1
00:00:02,480 --> 00:00:10,380
Vamos a demostrar la fórmula que nos da la distancia de un punto genérico en el plano a una recta genérica en el plano.

2
00:00:10,740 --> 00:00:19,839
Para ello, aquí tenemos definida la recta R en el plano, cuya ecuación implícita es genérica x más bi más c igual a cero,

3
00:00:20,379 --> 00:00:23,420
y un punto genérico en el plano, cuyas coordenadas son la b.

4
00:00:24,379 --> 00:00:27,379
¿Cómo definimos la distancia de este punto a esta recta?

5
00:00:27,379 --> 00:00:33,939
Bueno, pues la distancia de este punto a esta recta es el camino más corto entre P y R

6
00:00:33,939 --> 00:00:35,600
¿Cuál es dicho camino más corto?

7
00:00:36,119 --> 00:00:41,759
Pues es el segmento perpendicular a la recta R que pasa por P

8
00:00:41,759 --> 00:00:45,280
¿Cómo calculamos este segmento? ¿Qué estrategia seguimos?

9
00:00:45,979 --> 00:00:48,840
Bueno, pues parece natural que lo primero que tendríamos que hacer es

10
00:00:48,840 --> 00:00:53,340
calcular la ecuación de la recta que pasa por P y es perpendicular a R

11
00:00:53,340 --> 00:00:56,119
¿Vale? Esta recta que vamos a llamar S

12
00:00:56,119 --> 00:01:18,700
Y luego, esto ya nos define el otro extremo del segmento que buscamos, que sería Q, este punto Q de corte entre dicha recta y la recta R, ¿no? Aquí lo tenemos, vemos P y Q, y la recta S que es perpendicular a R, ¿vale? Perfecto.

13
00:01:18,700 --> 00:01:35,120
Y entonces, ahora, ¿cómo calculamos la distancia? Pues, una manera fácil sería, calculamos el vector que va de Q a P, y el módulo dicho vector coincidirá con la distancia del punto a la recta, ¿no?

14
00:01:36,280 --> 00:01:46,140
Pues, hacemos eso, calculamos el vector QP, que tenemos aquí, y su módulo será la distancia de la recta al punto.

15
00:01:46,879 --> 00:01:49,400
Bueno, pues ya tenemos estrategia, vamos a ir siguiendo los pasos.

16
00:01:50,579 --> 00:01:52,000
Siguiente, primera cosa.

17
00:01:52,599 --> 00:01:55,120
Bueno, hallamos la recta S está verde

18
00:01:55,120 --> 00:02:00,219
y sabemos que un vector normal a la recta R

19
00:02:00,219 --> 00:02:03,439
se vendrá dado por las componentes AB.

20
00:02:05,019 --> 00:02:06,640
Esta es la ecuación implícita.

21
00:02:07,560 --> 00:02:11,159
Por tanto, como S tiene que ser perpendicular a R,

22
00:02:11,280 --> 00:02:15,280
su vector normal también será perpendicular al vector normal de R.

23
00:02:15,280 --> 00:02:24,740
Por tanto, ns, un vector normal a s, viene dado, por ejemplo, por las coordenadas b menos a.

24
00:02:25,259 --> 00:02:28,879
Este vector es normal a la recta s.

25
00:02:29,520 --> 00:02:37,240
Por tanto, podemos escribir ya sus primeros dos coeficientes de la ecuación implícita.

26
00:02:37,240 --> 00:02:46,599
BX menos AI y C' lo dejamos aún como incógnita, pero C' si imponemos que el punto P esté en S,

27
00:02:47,520 --> 00:02:51,240
vendrá dado por menos BA más AB, como podemos ver aquí.

28
00:02:52,560 --> 00:02:57,439
C' debe imponer que el punto P pertenezca a la recta S.

