1 00:00:00,800 --> 00:00:08,699 Hoy es 6 ya, madre mía, 6 de febrero, no se ve, del 2026, ¿vale? 2 00:00:09,419 --> 00:00:16,300 Entonces, si le puedes dar a surfe y eliges el 1, ¿no? 3 00:00:16,839 --> 00:00:17,879 ¿Vale? Venga. 4 00:00:19,739 --> 00:00:20,359 Hola. 5 00:00:22,559 --> 00:00:23,620 Vale, venga. 6 00:00:27,000 --> 00:00:28,199 Vamos a ver, a un lado. 7 00:00:28,199 --> 00:00:31,440 Vale, he estado subiendo bastantes cosas 8 00:00:31,440 --> 00:00:32,979 Hostia, no te he podido ver 9 00:00:32,979 --> 00:00:35,479 Lo tuyo, luego te contesto después 10 00:00:35,479 --> 00:00:36,140 El recreo, ¿vale? 11 00:00:37,939 --> 00:00:39,719 Chavales, cosas importantes 12 00:00:39,719 --> 00:00:40,880 Que estoy subiendo al aula 13 00:00:40,880 --> 00:00:43,340 Y que sería bueno que echarais un vistazo, ¿vale? 14 00:00:44,280 --> 00:00:45,420 Entonces, aquí 15 00:00:45,420 --> 00:00:47,740 En el tema 8 16 00:00:47,740 --> 00:00:49,020 Hemos visto 17 00:00:49,020 --> 00:00:50,960 Continuidad y límites 18 00:00:50,960 --> 00:00:53,359 Continuidad y límites, ¿vale? 19 00:00:53,359 --> 00:00:55,299 Entonces, hay tres teoremas importantes 20 00:00:55,299 --> 00:00:56,619 Que son los de Borsano 21 00:00:56,619 --> 00:00:59,539 el de Darbú, que el de Darbú generaliza 22 00:00:59,539 --> 00:01:01,119 el de Bozano y el de Ballestra 23 00:01:01,119 --> 00:01:03,479 que como está relacionado con máximos 24 00:01:03,479 --> 00:01:04,739 y mínimos, ya 25 00:01:04,739 --> 00:01:07,379 lo veremos más detenidamente 26 00:01:07,379 --> 00:01:08,879 ¿vale? pero aquí en 27 00:01:08,879 --> 00:01:10,840 la unidad 8 28 00:01:10,840 --> 00:01:13,219 ¿vale? he subido aquí una serie de apuntes 29 00:01:13,219 --> 00:01:15,280 que son ejercicios y demás, echarle un vistazo 30 00:01:15,280 --> 00:01:17,599 por favor, ¿vale? eso ya os lo comenté 31 00:01:17,599 --> 00:01:19,299 entonces, en el tema 32 00:01:19,299 --> 00:01:21,219 9 de derivada, en el tema 9 33 00:01:21,219 --> 00:01:23,340 de derivada, aparte que están aquí las tablas 34 00:01:23,340 --> 00:01:25,420 apuntes y demás, pues también he estado 35 00:01:25,420 --> 00:01:27,819 subiendo, ejercicios de derivada 36 00:01:27,819 --> 00:01:29,420 para que le echéis un vistazo 37 00:01:29,420 --> 00:01:31,459 ¿vale? estuvimos viendo 38 00:01:31,459 --> 00:01:33,540 ya la relación entre las derivadas de una función 39 00:01:33,540 --> 00:01:34,900 y su inversa 40 00:01:34,900 --> 00:01:37,719 la derivación logarítmica que era la de 41 00:01:37,719 --> 00:01:38,799 dos 42 00:01:38,799 --> 00:01:40,680 una función elevada a otra 43 00:01:40,680 --> 00:01:43,459 la derivación implícita también 44 00:01:43,459 --> 00:01:45,439 y aquí 45 00:01:45,439 --> 00:01:47,180 hay teoría y aquí ejercicio 46 00:01:47,180 --> 00:01:49,579 echarle un vistazo, y ahora aquí en la aplicación 47 00:01:49,579 --> 00:01:51,579 de las derivadas ¿vale? anoche subí 48 00:01:52,280 --> 00:01:53,879 este documento 49 00:01:53,879 --> 00:01:55,340 de aplicación de las derivadas 50 00:01:55,340 --> 00:02:07,540 Entonces, ¿qué es lo que ocurre? La aplicación de las derivadas, pues hay nueve puntos principales que nos van a permitir hallar, digamos, utilizar derivadas. 51 00:02:07,540 --> 00:02:14,340 Es la ecuación de la recta tangente a una función en un punto, que creo que ya lo hicimos. 52 00:02:14,740 --> 00:02:19,659 La ecuación de la recta normal, acordaros que la ecuación de la recta normal es igual que la tangente, 53 00:02:19,740 --> 00:02:24,479 lo que pasa es que su pendiente es menos 1 partido la derivada. 54 00:02:25,300 --> 00:02:34,599 Luego, esto sí que creo que no lo hemos hecho, que es la obtención de los puntos en los que la derivada toma cierto valor. 55 00:02:34,599 --> 00:02:51,599 Y luego, uniendo los puntos 1, la recta tangente, y el punto 3, que es la obtención de puntos en los que la derivada toma un cierto valor, se puede hallar, por ejemplo, ejercicios típicos que son hallar la recta tangente de una función que sea paralela a otra, ¿de acuerdo? 56 00:02:51,599 --> 00:03:15,979 El estudio de la monotonía todavía no lo hemos visto, pero es que eso es únicamente el crecimiento de crecimiento, ¿de acuerdo? Que si sabemos realmente qué es lo que significa la derivada de una función, que es la pendiente de la recta tangente por ese punto, nosotros vamos a saber si esa pendiente es positiva, pues significa que la primera derivada es positiva. 57 00:03:15,979 --> 00:03:21,419 Y si la primera derivada es positiva, es que la función crece en ese punto, ¿de acuerdo? 58 00:03:21,780 --> 00:03:32,360 Si la primera derivada es negativa, es que la pendiente de la recta tangente a esa curva en ese punto es negativa 59 00:03:32,360 --> 00:03:36,159 y, por lo tanto, la función decrece, ¿de acuerdo? Esa es la monotonía. 60 00:03:36,539 --> 00:03:39,599 ¿Y qué es lo que ocurre cuando la primera derivada es cero? 61 00:03:40,060 --> 00:03:45,479 Pues cuando la primera derivada es cero, es que la pendiente de la recta tangente es cero. 62 00:03:45,479 --> 00:04:10,520 ¿Y cuándo la pendiente de la recta tangente es cero? Pues cuando estamos en un máximo o en un mínimo, o bueno, puede ser también un punto de inflexión o que sea una recta horizontal, también puede ser. ¿De acuerdo? Entonces, ¿qué es lo que ocurre? Que nosotros con las derivadas podemos hallar recta tangente, recta normal, recta tangente que sea paralela a otra dada, la monotonía que es el crecimiento y decrecimiento. 63 00:04:10,520 --> 00:04:32,759 También vamos allá a los puntos singulares, ¿vale? Donde la primera es suya. La primera derivada, pues, se hace donde están los máximos, los mínimos. Vamos a, aunque ahora nos quiero entrar mucho en ese tema, cuando veamos representación de funciones, que yo, por ejemplo, sí que os lo he puesto, me refiero en los apuntes aquí, hay siempre un puntito más, ¿vale? De lo que entra en el examen. 64 00:04:32,759 --> 00:04:52,000 Me refiero a que nosotros ahora con la primera derivada y luego lo vamos a utilizar en la representación de funciones, nosotros vamos a ver que cuando la primera derivada es cero, en la mayoría de los casos, no siempre, puede ser que a veces haya un punto de inflexión, pero vamos a obtener los máximos y los mínimos. 65 00:04:52,000 --> 00:05:05,639 Entonces, luego sí que vamos a tener que decir si esos máximos o esos mínimos son máximos o mínimos relativos o máximos y mínimos absolutos, ¿vale? Entonces, eso hasta que nos demos la otra yo no lo voy a exigir, ¿vale? 66 00:05:06,319 --> 00:05:09,180 Entonces, luego también la regla de L'Hôpital, que ya lo hemos visto. 67 00:05:09,379 --> 00:05:12,240 Hay también unos cuantos de ejercicio ahí con la regla de L'Hôpital. 68 00:05:12,720 --> 00:05:18,459 Y después el estudio de la derivabilidad de una función que ya también nosotros lo hemos visto, ¿vale? 69 00:05:18,579 --> 00:05:20,420 Y luego la optimización de funciones. 