1 00:00:00,000 --> 00:00:04,540 Sheffrovenius para discutir el sistema y en el caso de que sea compatible, resuélvelo. 2 00:00:06,240 --> 00:00:11,380 Bien, discute y resuelve en caso de que sea compatible. 3 00:00:12,000 --> 00:00:14,939 Vale, sistema de cuatro ecuaciones, cuatro incógnitas. 4 00:00:14,939 --> 00:00:20,379 Matriz de coeficientes, la matriz A, 1, 2, 1, 3. 5 00:00:20,379 --> 00:00:33,200 La segunda columna, 2, 5, 2, 6, 1, 3, 2, 5, menos 3, menos 8, menos 4, menos 11. 6 00:00:33,719 --> 00:00:44,140 Y la matriz ampliada consiste en añadir a la matriz A la columna de términos independientes. 7 00:00:44,140 --> 00:00:51,619 1, 3, 2, 5, menos 3, menos 8, menos 4, menos 11 8 00:00:51,619 --> 00:00:55,960 y añadimos la columna 2, 4, 3, 8 9 00:00:55,960 --> 00:01:01,280 vale, rango de esta, o sea, dimensión de esta matriz es una 4 por 4 10 00:01:01,280 --> 00:01:04,780 luego como mucho puede ser rango 4 11 00:01:04,780 --> 00:01:08,739 dimensión de esta matriz una 4 por 5 12 00:01:08,739 --> 00:01:11,340 también como mucho dimensión 4 13 00:01:11,340 --> 00:01:14,859 Veamos cuál es el determinante de A 14 00:01:14,859 --> 00:01:18,840 Si el determinante de A nos da distinto de 0, el rango de A será 4 15 00:01:18,840 --> 00:01:24,879 Y como ese determinante es un menor de orden 4 también de la matriz ampliada 16 00:01:24,879 --> 00:01:27,640 Ya habremos encontrado un menor de orden 4 distinto de 0 17 00:01:27,640 --> 00:01:31,060 Por lo tanto también el rango de la matriz ampliada también sería 4 18 00:01:31,060 --> 00:01:33,719 Bueno, pues vamos a calcular el rango de la matriz A 19 00:01:33,719 --> 00:01:46,620 1, 2, 1, menos 3, 2, 5, 3, menos 8, 1, 2, 2, menos 4, 3, 6, 5, menos 11 20 00:01:46,620 --> 00:01:54,040 Vale, para hallar este determinante lo que voy a hacer es utilizar el método de Gauss 21 00:01:54,040 --> 00:01:58,799 Es decir, voy a intentar hacer ceros en alguna fila o columna 22 00:01:58,799 --> 00:02:03,700 Utilizando transformaciones de determinantes que hagan que el determinante permanezca invariante 23 00:02:03,700 --> 00:02:09,860 para desarrollar ese determinante por esa fila o por columnas que tenga todos ceros menos un elemento. 24 00:02:10,000 --> 00:02:14,819 Por ejemplo, voy a poder intentar hacer ceros por aquí, debajo del elemento A11. 25 00:02:15,379 --> 00:02:19,740 Consiguiendo ceros, desarrollaría ese determinante por esa primera columna 26 00:02:19,740 --> 00:02:24,939 y ya me quedaría que resolver un único determinante de orden 3. 27 00:02:25,520 --> 00:02:31,539 Vale, entonces, para construir ceros, la primera fila la voy a dejar invariante. 28 00:02:31,539 --> 00:02:36,800 Lo que la segunda fila la transformo 29 00:02:36,800 --> 00:02:40,379 Como la segunda fila menos dos veces la primera 30 00:02:40,379 --> 00:02:44,919 Fijaos, esta transformación hace que el determinante no varíe 31 00:02:44,919 --> 00:02:51,039 Si yo a una fila le sumo o le resto una combinación lineal de las restantes 32 00:02:51,039 --> 00:02:52,960 El determinante no varía 33 00:02:52,960 --> 00:02:57,060 A la fila no la cambio ni la multiplico por ningún número 34 00:02:57,060 --> 00:02:59,379 Ni le cambio el signo 35 00:02:59,379 --> 00:03:12,120 Vale, entonces me quedaría 2 menos 2, 0, 5 menos 4, 1, 3 menos 2, 1, menos 8 más 6, menos 2. 