29
00:02:58,240 --> 00:03:05,800
Muy bien, pues ahora ya podemos pasar al punto 2, que es hallar el punto de corte Q

30
00:03:05,800 --> 00:03:08,680
entre S y R

31
00:03:08,680 --> 00:03:12,479
esto equivale a resolver el sistema de ecuaciones lineales

32
00:03:12,479 --> 00:03:16,120
de las dos rectas que son por construcción secantes

33
00:03:16,120 --> 00:03:19,800
pues vamos a ver

34
00:03:19,800 --> 00:03:21,259
resolvemos este sistema

35
00:03:21,259 --> 00:03:23,740
y para resolver este sistema

36
00:03:23,740 --> 00:03:25,800
a mí me ha resultado cómodo

37
00:03:26,400 --> 00:03:27,960
hacer reducción dos veces

38
00:03:27,960 --> 00:03:32,599
uno para reducir la Y y calcular la X

39
00:03:32,599 --> 00:03:36,360
y otro para calcular la y y reducir la x.

40
00:03:36,939 --> 00:03:41,500
Entonces, la primera cosa es calcular x

41
00:03:41,500 --> 00:03:45,979
y para ello he multiplicado por a la primera ecuación

42
00:03:45,979 --> 00:03:48,580
y por b la segunda ecuación y las he sumado.

43
00:03:49,139 --> 00:03:54,219
Nos queda a cuadrado x más ab por i más c por a igual a cero

44
00:03:54,219 --> 00:04:01,780
y b cuadrado x menos a por b por i más c prima por b igual a cero.

45
00:04:01,780 --> 00:04:08,860
Las sumamos y luego sustituimos el valor este que tenemos de c' para obtener x.

46
00:04:10,939 --> 00:04:17,420
Y bueno, pues esta es x, la rodeamos.

47
00:04:18,360 --> 00:04:27,519
Y ahora para calcular y en vez de sustituir el resultado de x, lo que he hecho es volver a aplicar reducción.

48
00:04:28,139 --> 00:04:29,980
Entonces vamos un poquito aquí para abajo.

49
00:04:29,980 --> 00:04:34,350
Ahí está.

50
00:04:34,350 --> 00:04:42,319
Entonces, multiplicamos por b la primera ecuación y por a la segunda

51
00:04:42,319 --> 00:04:45,259
Y las restamos y así nos quitamos la x

52
00:04:45,259 --> 00:04:49,459
Entonces nos queda una ecuación similar a la que teníamos para x y para y

53
00:04:49,459 --> 00:04:54,939
Despejamos, sustituimos el valor de g' y obtenemos esta cantidad

54
00:04:55,540 --> 00:05:01,500
¿Vale? Entonces, este punto es el punto q

55
00:05:01,500 --> 00:05:07,040
Que simplemente he cogido el resultado de x y el resultado de y

56
00:05:07,040 --> 00:05:18,310
Ahora tenemos que hallar QP

57
00:05:18,310 --> 00:05:22,569
Hemos dicho que la llamamos QP

58
00:05:22,569 --> 00:05:26,649
Para ello, pues bueno, ya tenemos las coordenadas de Q

59
00:05:26,649 --> 00:05:28,269
Tenemos las de P que son a B

60
00:05:28,269 --> 00:05:31,910
Pues calculamos, álgebra

61
00:05:31,910 --> 00:05:39,189
Tenemos A menos la primera componente de Q, B menos la segunda componente de Q.

62
00:05:39,889 --> 00:05:48,949
Operamos reduciendo como un denominador y aquí vemos que hay términos que se nos cancelan,

63
00:05:49,709 --> 00:05:58,870
tipo este B cuadrado por A y B cuadrado por A, y aquí tenemos A cuadrado por B y A cuadrado por B se cancelan, ¿no?

64
00:05:58,870 --> 00:06:13,550
Y luego, si siguiéramos, tendríamos que aquí A está multiplicando a todos los sumandos, por tanto, podemos sacar factor común, ¿no?

65
00:06:13,550 --> 00:06:41,410
Entonces me queda a por a más c más b mayúscula, b minúscula por a entre a cuadrado más b cuadrado y en el otro igual b, está multiplicando a todos los sumandos, por tanto podemos sacar factor común.

66
00:06:41,410 --> 00:07:03,860
Entonces me queda b por b más c más a por a igual a, o sea, por b, perdón, voy a poner aquí, por entre a cuadrado más b cuadrado.

67
00:07:04,199 --> 00:07:11,160
Y vemos que este factor que tenemos aquí delante multiplicando es exactamente igual a este de aquí.

68
00:07:11,779 --> 00:07:14,259
Perdonad que a lo mejor con la cruz es mejor.

69
00:07:14,540 --> 00:07:15,959
Esto de aquí es igual a esto de aquí.