70 00:05:20,420 --> 00:05:26,759 La optimización de funciones al final, cuando optimizamos una función, cuando queremos hacerla o máxima o mínima. 71 00:05:26,879 --> 00:05:29,339 Y entonces también se hace con la primera derivada, ¿vale? 72 00:05:29,660 --> 00:05:35,560 Entonces, este, este, aquí tenemos 20 folios, ¿vale? 73 00:05:35,639 --> 00:05:47,500 Entonces, echadle un vistazo, echadle un vistazo, porque es bastante, bastante completo. ¿De acuerdo? ¿Sí? Hay un bollón de ejercicio aquí resuelto junto con teoría. ¿Vale? ¿Sí? 74 00:05:47,500 --> 00:05:49,420 entonces a mí me gustaría hacer 75 00:05:49,420 --> 00:05:51,860 un ejercicio de cada, estuvimos ya haciendo 76 00:05:51,860 --> 00:05:53,839 de la recta tangente de la recta normal, ¿verdad? 77 00:05:54,439 --> 00:05:55,939 vale, pues vamos a ir 78 00:05:55,939 --> 00:05:57,139 digamos al punto 79 00:05:57,139 --> 00:05:59,459 al punto 3 80 00:05:59,459 --> 00:06:01,639 ¿vale? que es la obtención 81 00:06:01,639 --> 00:06:03,860 de los puntos en los que la derivada 82 00:06:03,860 --> 00:06:05,759 toma un cierto valor, ¿vale? 83 00:06:06,560 --> 00:06:08,220 entonces, ¿esto qué es? 84 00:06:09,740 --> 00:06:12,019 esto al final es más fácil 85 00:06:12,019 --> 00:06:13,040 de lo que pensamos, ¿vale? 86 00:06:13,439 --> 00:06:15,800 entonces dice, encuentra los valores de x 87 00:06:15,800 --> 00:06:17,319 donde la derivada valga 1 88 00:06:18,279 --> 00:06:18,639 ¿Vale? 89 00:06:19,040 --> 00:06:24,300 Si nosotros tenemos esto de aquí, f de x, ¿vale? 90 00:06:25,160 --> 00:06:34,579 Pues es tan fácil como encuentro los valores de x donde la primera, donde la derivada de f de x, que es x al cubo menos x al cuadrado, valga 1. 91 00:06:34,759 --> 00:06:39,480 Pues entonces, si yo tengo mi f de x aquí, pues yo hago la primera derivada. 92 00:06:39,480 --> 00:06:41,879 ¿Cuánto es la derivada de x al cubo, chavales? 93 00:06:41,879 --> 00:06:46,800 es x cuadrado y la derivada de menos x al cuadrado 94 00:06:46,800 --> 00:06:50,300 menos 2x. ¿De acuerdo? ¿Y qué es lo que me dicen? 95 00:06:50,800 --> 00:06:54,100 Lo que me dicen, y aquí chavales, hacerme por favor una cosa. 96 00:06:54,500 --> 00:06:57,000 Hacerme por favor una cosa. En todos los apuntes está así. 97 00:06:57,560 --> 00:06:59,300 Cuando veamos máximos y mínimos, 98 00:06:59,579 --> 00:07:05,560 se aplica cuando la primera derivada es 0. 99 00:07:06,040 --> 00:07:09,939 La primera derivada es 0. Entonces tenéis la costumbre de hacer la primera derivada 100 00:07:09,939 --> 00:07:15,939 y la igualáis a 0. Entonces, no, por favor. Hacemos la primera derivada, la primera derivada es esto, 101 00:07:16,259 --> 00:07:22,680 y luego f' de x es igual a 0. ¿Y eso qué implica? Bueno, en este caso que es 1, ¿vale? Que es 1. 102 00:07:23,060 --> 00:07:28,620 ¿Y esto qué implica? Pues que 3x cuadrado menos 2x es igual a 1. ¿Eso qué significa? 103 00:07:28,740 --> 00:07:35,060 Que tenemos 3x cuadrado menos 2x menos 1 igual a 0. Esto es una ecuación de segundo grado. 104 00:07:35,060 --> 00:07:46,420 Y entonces, pues yo hago esto, menos b más menos b al cuadrado menos, que es más, 12, ¿verdad? Partido de 2 por 3. 105 00:07:47,019 --> 00:07:57,500 Esto es 2 más menos 16 partido de 6. Esto es igual a 2 más menos 4 partido de 6. Esto es un 1. 106 00:07:57,500 --> 00:07:59,759 y esto es un menos 107 00:07:59,759 --> 00:08:02,300 menos un tercio 108 00:08:02,300 --> 00:08:03,180 si no me equivoco, ¿no? 109 00:08:04,279 --> 00:08:05,120 menos un tercio 110 00:08:05,120 --> 00:08:07,899 chavales, ¿cómo se ha comprobado? 111 00:08:07,980 --> 00:08:10,100 ¿os acordáis cómo se comprobaba la ecuación del segundo grado? 112 00:08:10,180 --> 00:08:11,420 si yo esto lo multiplico 113 00:08:11,420 --> 00:08:14,360 entre ellos, fijaros, que me da menos un tercio 114 00:08:14,360 --> 00:08:16,180 pero luego lo tengo que multiplicar 115 00:08:16,180 --> 00:08:18,360 por el coeficiente 116 00:08:18,360 --> 00:08:19,939 de la A 117 00:08:19,939 --> 00:08:22,160 ¿vale? entonces menos un tercio por 3 118 00:08:22,160 --> 00:08:24,100 menos 1, por lo cual está perfecto 119 00:08:24,100 --> 00:08:26,480 Jesús, hija, y luego si yo sumo 120 00:08:26,480 --> 00:08:39,279 1 y menos 1 tercio me da 2 tercios, le tengo que cambiar el signo, sería menos 2 tercios, menos 2 tercios por 3, menos 2, con lo cual está perfecto, ¿vale? Es una forma de comprobar la ecuación de segundo grado rápido. 121 00:08:39,279 --> 00:08:54,840 Pues entonces, si x es igual a 1, o x es igual a menos un tercio, entonces f' de x vale 1, ¿de acuerdo? 122 00:08:54,899 --> 00:09:03,500 Y esto, si queréis, lo podemos comprobar. Evidentemente, f' de 1, f' de 1, que es 3 por 1 al cuadrado menos 2 por 1, 123 00:09:03,500 --> 00:09:05,379 esto que es 3 menos 2 124 00:09:05,379 --> 00:09:06,840 1, está bien 125 00:09:06,840 --> 00:09:09,879 y f' de un tercio que es 126 00:09:09,879 --> 00:09:11,419 3 por un tercio 127 00:09:11,419 --> 00:09:14,379 al cuadrado menos 2 por un tercio 128 00:09:14,379 --> 00:09:15,879 3 por un tercio 129 00:09:15,879 --> 00:09:18,080 al cuadrado es precisamente un tercio 130 00:09:18,080 --> 00:09:20,259 menos 2 tercios 131 00:09:20,259 --> 00:09:21,019 ¿qué es esto más? 132 00:09:21,419 --> 00:09:23,059 es el sumado de un tercio 133 00:09:23,059 --> 00:09:25,960 ah, menos un tercio, vale, gracias 134 00:09:25,960 --> 00:09:27,740 entonces esto es un más 135 00:09:27,740 --> 00:09:29,159 vale, esto ya se me cuadra 136 00:09:29,159 --> 00:09:31,600 y este es el tercio de cerveza 137 00:09:31,600 --> 00:09:33,379 que es 1, ¿vale chavales? 138 00:09:33,500 --> 00:09:47,059 ¿Sí o no? Sí. Entonces, una forma de comprobar, una cosa muy fácil, una aplicación de las derivadas. Yo quiero igualar que la primera derivada, pues, valga un valor en concreto. ¿De acuerdo? Entonces, ¿qué ocurre? Ay, perdona, perdona. 139 00:09:47,679 --> 00:09:48,820 Entonces, ¿qué ocurre? 140 00:09:48,960 --> 00:09:49,480 ¿Qué ocurre? 141 00:09:49,580 --> 00:09:52,159 Pues que esto me va a servir para un ejercicio 142 00:09:52,159 --> 00:09:55,399 que ya habéis hecho en primero de bachillerato, 143 00:09:55,799 --> 00:09:56,440 que era, por ejemplo, 144 00:09:56,779 --> 00:09:59,620 hallar la recta tangente o la recta normal 145 00:09:59,620 --> 00:10:03,940 que es paralela a una recta dada. 146 00:10:04,539 --> 00:10:05,879 ¿Os acordáis de eso más o menos? 147 00:10:06,440 --> 00:10:07,820 La noa noa por la cara que me pone. 148 00:10:09,240 --> 00:10:10,539 ¿Has entendido lo que hemos hecho? 149 00:10:11,059 --> 00:10:11,740 Yo aquí lo... 150 00:10:11,740 --> 00:10:11,899 Vale. 151 00:10:12,899 --> 00:10:13,940 Vale, vale, pues para eso. 152 00:10:14,139 --> 00:10:14,519 Yo aquí lo dije. 153 00:10:14,519 --> 00:10:22,120 Entonces, vamos a hallar este ejercicio de aquí, ¿vale? 154 00:10:22,720 --> 00:10:23,840 Este ejercicio de aquí. 155 00:10:24,080 --> 00:10:25,419 ¿Qué es lo que me dice este ejercicio? 