1
00:00:01,010 --> 00:00:07,570
Sí, buenos días. Vamos a comenzar hoy la unidad 6, que trata sobre geometría analítica en el plano.

2
00:00:07,730 --> 00:00:12,390
Vamos a utilizar para ello este programa que tenéis aquí delante.

3
00:00:12,849 --> 00:00:17,829
No he decidido no ocultarlo, para que podáis ver también las manipulaciones que hago,

4
00:00:17,910 --> 00:00:25,070
por si acaso alguno de vosotros quiere aprender a utilizar este programa, que se llama Inkscape, de gráficos repertoriales.

5
00:00:25,789 --> 00:00:30,769
Como decía, la unidad 6 se llama geometría analítica en el plano.

6
00:00:30,769 --> 00:00:37,229
Y vamos a comenzar haciendo un breve repaso histórico sobre cómo se llevó a la geometría analítica.

7
00:00:37,750 --> 00:00:47,710
La geometría analítica es la unión, la combinación, el trabajo conjunto de dos disciplinas muy diferentes de la matemática.

8
00:00:47,909 --> 00:00:51,450
Por un lado la geometría y por otro lado el álgebra.

9
00:00:51,450 --> 00:01:06,409
Entonces, el mayor trabajo de geometría que se aportó o el mayor hito en la geometría fueron los elementos de Euclides. Euclides fue un geometra y matemático griego del siglo III a.C.

10
00:01:06,409 --> 00:01:11,150
Aquí tenéis una breve reseña de sus datos.

11
00:01:11,489 --> 00:01:16,129
Él estuvo activo, no hay muchos datos sobre Euclides, sobre su vida,

12
00:01:16,930 --> 00:01:26,989
pero sí que se sabe que estuvo activo y la mayor parte de su vida la pasó allí, en Alejandría, en el Antiguo Egipto.

13
00:01:26,989 --> 00:01:35,569
Y su trabajo más famoso fueron los elementos, que es el libro más importante o el más exitoso en la historia de las matemáticas

14
00:01:35,569 --> 00:01:41,390
y que es todo de geometría, o principalmente de geometría, aunque tiene partes de aritmética también.

15
00:01:42,049 --> 00:01:48,829
Tenéis aquí una de las múltiples traducciones de los elementos euclides, en concreto una al castellano,

16
00:01:49,010 --> 00:01:55,469
del año 1576, con esta portada tan bonita. Está todo en internet, lo podéis recuperar,

17
00:01:55,549 --> 00:02:00,269
esta traducción o muchísimas otras versiones. Y os he hecho algunas capturas de pantalla

18
00:02:00,269 --> 00:02:05,269
para que veáis la importancia que tuvieron los elementos de Euclides y su actualidad,

19
00:02:05,890 --> 00:02:12,409
porque si vosotros lo veis, parece que estáis leyendo un libro actual.

20
00:02:15,270 --> 00:02:19,449
El libro comienza con la definición de los elementos geométricos más importantes,

21
00:02:19,650 --> 00:02:24,330
como puede ser el punto, dice en concreto punto es, cuya parte es ninguna.

22
00:02:25,229 --> 00:02:28,250
Por ejemplo, línea es longitud que no se puede ensanchar.

23
00:02:28,250 --> 00:02:32,430
Como veis aquí las Fs, las Ss las hacían que parecían Fs, ¿no?

24
00:02:34,009 --> 00:02:35,830
Pero se puede entender muy bien.

25
00:02:35,990 --> 00:02:40,689
Línea recta es la que igualmente está entre sus puntos, ¿no?

26
00:02:42,330 --> 00:02:44,610
Y así muchos otros apartados.

27
00:02:44,770 --> 00:02:51,009
Aquí, por ejemplo, tenéis las cosas que a una misma son iguales, también entre sí son iguales.

28
00:02:51,409 --> 00:02:56,389
Si a cosas iguales se añaden cosas iguales, los todos serán iguales.

29
00:02:56,389 --> 00:02:58,710
Cuesta un poco leerlo, pero se entiende bien.

30
00:02:59,789 --> 00:03:07,069
La importancia de los elementos de Euclides fue muy grande porque no solamente fue un compendio de toda la geometría que existía hasta el momento,

31
00:03:07,889 --> 00:03:21,509
aportada por la cultura babilonia, mesopotamia y también todas las aportaciones del Antiguo Egipto, sino por la forma de exponerla.

32
00:03:21,509 --> 00:03:29,909
La exposición se basaba en una serie de postulados, en concreto cinco postulados, que los tenéis aquí a la derecha.

33
00:03:30,669 --> 00:03:36,469
Estos cinco, y a partir de estos cinco postulados se van deduciendo, demostrando todos los demás teoremas.

34
00:03:37,889 --> 00:03:46,689
Los cinco postulados de Euclides se mantuvieron intactos, sin que nadie los cuestionara ni los tumbara, hasta el siglo XIX.

35
00:03:46,689 --> 00:03:52,409
en la cual, precisamente por este último quinto postulado de las rectas paralelas,

36
00:03:52,870 --> 00:03:58,889
se vio que había un hueco y se empezaron a generar las geometrías no euclidianas, como se llaman.

37
00:03:59,389 --> 00:04:06,629
Aquí tenéis el teorema de Pitágoras, representado en este libro de los elementos euclides.

38
00:04:07,469 --> 00:04:10,150
Bien, entonces, eso sería, por un lado, lo que es la geometría.

39
00:04:10,150 --> 00:04:15,069
Y, por otro lado, la evolución del álgebra tuvo un hito muy importante también.

40
00:04:15,069 --> 00:04:24,629
en el siglo VII de nuestra era con Al-Juarismi, siglo VII, siglo VIII y IX, con Al-Juarismi

41
00:04:24,629 --> 00:04:30,509
que le tenéis aquí representado, una representación aproximada, y cuyo libro más importante

42
00:04:30,509 --> 00:04:34,750
fue el Compendio de Cálculo por Reintegración y Comparación, que en árabe se llama Al-Gebra

43
00:04:34,750 --> 00:04:43,230
y Al-Muqabala. La palabra álgebra viene precisamente de esta expresión árabe, al-gabar o álgebra,

44
00:04:43,230 --> 00:04:46,990
No sé muy bien cómo se expresará, pero la palabra viene de aquí.

45
00:04:48,790 --> 00:04:54,389
El álgebra que hacía Al-Khwarizmi era álgebra retórica, no se utilizaban letras en ningún lugar,

46
00:04:54,529 --> 00:05:03,949
por lo tanto, daros cuenta de lo complicado que era para él expresar las instrucciones o los procedimientos para resolver ecuaciones,

47
00:05:04,189 --> 00:05:07,910
porque era todo redactado, todo álgebra retórica.

48
00:05:07,910 --> 00:05:13,430
El álgebra de Al-Juarizmi fue muy importante para la Europa

49
00:05:13,430 --> 00:05:15,550
no solamente por el contenido que transmitió

50
00:05:15,550 --> 00:05:19,750
sino por los tipos de números con los que trabajaba Al-Juarizmi

51
00:05:19,750 --> 00:05:23,850
que eran los números indios y árabes

52
00:05:23,850 --> 00:05:28,290
que eran diferentes a los números romanos que se utilizaban en Europa

53
00:05:28,290 --> 00:05:30,750
y que no se dejaron de utilizar hasta el siglo XII

54
00:05:30,750 --> 00:05:35,250
principalmente por la introducción que hizo Fibonacci

55
00:05:35,250 --> 00:05:39,350
y la defensa que hizo Fibonacci de los números arábicos o indios.

56
00:05:41,889 --> 00:05:48,389
Aquí tenéis algunas imágenes de ese libro, dos páginas de ese libro.

57
00:05:48,490 --> 00:05:51,990
Aquí veis que también se hacían representaciones geométricas de algunas de las ecuaciones,

58
00:05:52,170 --> 00:05:57,050
pero veis que no hay ninguna letra para representar ecuaciones, era todo redactado.

59
00:05:58,089 --> 00:06:03,529
Ahora voy a hacer una breve explicación muy curiosa de cuál es el origen de la X

60
00:06:03,529 --> 00:06:17,529
que tanto usamos en álgebra y que tiene que ver con España, porque uno de los primeros lugares en donde se tradujo el álgebra de Al-Khwarizmi al latín fue en España.

61
00:06:17,709 --> 00:06:26,310
Concretamente, en 1145 se tradujo en Segovia por Roberto de Chester con el título de Liber Algebra y Almukabala.

62
00:06:26,310 --> 00:06:50,129
Y los traductores se encontraban con una dificultad, y es que en los textos de Al-Khwarizmi, que veis aquí a la derecha, se utilizaba para la incógnita la palabra árabe shayán, que significa algo, y cuya inicial es esta letra, la letra árabe shin, que suena como una S líquida.

63
00:06:50,129 --> 00:06:55,069
Y ese sonido no existía, nada parecido en español ni en latín.

64
00:06:55,170 --> 00:07:02,870
Entonces se hizo una aproximación y se representó al español como Shey, y luego se simplificó con su inicial X.

65
00:07:03,389 --> 00:07:09,810
Y también hay gente que dice que viene de la letra griega Kappa o Chi, y que posteriormente se simplificó a la letra X.

66
00:07:10,350 --> 00:07:16,949
Por lo tanto, que sepáis que el origen de la X tiene que ver con los traductores al latín de la obra de Al-Khwarizmi,

67
00:07:16,949 --> 00:07:21,949
y que su incorporación no fue por motivos didácticos, sino por motivos lingüísticos,

68
00:07:22,689 --> 00:07:28,009
porque esta palabra árabe no sabían cómo incorporarla, cómo traducirla, y esto fue una abreviación.

69
00:07:29,889 --> 00:07:42,310
Posteriormente, en el siglo XVI, los matemáticos Robert Record, en el siglo XVI, introdujo el signo igual y el signo más en 1557.

70
00:07:42,310 --> 00:07:48,970
Y ahora vamos a ver, por ejemplo, en uno de sus libros, cómo representó una de las primeras ecuaciones con letras.

71
00:07:49,110 --> 00:07:56,050
Esta ecuación de aquí quiere decir 14x, que le ponían, no sé por qué, dos puntos, uno delante y otro detrás.

72
00:07:56,170 --> 00:08:01,509
Aquí está el signo más, 14x más 15 igual a 71, ¿vale?

73
00:08:02,350 --> 00:08:08,410
Es decir, Robert Record introdujo el signo igual y el signo más y la x,

74
00:08:08,410 --> 00:08:16,069
ya se conocía desde el siglo XII por una abreviatura, una abreviación de la palabra griega shayán.

75
00:08:17,769 --> 00:08:23,790
Y luego tenemos a François Viette, o Vieta en español, como se suele decir,

76
00:08:24,269 --> 00:08:31,569
que fue uno de los grandes precursores del álgebra, el que más aportó a la notación que utilizamos actualmente,

77
00:08:31,569 --> 00:08:38,870
porque hasta entonces en las disputas que se celebraron entre Cardano, Tartaglia

78
00:08:38,870 --> 00:08:45,009
no se utilizaban prácticamente letras sino que se seguían resolviendo las ecuaciones de manera retórica

79
00:08:45,009 --> 00:08:54,070
y se hablaba de la cosa y todos los cálculos y las explicaciones se realizaban de manera retórica

80
00:08:54,070 --> 00:08:59,750
aquí tenéis unas capturas de uno de sus libros Inartem Analog Analyticem Isagoge

81
00:08:59,750 --> 00:09:04,809
donde podéis ver el empleo de las ecuaciones de las letras

82
00:09:04,809 --> 00:09:06,230
para representar cantidades

83
00:09:06,230 --> 00:09:09,070
y posteriormente el signo por

84
00:09:09,070 --> 00:09:11,690
que también fue una aportación inglesa

85
00:09:11,690 --> 00:09:15,429
de William Outred

86
00:09:15,429 --> 00:09:22,330
el signo de la multiplicación es del siglo de este matemático inglés

87
00:09:22,330 --> 00:09:25,610
que vivió entre 1574 y 1660

88
00:09:25,610 --> 00:09:29,009
y ahora ya vamos a las aportaciones más importantes

89
00:09:29,009 --> 00:09:34,370
a la geometría analítica, es decir, el casamiento, la unión de la álgebra y la geometría,

90
00:09:34,509 --> 00:09:40,149
la realizaron estos tres matemáticos, dos franceses y uno holandés, René Descartes,

91
00:09:40,809 --> 00:09:46,309
que nació en 1596 y murió en 1650, que era matemático y filósofo,

92
00:09:47,169 --> 00:09:50,789
y él sí publicó sus aportaciones o sus descubrimientos,

93
00:09:51,529 --> 00:09:58,490
y Pierre de Fermat, que también era un gran matemático, pero que no publicó sus aportaciones.