70
00:07:16,639 --> 00:07:19,459
Por tanto, podremos sacar factor común todo hacia afuera, ¿no?

71
00:07:20,120 --> 00:07:22,100
Bueno, pues eso es lo que hemos hecho.

72
00:07:23,040 --> 00:07:24,180
Y es como queda.

73
00:07:24,500 --> 00:07:25,399
Uy, queda un poco.

74
00:07:26,160 --> 00:07:27,399
Lo bajo un poco, ahí.

75
00:07:28,860 --> 00:07:33,660
Este es el punto, o sea, el vector que va de Q a P.

76
00:07:33,660 --> 00:07:37,139
Y ahora ya solo nos queda hallar su módulo.

77
00:07:37,699 --> 00:07:39,279
Bueno, pues vamos a hallar su módulo.

78
00:07:39,279 --> 00:07:43,639
hallamos, y su módulo nos da ya la distancia de R a P

79
00:07:43,639 --> 00:07:47,639
pero su módulo, ¿qué le pasa? que todo este factor que está adelante

80
00:07:47,639 --> 00:07:52,100
lo podemos sacar fuera, con la única salvedad

81
00:07:52,100 --> 00:07:56,019
de que nos tenemos que acordar que aquí tenemos que poner el valor absoluto

82
00:07:56,019 --> 00:07:59,800
porque A por A más B por B más C puede ser una cantidad negativa

83
00:07:59,800 --> 00:08:03,779
y realmente si sacamos el módulo, esto viene de

84
00:08:03,779 --> 00:08:08,160
hacer la raíz cuadrada de esto al cuadrado entre esto al cuadrado

85
00:08:08,160 --> 00:08:15,939
que nos lo vamos a sacar de la raíz cuadrada, pero no podemos olvidar quedarnos con el valor absoluto.

86
00:08:16,120 --> 00:08:25,379
Por tanto, vamos, voy a poner aquí, ahí, el módulo de Q a P, que en definitiva va a ser la distancia

87
00:08:25,379 --> 00:08:34,879
generado por, aquí ya ponemos el valor absoluto, espero haberos convencido,

88
00:08:34,879 --> 00:08:43,799
si no, lo hacéis entero y os saldrá, y abajo también sale a al cuadrado, aquí no hace falta a al cuadrado más b al cuadrado,

89
00:08:43,919 --> 00:08:50,240
no tengo que poner el valor absoluto porque esta cantidad es siempre positiva, además nunca se va a anular,

90
00:08:50,480 --> 00:08:57,480
porque si tenemos que bien en a y b de la ecuación de una recta, uno de los dos ha de ser no nulo,

91
00:08:57,480 --> 00:09:04,279
Y luego ya si quedemos la raíz cuadrada de las componentes al cuadrado aquí

92
00:09:04,279 --> 00:09:07,799
Y este sería el módulo

93
00:09:07,799 --> 00:09:15,399
Pero podemos poner la raíz cuadrada de a cuadrado más b cuadrado entre a cuadrado más b cuadrado es 1 partido de la raíz cuadrada

94
00:09:15,399 --> 00:09:22,240
Entonces esta es la fórmula que nos queda al final

95
00:09:22,240 --> 00:09:29,120
Tendría que, a ver

96
00:09:29,120 --> 00:09:30,740
Bueno, esta es la fórmula

97
00:09:30,740 --> 00:09:33,000
Queda un poco encima, pero bueno, lo siento ya

98
00:09:33,000 --> 00:09:35,179
Esta es la fórmula

99
00:09:35,179 --> 00:09:36,120
Que queda al final

100
00:09:36,120 --> 00:09:39,039
Voy a ir al layer anterior

101
00:09:39,039 --> 00:09:44,080
Y ya me lo

102
00:09:44,080 --> 00:09:46,600
Lo selecciono

103
00:09:46,600 --> 00:09:47,519
Me lo bajo un poquito

104
00:09:47,519 --> 00:09:48,580
Vale

105
00:09:48,580 --> 00:09:52,559
Entonces la distancia vendrá dada al final

106
00:09:52,559 --> 00:09:53,940
Por esto, que es la ecuación

107
00:09:53,940 --> 00:09:58,320
que estábamos buscando. Pues muchas gracias y aquí ya terminamos.