1 00:00:04,780 --> 00:00:08,939 En este vídeo vamos a resolver el problema B3 de la EBAU de Madrid de 2 00:00:08,939 --> 00:00:14,439 septiembre de 2020 que dice así. Una espira circular de radio 6 centímetros 3 00:00:14,439 --> 00:00:19,359 inicialmente situada en el plano XI está inmersa en el seno de un campo 4 00:00:19,359 --> 00:00:25,079 magnético homogéneo dirigido hacia el sentido positivo del eje Z. Calcule para 5 00:00:25,079 --> 00:00:30,920 el instante t igual a 7 milisegundos el flujo de campo magnético en la espira y 6 00:00:30,920 --> 00:00:38,679 la fuerza electromotriz inducida en los siguientes casos. A. El módulo del campo magnético varía de 7 00:00:38,679 --> 00:00:46,100 la forma B igual 3T cuadrado con B expresado en teslas y T en segundos. Y B. El módulo del campo 8 00:00:46,100 --> 00:00:53,000 magnético es constante e igual a 8 militeslas y la espira gira con una velocidad angular de 60 9 00:00:53,000 --> 00:01:02,960 radianes por segundo alrededor del eje I. Nos hemos recogido los datos del apartado A en este 10 00:01:02,960 --> 00:01:09,079 esquema y vamos a resolver en primer lugar el apartado A. Nos piden que calculemos el 11 00:01:09,079 --> 00:01:15,079 flujo. Para calcularnos el flujo recordamos que la definición de flujo de campo magnético 12 00:01:15,079 --> 00:01:22,459 en este caso es la integral sobre una superficie que no está cerrada porque si fuese cerrada 13 00:01:22,459 --> 00:01:30,400 el flujo sería cero del producto escalar del campo por este vector diferencial de superficie. 14 00:01:30,400 --> 00:01:39,640 Tenemos que elegirnos un vector diferencial de superficie y para ello nos vamos a poner un vector que sea paralelo o lo más paralelo posible al campo 15 00:01:39,640 --> 00:01:41,599 Será este vector de aquí 16 00:01:41,599 --> 00:01:52,409 Ahora que nos hemos cogido el vector diferencial de superficie observamos que tenemos un sentido positivo y un sentido negativo 17 00:01:52,409 --> 00:01:56,250 Que lo hemos elegido nosotros pero que nos lo da este vector diferencial de superficie 18 00:01:56,250 --> 00:02:02,310 Si el campo cruza en la misma dirección será positivo, si cruza en sentido contrario será negativo 19 00:02:02,310 --> 00:02:09,000 vamos a resolver esta integral, para resolver esta integral en primer lugar hacemos el producto escalar 20 00:02:09,000 --> 00:02:12,560 el campo y el diferencial de superficie son paralelos 21 00:02:12,560 --> 00:02:18,319 por lo tanto esto se convierte en la integral a lo largo de esta superficie circular 22 00:02:18,319 --> 00:02:23,439 del módulo del campo por el módulo de diferencial de S 23 00:02:23,439 --> 00:02:27,840 por el coseno del ángulo que forman, como forman 0 grados el coseno de 0 es 1 24 00:02:27,840 --> 00:02:29,919 así que directamente producto de módulos 25 00:02:29,919 --> 00:02:36,479 esto la razón es que son paralelos 26 00:02:36,479 --> 00:02:44,539 por otro lado nos dice el enunciado que el campo es homogéneo 27 00:02:44,539 --> 00:02:53,879 homogéneo significa que en toda la superficie tiene el mismo valor 28 00:02:53,879 --> 00:02:57,099 por lo tanto cuando hagamos la integral este número de aquí va a ser una constante 29 00:02:57,099 --> 00:02:58,860 que puede salir fuera 30 00:02:58,860 --> 00:03:04,780 y nos queda b por la integral de la superficie 31 00:03:04,780 --> 00:03:09,219 y si hacemos la integral de la superficie pues nos da efectivamente la superficie 32 00:03:09,219 --> 00:03:19,340 la superficie como esto es un círculo pues es b por pi por el radio de este círculo al cuadrado 33 00:03:19,340 --> 00:03:24,819 pues bien ahora que sabemos el flujo lo único que tenemos que hacer es sustituir 34 00:03:24,819 --> 00:03:32,780 el valor del campo y el valor del radio y tendremos que el flujo de campo magnético 35 00:03:32,780 --> 00:03:45,909 a tiempo t va a ser 3t cuadrado por pi por 0,06 elevado al cuadrado 36 00:03:45,909 --> 00:03:51,349 si sustituimos en 7 milisegundos que es lo que nos pide el enunciado 37 00:03:51,349 --> 00:04:11,219 pues el flujo en 7 milisegundos será 3 por 7 por 10 elevado a menos 3 al cuadrado por pi y por 0,06 al cuadrado. 