1
00:00:00,430 --> 00:00:03,549
Hola, en este vídeo vamos a resolver este ejercicio.

2
00:00:04,169 --> 00:00:09,390
Nos dicen, un aparcamiento del centro de una ciudad ha diseñado esta tarifa

3
00:00:09,390 --> 00:00:14,689
donde T es el tiempo de estancia en horas y C de T el precio en cursos.

4
00:00:15,130 --> 00:00:18,129
Viene dada por una función definida a trozos, como podéis ver.

5
00:00:18,910 --> 00:00:24,149
Nos piden determinar A para que el precio no dé saltos, es decir, que C sea continua,

6
00:00:25,010 --> 00:00:28,969
para el valor obtenido comparar que cuanto más tiempo se deja el coche, más se paga,

7
00:00:28,969 --> 00:00:34,409
y luego comprobar que el aparcamiento anuncia nunca pagarás más de 20 euros.

8
00:00:34,630 --> 00:00:35,049
¿Es cierto?

9
00:00:36,189 --> 00:00:39,390
¿Cuánto tiempo puede dejar el coche un cliente que solo quiere gastar 16 euros?

10
00:00:40,189 --> 00:00:41,369
Pues vamos a resolverlo.

11
00:00:50,100 --> 00:00:50,280
Vale.

12
00:00:50,920 --> 00:00:55,460
Bueno, para que no des saltos, tendremos que comprobar que esta función es continua.

13
00:00:57,259 --> 00:00:59,000
Es decir, tendremos que comprobar...

14
00:00:59,000 --> 00:01:15,739
¿Qué tenemos que comprobar? Bueno, primero observamos que esta función en sus trozos de definición es continua, porque 3t es continua y a por t menos 20 entre 3 más 1 es continuo para t mayor y 4.

15
00:01:15,739 --> 00:01:22,739
Por tanto, solo tendremos que estudiar la continuidad en el punto de empalme, es decir, en t igual 4.

16
00:01:23,200 --> 00:01:49,239
Y para ello tendremos que comprobar que f, f' no, f, f de 0, tampoco, perdón, f de 4 es igual al límite cuando x tiende, bueno, no tengo hoy la tarde,

17
00:01:49,239 --> 00:01:57,799
Cuando x no, cuando t tiende a 4 de f de t.

18
00:01:58,359 --> 00:02:02,540
Esto es equivalente a hacerlo como se ha hecho en clase de por pasos, ¿no?

19
00:02:02,739 --> 00:02:09,719
Primer paso, f de 4. Bueno, pues f de 4 tenemos que es 12.

20
00:02:12,659 --> 00:02:18,520
2, el límite cuando t tiende a 4 de f de t.

21
00:02:18,520 --> 00:02:25,479
Como T4 es el punto donde cambian, pues esto nos va a derivar en dos límites.

22
00:02:25,699 --> 00:02:35,180
Cuando T tiende a 4 por la izquierda de P de T, que en este caso es 3T, y nos va a salir 12.

23
00:02:36,639 --> 00:02:41,860
Y límite cuando X tiende, madre mía, la he cogido con X.

24
00:02:41,860 --> 00:02:49,050
cuando t tiende a 4 por la derecha

25
00:02:49,050 --> 00:02:51,569
y ahora pues hará esta función

26
00:02:51,569 --> 00:02:57,990
a por t menos 20 partido de t más 1

27
00:02:57,990 --> 00:03:10,259
y esto va a ser igual a 4 por a menos 20 partido de 5

28
00:03:10,259 --> 00:03:15,439
para que el límite exista estas dos cosas tienen que ser iguales

29
00:03:15,439 --> 00:03:24,400
Así es que 12 tendrá que ser igual que 4a menos 20 partido de 5.

30
00:03:25,400 --> 00:03:36,469
Despejando la t, obtenemos, digo la t, la a, obtenemos que a vale 20.

31
00:03:40,460 --> 00:03:43,400
Es decir, para a igual 20 esa función es continua.

32
00:03:46,050 --> 00:03:50,229
Vamos a dejar esto en pequeñito para seguir haciendo el ejercicio.

33
00:03:55,449 --> 00:03:56,030
Lo dejo así.

34
00:03:56,030 --> 00:03:56,229
Bien.

35
00:03:56,229 --> 00:04:17,279
Bien, ahora pongo aquí el apartado B sabiendo que ya A es 20, pues realmente lo que tenemos es que CT es igual a 3T si 0 menor que T menor que 4.

36
00:04:17,279 --> 00:04:30,720
Y ahora vamos a tener aquí 20t menos 20 partido de t más 1, si t mayor que 4.

37
00:04:31,459 --> 00:04:32,779
Aquí me ha faltado el menor o igual.

38
00:04:33,480 --> 00:04:34,860
Esto hace que sea continua.

39
00:04:37,259 --> 00:04:41,540
Y fijaros que está definida el intervalo 0, 4.

40
00:04:44,569 --> 00:04:47,410
Vamos a hallar la derivada para responder a la pregunta b.

41
00:04:47,410 --> 00:05:15,139
C' de t, pondremos que es 3, si 0 menor que t menor que 4, y ahora si le damos la segunda parte, pues será 20 por t más 1 menos 20t por 1,

42
00:05:15,139 --> 00:05:29,339
todo eso por 1 partido de t más 1 al cuadrado

43
00:05:29,339 --> 00:05:32,879
y todo esto si t mayor que 4

44
00:05:32,879 --> 00:05:36,860
bueno, voy a seguir en otra página porque aquí se me acaba

45
00:05:36,860 --> 00:05:46,060
resumiendo, teníamos que c' de t

46
00:05:46,060 --> 00:05:51,480
era igual a 3

47
00:05:51,480 --> 00:05:54,439
y aquí va a quedar

48
00:05:54,439 --> 00:05:57,579
si hacemos la cuenta que antes aparecía

49
00:05:57,579 --> 00:06:23,779
pues t más 1 al cuadrado. Esto va a ser, esto va a ser aquí 0 menor que t menor que 4 y aquí t mayor que 4.