156 00:10:25,419 --> 00:10:31,580 Dice, hallar la recta tangente a la curva y es igual a 3x cuadrado menos 4x, ¿vale? 157 00:10:32,519 --> 00:10:37,899 Bueno, es una parábola de Cristo en este caso, que sea paralela a la recta esta de aquí. 158 00:10:38,000 --> 00:10:43,460 Es decir, yo tengo una función que es una curva, una parábola, que es 3x cuadrado menos 4x, ¿vale? 159 00:10:43,460 --> 00:11:09,620 Yo lo que quiero es la recta tangente a esta función, pero que sea paralela a la recta, que es 2x menos y más 5 igual a 0. 160 00:11:10,179 --> 00:11:14,879 Esta ecuación de la recta, la recta es la ecuación general, ¿vale? 161 00:11:15,279 --> 00:11:20,440 Entonces nosotros para saber la pendiente la tenemos que poner en su forma explícita. 162 00:11:22,980 --> 00:11:24,899 ¿Cómo era la forma explícita? 163 00:11:25,460 --> 00:11:30,320 La que nos enseñaron de toda la vida que es igual, y es igual a mx más n. 164 00:11:30,779 --> 00:11:34,700 ¿Cuál es la pendiente en y igual a mx más n, chavales? 165 00:11:34,980 --> 00:11:36,659 La m, ¿vale? 166 00:11:37,080 --> 00:11:38,580 Entonces yo aquí, ¿qué es lo que hago? 167 00:11:38,580 --> 00:11:43,799 Pues yo despejo la y y la y resulta que es 2x más 5, ¿vale? 168 00:11:44,480 --> 00:11:45,899 ¿Lo veis? ¿Sí o no? 169 00:11:46,120 --> 00:11:48,580 Esta y esta son exactamente iguales. 170 00:11:49,320 --> 00:11:50,320 Entonces, ¿qué ocurre? 171 00:11:50,460 --> 00:11:54,340 Pues que si tiene que ser la recta tangente, 172 00:11:54,740 --> 00:11:58,620 que la recta tangente vamos a llamar S de Sevilla y Olé, ¿vale? 173 00:11:58,940 --> 00:12:04,679 Entonces, si S es paralela a R, resulta que tienen la misma pendiente. 174 00:12:05,200 --> 00:12:07,879 Tienen la misma pendiente. 175 00:12:07,879 --> 00:12:08,440 ¿Lo veis? 176 00:12:08,580 --> 00:12:11,340 la misma pendiente. 177 00:12:12,639 --> 00:12:15,419 Y en este caso, m es igual a 2. 178 00:12:16,799 --> 00:12:18,259 De aquí, ¿vale? 179 00:12:18,299 --> 00:12:21,639 El coeficiente que acompaña a la x siempre, ¿vale, chavales? 180 00:12:22,159 --> 00:12:23,179 Entonces, ¿qué ocurre? 181 00:12:23,799 --> 00:12:29,360 S, ¿cuál es la ecuación de la recta tangente? 182 00:12:29,440 --> 00:12:30,019 ¿La recordáis? 183 00:12:30,019 --> 00:12:30,100 ¿La recordáis? 184 00:12:30,700 --> 00:12:34,019 Y menos, y, y, a, o... 185 00:12:34,019 --> 00:12:34,960 ¿Todo lo he aprendido ahora? 186 00:12:35,220 --> 00:12:35,460 Sí. 187 00:12:36,259 --> 00:12:38,019 Y no va a derivar de... 188 00:12:38,580 --> 00:12:45,679 Perfecto, ¿qué es lo que ocurre ahora? 189 00:12:45,799 --> 00:12:52,360 Normalmente cuando nos decían, hay una ecuación de la recta tangente en x igual a 3, ese a vale 3, 190 00:12:52,840 --> 00:12:57,159 pero yo ahora si os fijáis, yo no sé cuánto vale a, ¿lo veis? 191 00:12:57,500 --> 00:13:00,220 Yo no sé cuánto vale a, yo lo único que quiero es que me halle, 192 00:13:00,679 --> 00:13:03,139 ¿os acordáis de esa algebra del otro día? 193 00:13:03,519 --> 00:13:05,740 ¿Cuántas rectas tangentes tiene una función? 194 00:13:06,580 --> 00:13:07,899 Infinita, infinita. 195 00:13:07,899 --> 00:13:32,679 Que pase por un punto, una, y ahora lo que me dice es, hay una recta que te puede, aquí lo bueno y lo malo de estos ejercicios, que te pueden salir varias rectas tangentes, ¿vale? Porque yo lo que tengo es una función, que en este caso es una parábola, tengo una recta, bueno, en una parábola te va a salir una, pero si tengo el Batman del otro día o lo que sea, te pueden salir varias rectas, ¿de acuerdo? 196 00:13:33,179 --> 00:13:34,179 Entonces, ¿qué ocurre? 197 00:13:34,220 --> 00:13:35,919 Que yo ahora lo que no sé es el a. 198 00:13:36,360 --> 00:13:41,740 Lo que sí sé, lo que sí sé es que esta f' de a, ¿cuánto va a valer? 199 00:13:42,179 --> 00:13:42,620 2. 200 00:13:43,440 --> 00:13:44,179 ¿Lo veis, chavales? 201 00:13:44,500 --> 00:13:44,879 ¿Sí o no? 202 00:13:45,500 --> 00:13:47,399 Lo sé porque es paralela a esta. 203 00:13:47,879 --> 00:13:48,480 ¿Lo entendéis? 204 00:13:49,240 --> 00:13:55,039 Como es paralela a esta, tienen que tener la misma pendiente y precisamente la pendiente que me lo da la primera derivada. 205 00:13:55,440 --> 00:13:56,940 Entonces, ¿qué creéis que voy a hacer? 206 00:13:56,940 --> 00:14:02,100 Pues voy a derivar mi f de x, lo voy a igualar a 2. 207 00:14:02,679 --> 00:14:14,320 ¿Lo veis? ¿Sí o no? ¿Por qué lo igualo a 2? Porque 2 es la pendiente de la recta que va a ser paralela, ¿vale? Como son paralelas, tienen que ser la misma pendiente. 208 00:14:14,820 --> 00:14:30,820 Entonces, la primera derivada es 6x menos 4, ¿verdad? Y entonces lo que hago es f' de x lo igualo a 2. Por lo tanto, 6x menos 4 es igual a 2 y esto es 6x igual a 6x igual a 1. 209 00:14:30,820 --> 00:14:33,580 solo me va a salir una en este caso 210 00:14:33,580 --> 00:14:35,019 si hubiese sido de otro tipo 211 00:14:35,019 --> 00:14:36,539 hubiese salido 2 212 00:14:36,539 --> 00:14:38,320 si hubiese sido 213 00:14:38,320 --> 00:14:40,360 f de x 214 00:14:40,360 --> 00:14:42,279 una función al cubo 215 00:14:42,279 --> 00:14:44,240 pues me hubieran podido salir 2 216 00:14:44,240 --> 00:14:46,120 y aquí a la cuarta me hubieran salido 3 217 00:14:46,120 --> 00:14:47,840 ¿vale? así sucesivamente 218 00:14:47,840 --> 00:14:50,919 ¿qué ocurre? 219 00:14:51,120 --> 00:14:52,580 pues que yo ya sé 220 00:14:52,580 --> 00:14:54,980 el punto a es este 221 00:14:54,980 --> 00:14:56,340 ¿lo veis? 222 00:14:56,919 --> 00:14:59,279 en el punto x igual a menos 1 223 00:14:59,279 --> 00:15:01,519 la primera derivada vale 2 224 00:15:01,519 --> 00:15:03,179 porque yo lo estoy forzando 225 00:15:03,179 --> 00:15:04,039 ¿lo entendéis? 226 00:15:04,600 --> 00:15:06,980 entonces si en x igual a menos 227 00:15:06,980 --> 00:15:08,799 x igual a 1, perdona 228 00:15:08,799 --> 00:15:10,879 la primera derivada vale 2 229 00:15:10,879 --> 00:15:12,799 es que la recta tangente 230 00:15:12,799 --> 00:15:14,379 va a ser paralela 231 00:15:14,379 --> 00:15:16,899 a y igual a 2x más 5 232 00:15:16,899 --> 00:15:17,500 ¿sí o no? 233 00:15:20,389 --> 00:15:22,090 ¿entendéis lo que estoy haciendo o no? 234 00:15:26,529 --> 00:15:26,690 ¿sí? 235 00:15:28,029 --> 00:15:29,850 voy a esperarse que me quede sin batería 236 00:15:29,850 --> 00:15:30,710 y volvería y volvería 237 00:15:30,710 --> 00:15:33,870 ¿vale? entonces chavales, ¿qué ocurre? 238 00:15:34,269 --> 00:15:37,850 ¿Qué es lo que ocurre? 239 00:15:39,110 --> 00:15:45,889 Pues que nada, yo ya tengo mi a, con lo cual yo ya estoy al principio, ¿lo veis? 240 00:15:46,330 --> 00:15:51,230 Yo ya sé que mi a, en este caso, es igual a x que es igual a 1. 241 00:15:51,230 --> 00:15:54,029 Pues nada, ¿cuánto vale f de 1? 242 00:15:54,350 --> 00:16:02,529 f de 1 sustituyo, es 3, donde haya una x pongo un 1, menos 4 por 1, esto es igual a menos 1, ¿verdad? 