1
00:00:00,620 --> 00:00:03,419
Hola chicos, voy a

2
00:00:03,419 --> 00:00:09,480
danzar el tema 4 de topología de la recta real

3
00:00:09,480 --> 00:00:11,900
y vamos a ver rápidamente

4
00:00:11,900 --> 00:00:14,699
un poco de teoría.

5
00:00:15,759 --> 00:00:18,500
Realmente tampoco es muy complicada

6
00:00:18,500 --> 00:00:21,780
la teoría, son tres conceptos

7
00:00:21,780 --> 00:00:24,940
y luego lo que haremos serán ejercicios fundamentalmente

8
00:00:24,940 --> 00:00:26,780
de valores absolutos y de desigualdades.

9
00:00:27,379 --> 00:00:28,679
Vamos a hablar de tres cosas.

10
00:00:28,679 --> 00:00:53,780
La primera es las relaciones de orden. Es decir, si yo en la recta real, si yo en los números reales digo que A es menor que B, significa que si este es el 0, por ejemplo, y aquí está el número A y aquí está el número B, significa que A es menor que B, significa que A está más a la izquierda que B.

11
00:00:53,780 --> 00:01:02,320
Bien, este tipo de orden es una de las propiedades fundamentales de los números reales.

12
00:01:03,240 --> 00:01:07,700
Entonces, aquí tengo lo que se dice una relación del orden.

13
00:01:13,590 --> 00:01:24,049
Entonces, yo respecto a dos números, A y B, cualesquiera, A y B que pertenecen al conjunto de los números reales.

14
00:01:24,730 --> 00:01:31,730
Puede ser un número positivo, puede ser un número negativo, puede ser una fracción, puede ser un número irracional.

15
00:01:33,930 --> 00:01:38,189
Por ejemplo, un número irracional es raíz de 2, puede ser raíz de 5, puede ser número pi.

16
00:01:38,890 --> 00:01:46,549
Respecto a cualquier número de dos números, A y B, que pertenecen al conjunto de los números reales, siempre que A y B sean distintos,

17
00:01:48,170 --> 00:01:55,310
solo pueden ocurrir dos cosas, que A sea menor que B o que B sea menor que A.

18
00:01:55,489 --> 00:02:17,810
La otra opción sería, entre medias, que A fuera igual a B. Pero esto ya lo hemos excluido. Es decir, A y B son dos números distintos y o uno es el pequeño o el otro es el pequeño. Esa es la primera propiedad de las desigualdades o del orden, digamos.

19
00:02:17,810 --> 00:02:39,520
La segunda propiedad es la propiedad transitiva, que significa que si A es menor que un número B y B es menor que un número C, pues esto significa que A es menor que C.

20
00:02:39,520 --> 00:03:03,960
Vamos a poner unos números. Imaginaos que a es igual a 3, que b es igual a 5 y que c es igual a 7. 3 es menor que 5 y a su vez 5 es menor que 7 y se cumple también que 3 es menor que 7.

21
00:03:03,960 --> 00:03:06,680
Esta es la que se llama la tricotomía.

22
00:03:07,300 --> 00:03:09,520
No hace falta que os aprendáis esto ni mucho menos.

23
00:03:10,520 --> 00:03:12,460
Pero, quedaos con esta segunda propiedad.

24
00:03:12,800 --> 00:03:16,520
La primera propiedad es que un número o es mayor o es menor que otro.

25
00:03:16,879 --> 00:03:21,259
La segunda es que sí, hay un número que es menor que otro.

26
00:03:21,580 --> 00:03:23,780
Y a su vez ese es también menor que otro.

27
00:03:24,159 --> 00:03:26,360
Entonces el primero es menor que el tercero.

28
00:03:26,360 --> 00:03:39,340
La tercera propiedad del orden es que si A es menor que B.

29
00:03:39,919 --> 00:03:54,270
Y yo tengo un número C que pertenece al conjunto de los números reales, independientemente de que C sea positivo o negativo.

