1 00:00:02,200 --> 00:00:12,240 Hola, en este vídeo vamos a ver un par de ejemplos más de obtención de la matriz inversa de una matriz cuadrada por el método de Gauss. 2 00:00:12,839 --> 00:00:27,039 Ya sabéis que lo primero que tenemos que hacer es escribir la matriz ampliada, en la parte de la izquierda escribimos la matriz que nos dan, 3 00:00:27,039 --> 00:00:31,579 y tras una línea vertical escribimos la matriz identidad. 4 00:00:31,820 --> 00:00:36,079 Ya sabéis que el objetivo es que vamos a ir haciendo operaciones elementales, 5 00:00:36,399 --> 00:00:42,520 transformaciones elementales, hasta conseguir trasladar la matriz identidad a la parte de la izquierda 6 00:00:42,520 --> 00:00:47,659 y en la parte de la derecha entonces aparecerá la matriz inversa, en este caso, de B. 7 00:00:49,679 --> 00:00:55,659 Para una estrategia que podemos seguir para obtener la matriz inversa, 8 00:00:55,659 --> 00:01:05,939 Enversa, las operaciones elementales que le vamos a ir haciendo a las filas pueden ser las que queramos, siempre y cuando consigamos nuestro objetivo. 9 00:01:06,180 --> 00:01:08,079 Pero una buena estrategia es la siguiente. 10 00:01:08,840 --> 00:01:17,599 Tenemos que tener en cuenta que yo necesito conseguir que la diagonal principal tenga todos sus elementos igual a 1 y el resto de elementos sean 0. 11 00:01:17,599 --> 00:01:28,859 Para lo cual lo que voy a hacer es que voy a ir columna a columna intentando obtener un 1 en el elemento A1, A1, A2, A2 o A3, A3, ¿vale? 12 00:01:29,379 --> 00:01:42,459 Y una vez que tenga ahí conseguido el 1, después le haré al resto de filas transformaciones, le iré sumando o restando múltiplos de la fila 1 para conseguir hacer ceros, ¿vale? 13 00:01:42,459 --> 00:01:48,599 De esa forma me iré asegurando que cada una de las columnas ya pertenezcan a la matriz identidad. 14 00:01:49,439 --> 00:01:53,579 Entonces, lo primero que vamos a hacer es, como ya he señalado aquí, fijarnos en la fila 1 15 00:01:53,579 --> 00:01:59,000 y esta matriz está bastante preparada y ya tengo un 1 ahí en el primer elemento. 16 00:01:59,700 --> 00:02:07,540 Por tanto, el primer paso lo tendría hecho y ya simplemente tengo que buscar que el resto de elementos de esa primera columna sean 0. 17 00:02:07,540 --> 00:02:21,879 En este caso es muy sencillo lo que tenemos que hacer, porque en la tercera fila si os fijáis el elemento 3,1 ya es 0, simplemente tendría que quitar el elemento 2,1, conseguir que ahí en vez de un 1 aparezca un 0. 18 00:02:22,680 --> 00:02:33,340 Para lo cual lo que vamos a hacer es transformar la fila 2, f sub 2, y la vamos a sustituir por la diferencia de f sub 2 menos f sub 1. 19 00:02:33,919 --> 00:02:35,740 Esa es la transformación que voy a hacer. 20 00:02:35,740 --> 00:02:39,060 Las filas 1 y 3 las voy a dejar tal y como están 21 00:02:39,060 --> 00:02:43,120 Pero a la fila 2 lo que le voy a hacer es que le voy a restar la fila 1 22 00:02:43,120 --> 00:02:47,520 De esa manera, a cada uno de los elementos de la fila 2 le voy a restar los elementos de la fila 1 23 00:02:47,520 --> 00:02:52,080 Y voy a conseguir que me quede un 0 en la posición 2, 1 24 00:02:52,080 --> 00:02:53,919 ¿Vale? En la fila 2, columna 1 25 00:02:53,919 --> 00:02:58,740 Entonces, como digo, la fila 1 en principio se queda como está 26 00:02:58,740 --> 00:02:59,879 ¿Vale? 27 00:03:01,120 --> 00:03:03,719 La fila 3 también, ¿vale? Si queréis la vamos copiando 28 00:03:03,719 --> 00:03:07,780 y ahora vamos a ir haciendo las operaciones de la fila 2. 