1 00:00:01,580 --> 00:00:12,820 hola qué tal chicos bienvenidos de nuevo a este curso de matemáticas 2 de segundo de bachillerato 2 00:00:12,820 --> 00:00:18,660 seguimos con la serie de vídeos dedicados a determinantes de matrices en esta ocasión vamos 3 00:00:18,660 --> 00:00:25,780 a trabajar la noción de inversa de una matriz con determinantes en el tema anterior habíamos visto 4 00:00:25,780 --> 00:00:31,260 cómo calcular la inversa de una matriz utilizando el método de cause jordan pero vimos que esto 5 00:00:31,260 --> 00:00:36,380 requeriría de muchas cuentas. En esta ocasión veremos que es mucho más eficiente hacerlo 6 00:00:36,380 --> 00:00:41,179 mediante el uso de determinantes. Para que os hagáis una idea, por ejemplo, para calcular 7 00:00:41,179 --> 00:00:47,299 la inversa de una matriz de orden 3 harán falta calcular sólo 9 determinantes de orden 8 00:00:47,299 --> 00:00:53,960 2 y un determinante de orden 3. Realmente son muchas menos cuentas que utilizar en general 9 00:00:53,960 --> 00:00:56,820 el método de Gauss-Jordan. ¡Comencemos! 10 00:00:58,380 --> 00:01:08,079 Bien, para calcular la inversa de una matriz cuadrada de orden n general necesitamos la noción de matriz adjunta. 11 00:01:08,239 --> 00:01:14,200 Para ello vamos a recordar que era el menor complementario y el adjunto complementario de un término. 12 00:01:14,560 --> 00:01:20,500 Si tenemos una matriz de orden n por n, matriz cuadrada, y quitamos una fila y una columna, 13 00:01:20,500 --> 00:01:28,500 el menor complementario del elemento A y J es el determinante de esa matriz de orden n-1 que nos ha quedado. 14 00:01:28,920 --> 00:01:35,299 Si le añadimos el signo que se calcula mediante la expresión menos 1 elevado a i más j, 15 00:01:35,659 --> 00:01:41,799 o alternando los signos más menos más menos en una matriz cuadrada hasta llegar al término ij, 16 00:01:42,200 --> 00:01:44,959 lo que se obtiene es el adjunto de ese término. 17 00:01:44,959 --> 00:01:50,099 Bien, la matriz adjunta es la matriz de orden n, la misma dimensión que la matriz de partida, 18 00:01:50,500 --> 00:01:59,939 en la que cada término será sustituido por su adjunto complementario, es decir, por el menor complementario con el signo más o menos correspondiente. 19 00:02:00,480 --> 00:02:10,180 Vamos a ver un ejemplo. Tenemos esa matriz 3x3, así que para calcular su matriz adjunta tenemos que calcular 3x3, 9 menores complementarios. 20 00:02:10,659 --> 00:02:15,159 Y, bueno, pues los tenéis ahí. Vamos a ver, recordar cómo se calculaba uno de ellos. 21 00:02:15,159 --> 00:02:23,240 Por ejemplo, el alfa sub 2 3 sería el determinante de la matriz 2 por 2 que sale de eliminar la fila 2 y columna 3. 22 00:02:23,479 --> 00:02:26,800 1, 2, 5, 0. Bien, saldría menos 10. 23 00:02:27,500 --> 00:02:32,460 Si añadimos los signos correspondientes, obtendríamos los adjuntos. 24 00:02:33,020 --> 00:02:37,020 Ahí tenéis los que van con signo más y ahí los que van con signo menos. 25 00:02:37,479 --> 00:02:41,300 Así que añadiendo ese signo, obtendríamos los adjuntos. 26 00:02:41,300 --> 00:02:50,759 Por ejemplo, nuestro término alfa sub 2, 3 se tendría que cambiar de signo y el elemento A mayúscula sub 2, 3 sería 10. 27 00:02:50,979 --> 00:02:52,759 Ahí los tenéis, la matriz adjunta. 28 00:02:53,960 --> 00:02:59,280 Pues a partir de la matriz adjunta se puede calcular la matriz inversa de una manera relativamente sencilla. 29 00:03:00,319 --> 00:03:05,280 ¿Qué pasa? Vamos a comprobar si multiplico la matriz A por la traspuesta de la adjunta. 30 00:03:05,280 --> 00:03:12,199 Ahí en ese ejemplo teníamos que la junta es la de la derecha, la matriz de partida es la de la izquierda y el determinante vale menos 3. 31 00:03:12,319 --> 00:03:25,580 Bueno, pues si hacemos esa cuenta resulta que al multiplicar A por la junta de la traspuesta lo que queda es una matriz diagonal cuyos términos en la diagonal valen exactamente el determinante, menos 3. 