243 00:16:02,529 --> 00:16:05,129 y bueno, f' de 1 244 00:16:05,129 --> 00:16:06,950 ya lo sabemos que tiene que valer 2 245 00:16:06,950 --> 00:16:09,330 y la a 246 00:16:09,330 --> 00:16:11,389 la a vale 1 247 00:16:11,389 --> 00:16:12,870 con lo cual yo ya sustituyo 248 00:16:12,870 --> 00:16:15,590 y menos f de a, ¿cuánto vale f de a? 249 00:16:15,809 --> 00:16:16,669 menos 1, ¿verdad? 250 00:16:17,389 --> 00:16:19,529 es igual a 2 que multiplica 251 00:16:19,529 --> 00:16:20,529 x menos 1 252 00:16:20,529 --> 00:16:22,350 ¿alguien se me ha perdido? 253 00:16:30,350 --> 00:16:32,490 ¿lo veis chavales? ¿lo veis? 254 00:16:33,129 --> 00:16:34,950 ¿veis como la recta tangente 255 00:16:34,950 --> 00:16:36,629 esta es la recta tangente s 256 00:16:36,629 --> 00:16:40,440 ¿vale? tiene 257 00:16:40,440 --> 00:16:42,580 como pendiente 2 258 00:16:42,580 --> 00:16:44,700 ¿Veis como es paralela a 2x 259 00:16:44,700 --> 00:16:46,559 más 5? ¿De acuerdo? 260 00:16:46,779 --> 00:16:48,519 ¿Lo veis? Entonces siempre muy fácil 261 00:16:48,519 --> 00:16:50,240 ¿Vale? Normalmente 262 00:16:50,240 --> 00:16:51,919 la recta tangente en un punto 263 00:16:51,919 --> 00:16:54,259 yo aplico la fórmula y aquí 264 00:16:54,259 --> 00:16:56,419 vaya Dios gloria. La recta normal 265 00:16:56,419 --> 00:16:58,379 a un punto es esta misma pero aquí 266 00:16:58,379 --> 00:17:00,120 en vez de ser f' de a es 267 00:17:00,120 --> 00:17:02,120 menos 1 partido de f' de a 268 00:17:02,120 --> 00:17:04,400 igual. Y ahora lo único que me 269 00:17:04,400 --> 00:17:06,380 dice es la recta tangente en vez 270 00:17:06,380 --> 00:17:08,319 de en un punto que sea paralela a esta 271 00:17:08,319 --> 00:17:10,319 de aquí. Entonces claro, al ser 272 00:17:10,319 --> 00:17:12,500 paralelas, yo lo que tengo que saber es que dos rectas paralelas 273 00:17:12,500 --> 00:17:14,559 tienen la misma pendiente, por lo tanto 274 00:17:14,559 --> 00:17:16,779 lo que hago es hallar la pendiente 275 00:17:16,779 --> 00:17:18,359 de esa recta paralela, que se me la dan 276 00:17:18,359 --> 00:17:20,500 en continua, la tengo que poner en explícita, que es más fácil 277 00:17:20,500 --> 00:17:22,299 para saber el valor que acompaña 278 00:17:22,299 --> 00:17:23,440 la X, ¿de acuerdo? 279 00:17:24,099 --> 00:17:25,579 Y aquí vaya Dios gloria. 280 00:17:26,539 --> 00:17:26,859 ¿Circin? 281 00:17:27,559 --> 00:17:30,880 ¿Cuándo es la normal? 282 00:17:31,359 --> 00:17:32,140 La recta normal. 283 00:17:32,579 --> 00:17:34,140 ¿Vale? ¿Puedo continuar, 284 00:17:34,279 --> 00:17:36,160 Bachale? ¿Circin? Venga. 285 00:17:36,599 --> 00:17:37,500 Este sería, digamos, 286 00:17:37,500 --> 00:17:40,599 el cuarto punto de los nueve 287 00:17:40,599 --> 00:17:42,539 que tiene la utilización 288 00:17:42,539 --> 00:17:43,380 de las 289 00:17:43,380 --> 00:17:46,539 aquí 290 00:17:46,539 --> 00:17:48,420 mira, por ejemplo, aquí fijaros que es una x 291 00:17:48,420 --> 00:17:50,400 a la cuarta, ¿vale? Este no lo voy a hacer 292 00:17:50,400 --> 00:17:52,160 pero lo voy a enseñar. Dice, allá la 293 00:17:52,160 --> 00:17:54,359 recta es tangente, la curva ahí es igual a 294 00:17:54,359 --> 00:17:56,619 x a la cuarta menos 8x cuadro más 12x 295 00:17:56,619 --> 00:17:58,579 que sean paralelas a la recta esta de aquí. 296 00:17:59,039 --> 00:18:00,319 Pues igual, yo la 297 00:18:00,319 --> 00:18:02,480 recta que está en continua la pongo 298 00:18:02,480 --> 00:18:04,380 en forma explícita, sé que la 299 00:18:04,380 --> 00:18:06,319 derivada de la pendiente es 12. 300 00:18:06,700 --> 00:18:08,160 ¿Veis aquí que la pendiente es 12? 301 00:18:08,960 --> 00:18:12,559 Vale, pues yo ahora lo que hago es derivo mi función, 302 00:18:12,740 --> 00:18:15,119 derivo mi función, lo igualo a 12. 303 00:18:15,799 --> 00:18:20,079 Porque la primera derivada, que es la pendiente de la resta tangente, 304 00:18:20,539 --> 00:18:25,859 lo igualo a 12 y veis aquí que me sale una ecuación de tercer grado. 305 00:18:26,259 --> 00:18:30,759 Una ecuación de tercer grado, con lo cual tengo tres valores de x. 306 00:18:32,279 --> 00:18:34,880 Tengo precisamente, sacando factor común aquí, 307 00:18:34,880 --> 00:18:37,700 La x igual a 0 y x igual a más menos 2. 308 00:18:37,880 --> 00:18:39,599 ¿Lo veis? El proceso es el mismo, ¿eh? 309 00:18:40,000 --> 00:18:41,019 El proceso es el mismo. 310 00:18:41,660 --> 00:18:45,079 Tengo restas tangentes a una función que sean paralelas a otras. 311 00:18:45,559 --> 00:18:50,119 Entonces, si es paralela a una resta, lo que tengo que saber primero es cuál es la pendiente de esa resta. 312 00:18:50,400 --> 00:18:50,720 ¿De acuerdo? 313 00:18:51,319 --> 00:18:52,380 Derivo mi función. 314 00:18:53,119 --> 00:18:58,559 Derivo mi función porque mi función, cuando la derivo, es la pendiente de la resta tangente. 315 00:18:58,559 --> 00:19:04,579 Y entonces, como la pendiente de la resta tangente tiene que ser paralela a otra, 316 00:19:04,880 --> 00:19:07,660 Pues tienen que tener el mismo valor, ¿entendéis? 317 00:19:08,160 --> 00:19:08,500 ¿Sí o no? 318 00:19:08,779 --> 00:19:10,680 En este caso era 12, ¿vale? 319 00:19:10,779 --> 00:19:14,920 Entonces, yo mi primera derivada la igualo a 12, tengo tres valores. 320 00:19:15,599 --> 00:19:19,000 x igual a 0, x igual a más menos 2, ¿de acuerdo? 321 00:19:19,180 --> 00:19:29,279 Y nada, pues lo que hago que es, aplico la fórmula de la recta tangente ya sabiendo los puntos, 322 00:19:29,400 --> 00:19:32,140 porque yo ahora lo que ya he obtenido son los as, 323 00:19:32,500 --> 00:19:36,940 Entonces ya tengo que a es igual a 0, a es igual a más 2 y a es igual a menos 2. 324 00:19:37,259 --> 00:19:44,359 Por lo tanto, a yo f de 0, la m la tengo, sustituyo y me sale que una función es y es igual a 12x. 325 00:19:44,960 --> 00:19:47,240 Ahora me voy al menos 2 y hago exactamente lo mismo. 326 00:19:47,240 --> 00:19:52,059 A yo f de menos 2, la pendiente ya la tengo que es 12 y la a vale menos 2. 327 00:19:52,259 --> 00:19:54,480 Sustituyo y me sale 12x menos 16. 328 00:19:54,980 --> 00:19:57,819 Y ahora me voy a la x igual a 2 y hago lo mismo. 329 00:19:57,819 --> 00:20:05,480 a yo f de 2, la pendiente m ya la tengo porque es 12 y la a vale 2. Sustituyo y, bueno, en 330 00:20:05,480 --> 00:20:10,579 este caso, pues me ha salido la misma, ¿vale? En 2 y en menos 2 resulta que la función 331 00:20:10,579 --> 00:20:20,180 es la misma. Pues nada, tenemos dos rectas que son tangente a mi función y con pendiente 332 00:20:20,180 --> 00:20:23,200 12, por lo tanto, es paralela a la que me dieron inicialmente. 333 00:20:23,440 --> 00:20:26,680 ¿No es verdad? Si se salen 5 puntos, serían 5. 334 00:20:26,680 --> 00:20:28,779 5, lo que pasa es que a veces puede ser que sea la misma. 