36 00:03:12,740 --> 00:03:18,120 Ahora si la tercera la voy a cambiar restando la tercera menos la primera. 37 00:03:18,500 --> 00:03:21,580 También hace que esta transformación, también hace que el determinante no varíe. 38 00:03:21,580 --> 00:03:29,900 luego 1 menos 1, 0, 2 menos 2, 0, 2 menos 1, 1, menos 4, menos menos 3, menos 1 39 00:03:29,900 --> 00:03:37,500 y la fila 4 la cambio restando la fila 4 menos la fila 1, menos 3 veces la fila 1 40 00:03:37,500 --> 00:03:47,919 3 menos 3, 0, 6 menos 6, 0, 5 menos 3, 2 y menos 11 más 6 41 00:03:47,919 --> 00:03:52,520 menos 11 más 9, perdón, queda multiplicar por 3 42 00:03:52,520 --> 00:03:55,939 menos 11 más 9, menos 2 43 00:03:55,939 --> 00:03:57,419 vale 44 00:03:57,419 --> 00:04:05,560 este determinante, si nos fijamos, esta fila es proporcional a esta de aquí 45 00:04:05,560 --> 00:04:10,039 Luego por la propiedad de determinantes, este determinante es 0 46 00:04:10,039 --> 00:04:19,399 Vale, pues entonces el rango de A como mucho sería 3 47 00:04:19,399 --> 00:04:30,379 Vale, entonces vamos a ver un menor de orden 4 de la matriz ampliada 48 00:04:30,379 --> 00:04:40,660 Vale, pues por ejemplo puede ser 1, 2, 1, 3, 2, 5, 2, 6, 1, 3, 2, 5 49 00:04:40,660 --> 00:04:45,220 Y en vez de la cuarta columna, la de términos independientes 50 00:04:45,220 --> 00:04:52,740 Vale, igual que hemos hecho antes, vamos a desarrollar este determinante 51 00:04:52,740 --> 00:04:58,399 Primero colgados, haciendo ceros por debajo de este primer elemento, de la 1, 1 52 00:04:58,399 --> 00:05:02,740 Vale, para hacer ceros, la primera fila la dejo igual 53 00:05:02,740 --> 00:05:08,519 La segunda fila la transformo como la segunda fila menos dos veces la primera 54 00:05:08,519 --> 00:05:13,360 Esta transformación hace que el determinante sea invariante, o sea que no varía 55 00:05:13,360 --> 00:05:17,439 Entonces me quedaría 2 menos 2, 0 56 00:05:17,439 --> 00:05:19,240 5 menos 4, 1 57 00:05:19,240 --> 00:05:21,319 3 menos 2, 1 58 00:05:21,319 --> 00:05:23,220 4 menos 4, 0 59 00:05:23,220 --> 00:05:27,860 La tercera fila la voy a transformar como la tercera fila menos la primera 60 00:05:27,860 --> 00:05:33,839 1 menos 1, 0, 2 menos 2, 0, 2 menos 1, 1, 3 menos 2, 1 61 00:05:33,839 --> 00:05:39,160 Y la cuarta fila la voy a transformar como la cuarta fila menos 3 veces la primera 62 00:05:39,160 --> 00:05:48,319 3 menos 3, 0, 6 menos 6, 0, 5 menos 3, 2 y 8 menos 6, 2 también 63 00:05:48,319 --> 00:05:53,259 Si me fijo, estas dos filas también son proporcionales 64 00:05:53,259 --> 00:05:57,100 Por lo tanto, este determinante es 0 65 00:05:57,100 --> 00:06:03,759 Vale, cualquier otro determinante de orden 4 de la matriz ampliada 66 00:06:03,759 --> 00:06:07,399 Como ya hemos jugado con la columna de términos independientes 67 00:06:07,399 --> 00:06:09,000 También va a ser 0 68 00:06:09,000 --> 00:06:15,560 Por tanto, el rango de la matriz ampliada también va a ser menor o igual que 3 69 00:06:15,560 --> 00:06:19,639 Ahora lo que se trataría es de coger un