:04:39,680 --> 00:04:49,379
Anualidad por 1 más R elevado a T, más anualidad por 1 más R elevado a T menos 1, más anualidad por 1 más R elevado a T menos 2 puntos suspensivos.

51
00:04:49,759 --> 00:04:55,319
Y a continuación, pues anualidad por 1 más R elevado al cuadrado, más anualidad por 1 más R.

52
00:04:56,819 --> 00:05:05,220
Si vemos esta expresión, aquí tenemos un montón de sumandos y todos ellos tienen en común la anualidad y al menos un factor 1 más r.

53
00:05:05,439 --> 00:05:09,959
Por lo menos aquí en este último tenemos 1 más r, en el primero tenemos 1 más r elevado a t.

54
00:05:10,500 --> 00:05:14,899
Así que sacamos factor común a la anualidad y el factor 1 más r.

55
00:05:15,540 --> 00:05:20,300
¿Factor común de qué? Bueno, pues aquí tendríamos 1 más r elevado a t menos 1, hemos quitado uno de ellos.

56
00:05:20,920 --> 00:05:34,079
Aquí 1 más r elevado a t menos 2, aquí 1 más r elevado a t menos 3, como podemos ver, continuamos con los puntos suspensivos y aquí tenemos 1 más r, teníamos dos factores, hemos quitado uno y aquí sencillamente uno.

57
00:05:34,079 --> 00:05:38,199
Hemos sacado factor común a 1 más r, factor común de 1.

58
00:05:38,199 --> 00:05:55,360
Bien, esto que tenemos aquí entre corchetes podríamos identificarlo como la suma de los t primeros términos de una progresión geométrica, cuyo primer término es 1, como vemos aquí, y a partir de aquí todos los demás se obtienen multiplicando por la razón que resulta ser 1 más r.

59
00:05:55,779 --> 00:06:03,660
Primer término 1, siguiente 1 por 1 más r, siguiente 1 más r por 1 más r, 1 más r al cuadrado, 1 más r al cubo, la cuarta, etc.

60
00:06:04,779 --> 00:06:16,899
Lo que vamos a hacer es sustituir este corchete por la fórmula que se obtiene de suma de los t primeros términos de una progresión geométrica, primer término 1 y razones 1 más r.

61
00:06:17,439 --> 00:06:22,759
Aquí lo que tenemos es entonces 1 más r elevado a t menos 1 dividido entre r.

62
00:06:22,759 --> 00:06:39,720
Así pues, con esta fórmula podemos calcular el capital final obtenido cuando estamos pagando durante T años al principio de cada uno de ellos una anualidad A, calculando los intereses compuestos que producen cada una de las anualidades con un radito R-1.

63
00:06:39,720 --> 00:06:45,860
En ciertas ocasiones no nos planteamos por cuál pueda ser el capital final que obtenemos

64
00:06:45,860 --> 00:06:50,899
depositando en el banco anualmente una cierta cantidad, sino que nos planteamos cuál es

65
00:06:50,899 --> 00:06:55,319
la anualidad, cuál es la cantidad que debemos depositar anualmente para obtener un cierto

66
00:06:55,319 --> 00:06:59,300
capital. Nuestro objetivo es obtener un capital y nos preguntamos por cuánto hemos de ir

67
00:06:59,300 --> 00:07:03,500
ahorrando. En ese caso lo que podemos hacer es tomar la expresión anterior y de ella

68
00:07:03,500 --> 00:07:08,120
despejar la anualidad en función del capital y obtendríamos esta expresión que podemos

69
00:07:08,120 --> 00:07:14,399
ver aquí. Como primer ejemplo vamos a resolver este ejercicio 8, en el cual se nos dice que

70
00:07:14,399 --> 00:07:19,439
al comienzo de cada año depositamos 6.000 euros en un banco al 7% anual y nos preguntan

71
00:07:19,439 --> 00:07:23,800
por el capital que tendremos al finalizar el décimo año. Vamos a tomar la fórmula

72
00:07:23,800 --> 00:07:28,379
que hemos deducido del capital final y vamos a sustituir los datos que tenemos aquí. El

73
00:07:28,379 --> 00:07:32,800
capital final se calcula multiplicando la anualidad, que en este caso son 6.000 euros,

74
00:07:32,800 --> 00:07:42,660
por 1 más el rédito, que sería 0,07, pasamos este 7% a tanto por 1, por 1 más el rédito elevado a T al finalizar el décimo año,

75
00:07:42,819 --> 00:07:47,879
así que vamos a dejar el depósito vivo durante 10 años, menos 1 y entre el rédito.