50
00:06:26,439 --> 00:06:34,180
Bueno, pues entonces acabo de darme cuenta que esto que acabo de escribir aquí no está bien porque es t mayor que 4.

51
00:06:34,180 --> 00:07:06,139
Vale, vamos a examinar esa derivada, ¿vale? Bueno, ya vemos claramente que entre 0 y 4 la derivada es positiva, o sea que c' es positiva, solo tenemos que averiguar si es derivable en 4.

52
00:07:06,139 --> 00:07:12,160
Como la función es continua, para calcular la derivada lateral podemos hacer esto, que va a ser 3.

53
00:07:13,939 --> 00:07:41,120
Y la derivada por la izquierda, por la derecha, perdón, va a ser, sustituimos, 40, esto es 5 al cuadrado, 40 entre 25.

54
00:07:41,120 --> 00:08:03,319
Por lo tanto, no sale derivable. Es decir, es continua, pero no es derivable en t igual 4.

55
00:08:03,420 --> 00:08:15,100
Pero para responder a nuestra pregunta del apartado b, que era para el valor de a obtenido, comparar que cuanto más tiempo se deja el coche, más se paga.

56
00:08:16,620 --> 00:08:19,639
Bueno, viendo la derivada, c' siempre es positiva.

57
00:08:29,100 --> 00:08:37,500
¿Esto qué nos indica? Pues, bueno, es positiva y además continúa en t4.

58
00:08:37,500 --> 00:09:01,179
entonces esto nos indica que es creciente en su dominio, en su dominio, y por tanto, si es, la derivada es positiva y la función implica que es creciente en su dominio,

59
00:09:01,460 --> 00:09:06,320
la respuesta es de cuanto más tiempo pasa, más se paga, ya hemos respondido.

60
00:09:06,320 --> 00:09:23,559
Vamos con el apartado C, el apartado C nos pide que veamos que nunca va a pasar de 20 euros

61
00:09:23,559 --> 00:09:45,000
Bueno, ¿qué concepto matemático nos están proponiendo si queremos saber que no pasa esto de 20?

62
00:09:45,000 --> 00:09:54,289
Pues este límite, claro, para la que hemos calculado en realidad es este límite

63
00:09:54,289 --> 00:10:04,970
no es 20 t menos 20 partido de temas 1 dividiendo entre el monomio de mayor

64
00:10:04,970 --> 00:10:09,110
grado porque ambos son polinomios nos damos cuenta que esto es 20

65
00:10:09,110 --> 00:10:25,850
es decir que en igual 20 o si quieres igual 20 hay una asíntota horizontal es

66
00:10:25,850 --> 00:10:40,980
decir de 20 no vamos a pasar como c ya hemos visto es creciente y c igual 20

67
00:10:40,980 --> 00:10:50,019
es una asíntota pues podemos concluir que no pasará 20 nunca va a alcanzar 20

68
00:10:50,019 --> 00:11:08,200
bueno también lo podríamos haber visto teniendo en cuenta que 20

69
00:11:08,200 --> 00:11:13,919
esta función si la dividimos es decir si hacemos la división vamos a obtener esto

70
00:11:13,919 --> 00:11:23,429
luego fijaros, esta parte siempre va a estar fija

71
00:11:23,429 --> 00:11:26,990
y está ahí restando, pero nunca va a restar más de 20

72
00:11:26,990 --> 00:11:29,289
porque esto siempre va a ser más pequeño

73
00:11:29,289 --> 00:11:32,950
vamos a ver el caso de los 16 euros

74
00:11:32,950 --> 00:11:44,799
bueno, recordamos que CDT es igual a 3T

75
00:11:44,799 --> 00:11:49,679
si 0 menor que T, menor o igual que 4

76
00:11:49,679 --> 00:11:59,360
y luego teníamos 20t menos 20 partido de t más 1, si t mayor que 4.

77
00:12:00,100 --> 00:12:03,820
Bueno, vemos que por este trozo nunca supera los 12 euros

78
00:12:03,820 --> 00:12:11,740
y por este trozo queremos saber el tiempo que tiene que estar con 16,

79
00:12:12,279 --> 00:12:14,639
porque aquí no va a obtener nunca 16 euros,

80
00:12:14,639 --> 00:12:20,980
con lo cual podríamos poner 20t menos 20 partido de t más 1,

81
00:12:21,820 --> 00:12:23,919
Igual a 16

82
00:12:23,919 --> 00:12:26,080
Esto despejando

83
00:12:26,080 --> 00:12:29,000
Sale

84
00:12:29,000 --> 00:12:31,779
T igual 9

85
00:12:31,779 --> 00:12:36,600
Luego podrá dejar el coche

86
00:12:36,600 --> 00:12:37,679
9 horas

87
00:12:37,679 --> 00:12:44,899
Y no pagará más de 16 euros

88
00:12:44,899 --> 00:12:47,240
Luego la respuesta

89
00:12:47,240 --> 00:12:48,899
Al apartado C son 9 horas

90
00:12:48,899 --> 00:12:51,179
Y con esto hemos hecho el ejercicio