30
00:03:55,330 --> 00:04:02,050
Entonces, si yo se lo sumo a A y se lo sumo a B, la relación de orden no varía.

31
00:04:03,009 --> 00:04:04,430
Fijaos, vamos a utilizar el mismo ejemplo.

32
00:04:05,289 --> 00:04:07,669
A es menor que B. 3 es menor que 5.

33
00:04:08,810 --> 00:04:10,610
Voy a sumarle 7 a los dos lados.

34
00:04:11,289 --> 00:04:14,590
¿Qué me queda? Que 10 es menor que 12.

35
00:04:15,870 --> 00:04:17,870
Bien, esto se llama...

36
00:04:17,870 --> 00:04:21,029
Esto no tiene ningún nombre.

37
00:04:22,149 --> 00:04:22,829
Perdonadme.

38
00:04:23,529 --> 00:04:25,029
¿Cuál sería la cuarta propiedad?

39
00:04:25,430 --> 00:04:30,870
La cuarta propiedad y la quinta propiedad son las que realmente son importantes para nosotros.

40
00:04:31,649 --> 00:04:35,410
La cuarta propiedad es la que está relacionada con el producto de dos números.

41
00:04:36,290 --> 00:04:44,810
A es menor que B y define un número C que pertenece al conjunto positivo de los números reales.

42
00:04:45,709 --> 00:04:48,629
Cuando digo positivo, perdonadme porque es que estoy...

43
00:04:48,629 --> 00:04:51,970
Vosotros no lo veis, pero estoy viendo un iPad que tengo alguno.

44
00:04:53,829 --> 00:04:58,529
Si C pertenece al conjunto de los números reales positivos,

45
00:04:58,529 --> 00:05:03,449
entonces se cumple que A por C es menor que B por C.

46
00:05:04,230 --> 00:05:05,490
Vamos a poner otra vez números.

47
00:05:05,490 --> 00:05:17,889
3 es menor que 5. 7 es un número positivo, entonces 3 por 7 es menor que 5 por 7. Me

48
00:05:17,889 --> 00:05:25,870
sale que 21 es menor que 35. ¿Y esto es verdad? Bien, quinta propiedad. Esta es la propiedad,

49
00:05:25,870 --> 00:05:33,019
digamos, que tiene más enjumbia, es la más complicada. Significa que si A es menor que

50
00:05:33,019 --> 00:05:41,839
b y c pertenece al conjunto de los números reales, pero a los negativos, entonces a por

51
00:05:41,839 --> 00:05:50,420
c es mayor que b por c. Fijaos que cambia. Fijaos que en vez de c voy a poner, igual

52
00:05:50,420 --> 00:05:55,579
a 7 voy a poner c igual a menos 7. Teníamos que 3 es menor que 5. Vale, y voy a poner

53
00:05:55,579 --> 00:06:04,980
3 por menos 7, no voy a poner el signo todavía, y voy a poner 5 por menos 7, ¿vale? Y aquí

54
00:06:04,980 --> 00:06:12,620
no sé qué tipo de relación tengo, pues venga, voy a escribir menos 21 y menos 35. ¿Cuál

55
00:06:12,620 --> 00:06:19,300
es el número que es más grande? Menos 21 es más grande que menos 25. Acordaos, el

56
00:06:19,300 --> 00:06:28,720
que está más a la... a es menor que b, si a está más a la izquierda, menos 35 está

57
00:06:28,720 --> 00:06:35,160
bastante más a la izquierda que menos 21, el 0 está por aquí. Por tanto, la relación

58
00:06:35,160 --> 00:06:45,000
de orden cambia. Fijaos, aquí tengo esto, un menor, y aquí tengo un mayor. Entonces,

59
00:06:45,000 --> 00:06:54,139
Cuando estoy manejando desigualdades, por ejemplo, 3x al cuadrado más 3 es menor que 2.