29 00:03:07,979 --> 00:03:14,259 Como digo, a cada elemento de la fila 2 le vamos a restar el que está justo encima de él, ¿vale? 30 00:03:14,639 --> 00:03:20,539 Entonces, como primer elemento de la fila 2 vamos a poner la resta 1 menos 1, ¿vale? 31 00:03:21,159 --> 00:03:22,860 1 menos 1 que será 0. 32 00:03:25,159 --> 00:03:28,819 Aquí en la posición 2 tendremos que poner 3 menos 2, 33 00:03:28,819 --> 00:03:33,099 O sea, el elemento que está en la posición 3 le restaremos el de la posición... 34 00:03:33,099 --> 00:03:40,379 O sea, el elemento 2, 2 le restaremos el elemento 1, 2 y me queda como resultado un 1. 35 00:03:41,539 --> 00:03:46,620 Y por último, al 1 le restamos 1 y me quedaría aquí 0. 36 00:03:47,259 --> 00:03:51,120 Tenemos que seguir haciendo lo mismo con el resto de elementos de la ampliación, ¿vale? 37 00:03:51,560 --> 00:03:54,360 Aquí pondría 0 menos 1, que sería menos 1. 38 00:03:54,360 --> 00:03:56,360 Aquí 1 menos 0, que es 1. 39 00:03:57,020 --> 00:03:58,699 Y aquí 0 menos 0, que es 0. 40 00:03:59,539 --> 00:04:12,860 Daos cuenta que estas cuentecitas, como eran muy fáciles, las he hecho directamente, pero en ocasiones, para no equivocarnos con los signos y demás, es bastante recomendable hacerlas aparte, ¿vale? Hacerlas en sucio. 41 00:04:13,780 --> 00:04:23,079 Bueno, si os dais cuenta, ya tengo colocados todos los elementos, o sea, la primera columna ya pertenece a la matriz identidad, he acabado con ella, ¿de acuerdo? 42 00:04:23,079 --> 00:04:36,120 Entonces ahora me voy a fijar en la segunda columna, ¿vale? La estrategia es la misma, fijar primero que el elemento de la diagonal de la segunda columna sea 1, mirad que suerte que aquí ya lo he conseguido, ¿vale? 43 00:04:36,439 --> 00:04:47,459 Y una vez que lo tengo colocado, que consigo, o sea, si aquí por ejemplo tuviera un 3, pues tendría que hacer operaciones elementales con el resto de filas y columnas hasta conseguir que ahí me quedara un 1, ¿vale? 44 00:04:47,459 --> 00:05:05,000 Y una vez que lo tengo, voy a, pues bueno, gracias a ese 1 poder quitar los, o sea, poder hacer ceros los elementos de la fila 1 y de la fila 3, que es el paso que voy a hacer directamente porque en este caso, como veis, ya tengo un 1 ahí en el elemento 2, 2, ¿vale? 45 00:05:05,000 --> 00:05:10,740 Este ya, como ya lo tengo también bien colocado, lo que vamos a hacer es directamente las transformaciones, ¿vale? 46 00:05:10,939 --> 00:05:18,259 Al resto de filas. Entonces, daos cuenta, ¿qué pasa? Pues que bueno, en la fila 1 tengo un 2 y necesito un 0. 