menor de orden 3 70 00:06:19,639 --> 00:06:21,500 Tanto de A como de A ampliada 71 00:06:21,500 --> 00:06:23,040 Y ver si es distinto de 0 72 00:06:23,040 --> 00:06:26,319 Si fuese distinto de 0, por ejemplo, si considero ese menor de orden 3 73 00:06:26,319 --> 00:06:31,079 si me sale que es distinto de 0, entonces diríamos que el rango de A es igual que el rango de la ampliada, 74 00:06:31,300 --> 00:06:34,720 puesto que este menor también pertenece a la matriz ampliada, 75 00:06:35,399 --> 00:06:39,220 y sería igual a 3 y menor que el número de incógnitas. 76 00:06:39,720 --> 00:06:41,879 ¿Vale? Venga, vamos a proceder a ello. 77 00:06:44,750 --> 00:06:47,410 Bien, pues consideramos el menor de orden 3 de A, 78 00:06:47,410 --> 00:06:58,370 menor de orden 3 de A, que serían 1, 2, 1, 2, 5, 3, 1, 2, 2. 79 00:06:58,470 --> 00:07:09,189 Desarrollamos, por Sarrus nos queda 10 más 6 más 4 menos 5 menos 6 menos 8 80 00:07:09,189 --> 00:07:14,769 Sumamos, nos queda 20 menos 19 que es igual a 1, distinto de 0 81 00:07:14,769 --> 00:07:20,509 Hemos encontrado un menor de orden 3 de A y también es un menor de orden 3 de A de la ampliada, distinto de 0 82 00:07:20,509 --> 00:07:27,470 Luego el rango de A es igual al rango de la matriz ampliada, es igual a 3 83 00:07:27,470 --> 00:07:30,689 Por ser iguales los rangos, sistema compatible 84 00:07:30,689 --> 00:07:35,209 Pero como es menor que 4, que es el número de incógnitas 85 00:07:35,209 --> 00:07:39,129 Entonces decimos que es compatible indeterminado 86 00:07:39,129 --> 00:07:49,660 Con 4 menos 3 igual a 1 grado de libertad 87 00:07:49,660 --> 00:07:54,980 Es decir, la solución de este sistema va a depender de un parámetro 88 00:07:54,980 --> 00:07:59,660 Vale, pues resolvemos 89 00:07:59,660 --> 00:08:05,819 Para resolver hemos dicho que el sistema incompatible, compatible e indeterminado con un grado de libertad, 90 00:08:06,300 --> 00:08:14,139 una de las variables va a ser un parámetro libre, por ejemplo la t, voy a decir que t es cualquier valor real. 91 00:08:15,000 --> 00:08:22,319 Entonces lo que voy a hacer realmente es resolver un sistema de tres ecuaciones con las tres incógnitas, la x, la y y la z. 92 00:08:22,740 --> 00:08:29,560 Porque cuando he visto que el rango es 3 he afirmado que hay tres filas que son linealmente independientes. 93 00:08:29,660 --> 00:08:37,480 ¿Qué tres ecuaciones elijo? Pues tengo que asegurarme con qué tres filas he dicho que eran linealmente independientes. 94 00:08:37,620 --> 00:08:41,340 Pues con aquellas que me intervenían a la hora de hallar el rango. 95 00:08:41,340 --> 00:08:48,460 Luego las tres primeras, x más 2y más zeta menos 3 lambda igual a 2. 96 00:08:49,139 --> 00:08:54,559 2x más 5y más 3zeta menos 8 lambda igual a 4. 