94
00:09:59,009 --> 00:10:12,090
Y Fermat y Descartes fueron los que propusieron el empleo de las coordenadas, que luego llevaron el nombre de coordenadas cartesianas, en honor a René Descartes.

95
00:10:12,190 --> 00:10:18,049
Pero hay que tener en cuenta que René Descartes y Pierre de Fermat solamente se referían a un eje de coordenadas.

96
00:10:18,549 --> 00:10:28,929
El que utilizó o que propuso y defendió el empleo de dos ejes perpendiculares fue este inglés, Franz von Schulte, y aquí tenéis una representación de Rembrandt, nada más y nada menos.

97
00:10:29,009 --> 00:10:36,490
una vez hecha esa introducción podemos ir ya a lo que es nuestro tema 6

98
00:10:36,490 --> 00:10:41,870
aquí tenéis el libro de Teide que es el que nosotros estamos utilizando

99
00:10:41,870 --> 00:10:45,309
el que vosotros tenéis y en el cual yo he ocultado algunas partes

100
00:10:45,309 --> 00:10:48,330
que considero menos importantes para que no nos distraigamos

101
00:10:48,330 --> 00:10:51,429
entonces en este vídeo para que no sea muy extenso

102
00:10:51,429 --> 00:10:58,070
vamos a cubrir solamente los tres primeros apartados del tema

103
00:10:58,070 --> 00:11:10,929
En concreto vamos a hacer una introducción a lo que son los vectores, luego vamos a ver cómo se operan con vectores libres, con el método gráfico y posteriormente cómo se operan vectores con el método analítico.

104
00:11:11,870 --> 00:11:26,090
En primer lugar, ¿qué es un vector? Un vector es un segmento orientado, es decir, en Euclides y en geometría se sabe muy bien lo que es un segmento, que es una parte de una recta.

105
00:11:26,090 --> 00:11:33,250
Aquí tendríamos un segmento con el concepto tradicional, una parte de la recta que tiene una longitud.

106
00:11:35,950 --> 00:11:45,090
En geometría analítica se dice que un vector fijo es un segmento orientado, es decir, es un segmento pero con más información.

107
00:11:45,950 --> 00:11:49,389
Es un segmento cuyos dos puntos no son iguales.

108
00:11:49,389 --> 00:11:55,889
Aquí los puntos inicial y final de un segmento tienen un nombre.

109
00:11:56,090 --> 00:12:01,370
El primero, el origen, se llama origen y el final se llama extremo, ¿vale?

110
00:12:01,809 --> 00:12:10,590
Y se representa el vector por la letra del origen y por la letra del extremo y encima se le pone una pequeña flecha.

111
00:12:11,769 --> 00:12:14,029
¿Cuáles son los componentes de un vector?

112
00:12:14,230 --> 00:12:20,850
Un vector se compone, se forma o tiene un módulo, que es la longitud del segmento AB, que sería esta longitud, ¿vale?

113
00:12:20,850 --> 00:12:28,029
O esta, es decir, como hemos dicho que un vector es un segmento, si aquí no le pinto ni el origen ni el extremo ni la orientación,

114
00:12:28,149 --> 00:12:33,230
la longitud de este segmento sería el módulo, ¿vale? La longitud de esta flecha sería el módulo.

115
00:12:33,730 --> 00:12:40,230
Luego tenemos una dirección. La dirección es la recta que soporta ese vector, ¿vale?

116
00:12:40,230 --> 00:12:55,389
Es decir, la dirección en el lenguaje habitual, nosotros hablamos en el lenguaje coloquial de dirección para referirnos a lo que en matemáticas llamamos sentido.

117
00:12:55,389 --> 00:13:11,789
Cuando nosotros decimos que ha habido un accidente en la carretera Madrid-Barcelona en dirección Barcelona, en matemáticas diríamos en sentido Barcelona o en sentido Madrid, si nos queremos referir al sentido contrario.

118
00:13:11,789 --> 00:13:20,490
La dirección en matemáticas, en geometría analítica, es la recta sobre la cual se encuentra el vector.

119
00:13:20,809 --> 00:13:24,830
Y una dirección no tiene un sentido concreto, tiene dos sentidos.

120
00:13:25,210 --> 00:13:30,990
La dirección es esto, es la recta en la cual se encuentra ese vector.

121
00:13:31,950 --> 00:13:39,090
Y lo que normalmente nos referimos a ello como dirección en el lenguaje coloquial es en matemáticas, en geometría analítica, el sentido.

122
00:13:39,289 --> 00:13:41,509
El sentido es la orientación del vector.

123
00:13:41,789 --> 00:13:50,450
Por lo tanto, el sentido es el que va de A a B, del origen al extremo, del inicio al fin.

124
00:13:54,409 --> 00:14:04,509
Luego, si el vector fijo tiene su origen en el origen de coordenadas, hablábamos de un vector de posición y definimos las coordenadas de estos vectores como las coordenadas de su extremo, que lo determinan por completo.

125
00:14:04,509 --> 00:14:22,690
Es decir, yo podría tener un vector aquí, pintado, por ejemplo, yo podría tener un vector aquí, y ese no sería un vector de posición.

126
00:14:22,909 --> 00:14:30,309
Vector de posición solamente si yo el punto, el origen, lo tengo en el origen de coordenadas, como el que tenemos aquí representado.

127
00:14:30,309 --> 00:14:35,610
Aquí tenemos el punto A43, que lo sabéis representar en coordenadas cartesianas

128
00:14:35,610 --> 00:14:42,250
Que por cierto, voy a recordar cómo se llamaban cada uno de los orígenes, cada uno de los ejes de las coordenadas

129
00:14:42,250 --> 00:14:54,350
Como sabéis, este eje de aquí es el eje de abscisas

130
00:14:54,350 --> 00:14:59,929
Me ha quedado esto mal, abscisas, ahora lo cambiaré

131
00:14:59,929 --> 00:15:05,750
¿Vale? Vamos a quitarle el relleno, que no queremos relleno, ¿vale?

132
00:15:06,250 --> 00:15:08,750
Abscisas, y estas son las ordenadas.

133
00:15:10,370 --> 00:15:10,889
Or-den-adas.

134
00:15:12,590 --> 00:15:14,409
¿Vale? Estas son las ordenadas.

135
00:15:14,929 --> 00:15:17,509
Bien, entonces aquí tenemos el punto A43,

136
00:15:18,769 --> 00:15:24,990
y el vector de posición OA es el vector que va desde el origen de coordenadas hasta este punto.

137
00:15:25,429 --> 00:15:28,769
¿Vale? Parece lo mismo, pero bueno, no es exactamente lo mismo.

138
00:15:28,769 --> 00:15:31,129
Nos iremos acostumbrando conforme lo vayamos usando.

139
00:15:32,090 --> 00:15:38,610
Por otro lado, se dice que dos vectores fijos son equipolentes y tienen el mismo módulo, dirección y sentido.

140
00:15:38,889 --> 00:15:45,289
Existen, por tanto, dado un vector fijo AB, infinitos vectores equipolentes AE.

141
00:15:45,289 --> 00:16:06,470
Es decir, si yo tengo este vector de aquí, el vector AB, y yo este vector, no es el vector sino defino cualquier vector que tenga ese módulo, esa dirección y ese sentido, lo puedo aplicar en muchos sitios y todos estos vectores serían equipolentes a este vector.

142
00:16:06,470 --> 00:16:10,990
Y el conjunto de todos ellos se llama vector libre V.

143
00:16:11,950 --> 00:16:18,070
Un vector libre es un vector que se puede aplicar o que se puede considerar aplicado en cualquier punto.

144
00:16:18,509 --> 00:16:22,230
Y lo contrario es un vector fijo que está aplicado en un punto cualquiera.

145
00:16:23,710 --> 00:16:28,769
Y cada uno de estos vectores son representantes del vector libre V.

146
00:16:30,350 --> 00:16:35,850
Bien, estos ejercicios no los considero muy interesantes, entonces los vamos a saltar.

147
00:16:35,850 --> 00:16:40,509
Vamos a empezar ya directamente con las operaciones con vectores libres, el método gráfico.

148
00:16:40,830 --> 00:16:46,149
Y aquí vamos a aprender cómo se suman y cómo se restan vectores de manera gráfica,

149
00:16:46,309 --> 00:16:49,950
y cómo se multiplican por números que llamaremos escalares.

150
00:16:50,190 --> 00:16:53,769
Bien, entonces, suma de vectores y coordenadas de un vector libre.

151
00:16:54,090 --> 00:16:56,990
¿Cómo se pueden sumar dos vectores libres u y v?

152
00:16:57,190 --> 00:17:03,409
Para ello, como son vectores libres, nosotros los podemos mover de cualquier manera, ¿no?

153
00:17:03,409 --> 00:17:18,450
Es decir, los puedo desplazar. Y vamos a coger dos representantes de cada uno de ellos, de forma que se coloquen consecutivamente con el origen del segundo en el extremo del primero.

154
00:17:18,670 --> 00:17:25,410
Y el vector suma será aquel que tiene como origen el origen de u y como extremo el extremo de v. ¿Vale?

155
00:17:25,410 --> 00:17:44,210
¿Esto qué quiere decir? Aquí lo tengo representado. Yo aquí tengo el vector libre u y el vector libre v y me piden que lo sume. Por lo que hago es coger este vector v, me lo llevo aquí, ¿vale? Aquí lo tengo representado, que he puesto el origen de uno de ellos en el extremo de otro de ellos.

156
00:17:44,210 --> 00:17:46,910
el vector v, me lo he llevado aquí

157
00:17:46,910 --> 00:17:47,849
¿vale?

158
00:17:48,230 --> 00:17:51,509
y la suma de u más v

159
00:17:51,509 --> 00:17:52,990
será el vector que va

160
00:17:52,990 --> 00:17:55,349
del origen de u

161
00:17:55,349 --> 00:17:56,990
al extremo de v

162
00:17:56,990 --> 00:17:58,730
voy a hacer otro ejemplo

163
00:17:58,730 --> 00:17:59,630
¿vale?

164
00:18:00,730 --> 00:18:02,029
voy a hacer la mano alzada

165
00:18:02,029 --> 00:18:05,470
vamos a sumar, por ejemplo, el vector a

166
00:18:05,470 --> 00:18:07,710
yo aquí lo tengo

167
00:18:07,710 --> 00:18:09,509
el vector a

168
00:18:09,509 --> 00:18:10,730
y el vector

169
00:18:10,730 --> 00:18:13,109
b

170
00:18:13,109 --> 00:18:21,170
que va a ir así, hacia abajo. Un momento, lo voy a dibujar de un solo trazo para que me sea más fácil, ¿vale?

171
00:18:22,049 --> 00:18:26,250
Este es el vector B y este es el vector A, ¿de acuerdo?

172
00:18:26,650 --> 00:18:30,849
¿Cómo se sumarían estos vectores? Yo tengo que sumar A más B, ¿no?

173
00:18:31,529 --> 00:18:40,849
Bien, pues yo me cojo B y me lo llevo, me llevo el origen de B en el extremo de B.

174
00:18:40,849 --> 00:19:02,130
Y entonces el vector suma sería este de aquí, voy a ponerlo en rojo para que se vea más fácil, más bonito, ¿vale? El vector suma sería ese, ese sería a más b, a más b, y se representa así, ¿vale?

175
00:19:02,130 --> 00:19:25,269
Bien, esa es una de las maneras de sumar vectores, pero otra manera de sumar vectores de manera gráfica es mediante la regla del paralelogramo, que consiste en hacer algo muy parecido, pero en vez de llevarnos el vector v al extremo del vector u, nos lo llevamos al origen y construimos un paralelogramo, ¿vale?