47 00:05:18,620 --> 00:05:27,860 Entonces la transformación que le voy a hacer a la fila 1 es que a la fila 1 le voy a restar el doble de la fila 2, ¿vale? 48 00:05:27,899 --> 00:05:32,779 Porque de esa manera, como aquí ya tengo un 0, no le va a afectar a este 1 que ya estaba colocado, 49 00:05:32,779 --> 00:05:38,180 pero ese 2 al restarle el doble de 1 sí que se me va a hacer 0 que es el objetivo que tengo 50 00:05:38,180 --> 00:05:42,399 y a la fila 3 también le voy a hacer una transformación en el mismo paso 51 00:05:42,399 --> 00:05:45,720 que va a ser directamente que le voy a restar únicamente la fila 2 52 00:05:45,720 --> 00:05:50,480 si os dais cuenta cuando aquí a 1 le reste, o sea a 0 le resto 0 no pasa nada 53 00:05:50,480 --> 00:05:54,800 porque aquí ya lo tengo ordenado gracias a que fijé y aseguré la primera columna 54 00:05:54,800 --> 00:05:58,620 ya estos números no les va a afectar y entonces aquí cuando a la fila 3 55 00:05:58,620 --> 00:06:04,439 a este 1 de la posición 3, 2 de reste, el 1 de la posición 2, 2, también se me va a hacer 0, ¿vale? 56 00:06:05,560 --> 00:06:10,860 Entonces, como en este paso a la fila 2 no le estoy haciendo ninguna transformación, la copio como está, ¿vale? 57 00:06:13,439 --> 00:06:16,620 Y lo que voy a hacer es, pues, las otras dos transformaciones. 58 00:06:17,079 --> 00:06:21,259 Aquí, como os digo, igual sí que en algún momento vamos a hacer las operaciones aparte, ¿vale? 59 00:06:21,279 --> 00:06:22,040 Para asegurarnos. 60 00:06:22,040 --> 00:06:30,360 Entonces, venga, a 1, al elemento, al primer elemento de la fila 1 le tengo que restar el doble del primer elemento de la fila 2. 61 00:06:30,519 --> 00:06:35,639 1 menos 2 por 0, es decir, 1 menos 0 es 1, se queda como está, no me hace falta ni hacer la parte. 62 00:06:36,639 --> 00:06:47,399 Segundo, al elemento segundo de la fila 1 le resto el doble de la fila 2, sería 2 menos 2 por 1, es decir, 2 menos 2 que es 0, ¿vale? 63 00:06:47,399 --> 00:06:52,120 Y por último aquí tendríamos 1 menos 2 por 0 que es 1. 64 00:06:53,360 --> 00:07:08,040 En este elemento tendré 1 menos 2 por menos 1, esta sí que lo hago aparte, tendría 1 menos 2 por menos 1, o sea, este 1 menos el doble de este 1, de este menos 1, ¿vale? 65 00:07:08,040 --> 00:07:20,319 Es decir, 1 más 2 es 3, ¿de acuerdo? Tendría aquí un 3, aquí tendría 0 menos el doble de 1 sería menos 2 y aquí 0 menos 0 es 0, ¿de acuerdo? 66 00:07:21,420 --> 00:07:32,639 Borro la operación auxiliar y hago la siguiente operación. Bueno, ya voy a transformar la fila 3 a la que le voy a restar los elementos de la fila 2. 67 00:07:32,639 --> 00:07:53,459 Esta base es sencilla, 0 menos 0 es 0, 1 menos 1 es 0 y aquí 1 menos 0 es 1, ¿de acuerdo? Y aquí tendré 0 menos 1 será 1 positivo, 0 menos 1 será menos 1 y 1 menos 0 es 1, ¿de acuerdo? 68 00:07:53,459 --> 00:08:11,800 Bueno, como podéis observar ya acabamos de colocar la columna 2, la columna 2 ya pertenece a la matriz identidad, entonces en este paso lo que voy a hacer es, pues tendría que en este paso asegurar que el elemento de la diagonal es 1, 69 00:08:11,800 --> 00:08:17,800 esto ya lo tengo vale está estaba bastante preparada y pues bueno como ya 70 00:08:17,800 --> 00:08:22,060 lo tengo necesito ahora hacer que el resto de elementos de esta tercera 71 00:08:22,060 --> 00:08:26,319 columna sean cero para lo cual ya sólo me queda hacer una transformación a la 72 00:08:26,319 --> 00:08:30,759 fila 1 lo que voy a hacer es que a la fila 1 le voy a restar la fila 3 vale 73 00:08:30,759 --> 00:08:37,059 va a ser la transformación que yo le haga vale la fila 1 ahora se va a 74 00:08:37,059 --> 00:08:41,720 convertir en la diferencia de la fila 1 menos la fila 3 vale