335 00:20:29,220 --> 00:20:30,299 ¿De acuerdo? ¿Vale? 336 00:20:30,980 --> 00:20:31,180 ¿Sí? 337 00:20:32,900 --> 00:20:35,099 Nada, tú me dices que son estas dos y ya está. 338 00:20:35,960 --> 00:20:37,960 Me han salido 3, pero como 2 son iguales, 339 00:20:38,380 --> 00:20:40,160 pues nada, como sale la misma 2 veces, 340 00:20:40,660 --> 00:20:42,339 pues las restas tangentes a esta función 341 00:20:42,339 --> 00:20:44,160 y paralelas a estas restas son estas dos. 342 00:20:44,640 --> 00:20:45,500 Y aquí vaya diablo. 343 00:20:45,640 --> 00:20:47,380 Vale, echadle un vistazo a este documento 344 00:20:47,380 --> 00:20:48,980 porque está como ustedes, fenomenal. 345 00:20:49,559 --> 00:20:50,740 ¿Vale? ¿Sí o no? 346 00:20:51,359 --> 00:20:54,460 Entonces, de restas tangentes es que no hay papel de imagen. 347 00:20:54,460 --> 00:21:20,500 Y entonces el quinto punto, chavales, es el estudio del crecimiento y decrecimiento de una función que esto también lo visteis el año pasado, ¿vale? Entonces, chavales, lo que yo os quiero que veáis, y me voy ahí un momentín, pistolín, chavales, lo que yo os quiero que veáis, ¿vale? 348 00:21:20,500 --> 00:21:25,259 Me voy a ir a la típica función que es x al cuadrado, ¿vale? 349 00:21:25,279 --> 00:21:27,319 Porque yo creo que se ve bastante, bastante bien. 350 00:21:28,000 --> 00:21:35,579 Y entonces ahora, a ver si esto me sale bien, voy a coger un puntito que pertenezca a esa función. 351 00:21:36,400 --> 00:21:45,980 Y yo ahora voy a hacer la recta tangente a esta función que pase por a, ¿vale? 352 00:21:46,000 --> 00:21:47,299 Que es la negra como mi futuro. 353 00:21:47,960 --> 00:21:50,460 Entonces, lo que yo quiero que veáis es una cosa, chavales. 354 00:21:51,220 --> 00:21:56,299 Fijaros, porque esto está relacionado con el crecimiento y decrecimiento de una función. 355 00:21:56,579 --> 00:22:00,079 Todo el mundo ve que en x al cuadrado, que es súper fácil, 356 00:22:00,859 --> 00:22:03,720 siempre que la x sea negativa está decreciendo. 357 00:22:04,640 --> 00:22:05,059 ¿Sí? 358 00:22:05,279 --> 00:22:07,839 Y cuando x positiva está creciendo. 359 00:22:08,480 --> 00:22:13,700 Pues entonces, si yo hago la recta tangente a esta función en cualquier punto, 360 00:22:14,460 --> 00:22:17,619 ¿qué vemos de la pendiente aquí en los lados positivos? 361 00:22:17,700 --> 00:22:19,420 ¿Cómo es la pendiente de esta recta negra? 362 00:22:19,420 --> 00:22:21,880 ¿Cómo es? Positivo 363 00:22:21,880 --> 00:22:23,599 ¿Lo veis? Positivo 364 00:22:23,599 --> 00:22:25,480 Y fijaros una cosa chavales 365 00:22:25,480 --> 00:22:27,079 Aquí la pendiente 366 00:22:27,079 --> 00:22:29,400 Va de más chiquitita 367 00:22:29,400 --> 00:22:31,299 Aquí es cero, fijaros en el cero 368 00:22:31,299 --> 00:22:33,480 Os demostré de donde venía 369 00:22:33,480 --> 00:22:35,420 En una parábola el vértice 370 00:22:35,420 --> 00:22:37,420 Os acordáis que era 371 00:22:37,420 --> 00:22:38,619 Menos b partido de 2a 372 00:22:38,619 --> 00:22:40,599 Lo único es yo derivo 373 00:22:40,599 --> 00:22:43,299 Mi a cuadrado más bx más 0 374 00:22:43,299 --> 00:22:44,359 Igual a cero y me sale 375 00:22:44,359 --> 00:22:47,819 Que era x igual a menos b partido de 2a 376 00:22:47,819 --> 00:22:49,099 ¿Vale? Entonces yo paso aquí 377 00:22:49,099 --> 00:23:06,140 De cero, aquí la pendiente cada vez va siendo mayor, mayor, mayor, mayor, mayor, mayor y llega un momento en el que casi, casi es vertical. Entonces, mientras mayor pendiente, mayor crecimiento. Mientras mayor pendiente, mayor crecimiento. 378 00:23:06,140 --> 00:23:11,480 Pero lo que yo creo que veáis es, esta precisamente de aquí sería la primera derivada. 379 00:23:11,960 --> 00:23:19,619 La pendiente de esa recta es la derivada de la función en un punto. 380 00:23:20,559 --> 00:23:22,299 ¿Vale? La derivada de una función en un punto. 381 00:23:22,779 --> 00:23:24,180 Fijaros, no sé si se ve aquí. 382 00:23:25,619 --> 00:23:28,440 No sé si se va a ver bien aquí con esto. 383 00:23:28,960 --> 00:23:32,720 Si yo estoy en el 1, ¿cuánto es la derivada de x cuadrado, chavales? 384 00:23:33,779 --> 00:23:34,220 2x. 385 00:23:34,220 --> 00:23:39,799 Y si la primera derivada es 2x y yo la x la sustituyo por un 1, ¿cuánto me sale? 386 00:23:40,799 --> 00:23:41,200 2. 387 00:23:41,339 --> 00:23:42,839 Y fíjate la tangente. 388 00:23:43,619 --> 00:23:45,480 Y es igual a 2x menos 1. 389 00:23:45,559 --> 00:23:46,819 ¿Cuánto vale la pendiente aquí? 390 00:23:47,420 --> 00:23:47,819 2. 391 00:23:48,220 --> 00:23:49,400 Me voy a ir al 4. 392 00:23:49,720 --> 00:23:52,160 Bueno, al 4 tengo que hacerlo esto más chiquitito. 393 00:23:53,680 --> 00:23:54,519 Pasa de mí, ¿no? 394 00:23:56,180 --> 00:23:57,859 Si yo me voy al 4 aquí. 395 00:23:58,140 --> 00:24:00,039 Hostia, al 4 me tengo que ir al 16. 396 00:24:08,900 --> 00:24:09,960 No, ha pasado de mí. 397 00:24:09,960 --> 00:24:15,440 no voy a ser capaz de llegar al 4 398 00:24:15,440 --> 00:24:20,160 al 4, bueno, ahí no es exactamente 399 00:24:20,160 --> 00:24:24,319 pero que quiero que veáis, si la x vale 4, que esto está muy redondeado 400 00:24:24,319 --> 00:24:28,099 no vale realmente 4, me tendría que salir aquí un 16, ¿vale? 401 00:24:28,460 --> 00:24:31,200 porque el cuadrado de 4 es 16 402 00:24:31,200 --> 00:24:35,000 la derivada momentillo de x al cuadrado es 2x 403 00:24:35,000 --> 00:24:37,200 2x, ¿vale? 404 00:24:37,700 --> 00:24:39,339 Si yo la sustituyo, la x 405 00:24:39,339 --> 00:24:40,740 por 4, ¿cuánto me sale? 406 00:24:41,500 --> 00:24:42,640 8, ¿lo veis? 407 00:24:43,640 --> 00:24:45,259 La pendiente de la resta, gente. 408 00:24:45,440 --> 00:24:46,759 Entonces, lo que quiero que veáis es, 409 00:24:47,079 --> 00:24:49,240 si yo hago la primera derivada de esta función, 410 00:24:49,660 --> 00:24:51,359 ¿vale? La primera derivada de esta 411 00:24:51,359 --> 00:24:53,160 función, ¿qué es lo que me ocurre? 412 00:24:53,319 --> 00:24:55,180 Que en los x positivos 413 00:24:55,180 --> 00:24:57,160 la pendiente es positiva, 414 00:24:57,259 --> 00:24:58,779 es decir, la primera derivada 415 00:24:58,779 --> 00:25:00,799 vale mayor que 0, 416 00:25:00,799 --> 00:25:02,819 por lo tanto, ¿qué significa si la primera 417 00:25:02,819 --> 00:25:04,579 derivada es mayor que 0? Que la función 418 00:25:04,579 --> 00:25:06,500 es creciente. Y aquí 419 00:25:06,500 --> 00:25:08,640 ¿qué ocurre en los x negativos? ¿Cómo es 420 00:25:08,640 --> 00:25:10,380 la pendiente de esta recta? 421 00:25:11,599 --> 00:25:12,440 Negativa, ¿verdad? 422 00:25:12,539 --> 00:25:14,680 Pues entonces la primera derivada que vale 423 00:25:14,680 --> 00:25:16,480 cero, ¿verdad? Vale 424 00:25:16,480 --> 00:25:18,299 negativa, significa 425 00:25:18,299 --> 00:25:20,559 que la función es decreciente. 