176
00:19:25,269 --> 00:19:45,740
Entonces, siguiendo con nuestro ejemplo, ¿cómo hubiera sido esto? Yo me lo voy a copiar aquí, o lo voy a deshacer, mejor dicho, yo esto lo voy a deshacer, tengo que coger un poquito más de práctica.

177
00:19:45,740 --> 00:20:04,539
Entonces, aquí el vector B, en vez de llevármelo al extremo, me lo voy a llevar al origen y aquí voy a formar un paralelogramo. ¿Cómo se forma el paralelogramo? Así, de esta manera.

178
00:20:04,539 --> 00:20:10,920
Ahora copio este vector ahí y copio este vector aquí, control V, ¿vale?

179
00:20:10,920 --> 00:20:21,359
Y ahora, uniendo este origen, la diagonal de ese paralelogramo va a ser la suma.

180
00:20:23,279 --> 00:20:27,359
A, control Z, que me he equivocado, ¿vale?

181
00:20:27,859 --> 00:20:31,559
Este sería A más B.

182
00:20:31,799 --> 00:20:34,180
Es decir, hay dos maneras de hacerlo.

183
00:20:34,180 --> 00:20:36,980
construir un paralelogramo

184
00:20:36,980 --> 00:20:41,079
o construir un trenecito, una cadena de vectores

185
00:20:41,079 --> 00:20:43,460
aquí tendríamos A más B

186
00:20:43,460 --> 00:20:49,819
aquí no es necesario llevarse el vector exactamente

187
00:20:49,819 --> 00:20:53,839
sino que basta llevarse el vector primero

188
00:20:53,839 --> 00:20:56,519
dejar el vector primero y el vector segundo

189
00:20:56,519 --> 00:20:58,640
y esto serían líneas discontinuas

190
00:20:58,640 --> 00:21:00,980
y así haríamos el paralelogramo

191
00:21:00,980 --> 00:21:11,880
¿Vale? Bien, aquí nos están pidiendo, por ejemplo, que realicemos la suma de los vectores de manera gráfica, de estos dos vectores.

192
00:21:12,039 --> 00:21:23,519
¿Cómo se sumarían u más v? Voy a tapar la solución para que luego veáis que, o sea, para que la podáis ver, para que veáis que nos va a dar aproximadamente lo mismo.

193
00:21:23,519 --> 00:21:28,720
Nos están pidiendo que sumemos el vector u más el vector v.

194
00:21:29,339 --> 00:21:31,640
Lo voy a hacer a mano alzada aproximadamente.

195
00:21:32,079 --> 00:21:32,579
Sería así.

196
00:21:33,740 --> 00:21:34,920
Este sería mi vector.

197
00:21:36,740 --> 00:21:40,980
Vamos a cambiar el color del trazo y el relleno.

198
00:21:42,000 --> 00:21:43,799
Este sería mi vector u.

199
00:21:45,920 --> 00:21:50,619
Y este sería mi vector v que lo vamos a sumar de las dos maneras.

200
00:21:50,940 --> 00:21:51,859
Vamos a ver.

201
00:21:51,859 --> 00:22:15,279
Primero haciendo una cadena de vectores, una sucesión de vectores, lo estoy dibujando aproximadamente paralelo. Este sería mi vector v, ¿vale? Entonces ahora por lo tanto ya tengo hecho la cadena o el trenecito, como lo queráis llamar, este sería u más v, u más v, ¿de acuerdo?

202
00:22:15,279 --> 00:22:30,180
Y si lo hiciéramos por el paralelogramo, por la regla del paralelogramo, en vez de juntar origen con extremo, junto orígenes, es decir, este vector me lo llevo aquí, ¿vale?

203
00:22:30,180 --> 00:22:44,589
Y ahora hago el paralelogramo, es decir, aproximadamente sería eso, y este sería u más v, ¿vale?

204
00:22:44,670 --> 00:22:50,390
Si esto es v, esto sería u más v, ¿vale?

205
00:22:51,210 --> 00:22:55,769
Vamos a ver ahora cómo lo hace él, si la solución es la misma.

206
00:22:57,109 --> 00:23:01,789
En primer lugar colocamos los vectores libres, uno a continuación de otro, y después sumaremos.

207
00:23:01,789 --> 00:23:05,690
Él lo ha hecho por el método de la cadena de vectores, por este método.

208
00:23:06,410 --> 00:23:12,089
Y nosotros lo hemos hecho de las dos maneras, por la cadena de vectores y por la ley del parallelogram.

209
00:23:12,250 --> 00:23:16,029
Es decir, puedo juntar orígenes o puedo hacer cadena.

210
00:23:16,750 --> 00:23:19,910
Origen de uno en el extremo del anterior, ¿vale?

211
00:23:20,130 --> 00:23:22,029
Pero veis que el resultado es el mismo.

212
00:23:22,890 --> 00:23:26,150
Resta de vectores. ¿Cómo se haría la resta de dos vectores?

213
00:23:26,150 --> 00:23:33,150
Pues lo primero que hacemos es recordar la resta que hacíamos en aritmética

214
00:23:33,150 --> 00:23:40,130
Es decir, siempre podemos considerar que la resta de dos elementos es la suma de uno más el opuesto de otro

215
00:23:40,130 --> 00:23:43,569
Entonces, si yo tengo un vector v, ¿cuál va a ser su opuesto?

216
00:23:44,029 --> 00:23:48,930
El opuesto es un vector que tiene el mismo módulo, la misma dirección

217
00:23:48,930 --> 00:23:54,230
Porque recordad que la recta que soporta un vector es la dirección, pero el sentido opuesto

218
00:23:54,230 --> 00:24:02,410
Entonces, si esto es v, esto es menos v, que es muy lógico. Y restar dos vectores u y v equivale a sumar al primero el opuesto del segundo.

219
00:24:02,630 --> 00:24:10,569
u menos v es u más menos v, es decir, el opuesto del segundo, de la misma forma que se explicó anteriormente.

220
00:24:10,990 --> 00:24:20,730
Entonces, aquí tenemos u y v. ¿Cómo podemos restarlo? Pues hago u y v, lo invierto, lo estoy pasando a menos v.

221
00:24:20,730 --> 00:24:43,529
Esta flecha que está aquí está apareciendo ahora aquí. Y ahora sumo estos dos vectores y los suma por el método de la cadena. Pone aquí u, donde termina u, comienza menos v y esta va a ser la resta. Este vector de aquí va a ser u menos v.

222
00:24:43,529 --> 00:25:02,190
Pero, de todos modos, hay una forma más directa y es saber que cuando tú tienes un vector y quieres hacer la resta, el vector siempre es el final menos el inicial.

223
00:25:02,990 --> 00:25:19,720
Bien, perdón, continuamos con nuestra resta de vectores. Hemos visto que se pueden restar vectores sumando a un vector su opuesto.

224
00:25:19,720 --> 00:25:26,799
Pero hay una forma más simplificada de restar vectores de manera gráfica y la voy a explicar aquí a continuación.

225
00:25:27,380 --> 00:25:49,539
Si yo tengo el vector A y el vector C y yo hago el vector que va de A a B, es decir, del extremo de A al extremo de C y le llamo a ese vector B, yo puedo decir que C, que el vector C, es la suma de A más B, porque están haciendo una cadena, ¿no? Están seguidos.

226
00:25:49,720 --> 00:25:57,880
Es decir, el origen de B parte del extremo de A. Por lo tanto, C sería A más B.

227
00:25:58,859 --> 00:26:06,839
Y de aquí, si despejo B, el vector A pasaría restando y puedo decir que B es C menos A.

228
00:26:07,380 --> 00:26:10,339
Es decir, B es C menos A.

229
00:26:11,059 --> 00:26:17,339
Por lo tanto, siempre que tengamos un vector que va de la punta de un vector a la punta de otro vector,

230
00:26:17,339 --> 00:26:27,519
sabemos que ese vector es la resta de dos vectores, de esos dos vectores, pero ¿cuál es el que va sumando, cuál es el minuendo y cuál es el sustraendo?

231
00:26:28,220 --> 00:26:42,019
Bien, pues siempre es el final menos el inicial, el extremo menos el origen, es decir, B es el final, C menos A, final menos inicial.

232
00:26:42,019 --> 00:26:47,779
siempre que haya un vector entre las dos puntas de dos vectores de las puntas de

233
00:26:47,779 --> 00:26:53,599
dos vectores ese vector va a ser la resta de los dos vectores y siempre es

234
00:26:53,599 --> 00:26:59,980
el final es decir en este caso c menos a y si nos

235
00:26:59,980 --> 00:27:05,279
liamos pues planteamos la ecuación en positivo y vamos a ver quién está

236
00:27:05,279 --> 00:27:10,779
sumando y quién es el vector c que será la suma de a más b y lo pasamos hacia el

237
00:27:10,779 --> 00:27:19,079
otro lado y vemos si B es C menos A o A menos C. Pero siempre recordemos que es final menos

238
00:27:19,079 --> 00:27:24,900
inicial. Y ahora aquí viene lo mismo que yo os he dicho, pero comentado de otra manera

239
00:27:24,900 --> 00:27:30,059
y es muy importante. Lo que pasa es que el libro lo expresa de una manera un poco complicada.

240
00:27:30,180 --> 00:27:34,220
Dice, la suma y la resta de vectores libres nos permite obtener las coordenadas de un

241
00:27:34,220 --> 00:27:39,700
vector libre cualquiera. Dice, observa que según el gráfico, en el cual tenemos los

242
00:27:39,700 --> 00:27:45,519
ejes de coordenadas y tenemos un punto A, el origen de coordenadas, y otro punto B.

243
00:27:46,380 --> 00:27:54,180
Y trazamos el vector que va de A a B. El origen es A, el extremo es B. Y dice, observa que

244
00:27:54,180 --> 00:28:01,240
según el gráfico se verifica que OA, el vector que parte de O y va hasta A, más el

245
00:28:01,240 --> 00:28:09,279
vector AB, es igual a OB. Eso lo sabemos por la regla de la suma de vectores. Esto hace

246
00:28:09,279 --> 00:28:21,759
una cadena de vectores, un trenecito, y este vector, el vector que va del origen al punto B, es la suma de OA más AB, por tanto, hace lo que yo os he hecho antes,

247
00:28:22,160 --> 00:28:36,099
por lo tanto, AB es OB menos OA, que pasa restando, es decir, AB es OB menos OA, es decir, las coordenadas de un vector libre, ¿vale?

248
00:28:36,099 --> 00:29:06,440
Él está diciendo que aquí AB es un vector libre, se obtienen restando, y ahora aquí está mal expresado en el libro, se obtienen restando a las coordenadas del extremo, es decir, a las coordenadas de B, se obtienen restando a las coordenadas del extremo las del origen de uno cualquiera de sus representantes.

249
00:29:06,440 --> 00:29:18,099
Es decir, de manera simplificada, las coordenadas de un vector libre son siempre el final, el punto final, menos el inicial, o el extremo menos el origen.

250
00:29:18,099 --> 00:29:42,480
En nuestro caso, si las coordenadas de A son A1, B1 y las de B son A2, B2, las coordenadas del vector AB serán las del final menos las del inicial, es decir, la abscisa final A2 menos la abscisa inicial que es A1, A2 menos A1.

251
00:29:42,480 --> 00:29:53,819
Y las ordenadas de AB, es decir, la segunda coordenada de AB será la ordenada final B2 menos la ordenada inicial B1, ¿vale?

252
00:29:54,880 --> 00:30:03,109
Bien, y ahora vamos a ver cómo se calcula el módulo de un vector libre y se representa con estas barras verticales.

253
00:30:03,809 --> 00:30:10,950
¿Os acordáis? Son las mismas barras que utilizábamos para representar el valor absoluto de un número entero o de un número real, ¿vale?

254
00:30:10,950 --> 00:30:19,410
El módulo de un vector libre U se denota con estas dos barras verticales y es la longitud de su segmento.

255
00:30:19,490 --> 00:30:27,789
Cuando conocemos las coordenadas del vector U, del vector libre AB, su módulo es la raíz cuadrada de A cuadrado más B cuadrado.