60
00:06:54,660 --> 00:06:59,920
Si yo multiplico todo en este lado y en este lado por un número negativo, ¿qué tendría que hacer?

61
00:06:59,920 --> 00:07:02,000
Pues multiplico por menos 1, por ejemplo.

62
00:07:06,329 --> 00:07:09,430
Esto sería lo mismo que cambiar a este lado y otro cambiarlo al otro lado.

63
00:07:09,430 --> 00:07:29,060
Pero este, digamos, esta consecuencia de multiplicar por un número negativo es lo que hace que las desigualdades tengan algún truco que otro.

64
00:07:29,879 --> 00:07:38,899
Bien, hemos hablado de las propiedades de las desigualdades y ahora vamos a hablar de lo que son los intervalos.

65
00:07:38,899 --> 00:08:04,529
Bien, ¿qué es un intervalo? Si yo defino un intervalo AB, el intervalo AB, si A y B pertenecen al conjunto de los números reales, es el conjunto de todos los números que pertenecen al conjunto de los números reales,

66
00:08:04,529 --> 00:08:14,089
tales que x es mayor que a y x es menor que b, estrictamente.

67
00:08:14,790 --> 00:08:17,290
Cuando digo estrictamente es que no es menor o igual o menor o igual.

68
00:08:17,470 --> 00:08:23,449
Es decir, x pertenece al intervalo a, b si se cumple esta condición.

69
00:08:25,810 --> 00:08:28,750
Tengo varios tipos de intervalos.

70
00:08:28,750 --> 00:08:32,690
Este intervalo que he dibujado aquí es un intervalo abierto.

71
00:08:32,850 --> 00:08:34,110
Fijaos que aquí hay un paréntesis.

72
00:08:34,110 --> 00:08:49,850
¿Qué ocurre si tengo aquí este intervalo de aquí? Pues que cuando tengo un corchete la relación con respecto a A se convierte en un mayor o igual o menor o igual en el caso de que fuera el valor de la derecha.

73
00:08:49,850 --> 00:09:05,009
Entonces sería x estrictamente mayor o igual que a y x es menor que b. Para que x pertenezca al intervalo a, b, tendría que ocurrir esto.

74
00:09:05,730 --> 00:09:17,750
Es decir, si los dos valores con los que defino, o si el valor, perdón, con el que defino uno de los extremos del intervalo está incluido, entonces es cerrado por ese lado.

75
00:09:17,750 --> 00:09:38,529
Si a y b, por ejemplo, pertenecen al intervalo, es decir, si tengo un intervalo cerrado por los dos lados, esto se hace así. x pertenece a b siempre que se cumpla que x es mayor o igual que a y x es menor o igual que b.

76
00:09:38,529 --> 00:09:43,830
Hay una cosa importante que no he dicho antes, que es que a siempre es menor que b.

77
00:09:44,610 --> 00:09:47,929
Esta es la condición para que yo pueda definir un intervalo.

78
00:09:48,029 --> 00:09:52,889
Es decir, el número que me queda a la izquierda siempre es el más pequeño con respecto al segundo.

79
00:09:53,470 --> 00:09:55,529
Por ejemplo, 1, 3.

80
00:09:56,429 --> 00:09:58,370
¿2 pertenece a 1, 3? Sí.

81
00:10:01,899 --> 00:10:03,220
Esta sería la pregunta, ¿no?

82
00:10:03,220 --> 00:10:16,340
Pues sí, porque x es mayor o igual que, perdón, es mayor que 1 y x también es mayor que 3, perdón, es menor que 3.

83
00:10:17,960 --> 00:10:26,299
x sería 2, es mayor que 1, sí, se cumple. x es menor que 3, 2 es menor que 3, sí, se cumple.

84
00:10:26,580 --> 00:10:29,200
Entonces puede decir que 2 pertenece al intervalo.