426 00:25:21,099 --> 00:25:22,539 ¿Vale? ¿Fácil eso? 427 00:25:23,079 --> 00:25:23,579 Sí, ¿no? 428 00:25:27,589 --> 00:25:29,769 Entonces, otra aplicación de las derivadas 429 00:25:29,769 --> 00:25:31,730 evidentemente es 430 00:25:31,730 --> 00:25:33,750 el crecimiento o 431 00:25:33,750 --> 00:25:35,049 decrecimiento de 432 00:25:35,049 --> 00:25:44,009 la función, ¿vale? Precisamente para, aquí dice, estudiar la monotonía, crecimiento y decrecimiento 433 00:25:44,009 --> 00:25:50,809 de esta función. ¿Cómo se haría, chavales? Pues yo derivo la primera derivada, que en este caso 434 00:25:50,809 --> 00:25:57,990 sería 3x cuadrado menos 6x, ¿lo veis? Y lo igualo a cero. Entonces, ¿qué ocurre? Pues que yo al 435 00:25:57,990 --> 00:26:02,349 igualarlo a cero, al tener una ecuación de segundo grado, me van a salir dos valores, que en este 436 00:26:02,349 --> 00:26:10,809 caso son 0 y 2. ¿Lo veis? ¿Sí o no? Yo hago mi resta real y ¿qué me va a interesar de hacer de 437 00:26:10,809 --> 00:26:18,069 aquí? Pues precisamente voy a ver cuáles son los tramos positivos y los tramos negativos. ¿Lo veis? 438 00:26:18,410 --> 00:26:26,910 Entonces, ¿qué ocurre? Yo en cualquier valor, fijaros que esto qué es. Básicamente esta primera 439 00:26:26,910 --> 00:26:33,690 derivada, ¿qué es? Una parábola. La parábola, chavales, sabemos que va de positivo a negativo 440 00:26:33,690 --> 00:26:38,230 positivo si son los cuernos para arriba o de negativo a positivo a negativo si son los cuernos 441 00:26:38,230 --> 00:26:43,609 para abajo. Aquí los cuernos son para arriba, ¿de acuerdo? ¿Y qué vemos? ¿Qué vemos aquí? Pues lo 442 00:26:43,609 --> 00:26:49,769 que vemos aquí es que en el intervalo 0, 2 es negativo, por lo tanto, decrece mi función. ¿Lo 443 00:26:49,769 --> 00:26:50,009 ¿Lo veis? 444 00:26:51,109 --> 00:26:53,869 En el, desde menos infinito a cero, 445 00:26:54,289 --> 00:26:56,069 la función es positiva 446 00:26:56,069 --> 00:26:59,569 y como la primera derivada es positiva, 447 00:26:59,670 --> 00:27:00,829 mi función crece. 448 00:27:01,250 --> 00:27:01,609 ¿De acuerdo? 449 00:27:02,269 --> 00:27:03,089 Pero, ¿pero qué es lo que es? 450 00:27:03,089 --> 00:27:04,430 ¿Es un intervalo? 451 00:27:04,529 --> 00:27:05,069 ¿Cómo es un intervalo? 452 00:27:05,390 --> 00:27:07,670 Sí, lo sustituye la derivada. 453 00:27:08,930 --> 00:27:10,849 Efectivamente, lo sustituye la derivada. 454 00:27:11,170 --> 00:27:11,369 ¿Vale? 455 00:27:11,670 --> 00:27:13,430 Entonces, si yo lo sustituyo la derivada, 456 00:27:13,430 --> 00:27:14,769 veis que f' de 1, 457 00:27:15,009 --> 00:27:17,130 f' de 1 sale de menos 3, es negativo. 458 00:27:17,569 --> 00:27:18,529 Pues entonces, bueno, aquí, 459 00:27:18,529 --> 00:27:24,390 Lo suyo es que yo haga aquí f' de menos 1 y f' de 3, por ejemplo, ¿vale? 460 00:27:24,569 --> 00:27:28,910 Pero también puedes explicar que como la primera derivada es una parábola, 461 00:27:28,970 --> 00:27:34,210 en cada raíz, o es una polinómica, en cada raíz cambia el signo. 462 00:27:34,289 --> 00:27:37,670 Y entonces tú haces uno de ellos y ya lo teníamos, ¿vale? 463 00:27:37,789 --> 00:27:39,670 Como las inequaciones, no sé si os acordáis. 464 00:27:40,150 --> 00:27:45,650 Entonces lo que es importante saber es que si la primera derivada es positiva, mi función crece. 465 00:27:45,650 --> 00:28:00,509 Y si la primera derivada es negativa, mi función decrece. Entonces, ¿qué ocurre? Que mi función crece en el intervalo desde menos infinito a 0, ¿verdad? Decrece en el intervalo 0, 2 y vuelve a crecer en el intervalo 2 más infinito. 466 00:28:00,509 --> 00:28:02,829 mi función, si recordáis 467 00:28:02,829 --> 00:28:05,410 esta función es una función polinómica 468 00:28:05,410 --> 00:28:07,150 ¿qué punto tienen las funciones 469 00:28:07,150 --> 00:28:09,150 polinómicas? que son siempre 470 00:28:09,150 --> 00:28:11,029 continuas, su dominio es todo R 471 00:28:11,029 --> 00:28:13,269 y además que son siempre derivables 472 00:28:13,269 --> 00:28:15,009 y esto es muy importante también de cara 473 00:28:15,009 --> 00:28:17,049 al teorema de Rolle y el teorema del valor medio 474 00:28:17,049 --> 00:28:17,769 que no es complicado 475 00:28:17,769 --> 00:28:18,470 ¿vale? 476 00:28:22,089 --> 00:28:23,450 no, se pone siempre 477 00:28:23,450 --> 00:28:25,130 porque además estamos viendo en crecimiento 478 00:28:25,130 --> 00:28:26,569 ¿qué ocurre en el 0 y en el 2? 479 00:28:26,789 --> 00:28:28,549 que la primera derivada es un 0 480 00:28:28,549 --> 00:28:45,789 Ahí ni crece ni decrece. Entonces, aquí, ¿qué es lo que podemos decir, chavales? Que si yo estoy creciendo y ahora decrezco, ¿por dónde he pasado? Por un máximo. Si yo decrezco y ahora crezco, ¿por dónde he pasado? Por un mínimo. 481 00:28:45,789 --> 00:29:02,529 Entonces, cuando yo sé los crecimientos y decrecimientos, sí puedo decir que es un máximo o un mínimo. ¿Vale? Un máximo o un mínimo. ¿Qué es lo importante aquí, chavales? Que cuando haya, en este caso, porque mi función es polinómica y su dominio es todo verde. 482 00:29:02,529 --> 00:29:22,750 Pero si yo tengo que estudiar el crecimiento y decrecimiento de una función, si hay algún valor que no pertenece al dominio, también lo tengo que poner aquí en esta recta. ¿De acuerdo? Y entonces tengo más intervalos. Y ahí nos podemos encontrar que podemos tener dos intervalos pegados que los dos crezcan o los dos decrezcan. 483 00:29:22,750 --> 00:29:50,849 ¿Lo veis? Aquí siempre uno va a crecer y otro va a decrecer, pero porque la primera derivada es una parábola de Cristo, ¿vale? Pero sin embargo, cuando yo tengo asíntotas, asíntotas verticales, que ahí en ese punto no va a pertenecer al dominio, me puedo encontrar que a la izquierda y a la derecha de esa asíntota vertical, la función, las dos crezcan o las dos decrezcan, ¿vale? 484 00:29:50,849 --> 00:29:57,529 Entonces, muy importante siempre, si hay una función que no pertenece al dominio, ponerlo, ¿vale? 485 00:29:57,529 --> 00:29:59,049 Que es lo que explico aquí. 486 00:29:59,369 --> 00:30:01,690 Si hay algún valor, además lo pongo esto en una mejita en grande, ¿vale? 487 00:30:02,210 --> 00:30:05,069 Entonces, ¿qué es lo que ocurre, chavales? 488 00:30:05,230 --> 00:30:09,190 Pues que eso lo tengo que tener yo siempre en cuenta. 489 00:30:09,670 --> 00:30:15,670 Aquí yo os estoy dibujando, más que nada, para que os hagáis una idea del boceto de la función, ¿vale? 490 00:30:15,769 --> 00:30:20,269 Esto es un boceto que esto no hay que hacerlo ahora, eso ya lo haremos cuando representemos, ¿vale? 491 00:30:20,269 --> 00:30:35,230 Y es sobre todo también para deciros una cosilla, que yo como aquí sé que crece y luego decrece, aquí hay un máximo, aquí cuando decrece y luego crece hay un mínimo, ¿vale? Lo que yo tengo que saber es si esos máximos y mínimos son relativos. 492 00:30:35,230 --> 00:30:50,349 Yo ahora en esta parte de aquí lo hablaré con Javier, pero en principio yo creo que con que me digáis máximo y mínimo es suficiente. Pero como esto para la evau sí que tenemos que saber ya en representación de funciones si esos máximos o mínimos son relativos o absolutos. 