256
00:30:28,109 --> 00:30:38,069
Es decir, la raíz cuadrada de la primera coordenada al cuadrado más la segunda coordenada al cuadrado.

257
00:30:38,069 --> 00:31:04,309
¿Y por qué eso es así? Pues por el teorema de Pitágoras, sencillamente. Si nosotros tenemos un vector AB, que va desde el punto A hasta el punto B, y aquí tenemos que la diferencia de ordenadas de AB es 3, o menos 3 en valor absoluto, y 2 en horizontal, en abscisas, el módulo de AB va a ser la hipotenusa de este triángulo rectángulo.

258
00:31:04,309 --> 00:31:08,230
¿Vale? Esa es la razón y esto lo tenéis que aprender muy bien

259
00:31:08,230 --> 00:31:13,009
Esto que he recuadrado, que es cómo se calculan las coordenadas de un vector libre

260
00:31:13,009 --> 00:31:15,529
Que es siempre final menos inicial

261
00:31:15,529 --> 00:31:19,150
Y el módulo de un vector a partir de sus coordenadas

262
00:31:19,150 --> 00:31:20,829
Las tenéis que aprender muy bien

263
00:31:20,829 --> 00:31:21,869
¿Vale? Bien

264
00:31:21,869 --> 00:31:25,609
Ahora vamos a explicar qué es una magnitud escalar

265
00:31:25,609 --> 00:31:31,809
Hemos empezado definiendo los vectores como un segmento orientado

266
00:31:31,809 --> 00:31:52,529
¿Por qué se utilizan los vectores? Pues porque son muy importantes en física, porque muchas magnitudes no basta con conocer el número que las representa, no quedan definidas totalmente con un número, con una cantidad numérica, sino que se tiene que decir, se tiene que indicar una dirección y un sentido.

267
00:31:52,529 --> 00:32:14,329
Como por ejemplo, un desplazamiento. Si yo estoy en el plano cartesiano y digo me voy a desplazar 20 kilómetros. ¿Eso nos dice algo? No. Nos dice que nuestro punto final, si hemos ido en línea recta, estará en el extremo de una circunferencia de radio 20 kilómetros.

268
00:32:14,329 --> 00:32:29,529
Pero si queremos saber el punto exacto, tendremos que dar una dirección y un sentido, ¿vale? Lo mismo pasa con el viento. El viento no me vale decir que un viento tiene 10 metros por segundo o 5 metros por segundo de velocidad.

269
00:32:29,529 --> 00:32:46,630
Ahora, tendré que decir si está soplando del norte al sur, o 15 grados este, o 15 grados noroeste, etc. Hace falta una dirección y un sentido. Pues lo contrario de las magnitudes vectoriales son las magnitudes escalares.

270
00:32:46,630 --> 00:33:04,910
Las magnitudes de escalares son las que quedan definidas de manera completa con un número. Por ejemplo, la masa de un cuerpo. Si yo digo que mi masa es 80 kilos, no tengo que decir en qué dirección o en qué sentido.

271
00:33:04,910 --> 00:33:27,950
O, por ejemplo, ¿qué otra magnitud puede ser escalar? La temperatura. Yo digo que hace hoy una temperatura de 10 grados y no tengo que decir ni dirección ni sentido. Por lo tanto, magnitudes vectoriales, magnitudes escalares. Vectores, escalares. Vectores por un lado y escalares por otro.

272
00:33:27,950 --> 00:33:32,029
Los escalares que son, son números, son los números a los que estamos acostumbrados.

273
00:33:32,849 --> 00:33:39,089
Y existe una aparición de vectores, que es la multiplicación por escalares, ¿vale?

274
00:33:39,210 --> 00:33:40,609
Y es lo que vamos a explicar ahora.

275
00:33:41,230 --> 00:33:45,849
El resultado de multiplicar un vector libre u por un número real no nulo, lambda,

276
00:33:46,029 --> 00:33:50,029
lambda es la letra griega lambda, este símbolo que yo os he puesto aquí,

277
00:33:50,150 --> 00:33:53,789
es la letra griega lambda, que es el equivalente a nuestra L.

278
00:33:53,970 --> 00:33:56,750
Nuestra L viene de la lambda griega.

279
00:33:56,750 --> 00:33:58,730
Es un vector lambda u

280
00:33:58,730 --> 00:34:00,150
Es decir, yo tengo un vector libre u

281
00:34:00,150 --> 00:34:01,849
Y lo multiplico por el vector lambda

282
00:34:01,849 --> 00:34:03,549
Y voy a tener otro vector

283
00:34:03,549 --> 00:34:06,470
Que se va a llamar lambda u

284
00:34:06,470 --> 00:34:09,849
La flechita solamente afecta al u

285
00:34:09,849 --> 00:34:10,989
No afecta a la lambda

286
00:34:10,989 --> 00:34:12,190
Es decir, no se pone encima

287
00:34:12,190 --> 00:34:14,789
Y ese vector va a tener la misma dirección

288
00:34:14,789 --> 00:34:15,789
¿Vale?

289
00:34:15,889 --> 00:34:18,010
El módulo de lambda u

290
00:34:18,010 --> 00:34:19,050
Que yo lo pongo así

291
00:34:19,050 --> 00:34:20,809
O sea, que se escribe así

292
00:34:20,809 --> 00:34:22,349
Con estas dos barras verticales

293
00:34:22,349 --> 00:34:24,849
Va a ser el valor absoluto de lambda

294
00:34:24,849 --> 00:34:30,630
porque lambda puede ser, como es un número real, puede ser positivo o negativo, ¿vale?

295
00:34:31,349 --> 00:34:37,349
Es decir, el módulo de lambda u va a ser el valor absoluto de lambda por el módulo de u.

296
00:34:37,610 --> 00:34:46,849
Y el sentido va a ser el mismo que u si lambda es positivo y de sentido contrario si lambda es negativo, ¿vale?

297
00:34:47,349 --> 00:34:53,230
Entonces, aquí tengo u y si lo multiplico por el escalar 2, por el número 2,

298
00:34:53,230 --> 00:35:09,690
Voy a tener un vector que va a tener la misma dirección, es decir, esta recta y esta recta van a ser paralelas, la dirección de u y la dirección de 2u van a ser paralelas, va a ser la misma dirección, el módulo va a ser el doble y el sentido va a ser el mismo.

299
00:35:09,690 --> 00:35:12,550
¿Por qué? Porque 2 es un número positivo.

300
00:35:13,409 --> 00:35:23,510
Sin embargo, el vector menos 3u va a tener la misma dirección, pero el sentido contrario.

301
00:35:24,110 --> 00:35:31,389
El sentido va a ser hacia abajo y hacia la izquierda, mientras que el sentido de u es hacia arriba y hacia la derecha.

302
00:35:31,690 --> 00:35:36,869
Y el módulo de menos 3u va a ser 3 veces el de u.

303
00:35:36,869 --> 00:35:50,929
Este vector de aquí es el triple en módulo que el de u. Y un medio de u también podemos multiplicar por un vector, por un escalar que sea menor que 1, menor que la unidad.

304
00:35:51,130 --> 00:36:05,269
Este vector de aquí tiene un módulo que es la mitad que u. También se puede aprovechar las posibilidades de este programa que yo tengo aquí y puedo dibujar una flecha.

305
00:36:05,269 --> 00:36:07,809
no sé si la tenía dibujada

306
00:36:07,809 --> 00:36:10,170
yo creía que sí, bueno, no la tengo dibujada

307
00:36:10,170 --> 00:36:11,690
entonces si a esto le doy

308
00:36:11,690 --> 00:36:14,190
lo termino

309
00:36:14,190 --> 00:36:15,530
en flecha

310
00:36:15,530 --> 00:36:17,429
le vamos a poner esa flecha ahí

311
00:36:17,429 --> 00:36:18,849
pues puedo jugar

312
00:36:18,849 --> 00:36:22,070
con esta herramienta

313
00:36:22,070 --> 00:36:24,250
yo lo puedo escalar tirando de este tirador

314
00:36:24,250 --> 00:36:25,869
para mantener la proporción

315
00:36:25,869 --> 00:36:28,690
un momento, si le doy a control

316
00:36:28,690 --> 00:36:30,250
voy a mantener

317
00:36:30,250 --> 00:36:32,150
la orientación, yo aquí

318
00:36:32,150 --> 00:36:34,210
lo estoy escalando y si me voy

319
00:36:34,210 --> 00:36:36,210
hacia atrás, pues lo estoy haciendo

320
00:36:36,210 --> 00:36:37,010
más pequeño

321
00:36:37,010 --> 00:36:39,250
o sea, más pequeño

322
00:36:39,250 --> 00:36:50,400
esto sería

323
00:36:50,400 --> 00:36:52,400
multiplicar por un lambda negativo

324
00:36:52,400 --> 00:36:54,079
¿vale?

325
00:37:00,030 --> 00:37:01,789
eso es multiplicar por un escalar

326
00:37:01,789 --> 00:37:03,269
bien, entonces

327
00:37:03,269 --> 00:37:05,489
ahora, vamos a ver, siguiente

328
00:37:05,489 --> 00:37:06,130
apartado

329
00:37:06,130 --> 00:37:13,539
ahora, realiza la siguiente

330
00:37:13,539 --> 00:37:15,579
suma de vectores de forma gráfica, este es

331
00:37:15,579 --> 00:37:17,619
muy fácil, ¿vale? se podrían

332
00:37:17,619 --> 00:37:18,619
sumar

333
00:37:18,619 --> 00:37:21,400
haciendo una cadena, ahora no

334
00:37:21,400 --> 00:37:29,519
tenemos dos vectores, tenemos tres, pero da igual, sumar vectores es muy fácil, restar

335
00:37:29,519 --> 00:37:33,360
a lo mejor es un poquito más complicado, pero sumar es simplemente ir haciendo una

336
00:37:33,360 --> 00:37:41,559
cadena y además se da la propiedad conmutativa, es decir, que yo no tengo por qué hacerlo

337
00:37:41,559 --> 00:37:46,059
en un orden determinado, ¿vale? Entonces vamos a sumar, por ejemplo, de manera aproximada,

338
00:37:46,059 --> 00:38:01,159
Esto sería u, que va hacia arriba, es casi vertical, este sería el vector u, y ahora aquí le voy a poner a continuación el vector v, que es aproximadamente así, más o menos, esto es v, ¿vale?

339
00:38:01,199 --> 00:38:11,820
Y donde termina v, yo le pondría ahora w, y más o menos, no sé si estará preparado, pero es más o menos, parece que volvemos al origen.

340
00:38:11,820 --> 00:38:27,460
Vamos a hacerlo de otra manera. Vamos a cambiar el orden. Vamos a empezar por W. W sería aproximadamente así. ¿Vale? W. ¿Y ahora qué le sumamos? U. Vale. Pues subimos hacia arriba. Subimos U. ¿Vale?

341
00:38:27,460 --> 00:38:41,440
Y por último V. Es un vector que es aproximadamente así. O sea que parece que llegamos al origen. ¿Vale? Estos tres vectores parece que están preparados para que lleguemos al origen.

342
00:38:41,440 --> 00:38:46,440
Dibuja dos vectores que tengan igual módulo, igual dirección, pero distinto sentido

343
00:38:46,440 --> 00:38:49,860
Sería el opuesto, esto sería por ejemplo el vector u

344
00:38:49,860 --> 00:38:53,139
Este sería el ejercicio 3

345
00:38:53,139 --> 00:38:58,820
Dos vectores que tengan igual módulo, igual dirección, pero distinto sentido

346
00:38:58,820 --> 00:39:02,440
Que tengan igual dirección no quiere decir que estén exactamente sobre la misma recta

347
00:39:02,440 --> 00:39:04,099
Sino que las rectas sean paralelas

348
00:39:04,099 --> 00:39:08,559
Y esto sería el vector menos u

349
00:39:08,559 --> 00:39:10,599
Serían vectores opuestos

350
00:39:10,599 --> 00:39:15,360
Y opera de forma gráfica con los vectores u y v, haciendo todo esto.

351
00:39:15,860 --> 00:39:17,500
Bueno, pues, ¿cómo se haría?

352
00:39:19,420 --> 00:39:23,519
Vamos a ver, lo voy a hacer de manera un poco aproximada.