76
00:07:48,860 --> 00:07:55,300
Operando esta expresión numérica, vemos que el capital final sería de 88.701,60 euros.

77
00:07:55,920 --> 00:08:01,560
Fijaos que si ahorramos 6.000 euros durante 10 años, obtendríamos sencillamente 6.000 euros.

78
00:08:01,560 --> 00:08:14,079
El hecho de depositarlo en el banco, obtener unos ciertos intereses y que estos intereses se vayan acumulando, producen no tener 60.000 euros, sino tener 88.702, redondeando.

79
00:08:14,939 --> 00:08:29,519
Como un segundo ejemplo, se nos pide en este ejercicio 9 que calculemos cuál es la cantidad de dinero que se necesita depositar en un banco al 2% anual, al comienzo de cada año, para, transcurridos 8 años, obtener un capital de 24.000 euros.

80
00:08:29,519 --> 00:08:42,539
En este caso se nos pregunta por la anualidad. Queremos obtener 24.000 euros pasados 8 años, si el rédito es el 2%, en tanto por 1, 0,02, ¿cuál es la anualidad que debería depositar?

81
00:08:43,080 --> 00:08:47,100
Lo que vamos a hacer es tomar esta fórmula que tenemos aquí directamente y sustituir los datos.

82
00:08:47,639 --> 00:08:55,220
Capital final 24.000 euros, rédito como he comentado hace un momento 0,02, uno más el rédito, uno más el rédito elevado al tiempo.

83
00:08:55,220 --> 00:09:07,200
Nos preguntan por 8 años, así que sustituiremos con lo exponente 1, 8 menos 1. Operamos y vemos que la anualidad sería 2.741,41 euros.

84
00:09:08,039 --> 00:09:19,519
Si tomamos 24.000 euros y lo dividimos entre 8, lo que calcularíamos es la cantidad que tendría que ahorrar sin utilizar para nada los servicios del banco para obtener finalmente 24.000 euros.

85
00:09:19,519 --> 00:09:40,000
Esas cantidades son de 3.000 euros. Así pues, el hecho de ahorrar depositando en el banco me permite ahorrar una cantidad de dinero menor, 2.740 euros aproximadamente, en lugar de 3.000 euros, puesto que este dinero depositado en el banco genera intereses, cosa que el dinero que ahorro sin utilizar el banco no hace.

86
00:09:40,879 --> 00:09:56,259
Por último, se nos pide en este ejercicio número 10 que calculemos cuál es el tiempo necesario, los años, para que al depositar en un banco al comienzo de cada año 2.500 euros al 3% anual, se obtenga un capital de 20.000 euros.

87
00:09:56,740 --> 00:10:02,899
Vamos a ver cuánto tiempo tenemos que operar de esta manera, depositando 2.500 euros para obtener un capital de 20.000 euros.

88
00:10:03,440 --> 00:10:09,419
En este caso podemos utilizar o bien la fórmula del capital o bien la fórmula de la anualidad. Yo he tomado la fórmula del capital.

89
00:10:10,000 --> 00:10:16,159
Y lo que he hecho ha sido de ella despejar el tiempo, este t que tengo aquí en el exponente.

90
00:10:17,299 --> 00:10:22,059
Para ello lo primero que hago es el rédito que tengo aquí dividiendo, pasarlo al miembro de la izquierda multiplicando.

91
00:10:22,059 --> 00:10:28,940
Me queda esta expresión, lo que tenía el numerador antes en el miembro de la derecha, igual a capital final por el rédito.

92
00:10:29,960 --> 00:10:35,100
A continuación, anualidad por 1 más el rédito, lo paso dividiendo al miembro de la derecha.

93
00:10:35,940 --> 00:10:38,779
Este 1 que está aquí restando, a su vez lo paso sumando.

94
00:10:38,779 --> 00:10:42,700
y ahora necesito despejar esta t que tengo en el exponente.

95
00:10:43,080 --> 00:10:47,820
La forma de operar es tomar logaritmos tanto en el miembro de la izquierda como en el de la derecha.

96
00:10:48,159 --> 00:10:51,120
Elijo logaritmos decimales, aunque podría ser cualesquiera otros.

97
00:10:51,700 --> 00:10:56,379
Logaritmo decimal de 1 más r elevado a t, igual a logaritmo de esta expresión que tenía aquí.

98
00:10:57,259 --> 00:11:01,659
Propiedad de los logaritmos, este t que tengo en el exponente lo puedo pasar delante multiplicando.

99
00:11:02,500 --> 00:11:05,980
Este t es el número de años que tiene que transcurrir, es lo que quiero calcular.