para quitar ese 75 00:08:41,720 --> 00:08:47,759 ese elemento a 13 entonces lo que voy a hacer es que las filas 2 y 3 las dejo 76 00:08:47,759 --> 00:08:50,279 como están 77 00:08:53,039 --> 00:09:04,419 101 menos 110 y aquí tendría pero 011 menos 11 vale y sólo me queda transformar 78 00:09:04,419 --> 00:09:12,139 esta, venga, entonces a la fila 1 le restamos la 3, 1 menos 0, este 1 menos este 0, no sé 79 00:09:12,139 --> 00:09:20,559 si veis el punto chiquitito, 1 menos 0 es 1, 0 menos 0 es 0 y 1 menos 1 es 0 y por este 80 00:09:20,559 --> 00:09:28,720 lado tendría 3 menos 1 que es 2, menos 2 menos menos 1 que sería menos 2 más 1 que 81 00:09:28,720 --> 00:09:33,899 es menos uno y por último cero menos uno que es menos uno. 82 00:09:34,799 --> 00:09:38,639 Venga, entonces si os dais cuenta ya tengo la matriz identidad en el lado de la izquierda 83 00:09:38,639 --> 00:09:40,779 y otra matriz a la derecha. 84 00:09:41,379 --> 00:09:47,700 Esta matriz de aquí que sería la formada por los elementos menos dos menos uno menos 85 00:09:47,700 --> 00:09:55,320 uno menos uno uno cero y uno menos uno uno es la matriz inversa de B. 86 00:09:55,320 --> 00:10:03,820 Un ejercicio muy típico en evau es que comprobéis que si dada una matriz, dada dos matrices, una es la inversa de otra 87 00:10:03,820 --> 00:10:12,019 Para hallar si es la inversa podríamos o bien hacer todo este proceso o un proceso muchísimo más elegante 88 00:10:12,019 --> 00:10:14,919 Que es comprobar la definición de matriz identidad 89 00:10:14,919 --> 00:10:22,740 Es decir, comprobar si el producto de la matriz que a mí me dan por su inversa me da la matriz identidad 90 00:10:22,740 --> 00:10:51,860 Entonces, es lo que vamos a hacer para comprobar que lo hemos hecho bien. Dada la matriz original, 1, 2, 1, 1, 3, 1, 0, 1, 1, la vamos a multiplicar por su inversa, la que acabamos de obtener, 2, menos 1, menos 1, menos 1, 1, 0 y 0, 1, 0, perdón, 0, 1, no, perdón, menos 1, 1, menos 1, 1. 91 00:10:52,740 --> 00:10:54,720 Vamos a comprobar qué da este producto. 92 00:10:55,639 --> 00:11:07,519 Tendríamos como primer elemento, 1 por 2 que es 2, más 2 por menos 1 que es menos 2, más 1, 2 menos 2 más 1 es 1. 93 00:11:07,940 --> 00:11:14,460 El elemento 1, 2 sería menos 1 más 2 menos 1 sería 0. 94 00:11:14,879 --> 00:11:20,539 El elemento 1, 3 sería menos 1 más 0 más 1, 0. 95 00:11:20,940 --> 00:11:21,919 Siguiente fila. 96 00:11:21,919 --> 00:11:27,600 1 por 2 es 2 más 3 por menos 1 que es menos 3 más 1 97 00:11:27,600 --> 00:11:29,220 2 menos 3 más 1 es 0 98 00:11:29,220 --> 00:11:35,000 El elemento que tendríamos aquí sería el menos 1 más 3 menos 1 99 00:11:35,000 --> 00:11:37,659 Que sería menos 2 más 3 que es 1 100 00:11:37,659 --> 00:11:45,679 Y aquí como elemento 2, 3 tendríamos el menos 1 más 0 más 1 que sería el 0 101 00:11:45,679 --> 00:11:56,100 y por último tendríamos aquí el 0, porque es 0 por 2, que es 0, menos 1 más 1, que es 0, ¿vale? 102 00:11:56,559 --> 00:12:03,580 Aquí tendríamos 1 menos 1, que también es 0, y por último tendríamos un 1, ¿vale? 103 00:12:04,100 --> 00:12:06,700 Como el producto de estas dos matrices es la matriz identidad, 104 00:12:06,840 --> 00:12:10,980 significa que la matriz inversa de la que a mí me daban la he hallado bien.