353
00:39:24,639 --> 00:39:32,960
El vector 3, 2, 1, 2, 3, y esto sería aproximadamente el vector 3, 2, ¿vale?

354
00:39:32,960 --> 00:39:42,460
Este sería el vector u y el vector v que sería menos 1, menos 1, menos 1, menos 2, menos 3.

355
00:39:42,840 --> 00:39:44,880
O sea, estaría aproximadamente ahí.

356
00:39:45,800 --> 00:39:47,980
Este sería el vector v.

357
00:39:52,579 --> 00:39:55,960
Bien, entonces, ¿cómo sería el vector u más 2v?

358
00:39:58,139 --> 00:40:00,159
u más 2v.

359
00:40:00,639 --> 00:40:03,940
Pues 2v sería aproximadamente así.

360
00:40:03,940 --> 00:40:08,530
lo he dibujado bastante mal

361
00:40:08,530 --> 00:40:15,769
vale, pues entonces

362
00:40:15,769 --> 00:40:17,829
esto ahora, yo como puedo hacer

363
00:40:17,829 --> 00:40:19,989
esto tan chulo, pues control copy

364
00:40:19,989 --> 00:40:21,769
y con, no

365
00:40:21,769 --> 00:40:23,789
me lo voy a llevar directamente así

366
00:40:23,789 --> 00:40:27,679
esto sería 2v

367
00:40:27,679 --> 00:40:29,840
esto sería

368
00:40:29,840 --> 00:40:31,820
f6

369
00:40:31,820 --> 00:40:34,059
esto sería el vector 2v

370
00:40:34,059 --> 00:40:35,579
lo veis

371
00:40:35,579 --> 00:40:37,400
vale

372
00:40:37,400 --> 00:40:39,079
u es 3, 2

373
00:40:39,079 --> 00:40:40,599
3, 2

374
00:40:40,599 --> 00:40:42,139
y v es menos 1

375
00:40:42,139 --> 00:40:44,360
menos 3 y me dicen

376
00:40:44,360 --> 00:40:46,699
u más 2v

377
00:40:46,699 --> 00:40:48,260
por lo primero calculo 2v

378
00:40:48,260 --> 00:40:49,039
como habéis visto

379
00:40:49,039 --> 00:40:52,000
2v sería aproximadamente

380
00:40:52,000 --> 00:40:52,960
esto

381
00:40:52,960 --> 00:40:56,059
muy chapucero, lo estoy haciendo muy rápido

382
00:40:56,059 --> 00:40:58,159
pero vosotros luego en casa lo hacéis bien

383
00:40:58,159 --> 00:40:59,440
esto sería 2v

384
00:40:59,440 --> 00:41:01,780
u más 2v, entonces ahora

385
00:41:01,780 --> 00:41:03,199
voy a pintar el resultado

386
00:41:03,199 --> 00:41:07,440
y lo vamos a poner en rojo

387
00:41:07,440 --> 00:41:09,840
el resultado sería

388
00:41:09,840 --> 00:41:10,880
este vector de aquí

389
00:41:10,880 --> 00:41:14,840
esta es la suma, porque he hecho

390
00:41:14,840 --> 00:41:16,659
mi cadena

391
00:41:16,659 --> 00:41:18,219
u más 2v

392
00:41:18,219 --> 00:41:19,739
sería ese, vale

393
00:41:19,739 --> 00:41:23,340
esto sería u más 2v

394
00:41:23,340 --> 00:41:29,510
ese sería el vector rojo

395
00:41:29,510 --> 00:41:31,389
vale, bien

396
00:41:31,389 --> 00:41:32,750
y ahora me están diciendo

397
00:41:32,750 --> 00:41:36,940
vale, una vez que lo hayáis visto

398
00:41:36,940 --> 00:41:39,219
vamos a deshacer y vamos a hacer

399
00:41:39,219 --> 00:41:41,019
menos v más 2u

400
00:41:41,019 --> 00:41:44,780
menos v, vale

401
00:41:44,780 --> 00:41:46,400
pues

402
00:41:46,400 --> 00:41:49,420
control copy

403
00:41:49,420 --> 00:41:50,260
control v

404
00:41:50,260 --> 00:41:52,900
y lo pongo en el origen más o menos

405
00:41:52,900 --> 00:41:54,619
y aprovechando esta

406
00:41:54,619 --> 00:41:56,400
posibilidad que yo tengo

407
00:41:56,400 --> 00:42:02,070
me siento muy feo

408
00:42:02,070 --> 00:42:08,760
me siento muy feo porque lo debería hacer

409
00:42:08,760 --> 00:42:10,480
con líneas rectas pero

410
00:42:10,480 --> 00:42:12,719
bueno

411
00:42:12,719 --> 00:42:13,920
vamos a hacerlo bien

412
00:42:13,920 --> 00:42:16,980
voy a borrar

413
00:42:16,980 --> 00:42:18,500
incluso este vector de aquí

414
00:42:18,500 --> 00:42:20,380
y lo vamos a hacer mejor

415
00:42:20,380 --> 00:42:22,139
un poco mejor

416
00:42:22,139 --> 00:42:24,400
Vamos a hacerlo con líneas rectas

417
00:42:24,400 --> 00:42:25,719
Esto iría de aquí

418
00:42:25,719 --> 00:42:28,300
Ahí

419
00:42:28,300 --> 00:42:31,619
Y le vamos a poner el extremo

420
00:42:31,619 --> 00:42:33,639
El extremo a este vector

421
00:42:33,639 --> 00:42:34,460
De aquí

422
00:42:34,460 --> 00:42:36,239
Ese sería, ¿vale?

423
00:42:36,320 --> 00:42:37,699
Ese sería el vector V

424
00:42:37,699 --> 00:42:39,360
Y me están diciendo ahora

425
00:42:39,360 --> 00:42:43,139
Que tengo que hacer menos V partido por 2

426
00:42:43,139 --> 00:42:43,619
¿Vale?

427
00:42:44,460 --> 00:42:46,119
Pues lo selecciono

428
00:42:46,119 --> 00:42:48,219
Piso la tecla control

429
00:42:48,219 --> 00:42:50,320
Y me la llevo aproximadamente

430
00:42:50,320 --> 00:42:54,000
sería aproximadamente por ahí

431
00:42:54,000 --> 00:42:56,300
menos v partido por 2

432
00:42:56,300 --> 00:42:58,139
eso sería menos v partido por 2

433
00:42:58,139 --> 00:43:00,599
y 2u sería

434
00:43:00,599 --> 00:43:04,300
eso multiplicado por 2

435
00:43:04,300 --> 00:43:12,159
2u

436
00:43:12,159 --> 00:43:21,179
lo voy a hacer bien

437
00:43:21,179 --> 00:43:23,780
estoy haciendo una correría

438
00:43:23,780 --> 00:43:26,340
lo voy a hacer bien para el vídeo

439
00:43:26,340 --> 00:43:27,019
y lo hago bien

440
00:43:27,019 --> 00:43:34,260
bien, pues ya tenemos aquí dibujada

441
00:43:34,260 --> 00:43:35,659
nuestro ejercicio

442
00:43:35,659 --> 00:43:41,280
con vectores y una rejilla cartesiana bien hecha.

443
00:43:41,420 --> 00:43:47,800
Entonces, nos estaba pidiendo el ejercicio que hiciéramos menos uv medios más 2u.

444
00:43:48,719 --> 00:43:53,460
Vale, pues entonces vamos a empezar con u, que lo vamos a multiplicar por 2.

445
00:43:54,260 --> 00:43:58,179
Con esta posibilidad que yo tengo aquí de estirar manteniendo la inclinación,

446
00:43:58,719 --> 00:44:05,039
voy a multiplicarlo por 2, entonces esto me va a llegar aquí, hasta el punto 6.

447
00:44:05,659 --> 00:44:11,260
Lo dejo ahí, y esto va a ser mi vector 2u, ¿vale?

448
00:44:11,320 --> 00:44:12,980
Esto va a ser, lo voy a escribir aquí.

449
00:44:14,460 --> 00:44:17,360
A ver, este sería el vector 2u.

450
00:44:18,199 --> 00:44:24,139
Lo he cogido, este sería el vector 2u, ¿vale?

451
00:44:24,559 --> 00:44:27,400
Esto lo cambio a color rojo, ¿vale?

452
00:44:27,500 --> 00:44:29,039
Ese sería 2u.

453
00:44:29,039 --> 00:44:37,280
Y menos v medios sería, haciendo el mismo procedimiento, de una manera aproximada, ¿vale?

454
00:44:37,300 --> 00:44:56,130
No, ahí pasaría aproximadamente a ser, si tenía la cisa era menos un medio, pues va a pasar a ser medio punto positivo.

455
00:44:56,570 --> 00:45:04,309
Y si tenía tres negativos, va a pasar a ser menos v medios, va a ser aproximadamente uno y medio positivo, ¿vale?

456
00:45:04,309 --> 00:45:06,789
Luego eso va a ser menos v medios.

457
00:45:07,150 --> 00:45:08,550
Y luego la suma, ¿cómo se hará?

458
00:45:08,849 --> 00:45:21,539
Pues tendré que poner esto en la otra punta, aquí, en la punta, el otro vector.

459
00:45:21,900 --> 00:45:23,079
¿Y cuál va a ser la solución?

460
00:45:23,480 --> 00:45:28,880
Pues la solución va a ser esta de aquí a aquí.

461
00:45:31,150 --> 00:45:34,550
Y eso le vamos a dar el color rosa para que se resalte.

462
00:45:35,409 --> 00:45:39,630
Y le vamos a poner una flecha en la punta para que se vea bien.

463
00:45:39,630 --> 00:45:59,809
Esa sería nuestra solución. En concreto, esa sería, menos v medios, vamos a ponerlo en rosa, menos v medios, más 2u. ¿Vale? Ese sería el procedimiento.

464
00:45:59,809 --> 00:46:27,989
Vale, siguiente ejercicio, o siguiente apartado, operaciones con vectores, método analítico, ¿qué quiere decir método analítico? Pues que vamos a utilizar sumas y restas de las componentes de cada uno de los vectores, vamos a utilizar álgebra más que escuadra y cartabón y rectas paralelas, lo vamos a hacer todo con álgebra.

465
00:46:27,989 --> 00:46:34,329
¿Vale? Entonces, ¿cuáles son las operaciones con vectores que hemos visto en el apartado anterior por el método gráfico?

466
00:46:34,630 --> 00:46:37,150
La suma y la resta de vectores

467
00:46:37,150 --> 00:46:39,530
Y por otro lado, la multiplicación por escalares

468
00:46:39,530 --> 00:46:42,730
¿Vale? Pues entonces, en el primer lugar tenemos la suma de vectores

469
00:46:42,730 --> 00:46:47,969
Para ello tenemos que expresar cada vector con sus coordenadas cartesianas

470
00:46:47,969 --> 00:46:51,610
Por ejemplo, si yo tengo el vector a sub 1, b sub 1

471
00:46:51,610 --> 00:46:57,010
Y le quiero sumar o restar otro vector que tendrá coordenadas a sub 2, b sub 2

472
00:46:57,010 --> 00:47:12,090
El resultado va a ser otro vector con unos paréntesis separados con una coma, en la cual la primera componente, la componente de las abscisas, va a ser la suma o la resta de las primeras componentes.

473
00:47:12,090 --> 00:47:25,170
A sub 1, A sub 2, será A sub 1 más menos A sub 2, y la segunda componente será la suma o la resta, según lo que indique este signo, de las segundas componentes.

474
00:47:25,610 --> 00:47:28,210
Es decir, B sub 1, B sub 2. Luego veremos un ejemplo.

475
00:47:28,809 --> 00:47:30,789
¿Cómo se hará la multiplicación por escalares?

476
00:47:30,909 --> 00:47:38,289
Escalares, recordad, se representan normalmente con la letra griega lambda, y la lambda representa un número.