97 00:08:54,559 --> 00:09:00,419 x más 2y más 2z menos 4 lambda igual a 3 98 00:09:00,419 --> 00:09:02,559 vale, lambda para mí es un parámetro libre 99 00:09:02,559 --> 00:09:05,159 luego lo puedo pasar al término independiente 100 00:09:05,159 --> 00:09:06,980 que forme parte del término independiente 101 00:09:06,980 --> 00:09:13,519 lo escribiríamos x más 2y más z igual a 2 más 3 lambda 102 00:09:13,519 --> 00:09:20,539 2x más 5y más 3z igual a 4 más 8 lambda 103 00:09:20,539 --> 00:09:26,340 x más 2y más 2z igual a 3 más 4 lambda 104 00:09:26,340 --> 00:09:30,340 y ahora resolvemos, este sistema será compatible y determinado 105 00:09:30,340 --> 00:09:33,379 es un sistema de Cramer, 3 ecuaciones, 3 incógnitas 106 00:09:33,379 --> 00:09:36,059 el determinante de estos coeficientes será distinto de 0 107 00:09:36,059 --> 00:09:39,320 que valía 1, recordamos que valía 1 108 00:09:39,320 --> 00:09:42,799 vale, pues entonces por Cramer, x será el cociente 109 00:09:42,799 --> 00:09:46,820 como denominador, el valor del determinante de los coeficientes 110 00:09:46,820 --> 00:09:48,279 la matriz de coeficientes, 1 111 00:09:48,279 --> 00:09:54,019 Y como numerador, el determinante en vez de los coeficientes de la X, el término independiente 112 00:09:54,019 --> 00:09:59,480 2 más 3 lambda, 4 más 8 lambda, 3 más 4 lambda 113 00:09:59,480 --> 00:10:02,259 Luego los coeficientes de Y, 2, 5, 2 114 00:10:02,259 --> 00:10:05,299 Y los coeficientes de Z, 1, 3, 2 115 00:10:05,299 --> 00:10:08,740 Desarrollamos por Cramer y nos queda 116 00:10:08,740 --> 00:10:12,419 10 que multiplica a 2 más 3 lambda 117 00:10:12,419 --> 00:10:16,700 Más 6 que multiplica a 3 más 4 lambda 118 00:10:16,700 --> 00:10:22,799 más 2 que multiplica a 4 más 8 lambda 119 00:10:22,799 --> 00:10:26,559 menos 5 que multiplica a 3 más 4 lambda 120 00:10:26,559 --> 00:10:30,000 menos 6 que multiplica a 2 más 3 lambda 121 00:10:30,000 --> 00:10:34,240 y menos 4 que multiplica a 4 más 8 lambda 122 00:10:34,240 --> 00:10:40,460 vale, si nos fijamos, tengo este factor de aquí que es exactamente igual que este 123 00:10:40,460 --> 00:10:44,059 luego 10 veces ese factor menos 6 veces ese factor 124 00:10:44,059 --> 00:10:47,919 Esto es 4 veces el factor 2 más 3 lambda 125 00:10:47,919 --> 00:10:49,919 Lo mismo con este factor 126 00:10:49,919 --> 00:10:52,919 Este factor 3 más 4 lambda también se repite aquí 127 00:10:52,919 --> 00:10:56,059 Luego 6 veces el factor menos 5 veces ese mismo 128 00:10:56,059 --> 00:10:59,460 Nos queda más una vez el factor 3 más 4 lambda 129 00:10:59,460 --> 00:11:01,679 Bueno, aquí no necesitaría paréntesis 130 00:11:01,679 --> 00:11:05,299 Y por último el factor 4 más 8 lambda 131 00:11:05,299 --> 00:11:08,100 2 veces menos 4 veces 132 00:11:08,100 --> 00:11:11,580 Me quedaría menos 2 veces 4 más 8 lambda 133 00:11:11,580 --> 00:11:23,559 Quitamos paréntesis y nos queda 8 más 12 lambda más 3 más 4 lambda menos 8 menos 16 lambda 134 00:11:23,559 --> 00:11:30,240 Agrupando nos queda 8 más 3, 11 menos 8, 3 135 00:11:30,240 --> 00:11:37,580 Y ahora 12 lambda más 4 lambda, 16 lambda menos 16 lambda, 0 136 00:11:37,580 --> 00:11:40,320 Luego la x nos ha salido 3 137 00:11:40,320 --> 00:11:45,820 vale, lo mismo para la Y 138 00:11:45,820 --> 00:11:48,620 denominador 1 139 00:11:48,620 --> 00:11:50,419 que era el determinante de los coeficientes 140 00:11:50,419 --> 00:11:52,620 numerador, determinante, primera columna 141 00:11:52,620 --> 00:11:54,659 coeficientes de la X, 1, 2, 1 142 00:11:54,659 --> 00:11:56,399 ahora en lugar de los coeficientes