1 00:00:03,500 --> 00:00:05,839 Vamos a hacer un nuevo videotutorial. 2 00:00:06,719 --> 00:00:10,080 Nos encontramos dentro del bloque de álgebra. 3 00:00:15,589 --> 00:00:21,010 Dentro de álgebra vimos una unidad dedicada a las matrices, 4 00:00:22,089 --> 00:00:24,109 otra dedicada a los determinantes, 5 00:00:24,769 --> 00:00:29,089 y ahora nos encontramos en la unidad didáctica número 3 6 00:00:29,089 --> 00:00:33,049 para sistemas de ecuaciones lineales. 7 00:00:33,049 --> 00:00:42,679 Bien, pues dentro de esta unidad didáctica 8 00:00:42,679 --> 00:00:47,960 vamos a hacer fundamentalmente dos objetivos. 9 00:00:48,600 --> 00:00:58,789 Uno, discutir el sistema y dos, resolver el sistema. 10 00:00:59,609 --> 00:01:04,769 ¿Qué es discutir el sistema y qué es resolver el sistema? 11 00:01:05,489 --> 00:01:08,049 Pues bien, nos centramos en la discusión. 12 00:01:08,049 --> 00:01:18,790 La discusión es analizar el sistema de ecuaciones y llegar a determinar si tiene o no tiene solución. 13 00:01:19,950 --> 00:01:28,269 En el caso de que sí tenga solución, se dice que el sistema es compatible. 14 00:01:34,549 --> 00:01:40,709 Cuando no tiene solución, el sistema es incompatible. 15 00:01:40,709 --> 00:02:01,569 Entonces, hemos visto que nos vamos a centrar en los sistemas compatibles y dentro de los sistemas compatibles veremos los procedimientos que hay para su resolución. 16 00:02:02,650 --> 00:02:06,189 ¿Qué métodos tenemos para hacer la discusión? 17 00:02:06,189 --> 00:02:27,400 Esto es muy importante porque podemos utilizar el teorema de Rousseff-Robernus o podemos usar el método de Gauss. 18 00:02:27,400 --> 00:02:45,819 Bien, pues vamos a empezar hoy este videotutorial dentro del bloque de álgebra, como ya hemos dicho, dentro de la unidad de sistemas de ecuaciones, 19 00:02:46,860 --> 00:03:00,400 viendo cómo hacemos una discusión y averiguando si el sistema es compatible y si tiene solución, o si fuera incompatible, no tiene solución, 20 00:03:00,400 --> 00:03:06,830 aplicando hoy el teorema de Roucher-Frobenius. 21 00:03:07,009 --> 00:03:09,389 ¿Y qué dice el teorema de Roucher-Frobenius? 22 00:03:10,090 --> 00:03:14,870 Pues el teorema de Roucher-Frobenius 23 00:03:14,870 --> 00:03:19,909 fundamentalmente lo que hace es estudiar 24 00:03:19,909 --> 00:03:23,129 la matriz de los coeficientes 25 00:03:23,129 --> 00:03:28,960 y compararla con la matriz ampliada. 26 00:03:29,439 --> 00:03:32,319 Más concretamente lo que va a estudiar es el rango. 27 00:03:32,819 --> 00:03:35,300 ¿Pero qué es esto de la matriz de los coeficientes? 28 00:03:35,680 --> 00:03:46,460 Bueno, pues si tenemos un sistema de ecuaciones en el que vemos que hay unos números que multiplican a las incógnitas, 29 00:03:51,710 --> 00:03:59,810 estos números son los que van a formar la matriz de los coeficientes. 30 00:04:13,659 --> 00:04:20,639 La matriz de coeficientes estará formada por los números que multiplican a las incógnitas. 31 00:04:20,639 --> 00:04:50,060 Estos números ordenados en una matriz se denominan matriz de coeficientes. 32 00:04:50,360 --> 00:05:01,480 Bien, pues esta misma matriz, si le incorporamos una columna con los términos independientes, 33 00:05:08,040 --> 00:05:16,980 se convierte en la matriz ampliada, que normalmente se denota con un asterisco, una apóstrofa, 34 00:05:16,980 --> 00:05:36,259 y que tiene los mismos coeficientes que la matriz anterior, pero se le incorpora una columna más. 35 00:05:39,259 --> 00:05:44,120 Luego, en el caso, esta es la matriz ampliada. 36 00:05:44,399 --> 00:05:56,360 En el caso de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, la matriz de coeficiente es una matriz 3x3. 37 00:05:56,360 --> 00:06:08,220 Y en una matriz ampliada del mismo sistema, tendría tres filas, pero cuatro. 38 00:06:09,040 --> 00:06:16,420 Bueno, pues ¿cómo averiguamos si esto tiene solución o no tiene solución analizando estas matrices? 39 00:06:16,420 --> 00:06:30,699 Pues según nos dice el teorema de Rutsche-Frobenius, analizamos y comparamos el rango de A con el de su ampliada. 40 00:06:30,699 --> 00:06:43,879 Si son iguales, el sistema es compatible y por tanto sí tiene solución. 41 00:06:43,879 --> 00:07:08,370 Pero en el caso de que el rango de la matriz de los coeficientes sea distinto del rango de la matriz ampliada, 42 00:07:09,589 --> 00:07:20,689 el sistema es incompatible y no tiene solución. 43 00:07:27,779 --> 00:07:32,560 Además, dentro del caso de los que sí tienen solución, 44 00:07:32,560 --> 00:07:41,920 es decir, cuando los dos rangos son iguales, aparecen en nuestro análisis dos situaciones. 45 00:07:42,860 --> 00:07:53,939 Que el rango sea igual en ambas matrices y coincida con el número de incógnitas, 46 00:07:58,040 --> 00:08:10,879 cuyo caso, el sistema, además de ser compatible, es determinado porque tiene solución única. 47 00:08:10,879 --> 00:08:31,889 Aquí la solución es única. Luego veremos que se puede también resolver aplicando el método de Gauss o aplicando la regla de Kramer. 48 00:08:33,049 --> 00:08:48,590 Pero hay otra situación y es cuando este rango, que hemos visto que en el caso de los compatibles son iguales, podría ser que fuera menor que el número de incógnitos. 49 00:08:48,590 --> 00:09:02,919 En este caso, el sistema es compatible, pero es indeterminado. 50 00:09:04,679 --> 00:09:15,789 ¿Y esto qué quiere decir? Pues que este sistema, en esta situación, tendría infinitas soluciones. 51 00:09:20,850 --> 00:09:24,669 Esto lo veremos en el próximo vídeo con un ejemplo. 52 00:09:26,129 --> 00:09:26,889 Muchas gracias.