477
00:47:38,289 --> 00:47:40,070
¿vale? y aquí tengo mi vector

478
00:47:40,070 --> 00:47:42,150
lambda que multiplica al vector a su 1

479
00:47:42,150 --> 00:47:43,769
b su 1 será lambda a su 1

480
00:47:43,769 --> 00:47:46,010
coma lambda b su 1

481
00:47:46,010 --> 00:47:47,789
¿vale? bien

482
00:47:47,789 --> 00:47:49,489
entonces, si yo ahora mismo

483
00:47:49,489 --> 00:47:51,670
me piden aquí este ejercicio

484
00:47:51,670 --> 00:47:53,789
que yo haga, voy a tapar las soluciones

485
00:47:53,789 --> 00:47:55,070
¿vale?

486
00:47:56,070 --> 00:47:57,369
las soluciones

487
00:47:57,369 --> 00:48:01,929
y esto es lo que yo había hecho

488
00:48:01,929 --> 00:48:05,159
a ver

489
00:48:05,159 --> 00:48:07,239
¿cómo estaba hecho esto?

490
00:48:09,039 --> 00:48:09,360
vale

491
00:48:09,360 --> 00:48:14,260
Esto lo había hecho y lo he tenido que repetir porque no había grabado el vídeo

492
00:48:14,260 --> 00:48:16,280
No le había dado a grabar

493
00:48:16,280 --> 00:48:19,860
Vale, entonces me están diciendo aquí que yo tengo el vector u, 2, 5

494
00:48:19,860 --> 00:48:21,920
Y el vector v, menos 1, menos 3

495
00:48:21,920 --> 00:48:24,380
Y el vector w, 4, menos 7

496
00:48:24,380 --> 00:48:27,139
Y me dicen que haga estas operaciones

497
00:48:27,139 --> 00:48:33,139
La primera operación es u menos w, más w

498
00:48:33,139 --> 00:48:35,059
O sea, u menos v, más w

499
00:48:35,059 --> 00:48:54,380
Entonces, yo aquí lo que hago es escribir las componentes de cada uno de los vectores. El vector u es 2, 5. Pues lo pongo aquí. Menos, menos. Y ahora v. ¿Cuál es v? Menos 1, menos 3. Lo pongo. Y w más 4, menos 7.

500
00:48:54,380 --> 00:48:59,460
Pues esto va a ser igual a un vector, escribo unos paréntesis y pongo una coma.

501
00:48:59,619 --> 00:49:04,380
¿Cuál va a ser la primera componente? Pues la suma o la resta de las primeras componentes.

502
00:49:05,119 --> 00:49:17,210
Para que quede más claro, voy a hacer esto. Voy a poner en color, para que se vea mejor, cuáles son las primeras componentes.

503
00:49:18,869 --> 00:49:21,050
Y eso lo vamos a poner, por ejemplo, de color rosa.

504
00:49:21,050 --> 00:49:23,610
¿Vale? De color rosa

505
00:49:23,610 --> 00:49:28,070
Hay algo aquí que se me ha quedado por marcar

506
00:49:28,070 --> 00:49:29,769
¿Vale?

507
00:49:30,550 --> 00:49:31,550
Que esto no es fácil

508
00:49:31,550 --> 00:49:32,210
¿Vale?

509
00:49:35,090 --> 00:49:35,769
Rosa

510
00:49:35,769 --> 00:49:37,429
¿Vale?

511
00:49:37,650 --> 00:49:41,829
Entonces, es decir, la primera componente del vector resultado

512
00:49:41,829 --> 00:49:46,090
Es la suma o la resta de las primeras componentes

513
00:49:46,090 --> 00:49:49,190
2 menos menos 1 que pasa a más 1

514
00:49:49,190 --> 00:50:02,150
y 4, ¿vale? Por lo tanto, yo voy a tener 2 más 1, 3 más 4, 7. Este va a ser la primera componente, lo voy a poner también en rosa.

515
00:50:02,809 --> 00:50:11,690
Bien, la segunda componente del vector resultado lo voy a dejar todo en azul y será 5, que es la segunda componente, menos menos 3, que pasa a ser más 3,

516
00:50:11,690 --> 00:50:14,469
Y más menos 7, que es menos 7

517
00:50:14,469 --> 00:50:16,469
5 y 3, 8, menos 7, 1

518
00:50:16,469 --> 00:50:18,170
Ese es el resultado, ¿vale?

519
00:50:18,630 --> 00:50:20,429
El vector 7, 1

520
00:50:20,429 --> 00:50:22,329
Que vemos que coincide

521
00:50:22,329 --> 00:50:25,969
Con lo que da el libro

522
00:50:25,969 --> 00:50:27,250
7, 1, lo tenemos ahí

523
00:50:27,250 --> 00:50:29,690
Siguiente ejercicio, un poco más complicado

524
00:50:29,690 --> 00:50:32,989
Y que además me he equivocado antes haciéndolo en directo

525
00:50:32,989 --> 00:50:34,050
Y no lo he corregido

526
00:50:34,050 --> 00:50:35,750
Vamos a ver ahora dónde estaría el error

527
00:50:35,750 --> 00:50:37,150
Me dicen 3W

528
00:50:37,150 --> 00:50:41,269
Pues pongo 3 veces 4 menos 7

529
00:50:41,269 --> 00:50:51,750
Eso está correcto. Menos 5, y ahora abro corchetes y pongo u, que es 2, 5, menos 2, que multiplica a v, que es menos 1, menos 3.

530
00:50:52,210 --> 00:51:09,190
Cierro paréntesis, cierro corchete. Y esto ahora es una escala que multiplica a un vector 3, que multiplica a 4, menos 7, va a ser 3 por 4, 12, coma, 3 por menos 7 es menos 21.

531
00:51:09,190 --> 00:51:21,110
Cierro paréntesis. Y ahora, menos 5 que multiplica a, y aquí voy a hacer lo primero, multiplicar este escalar por este vector, ¿vale?

532
00:51:21,690 --> 00:51:29,210
Menos 2 por menos 1 es menos 2, y 2 por menos 3 es menos 6, ¿vale?

533
00:51:29,210 --> 00:51:43,989
Bien, y ahora el siguiente paso, dejo el 12, menos 21, lo dejo igual, y el menos 5 lo voy a dejar igual, y voy a operar este vector que está dentro de los corchetes.

534
00:51:43,989 --> 00:52:10,030
Primera componente, 2 menos menos 2, va a ser 2 más 2, y la segunda componente va a ser 5 menos menos 6, que pasa a 5 más 6, ¿vale? Es decir, esto va a ser 12, menos 21, este signo lo voy a quitar de aquí porque si no va a parecer que está duplicado, menos 5, que multiplica a 2 más 2, 4, y 5 más 6, 11, ¿vale?

535
00:52:10,030 --> 00:52:40,900
Es decir, 12, menos 21, menos 5 por 4, 20, y 5 por 11, aquí está el error de antes, este era mi error, control Z, todo esto lo voy a borrar, todo esto lo borro, porque está equivocado desde ahí, ¿vale?

536
00:52:40,900 --> 00:52:42,880
Y entonces vamos a seguir

537
00:52:42,880 --> 00:52:45,539
Y esto es menos 20

538
00:52:45,539 --> 00:52:47,119
Y ahora seguimos por aquí

539
00:52:47,119 --> 00:52:47,860
Con

540
00:52:47,860 --> 00:52:51,539
Vamos a seleccionar el color azul

541
00:52:51,539 --> 00:52:56,280
A ver

542
00:52:56,280 --> 00:52:59,380
Porque no me lo coge

543
00:52:59,380 --> 00:53:01,019
Vale, ya tengo el color azul

544
00:53:01,019 --> 00:53:02,940
Y esto es menos 5 por 4, 20

545
00:53:02,940 --> 00:53:06,780
Y 5 por 11

546
00:53:06,780 --> 00:53:08,960
50 y 5

547
00:53:08,960 --> 00:53:13,670
50 y 5

548
00:53:13,670 --> 00:53:17,210
Vale

549
00:53:17,210 --> 00:53:19,010
Quito el relleno

550
00:53:19,010 --> 00:53:20,349
Que me está molestando

551
00:53:20,349 --> 00:53:33,690
Y esto va a ser igual a 12 menos 20, menos 21, menos 55.

552
00:53:34,389 --> 00:53:46,050
Y esto aquí es igual a 12 menos 20 es menos 8, y menos 51 menos 55 es menos 76.

553
00:53:46,050 --> 00:53:53,030
Vamos a ver si le da lo mismo al libro

554
00:53:53,030 --> 00:53:56,449
Y lo hemos hecho bien, menos 8 menos 76

555
00:53:56,449 --> 00:53:59,869
Luego sería correcto

556
00:53:59,869 --> 00:54:02,429
Bien, vamos a hacer el siguiente ejercicio resuelto

557
00:54:02,429 --> 00:54:04,070
Tengo la solución tapada

558
00:54:04,070 --> 00:54:10,409
Nos dice, dado el vector AB de coordenadas 3, menos 2

559
00:54:10,409 --> 00:54:13,909
Con A15 encuentra el punto B

560
00:54:13,909 --> 00:54:30,050
Bien, vamos a venirnos un poquito hacia la izquierda. Nos dicen que el vector AB es 3 menos 2 y A es 1,5. Que encontremos el punto B. Entonces, es muy importante recordar lo que hemos dicho antes. Muy, muy importante.

561
00:54:30,050 --> 00:54:41,070
Cuando yo tengo el punto AB, el vector AB, que es un vector libre y yo conozco el origen, me están pidiendo el extremo.

562
00:54:41,329 --> 00:54:48,840
Y eso sabemos siempre que es lo que decíamos antes.

563
00:54:50,139 --> 00:54:56,219
Si yo aquí tengo un vector, no voy a dibujar las coordenadas, no tienen por qué ser las mismas.

564
00:54:56,219 --> 00:55:18,440
Este es mi punto A, y este es mi punto B, este es el vector OA, y este es el vector OB, este es el vector OA, ¿vale?

565
00:55:18,440 --> 00:55:40,480
El vector AB siempre es el final menos el inicial, OB menos OA, eso es igual a AB.

566
00:55:41,179 --> 00:55:46,920
Y si alguien tiene dudas, pues que vea este triángulo compuesto así.

567
00:55:46,920 --> 00:56:06,079
Está claro que OB es la suma de OA más AB. Pues lo escribimos. OB es igual a OA más AB. ¿Sí? Y aquí tenemos que despejar AB.

568
00:56:06,079 --> 00:56:32,769
A, B es igual a OB menos OA, ¿lo veis? Es decir, siempre el final menos el origen, el inicial, las coordenadas del punto final menos las coordenadas del punto inicial, ¿vale?

569
00:56:32,769 --> 00:57:00,269
Entonces, yo aquí sé, lo voy a escribir, sustituyo 3, menos 2 es igual a OB, que es lo que yo no sé, lo desconozco, OB, perdón, perdón, perdón, esto es OB, menos OA, que sí que lo conozco, que es el punto, que son las coordenadas del punto 1, 5, ¿vale?

570
00:57:00,269 --> 00:57:17,980
Por lo tanto, OB es igual a 3, menos 3, y el punto 1, el vector 1, menos 5, que está restando, pasa sumando, más 1,5.

571
00:57:18,500 --> 00:57:28,400
¿Y eso a qué va a ser igual? Eso va a ser igual a 3 más 1, menos 3, más 5.

572
00:57:28,400 --> 00:57:29,800
o lo que es lo mismo

573
00:57:29,800 --> 00:57:32,219
el punto

574
00:57:32,219 --> 00:57:34,619
4, 2

575
00:57:34,619 --> 00:57:36,059
¿vale?

576
00:57:36,340 --> 00:57:38,599
vamos a ver si lo tenemos bien

577
00:57:38,599 --> 00:57:39,739
ese ejercicio

578
00:57:39,739 --> 00:57:46,110
4, 3

579
00:57:46,110 --> 00:57:51,110
que me he confundido yo

580
00:57:51,949 --> 00:57:54,389
es el punto

581
00:57:54,389 --> 00:57:57,829
es que esto es un 2

582
00:57:57,829 --> 00:58:00,309
me he copiado mal el enunciado

583
00:58:00,309 --> 00:58:02,010
es el punto 3 menos 2

584
00:58:02,010 --> 00:58:06,210
3 menos 2

585
00:58:06,210 --> 00:58:07,469
¿Vale?

