1
00:00:00,300 --> 00:00:04,919
Hoy os voy a explicar la relación que hay entre derivabilidad y continuidad.

2
00:00:05,379 --> 00:00:11,580
Siempre que tengamos una función que sea derivable, directamente esa función, solo por ser derivable, es continua.

3
00:00:12,400 --> 00:00:15,480
Es decir, una función derivable implica continua.

4
00:00:16,179 --> 00:00:20,140
Por lo tanto, cuando no sea continua, querrá decir que no es derivable.

5
00:00:20,719 --> 00:00:24,579
Entonces, cuando yo tenga una función, me pidan, estudia la derivabilidad de la función.

6
00:00:24,579 --> 00:00:30,179
Si yo miro la continuidad y veo que esa función no es continua

7
00:00:30,179 --> 00:00:32,100
Directamente puedo decir que no es derivable

8
00:00:32,100 --> 00:00:37,719
Sin embargo, el que la función sea continua no quiere decir que sea derivable

9
00:00:37,719 --> 00:00:40,359
Porque hay funciones que son continuas y no son derivables

10
00:00:40,359 --> 00:00:45,299
Por ejemplo, esta que vimos con picos

11
00:00:45,299 --> 00:00:50,539
Es continua, pero en este pico, en este valor a

12
00:00:50,539 --> 00:00:53,079
La función no sería derivable

13
00:00:53,079 --> 00:00:59,920
Entonces, esto lo vamos a aplicar sobre todo para estudiar la derivabilidad de las funciones definidas a trozos

14
00:00:59,920 --> 00:01:07,159
Por ejemplo, si me dicen que estudie la derivabilidad de f de x igual a x al cuadrado menos 3x cuando x es menor o igual que 3

15
00:01:07,159 --> 00:01:10,180
O 3x menos 9 cuando x es mayor que 3

16
00:01:10,180 --> 00:01:13,540
Me dicen que estudie la derivabilidad de esta función en x igual a 3

17
00:01:13,540 --> 00:01:17,900
Por lo que hemos dicho antes, lo primero que vamos a hacer es estudiar la continuidad

18
00:01:17,900 --> 00:01:21,219
Porque si no fuera continua no sería derivable

19
00:01:21,219 --> 00:01:23,420
entonces la continuidad en 3

20
00:01:23,420 --> 00:01:26,140
se haría haciendo el valor de la función en 3

21
00:01:26,140 --> 00:01:27,299
donde esté el igual

22
00:01:27,299 --> 00:01:29,980
sería 3 al cuadrado menos 3 por 3

23
00:01:29,980 --> 00:01:31,239
que da 0

24
00:01:31,239 --> 00:01:33,640
ese coincide con el límite

25
00:01:33,640 --> 00:01:36,260
de la función cuando x tiende a 3 por la izquierda

26
00:01:36,260 --> 00:01:38,180
porque es los menores que 3

27
00:01:38,180 --> 00:01:39,680
y para calcular el límite

28
00:01:39,680 --> 00:01:41,159
cuando x tiende a 3 por la derecha

29
00:01:41,159 --> 00:01:43,340
nos vamos al 3x menos 9

30
00:01:43,340 --> 00:01:46,120
entonces es 3 por 3 menos 9

31
00:01:46,120 --> 00:01:46,879
que da 0

32
00:01:46,879 --> 00:01:49,840
como por la izquierda, por la derecha y el valor de la función

33
00:01:49,840 --> 00:01:58,700
todo da cero, eso quiere decir que la función es continua en x igual a 3, y lo que os he dicho antes, si no fuera continua no sería derivable, por eso empezamos estudiando la continuidad,

34
00:01:59,200 --> 00:02:09,379
aunque en el ejercicio nos pidan que estudiemos la derivabilidad, primero hacemos la continuidad, como hemos visto que si es continua, ahora miramos a ver si es derivable,

35
00:02:09,379 --> 00:02:14,740
porque continua no implica que sea derivable, ¿vale? Entonces, hay que hacer la derivabilidad.

36
00:02:15,039 --> 00:02:22,379
Ese f derivable, fijaos, como es una función definida a trozos, hay que hacer la derivada por la izquierda

37
00:02:22,379 --> 00:02:26,919
y la derivada por la derecha, pero para hacer la derivada por la izquierda y la derivada por la derecha

38
00:02:26,919 --> 00:02:31,520
no nos hace falta hacer los límites laterales con la definición de derivabilidad.

39
00:02:31,979 --> 00:02:35,659
Vamos a derivar esta función. Entonces, yo hago la derivada de la función,

40
00:02:35,659 --> 00:02:44,000
si derivo el x al cuadrado menos 3x queda 2x menos 3 y esto lo pongo para x menores que 3

41
00:02:44,000 --> 00:02:47,939
no se pone el igual porque es precisamente lo que queremos demostrar que es derivable

42
00:02:47,939 --> 00:02:55,180
que en el 3 es igual a esto y luego si hago el otro trozo cuando es 3x menos 9

43
00:02:55,180 --> 00:02:59,740
si hago la derivada me quedaría 3 porque esto da 0 y la derivada de 3x es 3

44
00:02:59,740 --> 00:03:02,659
entonces es solo 3 cuando x es mayor que 3

45
00:03:02,659 --> 00:03:05,360
entonces vamos a hacer las derivadas laterales

46
00:03:05,360 --> 00:03:06,639
cuando x es igual a 3

47
00:03:06,639 --> 00:03:09,460
utilizando esta función derivada

48
00:03:09,460 --> 00:03:11,419
la derivada de la función de partida

49
00:03:11,419 --> 00:03:13,800
entonces para hacer la derivada por la izquierda

50
00:03:13,800 --> 00:03:15,620
como os he dicho no hacemos el límite

51
00:03:15,620 --> 00:03:18,379
no me voy a la definición de derivada por la izquierda

52
00:03:18,379 --> 00:03:21,080
lo hago cuando tengo los menores que 3

53
00:03:21,080 --> 00:03:22,919
entonces en esta función

54
00:03:22,919 --> 00:03:26,159
directamente en esta función derivada

55
00:03:26,159 --> 00:03:28,319
directamente sustituimos el 3

56
00:03:28,319 --> 00:03:30,599
entonces queda 2 por 3 menos 3

57
00:03:30,599 --> 00:03:32,419
que es 2 por 3 es 6 menos 3

58
00:03:32,419 --> 00:03:38,139
3. Esa sería la derivada por la izquierda. Y para hacer la derivada por la derecha me

59
00:03:38,139 --> 00:03:43,159
voy a la parte de los x mayores que 3. Entonces tendría que sustituir aquí el 3, pero bueno,

60
00:03:43,259 --> 00:03:48,340
no hay ningún sitio donde sustituirlo porque valga lo que valga la x, la derivada vale

61
00:03:48,340 --> 00:03:53,539
3. Entonces la derivada por la derecha en 3 vale 3 también. Así que si la derivada

62
00:03:53,539 --> 00:03:58,500
por la izquierda y la derivada por la derecha valen 3, quiere decir que la derivada de la

63
00:03:58,500 --> 00:04:07,759
función en 3 vale 3 y que sí existe. Por lo tanto, la función sí sería derivable en 3. Mi función es

64
00:04:07,759 --> 00:04:14,319
derivable en 3, que es lo que me pedían en el ejercicio. Otro tipo de ejercicios que suelen caer en evau