1
00:00:00,000 --> 00:00:04,960
Tenemos dos formas de expresar las ecuaciones de una recta, a través de un

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00:00:04,960 --> 00:00:12,160
punto y un vector director o como intersección de dos planos no

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00:00:12,160 --> 00:00:17,880
paralelos que se cortan precisamente en nuestra recta. Con esta información, punto

4
00:00:17,880 --> 00:00:22,760
y vector director, es fácil escribir cualquiera de estas ecuaciones y

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00:00:22,760 --> 00:00:28,000
recíprocamente si tengo cualquiera de estas tres ecuaciones me va a ser fácil

6
00:00:28,000 --> 00:00:31,640
recuperar la información geométrica punto y vector.

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00:00:31,640 --> 00:00:36,520
Por ejemplo, en estas ecuaciones paramétricas puedo leer que las

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00:00:36,520 --> 00:00:43,760
coordenadas de un punto P de esa recta son 2, 0, menos 1 y también puedo leer

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00:00:43,760 --> 00:00:47,920
mirando a los coeficientes de lambda que las coordenadas de un vector director de

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00:00:47,920 --> 00:00:56,960
esa recta son menos 1, 1 y 0. En el otro lado, expresar R en implícitas quiere

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00:00:56,960 --> 00:01:02,360
decir expresarlo como corte de dos planos. ¿Cómo obtener a partir de estas

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00:01:02,360 --> 00:01:07,600
ecuaciones paramétricas unas ecuaciones implícitas para la misma recta R? El

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00:01:07,600 --> 00:01:13,560
método más directo es escribir primero las ecuaciones continuas de R, que

14
00:01:13,560 --> 00:01:17,520
sabemos que son de la forma x y z. Aquí debemos restar las coordenadas del

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00:01:17,520 --> 00:01:22,880
punto, nuestro ejemplo 2, 0 y menos 1 y dividir por las coordenadas del vector

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00:01:22,880 --> 00:01:29,480
menos 1, 1 y 0. Aunque esto de dividir por 0 no tiene sentido matemático, en estas

17
00:01:29,480 --> 00:01:33,200
circunstancias se admite como abuso de notación porque todos entendemos lo que

18
00:01:33,200 --> 00:01:39,280
quiere decir. Si ahora elegimos dos de las ecuaciones

19
00:01:39,280 --> 00:01:46,560
contenidas en esta triple igualdad, pues obtenemos las ecuaciones de dos planos.

20
00:01:46,560 --> 00:01:52,160
Vamos a pasar a simplificarlas para que parezcan de verdad ecuaciones de planos.

21
00:01:52,160 --> 00:02:00,640
Aquí pone menos x más 2 es igual a y, es decir, pone menos x menos y más 2 igual a

22
00:02:00,640 --> 00:02:07,600
0, que sería la ecuación de un plano que contiene a la recta R. Y aquí pone,

23
00:02:07,600 --> 00:02:14,280
multiplicando en cruz, que z más 1 es igual a 0, que es una ecuación bastante

24
00:02:14,280 --> 00:02:18,120
simple, pero que corresponde con la ecuación de otro plano que contiene a la

25
00:02:18,120 --> 00:02:24,480
recta R. Así que nuestro objetivo de dar R en implícitas está cumplido. Estas

26
00:02:24,480 --> 00:02:30,920
serían unas ecuaciones implícitas para la recta R.

27
00:02:32,160 --> 00:02:36,320
Vamos por último con el caso contrario en el que tenemos unas ecuaciones

28
00:02:36,320 --> 00:02:41,480
implícitas y queremos escribir unas ecuaciones paramétricas.

29
00:02:41,480 --> 00:02:46,120
El método probablemente más directo es

30
00:02:46,120 --> 00:02:51,080
solucionar este sistema de ecuaciones que, como es compatible e indeterminado,

31
00:02:51,080 --> 00:02:55,040
pues admitirá una solución con parámetros. Elijamos, por ejemplo, en este

32
00:02:55,040 --> 00:03:01,840
caso x igual a lambda y entonces podemos escribir las ecuaciones de esta manera

33
00:03:01,840 --> 00:03:08,440
y sumando obtenemos extraexpresión para z que nos lleva a que z debe ser 2

34
00:03:08,440 --> 00:03:12,680
menos lambda. Si metemos ahora esta información, por ejemplo, en la primera de

35
00:03:12,680 --> 00:03:17,080
las dos ecuaciones, vamos a obtener con poco esfuerzo que y es igual a menos 2

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00:03:17,080 --> 00:03:21,800
menos 3 lambda. Y ya está. Podemos poner aquí ordenaditas las tres ecuaciones

37
00:03:21,800 --> 00:03:26,480
paramétricas de R en la que, por supuesto, podemos leer las coordenadas de un punto

38
00:03:26,480 --> 00:03:34,280
de R y las coordenadas de un vector director de R.