586
00:58:08,070 --> 00:58:10,429
Por lo tanto, eso es

587
00:58:10,429 --> 00:58:12,750
Esto es un 2

588
00:58:12,750 --> 00:58:20,269
Esto es un 2

589
00:58:20,269 --> 00:58:22,829
F6

590
00:58:22,829 --> 00:58:30,119
Y esto es un 2

591
00:58:30,119 --> 00:58:34,789
Esto es un 2

592
00:58:34,789 --> 00:58:40,900
Y esto entonces sería un 3

593
00:58:40,900 --> 00:58:44,559
Suprimir F6

594
00:58:44,559 --> 00:58:45,480
3

595
00:58:45,480 --> 00:58:46,199
¿Vale?

596
00:58:46,800 --> 00:59:09,980
Recopiamos la denuncia. ¿De acuerdo? Bien. ¿Cómo sería el siguiente ejercicio? Dado el vector AB, que es 3 menos 2, con B menos 4, 3, encuentra el punto A. Ahora es distinto. Nos dan las coordenadas del extremo y nos piden las del origen.

597
00:59:09,980 --> 00:59:15,199
Vale, bueno, pues vamos a sustituir hasta aquí.

598
00:59:15,360 --> 00:59:17,480
Todo eso nos vale, ¿de acuerdo?

599
00:59:18,420 --> 00:59:20,539
Todo eso nos vale, lo que hemos puesto ahí.

600
00:59:21,139 --> 00:59:25,760
Y nosotros sabemos que AB siempre es el final menos el inicial.

601
00:59:26,659 --> 00:59:28,840
Las coordenadas del punto final menos el inicial.

602
00:59:29,119 --> 00:59:31,940
Vale, pues escribimos AB, que es 3, 2.

603
00:59:34,559 --> 00:59:36,300
3, 2.

604
00:59:36,699 --> 00:59:38,199
Es igual a qué?

605
00:59:38,199 --> 00:59:41,039
3, menos 2

606
00:59:41,039 --> 00:59:43,039
3, menos 2

607
00:59:43,039 --> 00:59:45,340
es las coordenadas del punto final

608
00:59:45,340 --> 00:59:47,119
que las conozco

609
00:59:47,119 --> 00:59:48,239
menos 4, 3

610
00:59:48,239 --> 00:59:52,139
menos las coordenadas del punto inicial

611
00:59:52,139 --> 00:59:55,159
que lo escribimos como OA

612
00:59:55,159 --> 00:59:56,699
¿vale?

613
00:59:57,079 --> 00:59:58,820
entonces, ahora OA

614
00:59:58,820 --> 01:00:00,639
lo paso, que está restando

615
01:00:00,639 --> 01:00:02,780
en este miembro, lo paso

616
01:00:02,780 --> 01:00:04,840
a la izquierda sumando

617
01:00:04,840 --> 01:00:06,159
y me va a quedar OA

618
01:00:06,159 --> 01:00:20,619
Es igual, y este vector que está a la izquierda sumando pasa restando, es menos 4,3 menos 3, menos 2.

619
01:00:20,880 --> 01:00:26,239
Y eso va a ser igual a un vector, ¿cuál va a ser la primera componente?

620
01:00:27,199 --> 01:00:29,980
Menos 4, menos 3.

621
01:00:29,980 --> 01:00:35,780
La segunda componente va a ser 3, menos menos 2, que pasa a 3 más 2.

622
01:00:35,780 --> 01:00:58,909
Y esto es igual a menos 7,5, ¿vale? Vamos a ver si lo tenemos bien, menos 7,5, correcto, ¿vale? Ahora nos dice, calcula la distancia entre los puntos A, 3, 5 y B, menos 1,4, ¿vale?

623
01:00:58,909 --> 01:01:30,170
Pues entonces, para calcular la distancia sabemos que si nosotros tenemos un punto A y un punto B, la distancia que hay entre AB es el módulo del vector AB, o si queréis, en este caso daría lo mismo, hacer el módulo del vector BA, lo que más rabia nos dé.

624
01:01:30,170 --> 01:01:53,210
Entonces, vamos a calcular el vector AB. ¿Cuál es el vector AB? Pues las coordenadas del punto B, que serían menos 1, 4, siempre final menos inicial, final, porque es el punto B, menos el inicial, que es 3, 5.

625
01:01:53,210 --> 01:02:13,989
¿Y eso cuánto daría? Un vector, dibujo primero la estructura, los paréntesis y la coma, y ahora pongo menos 1 menos 3, y ahora 4 menos 5, y eso es menos 1 menos 3 es menos 4, y ahora 4 menos 5 es 1.

626
01:02:13,989 --> 01:02:33,320
Bien, ese es el vector AB. ¿Cómo calculo el módulo del vector AB? Hemos dicho que el módulo de un vector es igual a la raíz cuadrada de la primera componente al cuadrado más la segunda componente al cuadrado.

627
01:02:33,320 --> 01:02:53,179
¿Y eso cómo lo haríamos? La raíz cuadrada de menos 4 al cuadrado más 1 al cuadrado, es decir, sería igual a la raíz cuadrada de menos 4 al cuadrado es 16 más 1, es decir, la raíz cuadrada de 17.

628
01:02:53,179 --> 01:03:21,610
Eso se dejaría así. Vamos a ver si lo tenemos bien, o yo me he equivocado. Raíz cuadrada de 17. Aquí vamos a utilizar la anotación del libro, que también es correcta, es interesante. Esto es la distancia, y se pone así, a, b.

629
01:03:21,610 --> 01:03:32,050
de acuerdo otro ejercicio obtén el punto medio del segmento 27 y b45 para esto hay

630
01:03:32,050 --> 01:03:39,670
que pensar un poquito nos están diciendo que tenemos si nosotros tenemos unos ejes

631
01:03:39,670 --> 01:03:48,389
de coordenadas y tenemos dos puntos el punto a y el punto b que hallamos el punto medio que

632
01:03:48,389 --> 01:03:52,570
se nos puede ocurrir aquí? Este lo vamos a llamar el punto P. No lo he dibujado muy

633
01:03:52,570 --> 01:03:59,070
bien. Vamos a ponerlo más bien ahí. Este sería el punto P. ¿Cuáles serían las coordenadas

634
01:03:59,070 --> 01:04:10,400
del punto P? ¿Qué es lo que podemos hacer? Os dejo pensar un poco. ¿Cómo se podría

635
01:04:10,400 --> 01:04:16,280
hacer? Recordamos las cosas que sabemos hacer. Sabemos sumar y restar vectores por el método

636
01:04:16,280 --> 01:04:21,179
gráfico y por el método analítico. Estamos en el apartado analítico. Vamos a utilizar

637
01:04:21,179 --> 01:04:26,500
en el método analítico o algebraico, es decir, sabemos sumar y restar vectores y sabemos

638
01:04:26,500 --> 01:04:31,079
multiplicar por escalares, escalares mayores y menores que 1.

639
01:04:35,039 --> 01:04:37,340
Dicho eso, ¿cuál sería la solución?

640
01:04:37,820 --> 01:04:43,519
Nosotros aquí sabemos que este sería el vector OA, porque este es el origen de coordenadas,

641
01:04:43,519 --> 01:04:52,659
y este sería el vector OB, esto sería OB, y esto sería el vector OA.

642
01:04:53,260 --> 01:05:08,099
¿Vale? Bien. Entonces, está claro que a mí me están pidiendo el vector OP. ¿Vale? Lo voy a poner aquí en rosa. Este es el vector que a mí me están pidiendo.

643
01:05:08,099 --> 01:05:26,880
Ups, el vector OP sería, que mal, no quiero hacerlo con la otra herramienta

644
01:05:26,880 --> 01:05:34,000
Este es el vector que a mí me están pidiendo, el vector OP

645
01:05:34,000 --> 01:05:39,170
¿Cómo se podría calcular el vector OP?

646
01:05:39,170 --> 01:05:44,530
Pues sería el vector OA más el vector AB partido por 2

647
01:05:44,530 --> 01:05:48,030
¿No? Vale, pues lo vamos a escribir

648
01:05:48,030 --> 01:05:50,170
Vamos a escribirlo

649
01:05:50,989 --> 01:06:07,599
Es decir, OP es igual al vector OA más un medio del vector AB.

650
01:06:10,300 --> 01:06:14,139
El vector A lo conocemos porque conocemos el punto A.

651
01:06:14,880 --> 01:06:19,019
El vector B lo conocemos, por lo tanto conocemos AB.

652
01:06:19,019 --> 01:06:20,440
Pues ya lo tenemos todo.

653
01:06:20,440 --> 01:06:38,739
Es decir, vamos a calcular en primer lugar el vector AB. AB es siempre final menos inicial, es decir, coordenadas del punto B menos las coordenadas del punto inicial, del origen extremo menos origen, ¿vale?

654
01:06:38,739 --> 01:06:50,219
Y esto es igual a, dibujo primero la estructura, que a mí me gusta más, 4 menos 2, 4 menos 2, y ahora es 5 menos 7, 5 menos 7.

655
01:06:50,579 --> 01:07:00,340
¿Y esto cuánto es? Esto es igual a 2, menos 2. Ese es AB. AB es eso.

656
01:07:00,340 --> 01:07:03,059
¿Cuánto será un medio de AB?

657
01:07:03,960 --> 01:07:05,280
Lo hacemos, muy fácil

658
01:07:05,280 --> 01:07:15,920
Un medio de AB es igual a un medio que multiplica a 2, menos 2

659
01:07:15,920 --> 01:07:20,519
Es decir, que eso es igual a 1, menos 1

660
01:07:20,519 --> 01:07:26,019
Ya conocemos un medio de AB y conocemos OA

661
01:07:26,019 --> 01:07:42,630
Por lo tanto, OP es igual, lo vuelvo a escribir, OA más un medio de AB.

662
01:07:42,630 --> 01:07:57,789
Y es la que es igual a, o a, o a son las coordenadas del punto A, que es 2,7, y un medio de AB es 1, menos 1.

663
01:07:58,190 --> 01:08:07,269
Y esto es igual a, dibujo la estructura, y ahora relleno, 2 más 1, 3, y 2 menos 1, 6.

664
01:08:08,929 --> 01:08:12,309
Este sería el punto que a mí me están pidiendo.

665
01:08:12,630 --> 01:08:36,020
Vamos a ver si lo tenemos bien. 3, 6. Lo tenemos bien. ¿Vale? Ha hecho un dibujo similar, lo único que el punto medio lo ha llamado M a B y yo lo he llamado P. Se verifica que, por lo demás, está igual. ¿Vale? Bien.

666
01:08:36,020 --> 01:08:57,640
Y aquí nos pone una observación que es importante. Es decir, que para calcular el punto medio de un vector hay dos técnicas. Utilizar la técnica vectorial con la que hemos resuelto nosotros el ejercicio anterior o darnos cuenta también de lo siguiente.

667
01:08:57,640 --> 01:09:01,699
lo voy a dibujar aquí de una manera un poquito aproximada

668
01:09:01,699 --> 01:09:04,220
es decir, si yo me dibujo

669
01:09:04,220 --> 01:09:09,359
mi sistema de coordenadas

670
01:09:09,359 --> 01:09:10,880
aquí dibujo el punto A

671
01:09:10,880 --> 01:09:13,039
y aquí dibujo el punto B

672
01:09:13,039 --> 01:09:15,939
es muy intuitivo

673
01:09:15,939 --> 01:09:19,140
se puede comprobar de manera muy intuitiva

674
01:09:19,140 --> 01:09:21,020
este sería el vector AB

675
01:09:21,020 --> 01:09:24,039
vamos a escribirlo así

676
01:09:24,039 --> 01:09:25,479
AB

677
01:09:25,479 --> 01:09:47,430
Ahora os cuento lo siguiente, si yo aquí proyecto en vertical el punto, estas son las arcisas, las ordenadas, yo proyecto el punto A sobre el eje de las X, sobre el eje de las arcisas, y proyecto el punto B sobre el eje de las arcisas.

678
01:09:47,430 --> 01:09:52,750
Esto sería A sub 1 y esto sería A sub 2.

679
01:09:53,109 --> 01:10:03,329
Y aquí, proyecto en vertical, sobre el eje de las ordenadas tendríamos la ordenada del punto A.