32 00:03:26,319 --> 00:03:34,400 ¿Esto qué significa? Bueno, pues que A por la traspuesta de la adjunta coincide con el determinante multiplicado por la matriz identidad 33 00:03:34,400 --> 00:03:40,639 y eso lo que significa es que la inversa se puede calcular mediante esa fórmula que tenéis aquí, 34 00:03:40,639 --> 00:03:44,240 que es la fórmula para calcular la inversa por determinantes. 35 00:03:44,939 --> 00:03:51,099 La adjunta de la traspuesta o la traspuesta de la adjunta, como queráis, da igual, dividido entre el determinante. 36 00:03:51,099 --> 00:03:55,780 Pero esta expresión hay un momento en el que no puede calcularse y es cuando el determinante es 0. 37 00:03:56,240 --> 00:03:59,860 Si el determinante es 0, la matriz no tiene inversa. 38 00:04:00,599 --> 00:04:13,139 Para profundizar en esta noción vamos a resolver este ejercicio en el que nos piden calcular para qué valores del parámetro A la matriz no tiene inversa y cuando sí que tenga inversa, calcularla. 39 00:04:13,879 --> 00:04:21,339 Hola, ¿qué tal? En este ejercicio nos piden calcular la inversa de esta matriz para aquellos valores para los que sea posible. 40 00:04:21,779 --> 00:04:25,199 Y también nos piden ver para qué valores esto no es posible. 41 00:04:25,939 --> 00:04:35,759 Entonces, es muy importante que sepamos que la inversa de una matriz existe cuando el determinante es distinto de cero. 42 00:04:35,759 --> 00:04:47,339 Y que cuando esta inversa asiste, se puede calcular como la adjunta de la traspuesta dividida entre el determinante. 43 00:04:47,579 --> 00:04:57,430 Es decir, y aquí podemos calcular la adjunta de la traspuesta o la traspuesta de la adjuntada lo mismo. 44 00:04:58,209 --> 00:05:01,649 Bien, ¿qué es lo que tenemos que hacer? Lo primero, pues calcular este determinante. 45 00:05:11,410 --> 00:05:15,870 ¿Y qué valores de A hacen ese determinante cero? Pues muy fácil, resolvemos la ecuación. 46 00:05:20,420 --> 00:05:22,319 Y esto es una ecuación de primer grado chupada. 47 00:05:22,319 --> 00:05:32,259 Ya lo tenemos. Esto, lo que hemos obtenido de aquí es que la matriz inversa existe para los valores de A distintos de 5. 48 00:05:35,019 --> 00:05:39,360 Bien, ahora vamos a calcular la inversa para cuando la A no vale 5. 49 00:05:40,220 --> 00:05:42,220 Para ello vamos a calcular lo primero la adjunta. 50 00:05:42,540 --> 00:05:49,300 La adjunta, recuerdo, que son la matriz formada por los adjuntos complementarios con el signo. Cuidado con el signo. Vamos a ello. 51 00:05:49,300 --> 00:06:36,680 y ya está, estos son los 9 menores de orden 2 52 00:06:36,680 --> 00:06:38,339 que tenemos que calcular de esta matriz 53 00:06:38,339 --> 00:06:40,379 para calcular la adjunta importante 54 00:06:40,379 --> 00:06:42,540 los signos menos van alternados 55 00:06:42,540 --> 00:06:46,160 en los lugares cuyos subíndice suma impar 56 00:06:46,160 --> 00:06:51,339 este, este, este y este 57 00:06:51,339 --> 00:06:54,620 estos son los que van con signo menos 58 00:06:54,620 --> 00:06:57,899 cuidado, cuidado con este signo menos 59 00:06:57,899 --> 00:06:59,379 que es muy importante no hacerlo mal 60 00:06:59,379 --> 00:07:00,959 y ahora ya casi lo tenemos 61 00:07:01,779 --> 00:07:04,259 La matriz adjunta es la matriz formada por estos valores. 62 00:07:14,610 --> 00:07:20,490 Y ahora lo que tenemos que calcular es la traspuesta de esta matriz y dividirla por el determinante y esa es la inversa. 63 00:07:32,980 --> 00:07:34,379 Bien, y esto ha sido todo. 64 00:07:34,819 --> 00:07:39,680 Esta es la matriz inversa que existe solo para los valores de A distintos de 5. 65 00:07:40,040 --> 00:07:42,600 Para A igual a 5 esta matriz no existe, la matriz no tiene inversa. 66 00:07:43,120 --> 00:07:44,740 Muy bien, espero que os haya resultado sencillo. 67 00:07:44,740 --> 00:07:45,480 Seguid practicando. 68 00:07:45,560 --> 00:07:46,699 Nos vemos en los siguientes vídeos. 69 00:07:46,819 --> 00:07:47,220 Un saludo.