493 00:30:50,349 --> 00:31:04,369 ¿Cómo lo puedo saber? En esta función es fácil, porque si yo hago los límites en el más menos infinito, uno me da menos infinito y más infinito. Por lo tanto, esos máximos y mínimos tienen que ser relativos. ¿De acuerdo? ¿Vale? 494 00:31:04,369 --> 00:31:08,009 normalmente cuando yo hago la primera derivada 495 00:31:08,009 --> 00:31:11,509 siempre pienso que esos máximos y mínimos son relativos 496 00:31:11,509 --> 00:31:14,690 pero puede ocurrir que se convierta uno de los relativos 497 00:31:14,690 --> 00:31:17,569 en absoluto 498 00:31:17,569 --> 00:31:20,150 por ejemplo si yo tengo la parábola 499 00:31:20,150 --> 00:31:23,049 de x al cuadrado 500 00:31:23,049 --> 00:31:25,829 si yo hago la primera derivada que es 2x 501 00:31:25,829 --> 00:31:29,369 es igual a 0, x es 0, en el 0 yo tendré un máximo 502 00:31:29,369 --> 00:31:32,230 o un mínimo, sabemos que es un mínimo, pero es que ese mínimo 503 00:31:32,230 --> 00:31:34,529 resulta que es un mínimo absoluto 504 00:31:34,529 --> 00:31:36,410 porque no hay ningún valor por debajo 505 00:31:36,410 --> 00:31:38,269 de él, ¿vale? 506 00:31:38,349 --> 00:31:40,289 ¿Lo veis? Entonces yo aquí os he representado 507 00:31:40,289 --> 00:31:42,410 un poco para que sepamos realmente 508 00:31:42,410 --> 00:31:44,410 aquí y después cuando me 509 00:31:44,410 --> 00:31:45,930 digáis el máximo y el mínimo 510 00:31:45,930 --> 00:31:48,150 no solo me digáis la x 511 00:31:48,150 --> 00:31:50,369 ¿eh? Me tenéis que decir también 512 00:31:50,369 --> 00:31:52,289 su ordenada y su ordenada 513 00:31:52,289 --> 00:31:54,690 se hace sustituyendo 514 00:31:54,690 --> 00:31:56,130 la x en la f 515 00:31:56,130 --> 00:31:57,430 no en la f' ¿vale? 516 00:31:58,190 --> 00:32:00,410 Porque la f' va a ser 0 517 00:32:00,410 --> 00:32:01,609 ¿lo veis? 518 00:32:05,519 --> 00:32:13,700 En este caso, en x igual a cero igual a dos, si yo me voy y sustituyo en mi función el cero, me sale un cuatro. 519 00:32:14,119 --> 00:32:17,059 Y si sustituyo en mi función un dos, me sale un cero. 520 00:32:17,680 --> 00:32:22,940 ¿Vale? Entonces, yo tengo un máximo, en este caso relativo, en el cero cuatro y un mínimo relativo en el dos cero. 521 00:32:23,579 --> 00:32:25,680 ¿Vale? ¿Sí? ¿Más o menos? 522 00:32:27,420 --> 00:32:31,940 Entonces, chavales, si por ejemplo me dicen esta de aquí, esta de aquí, monotonía, crecimiento... 523 00:32:31,940 --> 00:32:33,720 Crecimiento. Que sepáis que siempre que te diga 524 00:32:33,720 --> 00:32:36,119 estudia la monotonía, es crecimiento 525 00:32:36,119 --> 00:32:36,559 de crecimiento. 526 00:32:37,259 --> 00:32:38,759 Si te miras 527 00:32:38,759 --> 00:32:41,920 las dos crecientes 528 00:32:41,920 --> 00:32:42,859 y las tres crecientes. 529 00:32:44,039 --> 00:32:45,460 Seguramente es que haya una sin total. 530 00:32:45,799 --> 00:32:48,160 Vale. En las dos crecientes 531 00:32:48,160 --> 00:32:49,640 no hay nomás una monotonía. 532 00:32:51,920 --> 00:32:53,740 Es que depende también cómo sea la función. 533 00:32:53,859 --> 00:32:55,799 Es que puede ser, si te dan una función a trozo, 534 00:32:57,700 --> 00:32:58,500 ahí es distinto. 535 00:32:58,880 --> 00:33:00,079 Si te dan una sola función, 536 00:33:00,200 --> 00:33:01,799 por ejemplo, como esta de aquí, racionales, 537 00:33:01,940 --> 00:33:04,700 Las racionales normalmente suelen tener una asíntota. 538 00:33:05,759 --> 00:33:08,019 Suelen tener, suelen tener, no siempre. 539 00:33:08,380 --> 00:33:11,420 En este caso, si te fijas, ¿cuál es el dominio de esta función? 540 00:33:12,240 --> 00:33:15,680 ¿Cuál es el dominio de esta función x menos 2 partido de x menos 1? 541 00:33:16,140 --> 00:33:17,960 Todos los r menos n menos 1. 542 00:33:18,039 --> 00:33:20,319 En el menos 1 vamos a tener una asíntota sí o sí. 543 00:33:20,940 --> 00:33:21,259 ¿De acuerdo? 544 00:33:22,740 --> 00:33:23,740 Entonces, ¿qué ocurre? 545 00:33:23,799 --> 00:33:25,779 Pues nada, como siempre hago la primera derivada. 546 00:33:25,839 --> 00:33:27,319 La primera derivada de una división. 547 00:33:27,500 --> 00:33:28,660 ¿Cuál es la derivada de una división? 548 00:33:28,660 --> 00:33:34,240 la derivada del primero por el segundo sin derivar menos el primero sin derivar por la 549 00:33:34,240 --> 00:33:40,180 derivada del segundo partido por el cuadrado del segundo. Yo hago todo esto y me queda 550 00:33:40,180 --> 00:33:46,460 esto de aquí. Y lo igualo a cero. ¿Qué me doy cuenta aquí? 3 partido de x menos 551 00:33:46,460 --> 00:33:51,799 1, x más 1 al cuadrado es igual a cero. 3 igual a cero nunca va a ser cero. Aquí en 552 00:33:51,799 --> 00:33:57,380 este caso no tendríamos nunca ni un máximo ni un mínimo. Pero ¿qué es lo que ocurre? 553 00:33:57,380 --> 00:34:00,880 Es que a mí lo que me interesa al estudiar el crecimiento de crecimiento, 554 00:34:00,980 --> 00:34:02,240 la monotonía de esta función, 555 00:34:02,440 --> 00:34:06,700 a mí lo que me interesa saber es el signo de mi primera derivada. 556 00:34:06,819 --> 00:34:08,760 Lo igualo a cero porque ahí es más fácil, 557 00:34:08,880 --> 00:34:10,719 pero cuando yo lo igualo a cero no obtengo nada, 558 00:34:11,199 --> 00:34:13,719 tengo que ver el signo de la primera derivada. 559 00:34:14,199 --> 00:34:15,599 ¿Qué me doy cuenta en este caso? 560 00:34:16,019 --> 00:34:17,960 Que si yo tengo una división, 561 00:34:18,900 --> 00:34:20,940 aquí aplico la regla de signos, ¿verdad? 562 00:34:21,320 --> 00:34:25,039 Más entre más es más, más entre menos es menos, menos entre más... 563 00:34:25,039 --> 00:34:26,960 El 3 siempre es positivo, ¿verdad? 564 00:34:27,380 --> 00:34:32,059 Que es justo un número al cuadrado como es siempre un número al cuadrado. 565 00:34:32,539 --> 00:34:34,559 Positivo. Entonces, ¿positivo entre positivo? 566 00:34:35,199 --> 00:34:36,440 Positivo. ¿Vale? 567 00:34:36,820 --> 00:34:39,440 Entonces, ¿qué ocurre? ¿Qué observamos de esta función? 568 00:34:40,039 --> 00:34:42,739 Que esta función siempre es creciente. 569 00:34:43,380 --> 00:34:46,440 ¿Vale? Esta función siempre es creciente. 570 00:34:46,440 --> 00:34:49,699 ¿Por qué? Porque su primera derivada siempre es positiva. 571 00:34:50,119 --> 00:34:56,199 Y aunque yo tenga una asíntota, resulta que, fijaros, 572 00:34:56,199 --> 00:34:58,539 esta función más o menos 573 00:34:58,539 --> 00:35:00,639 representáis así, ¿de acuerdo? 574 00:35:01,239 --> 00:35:02,800 yo tengo precisamente 575 00:35:02,800 --> 00:35:05,059 asíntotas horizontales 576 00:35:05,059 --> 00:35:06,960 aquí, que es 577 00:35:06,960 --> 00:35:08,800 en el 1, luego tengo 578 00:35:08,800 --> 00:35:10,699 una asíntota vertical en el 1 579 00:35:10,699 --> 00:35:12,500 pero sin embargo siempre mi función 580 00:35:12,500 --> 00:35:15,099 va creciendo, ¿vale chavales? 