38 00:04:11,219 --> 00:04:24,000 Y esto va a ser 1,66 por 10 elevado a menos 6 Weber. 39 00:04:25,019 --> 00:04:27,379 Aquí tenemos el flujo. 40 00:04:31,470 --> 00:04:36,490 Para calcular la fuerza electromotriz inducida vamos a aplicar la ley de Faraday. 41 00:04:40,110 --> 00:04:48,970 La ley de Faraday nos dice que la fuerza electromotriz inducida es la derivada del flujo en función del tiempo. 42 00:04:48,970 --> 00:05:01,790 Si derivamos el flujo en función del tiempo, esta ecuación de aquí nos sale el 2 que multiplica 3t por pi y por 0,06 al cuadrado. 43 00:05:01,790 --> 00:05:29,470 Si sustituimos en los 7 milisegundos que nos indica el enunciado tendremos que la fuerza electromotriz inducida en 7 milisegundos es 2 por 3 por 7 por 10 a la menos 3 por pi y por 0,06 al cuadrado 44 00:05:29,470 --> 00:05:42,009 que es igual a 4,75 por 10 elevado a menos 4 voltios 45 00:05:42,009 --> 00:05:47,670 aunque el problema no nos lo indica nos podrían haber dicho que ese disco tiene una resistencia 46 00:05:47,670 --> 00:05:53,029 por ejemplo de 2 ohmios, si tiene una resistencia de 2 ohmios 47 00:05:53,029 --> 00:05:57,730 entonces podríamos calcularnos la intensidad, ¿cómo calcularíamos la intensidad? 48 00:05:57,730 --> 00:06:20,410 Pues la intensidad la calcularíamos con la ley de Ohm, la ley de Ohm que nos dice que la fuerza electromotriz es la intensidad por la resistencia y de aquí sacaríamos que la intensidad en estos 7 milisegundos es 2,38 por 10 a la menos 4 amperios. 49 00:06:20,410 --> 00:06:29,879 Y por otro lado, con la ley de Lenz, podríamos encontrar hacia dónde circula esta intensidad. 50 00:06:30,259 --> 00:06:34,579 ¿Hacia dónde circula? Pues bien, nosotros estamos aumentando el valor del campo. 51 00:06:34,699 --> 00:06:36,740 Cada vez que el tiempo pasa, el campo es mayor. 52 00:06:37,240 --> 00:06:40,439 Por lo tanto, el flujo cada vez se va haciendo también mayor. 53 00:06:41,180 --> 00:06:48,779 La ley de Lenz nos dice que esta corriente inducida va a intentar reducir ese efecto. 54 00:06:48,779 --> 00:06:55,879 es decir, va a ir en contra, es decir, va a hacer que sea menor el flujo, generando un campo hacia adentro. 55 00:06:56,480 --> 00:07:00,819 El campo que genere la corriente inducida va a ser hacia adentro. 56 00:07:01,800 --> 00:07:09,779 ¿Cómo conseguiremos un campo hacia adentro? Haciendo circular una corriente en sentido así, ¿vale? 57 00:07:10,439 --> 00:07:14,740 Porque girando con la mano derecha apuntará el campo hacia abajo, 58 00:07:14,740 --> 00:07:21,600 por lo tanto tendrá un sentido horario 59 00:07:21,600 --> 00:07:29,720 podríamos habernos dado cuenta si supiésemos al principio que queríamos calcular la intensidad 60 00:07:29,720 --> 00:07:32,660 y haber utilizado directamente la ley de Faraday-Lenz 61 00:07:32,660 --> 00:07:35,860 que nos habría sacado un signo menos aquí 62 00:07:35,860 --> 00:07:39,480 nos habría sacado un potencial negativo y una intensidad negativas 63 00:07:39,480 --> 00:07:45,079 y ese signo negativo nos diría que van al revés de este sentido diferencial de S 64 00:07:45,079 --> 00:07:46,819 que nos hemos elegido al principio 65 00:07:46,819 --> 00:07:51,459 y nos volvería a salir de nuevo el sentido horario que es este de aquí. 66 00:07:57,360 --> 00:08:03,180 Para hacer el apartado B nos indican que ahora la espira gira alrededor del eje Y. 67 00:08:04,300 --> 00:08:08,720 El eje Y sería así y nos va a girar de esta manera. 68 00:08:09,879 --> 00:08:14,100 Muy bien, nos dan la velocidad del giro que es esta omega de aquí 69 00:08:14,100 --> 00:08:19,279 y nos dan la intensidad del campo que ahora es constante. 