de la Y 143 00:11:56,399 --> 00:11:58,200 columna de términos independientes 144 00:11:58,200 --> 00:11:59,600 2 más 3 lambda 145 00:11:59,600 --> 00:12:01,940 4 más 8 lambda 146 00:12:01,940 --> 00:12:04,259 y 3 más 4 lambda 147 00:12:04,259 --> 00:12:06,059 y tercera columna 148 00:12:06,059 --> 00:12:07,419 coeficientes para la Z 149 00:12:07,419 --> 00:12:09,240 1, 3, 2 150 00:12:09,240 --> 00:12:12,519 y desarrollamos el determinante 151 00:12:12,519 --> 00:12:32,840 Por sacos, venga, me olvido ya del denominador, que es 1, luego 2 que multiplica a 4 más 8 lambda, más 3 que multiplica a 2 más 3 lambda, y más 2 que multiplica a 3 más 4 lambda, menos 1 que multiplica a 4 más 8 lambda, 152 00:12:32,840 --> 00:12:39,019 menos 4 que multiplica 2 más 3 lambda 153 00:12:39,019 --> 00:12:44,340 y menos 3 que multiplica 3 más 4 lambda 154 00:12:44,340 --> 00:12:45,919 misma estrategia de antes 155 00:12:45,919 --> 00:12:48,399 este factor está común con este 156 00:12:48,399 --> 00:12:51,460 2 menos 1, 1 pues 4 más 8 lambda 157 00:12:51,460 --> 00:12:54,039 este de aquí está común con este 158 00:12:54,039 --> 00:12:57,179 3 menos 4 menos 1 pues menos 2 más 3 lambda 159 00:12:57,179 --> 00:12:59,240 cuidado con el menos, necesito un paréntesis 160 00:12:59,240 --> 00:13:01,440 y este está común con este 161 00:13:01,440 --> 00:13:12,960 por lo tanto, 2 menos 3, menos 3 más 4 lambda, quito paréntesis, 4 más 8 lambda, menos 2 menos 3 lambda, menos 3 menos 4 lambda, 162 00:13:13,759 --> 00:13:23,879 y agrupo, 4 menos 2, 2 menos 3, menos 1, 8 lambda, menos 3 lambda, 5 lambda, menos 4 lambda, pues más lambda, 163 00:13:23,879 --> 00:13:27,559 Por tanto, la Y nos queda menos 1 más lambda. 164 00:13:31,100 --> 00:13:32,440 Vale, y lo mismo para la Z. 165 00:13:33,840 --> 00:13:38,419 Denominador 1, numerador, determinante 1, 2, 1, 166 00:13:38,580 --> 00:13:41,860 coeficiente de la X, 2, 5, 2, coeficiente de la Y, 167 00:13:42,419 --> 00:13:44,519 y ahora columna de términos independientes. 168 00:13:45,899 --> 00:13:49,600 Más 8 lambda y 3 más 4 lambda. 169 00:13:50,500 --> 00:13:55,480 Desarrollamos el determinante por sarros y me queda 5 por 3 más 4 lambda, 170 00:13:55,480 --> 00:13:59,500 más 2 por 4 más 8 lambda 171 00:13:59,500 --> 00:14:02,879 más 4 por 2 más 3 lambda 172 00:14:02,879 --> 00:14:07,399 menos 5 por 2 más 3 lambda 173 00:14:07,399 --> 00:14:11,580 menos 4 por 3 más 4 lambda 174 00:14:11,580 --> 00:14:15,600 y menos 2 por 4 más 8 lambda 175 00:14:15,600 --> 00:14:19,600 agrupamos factor común con este aquí 176 00:14:19,600 --> 00:14:22,820 5 menos 4, 1, pues 3 más 4 lambda 177 00:14:22,820 --> 00:14:27,139 4 más 8 lambda con este de aquí, 2 menos 2, 0, pues se me va 178 00:14:27,139 --> 00:14:31,860 Y el último, 4 menos 5, menos 2 más 3 lambda 179 00:14:31,860 --> 00:14:38,600 Quito paréntesis, 3 más 4 lambda, menos 2 menos 3 lambda, 1 más lambda 180 00:14:38,600 --> 00:14:43,240 Luego la variable z, vale, 1 más lambda 181 00:14:43,240 --> 00:14:48,779 Solución, x igual a 3, y igual a menos 1 más lambda 182 00:14:48,779 --> 00:14:51,779 z igual a 1 más lambda 183 00:14:51,779 --> 00:14:53,799 y t igual a lambda