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00:00:12,400 --> 00:00:18,120
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:18,120 --> 00:00:22,839
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:22,839 --> 00:00:34,780
de la unidad AL1 dedicada a las matrices. En la videoclase de hoy estudiaremos la suma

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00:00:34,780 --> 00:00:50,560
y resta de matrices. En esta videoclase vamos a estudiar la suma y la resta de matrices.

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00:00:51,119 --> 00:00:54,439
Vamos a comenzar por la suma, esa es la operación que se define.

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00:00:55,460 --> 00:01:00,280
Y si tenemos dos matrices A y B que queremos sumar, en primer lugar deben tener las mismas dimensiones.

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00:01:00,359 --> 00:01:04,599
Aquí vemos A n por m y B n por m, mismo número de filas y mismo número de columnas.

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00:01:05,079 --> 00:01:09,859
Y lo que vamos a obtener es una matriz que vamos a llamar A más B, también con estas mismas dimensiones comunes,

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00:01:10,519 --> 00:01:15,920
cuyos elementos se van a calcular sin más que sumando los elementos que ocupan las mismas posiciones.

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00:01:15,920 --> 00:01:26,239
Así que el elemento i, j de la matriz A más B será la suma del elemento A y j más elemento B y j, los elementos que ocupan la misma posición en A y en B.

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00:01:26,980 --> 00:01:34,780
Como propiedades de la suma de matrices tenemos las propiedades que nos recuerdan muchísimo a las propiedades de la suma de números reales.

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00:01:35,219 --> 00:01:37,200
En primer lugar tenemos la propiedad asociativa.

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00:01:37,200 --> 00:01:50,400
Si tenemos que sumar tres matrices, A más B más C, vemos que es lo mismo sumar las dos primeras y a esto, al resultado de esta suma, sumarle la tercera, o bien sumarle a la primera matriz el resultado de la suma de las dos siguientes.

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00:01:51,159 --> 00:01:57,959
También tenemos la propiedad conmutativa. El orden de los sumandos no va a alterar el resultado. Es lo mismo sumar A más B que sumar B más A.

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00:01:58,700 --> 00:02:10,139
También tenemos un elemento neutro de la suma, aquel que al sumarlo a una matriz A, tanto por la derecha como por la izquierda, recordemos que la suma de matrices es computativa, así que el orden no es relevante,

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00:02:10,919 --> 00:02:19,539
no cambia el resultado y obtenemos la misma matriz A. Ese elemento neutro es la matriz nula de dimensión adecuada, o sea, con la misma dimensión que la matriz A.

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00:02:20,379 --> 00:02:24,599
También para cualquier matriz A tenemos lo que se denomina su elemento opuesto.

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00:02:25,000 --> 00:02:31,159
Se va a representar como menos A y lo que contiene son los mismos elementos que la matriz A,

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00:02:31,280 --> 00:02:32,939
el elemento opuesto tiene la misma dimensión,

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00:02:33,539 --> 00:02:39,039
y todos los elementos que contienen la matriz opuesta son los opuestos de los elementos de A.

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00:02:39,419 --> 00:02:42,819
Así pues, si por ejemplo A sub 1, 3 fuera el número 3,

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00:02:43,539 --> 00:02:48,879
en la matriz opuesta el elemento que ocupa esa misma posición 1, 3 será el número menos 3,

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00:02:48,879 --> 00:02:55,759
el opuesto del elemento de A. Bien, pues con ese elemento opuesto así definido, si a una matriz A

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00:02:55,759 --> 00:02:59,919
le sumamos su opuesto bien por la derecha bien por la izquierda, recordemos que una vez más la suma

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00:02:59,919 --> 00:03:04,379
es conmutativa, lo que obtendremos es el elemento neutro correspondiente, el que tiene la misma

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00:03:04,379 --> 00:03:10,060
dimensión. La siguiente y última propiedad no guarda relación con las propiedades de la suma

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00:03:10,060 --> 00:03:15,680
de los números reales, puesto que involucra a la operación propia de las matrices, que es la

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00:03:15,680 --> 00:03:22,460
traspuesta. La traspuesta de la suma se puede calcular bien sumando las matrices y haciendo

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00:03:22,460 --> 00:03:27,639
la traspuesta o bien tomando en primer lugar la traspuesta de A y la traspuesta de B y sumándolas.

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00:03:28,120 --> 00:03:33,240
Así pues, da igual, sumar y hacer el traspuesto o bien hacer los traspuestos y luego sumar.

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00:03:34,319 --> 00:03:39,340
¿Cómo se definiría la resta? Bien, pues recordemos que la resta no es más que la suma del elemento

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00:03:39,340 --> 00:03:43,379
opuesto. Nosotros lo que podemos hacer es abreviar, lo de

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00:03:43,379 --> 00:03:47,319
restar es sumar el opuesto, y directamente pensar en que vamos a hacer

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00:03:47,319 --> 00:03:51,379
la resta de dos matrices A y B, que tienen que tener las mismas dimensiones, por supuesto,

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00:03:52,560 --> 00:03:55,439
haciendo que el elemento IJ de la

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00:03:55,439 --> 00:03:59,340
matriz resta sea la resta A menos B de los elementos

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00:03:59,340 --> 00:04:03,319
IJ, los elementos que ocupan la misma posición. Con esto que hemos

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00:04:03,319 --> 00:04:07,360
visto, ya se puede resolver este ejercicio, en el cual tenemos

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00:04:07,360 --> 00:04:12,319
dos matrices de la misma dimensión, se nos pide que hagamos la suma, la resta y que comprobemos

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00:04:12,319 --> 00:04:17,060
la propiedad de la traspuesta de la suma que hemos visto anteriormente. Este ejercicio lo

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00:04:17,060 --> 00:04:25,480
revisaremos en clase y también en videoclases sucesivas. En el aula virtual de la asignatura

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00:04:25,480 --> 00:04:32,120
tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. Asimismo, tenéis más información en las fuentes

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00:04:32,120 --> 00:04:37,860
bibliográficas y en la web. No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro

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00:04:37,860 --> 00:04:41,139
de dudas en el aula virtual. Un saludo y hasta pronto.