680
01:10:04,010 --> 01:10:13,260
Y aquí tendríamos B sub 2. Eso sería B sub 2.

681
01:10:13,260 --> 01:10:39,090
¿Vale? Entonces, es muy fácil ver, o muy intuitivo ver, que el punto medio, M, lo vamos a llamar M de AB, va a caer en el punto medio de A1 y A2.

682
01:10:39,090 --> 01:11:15,279
Y en vertical, lo mismo. Es decir, esto va a ser, ¿cómo lo llamamos a esto? Esto va a ser a1 más a2 partido de 2, y esto va a ser, y este punto de aquí va a ser b1,

683
01:11:15,779 --> 01:11:19,720
Más B sub 2 partido de 2.

684
01:11:19,720 --> 01:11:26,720
Es decir, que la ordenada, la abscisa del punto medio va a ser el punto medio de las proyecciones.

685
01:11:27,800 --> 01:11:39,840
Si yo tengo aquí A sub 1 y aquí tengo A sub 2, el punto medio, es decir, la abscisa del punto medio va a ser el punto medio de las proyecciones.

686
01:11:39,840 --> 01:11:48,079
es decir, el punto medio de las ascisas del inicio y del final, y lo mismo con las ordenadas,

687
01:11:48,479 --> 01:11:57,460
es decir, la ordenada del punto medio va a ser el valor medio de la ordenada de A y de la ordenada de B, ¿vale?

688
01:11:57,960 --> 01:12:04,159
Entonces, aquí lo tenéis, el punto medio de un segmento de extremos A1, B1, tiene por coordenadas

689
01:12:04,159 --> 01:12:10,680
M de A a B, A sub 1 más A sub 2 partido por 2, B sub 1 más B sub 2 partido por B sub 2.

690
01:12:11,260 --> 01:12:12,619
Y te da un ejemplo.

691
01:12:13,619 --> 01:12:13,819
¿Vale?

692
01:12:16,449 --> 01:12:19,710
Bien, entonces, no sé si se hace algún ejercicio más.

693
01:12:26,890 --> 01:12:31,630
Estos ejercicios ya los haremos en otro momento, porque creo que el vídeo se está agarrando.

694
01:12:33,189 --> 01:12:35,569
Sí, sí, sí, se está agarrando.

695
01:12:36,310 --> 01:12:36,550
Vale.

696
01:12:37,029 --> 01:12:46,420
Bien, como continuación al último ejercicio que hicimos el último día,

697
01:12:46,479 --> 01:12:55,479
Vamos a hacer el ejercicio 8, del que viene en la página 177, este de aquí.

698
01:12:55,619 --> 01:13:05,220
Dice, encuentra un punto que diste 3 unidades del punto A, 1, 3, y que además esté sobre la dirección del vector libre U, menos 4, 3.

699
01:13:06,399 --> 01:13:06,699
Vale.

700
01:13:08,600 --> 01:13:09,760
Lo he hecho aquí a mano.

701
01:13:09,760 --> 01:13:16,060
Entonces, en primer lugar representamos el eje, nuestro sistema de coordenadas

702
01:13:16,060 --> 01:13:21,100
Con el eje de abscisas, con el eje de ordenadas, con el eje x y con el eje y

703
01:13:21,100 --> 01:13:26,619
Dibujamos el vector libre menos 4, 3, ¿vale?

704
01:13:26,699 --> 01:13:30,859
Que estaría menos 4 hacia la izquierda y 3 hacia arriba

705
01:13:30,859 --> 01:13:33,159
Y luego dibujo u menos 4, 3

706
01:13:33,159 --> 01:13:37,840
Y ahora dibujamos el punto A que está en 1, 3

707
01:13:37,840 --> 01:13:41,140
1 hacia la derecha, que son las x positivas

708
01:13:41,140 --> 01:13:43,939
y 3 hacia arriba, que son las ordenadas positivas

709
01:13:43,939 --> 01:13:46,460
y nos dicen que encontremos un punto

710
01:13:46,460 --> 01:13:49,260
que diste 3 unidades

711
01:13:49,260 --> 01:13:51,899
y que esté en esta dirección

712
01:13:51,899 --> 01:13:53,100
de este vector libre

713
01:13:53,100 --> 01:13:56,859
entonces, eso quiere decir

714
01:13:56,859 --> 01:14:01,420
que el punto que a nosotros nos digan

715
01:14:01,420 --> 01:14:03,359
estará en esa dirección

716
01:14:03,359 --> 01:14:05,720
en la dirección que yo estoy ampliando ahí

717
01:14:05,720 --> 01:14:13,579
¿Vale? Esa dirección será esta, y puede ser en el sentido contrario.

718
01:14:13,960 --> 01:14:17,359
Es decir, nosotros vamos a tener, no un punto, dos.

719
01:14:17,460 --> 01:14:22,659
Vamos a encontrar los dos puntos que distan del punto A, tres unidades,

720
01:14:22,899 --> 01:14:29,079
porque puede haber uno hacia la derecha, y puede haber otro hacia la izquierda y hacia arriba.

721
01:14:29,079 --> 01:14:33,840
¿Vale? Entonces, por eso he dibujado yo dos vectores rojos,

722
01:14:33,840 --> 01:14:37,159
uno en un sentido y otro en otro sentido

723
01:14:37,159 --> 01:14:43,039
y ambos en la dirección que marca el vector libre U

724
01:14:43,039 --> 01:14:47,699
y ahora expreso mi vector AB

725
01:14:47,699 --> 01:14:50,439
AB, he puesto aquí B

726
01:14:50,439 --> 01:14:55,079
pero también puede estar en el otro sitio

727
01:14:55,079 --> 01:14:58,159
un momento que lo voy a...

728
01:14:58,159 --> 01:15:04,960
es decir, esto de aquí también va a ser B

729
01:15:04,960 --> 01:15:09,319
ahí va a haber otro B

730
01:15:09,319 --> 01:15:10,180
¿de acuerdo?

731
01:15:11,239 --> 01:15:13,460
va a haber un B hacia abajo y a la derecha

732
01:15:13,460 --> 01:15:15,520
y un B hacia arriba y hacia la izquierda

733
01:15:15,520 --> 01:15:16,619
y entonces yo ahora digo

734
01:15:16,619 --> 01:15:18,380
mi vector AB

735
01:15:18,380 --> 01:15:21,699
el desplazamiento que voy a tener que hacer

736
01:15:21,699 --> 01:15:23,119
desde A hacia B

737
01:15:23,119 --> 01:15:25,439
va a ser igual a

738
01:15:25,439 --> 01:15:26,220
lambda U

739
01:15:26,220 --> 01:15:29,340
lambda es un escalar por el vector U

740
01:15:29,340 --> 01:15:31,640
entonces lambda yo no sé cuánto va a valer

741
01:15:31,640 --> 01:15:33,199
pero U sí que lo conozco

742
01:15:33,199 --> 01:15:35,100
entonces ahora hago un escalar

743
01:15:35,100 --> 01:15:42,000
lambda por un vector. Como hemos visto, cuando multiplicamos un escalar por un vector, pues

744
01:15:42,000 --> 01:15:48,640
tenemos que multiplicar el escalar por las dos componentes del vector. Entonces, lambda

745
01:15:48,640 --> 01:15:56,600
por menos 4, 3 es el vector, menos 4 lambda, 3 lambda. Y ahora impongo la condición a

746
01:15:56,600 --> 01:16:02,460
este vector. ¿Qué condición? Pues que su módulo tiene que ser 3, porque la distancia

747
01:16:02,460 --> 01:16:18,880
Entre A y B va a ser 3. ¿Cómo se calcula el módulo de un vector? Se calcula como la raíz cuadrada de cada componente al cuadrado, es decir, menos 4 lambda al cuadrado más 3 lambda al cuadrado.

748
01:16:18,880 --> 01:16:27,520
Y eso da 16 lambda cuadrado, tener en cuenta que este signo menos va a desaparecer, porque menos por menos es más.

749
01:16:27,880 --> 01:16:33,199
Entonces voy a tener 16 lambda cuadrado más lambda cuadrado, y eso es 25 lambda cuadrado.

750
01:16:33,699 --> 01:16:47,720
Es decir, 5 lambda con el más menos, porque esta raíz cuadrada va a tener dos valores positivos.

751
01:16:47,720 --> 01:16:52,720
Bueno, en realidad va a tener 1, pero yo tengo que considerar...

752
01:16:52,720 --> 01:16:55,279
Sí, esto lo he puesto mal. Un momento que lo voy a corregir.

753
01:16:56,399 --> 01:16:58,199
Esto lo voy a corregir.

754
01:16:59,619 --> 01:17:03,779
AB es 5 lambda, es decir, el módulo de AB es 5 lambda.

755
01:17:05,500 --> 01:17:11,880
Y como yo sé que lambda, 5 lambda, tiene que ser 3,

756
01:17:11,880 --> 01:17:23,939
Pues entonces planteo la ecuación y digo que lambda es igual a tres quintos, pero también me vale lambda igual a menos tres quintos, ¿vale?

757
01:17:24,939 --> 01:17:38,399
Porque lambda positivo sería este, es decir, si yo este vector de aquí, u, lo multiplico por un vector positivo, menor que la unidad, yo tendría este punto de aquí.

758
01:17:38,399 --> 01:17:58,489
Pero si multiplico u por menos lambda tendría este otro b, ¿vale? Entonces las dos soluciones son lambda igual a tres quintos y lambda igual a menos tres quintos, que los voy a poner aquí abajo.

759
01:17:58,489 --> 01:18:11,189
Entonces, el vector B1 es OA, ¿vale? Las coordenadas del punto A, menos 3 quintos de lambda, que sería este.

760
01:18:11,310 --> 01:18:16,289
Este de aquí sería B1, porque estamos cogiendo el lambda negativo.

761
01:18:16,829 --> 01:18:21,449
Y este de aquí sería B2, con el lambda positivo, ¿vale?

762
01:18:21,909 --> 01:18:26,510
Entonces, aquí tengo B1 es OA menos 3 quintos de lambda.

763
01:18:26,510 --> 01:18:38,649
Es decir, ¿cuáles son las coordenadas de OA? Es el punto, el vector OA coincide con las coordenadas del punto 1,3.

764
01:18:38,810 --> 01:18:44,090
Entonces sería el vector 1,3 menos 3 quintos del vector U, que es menos 4,3.

765
01:18:44,090 --> 01:18:49,729
¿Vale? Entonces esto sería el vector 1, 3 menos

766
01:18:49,729 --> 01:18:58,600
Y ahora multiplico 3 quintos por menos 4 y tendría menos 12 quintos

767
01:18:58,600 --> 01:19:03,159
Y multiplico 3 quintos por 3 y tendría 9 quintos

768
01:19:03,159 --> 01:19:08,100
¿Vale? Y ahora hago el vector 1, 3 menos este vector de aquí

769
01:19:08,100 --> 01:19:13,800
Y tendría 1 menos menos 12 quintos sería 1 más 12 quintos

770
01:19:13,800 --> 01:19:18,159
Y 3 menos 9 quintos sería, pues eso, 3 menos 9 quintos.

771
01:19:18,500 --> 01:19:26,479
Y si lo opero todo eso, tendría 27 quintos, 6 quintos, si no me he equivocado.

772
01:19:26,840 --> 01:19:37,000
Y el punto B2, este de aquí, que sería OA más lambda por U, ¿vale?

773
01:19:37,300 --> 01:19:40,560
OA más 3 quintos de U, con lambda positivo.

774
01:19:40,560 --> 01:19:47,140
Entonces, esto sería 1, 3 más 3 quintos por el vector de posición.

775
01:19:47,380 --> 01:19:51,800
Y si opero, y si yo no me he equivocado, llegaríamos a esta solución.

776
01:19:52,260 --> 01:19:52,380
¿Vale?

777
01:19:53,739 --> 01:19:54,319
¿De acuerdo?

778
01:19:55,859 --> 01:20:02,939
Pues este sería el ejercicio 8 que me ha parecido muy interesante.

779
01:20:03,739 --> 01:20:04,079
¿Vale?

780
01:20:04,800 --> 01:20:05,920
Pues nada más.

781
01:20:06,060 --> 01:20:06,399
Paramos.