70 00:08:19,279 --> 00:08:23,220 este es el flujo al que hemos llegado en el apartado anterior 71 00:08:23,220 --> 00:08:28,240 pero ahora el campo y diferencial de S no van a ser todo el rato paralelos 72 00:08:28,240 --> 00:08:31,500 van a ser paralelos a veces y otras veces no 73 00:08:31,500 --> 00:08:34,700 en este caso no nos vale hacer este paso 74 00:08:34,700 --> 00:08:37,700 y por lo tanto este resultado ya no es el adecuado 75 00:08:37,700 --> 00:08:42,759 vamos a calcularnos de nuevo el flujo del campo 76 00:08:42,759 --> 00:08:47,399 ¿cómo lo haremos? pues será la integral sobre la superficie S 77 00:08:47,399 --> 00:08:54,740 de el producto escalar campo producto escalar diferencial de ese 78 00:08:54,740 --> 00:08:59,440 observamos que este producto escalar nos saca un ángulo que es la integral de 79 00:08:59,440 --> 00:09:05,899 nuevo módulo debe módulo de diferencial de ese y el coseno del ángulo que forman 80 00:09:05,899 --> 00:09:09,759 inicialmente forman 0 grados pero según esto vaya girando van a empezar a formar 81 00:09:09,759 --> 00:09:14,639 más hasta que pues formen 90 y 180 y dentro de la vuelta y luego vuelvan a 82 00:09:14,639 --> 00:09:20,200 formar 0 grados pero en cada instante en cada instante este ángulo va a ser 83 00:09:20,200 --> 00:09:24,399 constante todo el rato la superficie va a estar con el mismo ángulo que con el 84 00:09:24,399 --> 00:09:30,000 campo por lo tanto esto puede salir fuera y b también esto será b por el 85 00:09:30,000 --> 00:09:37,399 coseno del ángulo y por la integral de este diferencial de s es decir esto 86 00:09:37,399 --> 00:09:47,919 es b por la superficie de nuevo y por el coseno de este ángulo cita este ángulo cita sabemos 87 00:09:47,919 --> 00:09:56,440 exactamente cómo cambia porque si estamos girando nuestra espira nuestra espira el ángulo cita será 88 00:09:56,440 --> 00:10:04,139 pues empieza en cero más la velocidad de giro por el tiempo que vaya pasando 89 00:10:04,139 --> 00:10:18,720 Una vez sabemos cómo gira esto de aquí podemos sustituir y tendremos B pi radio al cuadrado por el coseno de esta omega por el tiempo. 90 00:10:18,720 --> 00:10:49,019 En este caso, como nos indica que queremos el flujo a los 7 milisegundos, el flujo de campo en 7 milisegundos será el campo 8 militeslas, pi, el radio al cuadrado y por el coseno de 60 por los 7 milisegundos, 7 por 10 a la menos 3. 91 00:10:49,019 --> 00:11:04,840 si hacemos este cálculo el resultado es 8,26 por 10 elevado a menos 5 Weber y ya tenemos el flujo de campo 92 00:11:04,840 --> 00:11:15,360 para calcular la diferencia de potencial nos vamos a calcular usando la ley de Faraday 93 00:11:15,360 --> 00:11:22,440 de nuevo está epsilon sin embargo ahora le voy a incluir el signo le voy a poner la ley de Faraday-Lenz 94 00:11:22,440 --> 00:11:30,259 es decir, menos la derivada del flujo con respecto del tiempo. 95 00:11:31,159 --> 00:11:33,559 ¿Cómo haremos esto? Pues simplemente derivaremos, 96 00:11:33,740 --> 00:11:36,259 y al derivar nos va a salir, tengo un signo menos, 97 00:11:36,419 --> 00:11:39,179 pero la derivada del coseno es menos el seno, por lo tanto sale positiva, 98 00:11:40,340 --> 00:11:47,299 y tengo b por pi por r al cuadrado por la omega que sale al derivar 99 00:11:47,299 --> 00:11:52,039 y por el seno de omega t. 100 00:11:52,039 --> 00:11:58,850 si ahora quiero esta diferencia de potencial cuando han pasado 7 milisegundos 101 00:11:58,850 --> 00:12:12,269 7 milisegundos pues será 2,21 por 10 elevado a menos 3 voltios 102 00:12:12,269 --> 00:12:18,649 de nuevo como antes si queremos la intensidad con una resistencia de 2 ohmios 103 00:12:18,649 --> 00:12:30,029 podemos utilizar la ley de Ohm para que nos dé una intensidad inducida de 1,11 por 10 elevado a menos 3 amperios. 104 00:12:30,669 --> 00:12:39,169 Como no nos ha dado ningún signo negativo significa que en este momento esta intensidad está girando tal y como nos indica el diferencial de S, 105 00:12:39,169 --> 00:12:44,470 es decir, así, en el sentido antihorario 106 00:12:44,470 --> 00:12:48,570 ¿por qué es esto? porque este tiempo es muy pequeño 107 00:12:48,570 --> 00:12:53,490 y entonces estamos girando así, por lo tanto estamos reduciendo el flujo 108 00:12:53,490 --> 00:12:56,629 queremos aumentar ese flujo y para aumentar ese flujo necesitamos un campo 109 00:12:56,629 --> 00:13:01,190 que ayude a este campo de aquí, es decir, que salga hacia afuera 110 00:13:01,190 --> 00:13:04,570 y por eso lo generamos en esta dirección y sentido 111 00:13:04,570 --> 00:13:08,210 y así es como resolveríamos este problema