100
00:11:05,980 --> 00:11:10,960
lo voy a despejar pasando este logaritmo de 1 más r dividiendo al miembro de la derecha.

101
00:11:11,639 --> 00:11:14,460
Ahora sí puedo sustituir todos los datos para calcular esta t.

102
00:11:15,200 --> 00:11:18,700
Tengo logaritmo de capital final 20.000 euros.

103
00:11:19,159 --> 00:11:23,320
Rédito, me hablan de un 3% anual, aquí lo tengo, sería 0,03.

104
00:11:24,000 --> 00:11:32,960
La anualidad 2.500 euros, sustituyo esto de datos, opero, y veo que el resultado sería 7,09.

105
00:11:33,840 --> 00:11:38,940
Tengo que dar un número de años, un número entero de años, y siempre voy a redondear hacia arriba.

106
00:11:39,179 --> 00:11:47,200
Así que este 7,09 quiere decir que al menos tengo que tenerlo depositado durante 8 años y tengo que pagar 8 anualidades.

107
00:11:48,980 --> 00:11:56,940
De forma análoga a como ocurría en las secciones anteriores, podemos preguntarnos qué es lo que ocurre si no se realiza un único pago anual,

108
00:11:57,259 --> 00:11:59,600
sino que se realizan n pagos a lo largo del año.

109
00:11:59,600 --> 00:12:04,539
N igual a 12 si los pagos son mensuales, N igual a 4 si los pagos son trimestrales.

110
00:12:05,000 --> 00:12:09,580
En este caso lo que vamos a hacer es operar análogamente a como hemos hecho en las secciones anteriores.

111
00:12:10,139 --> 00:12:15,659
Vamos a sustituir el rédito por el rédito entre N, N el número de pagos que se realiza cada año,

112
00:12:16,200 --> 00:12:21,059
y vamos a sustituir T minúscula, el número de años, por T mayúscula, el número de periodos.

113
00:12:21,840 --> 00:12:26,059
Así pues, vamos a tomar la fórmula para el capital, que hemos deducido hace un momento,

114
00:12:26,059 --> 00:12:29,539
y lo que vamos a hacer es las sustituciones que acabo de comentar.

115
00:12:29,600 --> 00:12:43,299
Tendríamos anualidad por 1 más el rédito entre n, por, en el numerador de esta expresión, 1 más el rédito entre n elevado a t, número de periodos, menos 1, dividido entre el rédito entre n.

116
00:12:44,100 --> 00:12:52,059
Análogamente, en el caso de la fórmula, para la anualidad, que en este caso ya no sería la anualidad, sino el pago que se realizaría periódicamente.

117
00:12:52,480 --> 00:12:57,620
Si n es igual a 12, sería la mensualidad, y si n fuera 4, sería la trimestralidad.

118
00:12:58,279 --> 00:13:02,179
Como ejemplo para ver cómo funciona, vamos a resolver este ejercicio número 11.

119
00:13:02,799 --> 00:13:07,419
Se nos dice que al comienzo de cada mes depositamos 100 euros en un banco al 6% anual.

120
00:13:07,799 --> 00:13:10,259
¿Qué capital tendremos al final del segundo año?

121
00:13:10,840 --> 00:13:15,120
Bueno, pues lo que vamos a hacer es tomar esta fórmula para el capital y sustituir los datos.

122
00:13:16,059 --> 00:13:20,559
A sería la mensualidad, puesto que estamos haciendo pagos cada mes, 100 euros.

123
00:13:20,980 --> 00:13:25,659
1 más el rédito, 0,06, que es el tanto por 1 que equivale al 6%,

124
00:13:25,659 --> 00:13:30,100
entre 12, puesto que estamos haciendo pagos mensuales y hay 12 meses en un año.

125
00:13:30,740 --> 00:13:36,059
En cuanto a T mayúscula, el número de periodos es el número de meses que hay en dos años.

126
00:13:36,519 --> 00:13:38,059
2 por 12, total 24.

127
00:13:39,019 --> 00:13:44,700
Si operamos, lo que vemos es que el capital final, el capital que tendremos al final del segundo año,

128
00:13:44,700 --> 00:13:53,659
será de 2.555,91 euros, más que 100 por 24, el capital que tendríamos ahorrando 100 euros

129
00:13:53,659 --> 00:13:57,639
sin utilizar los servicios del banco, que serán sólo 2.400 euros.

130
00:14:00,620 --> 00:14:06,139
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

131
00:14:06,879 --> 00:14:10,980
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

132
00:14:11,799 --> 00:14:16,559
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

133
00:14:17,120 --> 00:14:18,519
Un saludo y hasta pronto.