85
00:10:29,200 --> 00:10:41,669
Si el intervalo, por ejemplo, fuera el 1, 3, digo, 1 pertenece al intervalo, esta sería mi pregunta.

86
00:10:42,330 --> 00:10:48,629
Pues entonces, pongo lo mismo, x es mayor o igual que 1, x es menor que 3.

87
00:10:48,730 --> 00:10:52,090
Y ahora sustituyo el valor de x con el valor que quiero averiguar.

88
00:10:52,610 --> 00:10:54,289
¿1 es mayor o igual que 1?

89
00:10:54,850 --> 00:10:55,190
Sí.

90
00:10:56,190 --> 00:10:57,269
¿1 es menor que 3?

91
00:10:58,529 --> 00:10:59,009
También.

92
00:10:59,009 --> 00:11:03,389
Bien, entonces 1 pertenece al 1, 3.

93
00:11:03,610 --> 00:11:08,990
fijaos que aquí pertenece al intervalo porque este intervalo es cerrado, es decir, incluye a 1 también, ¿vale?

94
00:11:08,990 --> 00:11:16,250
Y luego hay otro tipo de intervalos que son, por ejemplo, estos que tengo aquí, por ejemplo, el más 2, pongo el más 2 porque quiero, ¿vale?

95
00:11:17,470 --> 00:11:31,190
Infinito. Serían, si este es el 0 y este es el 2, serían todos los números hasta el infinito y más allá positivos que son mayores que 2.

96
00:11:31,190 --> 00:11:47,960
Esto, por ejemplo, se dibuja así. Así lo puedo representar. Y si tengo, por ejemplo, el menos infinito, menos siete, si este fuera el cero y este fuera menos siete, serían todos los números hacia acá.

97
00:11:48,220 --> 00:11:53,580
Este, por ejemplo, sería cerrado por aquí. Serían todos estos números hasta el menos infinito. ¿Vale?

98
00:11:54,519 --> 00:12:02,059
Fijaos, cuando tengo un intervalo que acaba en infinito, perdón, que empieza en infinito y que acaba en infinito, siempre pongo abierto.

99
00:12:02,659 --> 00:12:04,220
¿Por qué? Bueno, es una convención.

100
00:12:04,600 --> 00:12:07,419
Porque básicamente el definitor existe.

101
00:12:08,580 --> 00:12:10,919
Pues estamos trabajando con ese tipo de cosas.

102
00:12:11,279 --> 00:12:16,080
Y luego hay una cosa que también vamos a utilizar, que es el tema de valores absolutos.

103
00:12:16,080 --> 00:12:29,029
El valor absoluto de X de cualquier número, si X pertenece al conjunto de números reales,

104
00:12:29,029 --> 00:12:34,029
es decir, es cualquier número en la recta de los números reales, el valor absoluto

105
00:12:34,029 --> 00:12:44,250
de x es igual a qué? Pues es igual a x si x es mayor que 0 y menos x si x es menor que 0.

106
00:12:45,029 --> 00:12:51,529
¿Esto qué significa? Por ejemplo, ¿cuál es el valor absoluto de 2? x si x es mayor

107
00:12:51,529 --> 00:12:57,389
que 0. Dentro del valor absoluto tengo un 2. ¿2 es mayor que 0? Sí, 2. ¿Cuál es

108
00:12:57,389 --> 00:12:59,129
el valor absoluto de menos 3.

109
00:13:01,009 --> 00:13:02,970
¿X menos 3 es menor que 0?

110
00:13:03,549 --> 00:13:04,370
Está por aquí, ¿no?

111
00:13:04,570 --> 00:13:05,850
Pues este vale 3.

112
00:13:06,610 --> 00:13:07,090
Y ya está.

113
00:13:07,769 --> 00:13:09,590
Esta es toda la teoría que vamos a necesitar.

114
00:13:10,450 --> 00:13:14,190
Muchas gracias.