581 00:35:15,460 --> 00:35:16,579 esto no hay que hacerlo 582 00:35:16,579 --> 00:35:18,840 ahora, lo único que yo os quiero 583 00:35:18,840 --> 00:35:20,719 que veáis que todo esto de 584 00:35:20,719 --> 00:35:22,719 aplicación de las derivadas luego lo vamos a 585 00:35:22,719 --> 00:35:24,300 utilizar en la 586 00:35:24,300 --> 00:35:26,739 representación de funciones, ¿vale? 587 00:35:26,739 --> 00:35:28,719 Pero si os fijáis, esto siempre 588 00:35:28,719 --> 00:35:30,800 es creciente, ¿lo veis? Y esto de aquí 589 00:35:30,800 --> 00:35:32,599 también, ¿cómo es? Creciente 590 00:35:32,599 --> 00:35:34,420 siempre. ¿Lo veis, chavales? 591 00:35:34,739 --> 00:35:36,559 Y porque si yo hago la primera 592 00:35:36,559 --> 00:35:38,260 derivada de mi función, 593 00:35:38,820 --> 00:35:40,619 siempre la primera derivada es 594 00:35:40,619 --> 00:35:41,260 positiva. 595 00:35:42,340 --> 00:35:43,139 ¿Lo veis? 596 00:35:43,860 --> 00:35:48,190 El otro son los 597 00:35:48,190 --> 00:35:49,570 puntos singulares de una función. 598 00:35:50,289 --> 00:35:52,289 Son puntos de tangente horizontal. 599 00:35:52,489 --> 00:35:54,090 Los puntos singulares son los 600 00:35:54,090 --> 00:36:01,469 máximos, los mínimos y puntos de inflexión, que a veces nos puede pasar que sea máximos 601 00:36:01,469 --> 00:36:07,469 o mínimos o puntos de inflexión. Entonces, chavales, al final, ¿qué ocurre? Recordamos 602 00:36:07,469 --> 00:36:12,429 siempre que la derivada es la pendiente de la recta tangente a una función, ¿vale? 603 00:36:12,909 --> 00:36:18,989 Entonces, si la tangente es horizontal, ¿cuánto una tangente, una recta horizontal qué pendiente 604 00:36:18,989 --> 00:36:27,190 tiene? 0, ¿vale? Entonces son aquellos en los que la primera derivada es 0, ¿de acuerdo? Entonces son 605 00:36:27,190 --> 00:36:31,889 los máximos y mínimos y otros puntos llamados de inflexión, ¿vale? Los máximos y mínimos se pueden 606 00:36:31,889 --> 00:36:36,489 calcular con el crecimiento y decrecimiento como hemos visto antes, es decir, yo puedo decir va 607 00:36:36,489 --> 00:36:41,789 creciendo y luego decrece, hay un máximo, está decreciendo y luego crece, hay un máximo, un mínimo, 608 00:36:41,789 --> 00:36:48,449 perdón, o otra forma de hacerlo es la siguiente, yo hago la primera derivada, igualo la primera 609 00:36:48,449 --> 00:36:55,469 derivada cero y sostienen esos puntos singulares. Luego hago la segunda derivada, ¿vale? La segunda 610 00:36:55,469 --> 00:37:01,550 derivada que es la derivada de la derivada, ¿de acuerdo? Y entonces, fijaros porque esto es al 611 00:37:01,550 --> 00:37:10,269 revés, ¿eh? Esto los disléxicos, tened cuidado, ¿eh? Si yo, si yo, venga, Carla, te queremos. Entonces, 612 00:37:10,269 --> 00:37:34,929 Si yo hallo la primera, Jesús, hallo la primera derivada, la igualo a 0 y ahora hago la segunda derivada, pero en esa segunda derivada igualo, perdona, en esa segunda derivada no igualo nada, en esa segunda derivada sustituyo la x por los valores que me han hecho la primera derivada a 0, ¿vale? 613 00:37:35,210 --> 00:37:36,550 Ahora vamos a ver un ejemplito. 614 00:37:36,929 --> 00:37:39,269 Que me sale menor que cero es un máximo. 615 00:37:39,789 --> 00:37:42,170 Que me sale mayor que cero es un mínimo. 616 00:37:42,650 --> 00:37:46,389 Que me sale cero, estamos jodidos y en principio es un punto de inflexión, ¿vale? 617 00:37:46,789 --> 00:37:49,550 Es que depende, a veces es punto de inflexión, a veces no, ¿vale? 618 00:37:50,210 --> 00:37:51,349 Vamos a hacer un ejemplito. 619 00:37:51,349 --> 00:37:58,690 No, ahora también, ¿vale? 620 00:37:59,170 --> 00:38:04,469 Máximo y mínimo, sí, además esto también me vale para la optimización de funciones. 621 00:38:04,929 --> 00:38:07,909 Es que depende de lo que tengas, Quillo. 622 00:38:08,530 --> 00:38:09,530 Depende de lo que tengas. 623 00:38:10,130 --> 00:38:10,329 ¿Vale? 624 00:38:10,750 --> 00:38:12,329 Por ejemplo, aquí esta función. 625 00:38:12,489 --> 00:38:14,570 Esta función es polinómica de grado 3. 626 00:38:14,929 --> 00:38:15,170 ¿Vale? 627 00:38:15,650 --> 00:38:17,530 A ver, si sabes el crecimiento del crecimiento, 628 00:38:17,630 --> 00:38:19,030 vas a saber los máximos y los mínimos. 629 00:38:19,269 --> 00:38:21,650 Pero que a veces la primera derivada es tan fácil, 630 00:38:21,869 --> 00:38:23,329 que la segunda derivada es tan fácil, 631 00:38:23,409 --> 00:38:25,329 que tú vas a saber ahí por un máximo, un mínimo. 632 00:38:25,730 --> 00:38:27,449 Que a veces la segunda derivada te queda un número. 633 00:38:30,519 --> 00:38:32,199 Entonces, chavales, yo hago la primera derivada. 634 00:38:32,199 --> 00:38:35,300 6x cuadrado menos 6x menos 12. 635 00:38:35,300 --> 00:38:51,940 Y eso lo igualo a cero. La primera derivada la igualo a cero. Si la primera derivada la igualo a cero, ¿qué estoy hallando? Estoy hallando la pendiente de la recta tangente. Y si la pendiente de la recta tangente es cero, ¿cómo es esa pendiente? 636 00:38:51,940 --> 00:38:54,800 ¿Cómo es esa recta? 637 00:38:54,900 --> 00:38:56,619 Muy bien, horizontal, la pendiente es 0 638 00:38:56,619 --> 00:38:58,139 Pero esa recta es horizontal 639 00:38:58,139 --> 00:39:01,380 Si es horizontal, tiene toda la pinta de que sea un máximo 640 00:39:01,380 --> 00:39:03,639 O un mínimo, o un punto de inflexión 641 00:39:03,639 --> 00:39:03,880 ¿Vale? 642 00:39:04,460 --> 00:39:07,880 Entonces, chavales, yo igualo la primera derivada a 0 643 00:39:07,880 --> 00:39:09,039 Y obtengo dos valores 644 00:39:09,039 --> 00:39:11,199 El 2 y el menos 1 645 00:39:11,199 --> 00:39:13,019 ¿De acuerdo? El 2 y el menos 1 646 00:39:13,019 --> 00:39:15,139 Yo, evidentemente, si hallo 647 00:39:15,139 --> 00:39:18,380 El crecimiento y decrecimiento 648 00:39:18,380 --> 00:39:21,099 Voy a saber si en el 2 hay un máximo o un mínimo 649 00:39:21,099 --> 00:39:23,460 o en el menos 1 hay un máximo o un mínimo. 650 00:39:23,599 --> 00:39:26,380 Pero una forma también más rápida de saberlo 651 00:39:26,380 --> 00:39:28,679 es, yo hago la segunda derivada, 652 00:39:28,760 --> 00:39:30,760 es decir, hago la derivada de la primera. 653 00:39:31,360 --> 00:39:34,860 Fijaros, la primera es 6x cuadrado menos 6x menos 12. 654 00:39:35,039 --> 00:39:37,159 Si yo lo vuelvo a derivar, ¿qué me queda? 655 00:39:37,880 --> 00:39:39,619 12x menos 6, ¿lo veis? 656 00:39:39,960 --> 00:39:42,659 Y ahora ahí en la segunda derivada 657 00:39:42,659 --> 00:39:47,079 sustituyo la x por estos valores que me han anulado la primera, 658 00:39:47,400 --> 00:39:49,460 por el 2 y por el menos 1, ¿lo veis? 659 00:39:49,460 --> 00:40:01,800 Y entonces, ¿qué me ocurre en el 2? Que yo lo sustituyo y me sale positiva. Pues entonces, en el 2 hay un mínimo, ¿de acuerdo? En el 2 hay un mínimo. 660 00:40:02,219 --> 00:40:12,619 Si yo ahora en la segunda derivada sustituyo por menos 1, me sale menor que 0. Pues entonces, ¿qué hay en el menos 1? Un máximo. Esto es al revés, ¿vale, chavales? 661 00:40:12,619 --> 00:40:15,340 ¿lo veis? ¿lo veis complicado? 662 00:40:16,960 --> 00:40:17,760 natillas, ¿no? 663 00:40:18,480 --> 00:40:19,000 natillas 664 00:40:19,000 --> 00:40:21,320 de hecho, fijaros, una cosilla, chavales 665 00:40:21,320 --> 00:40:23,980 si en el menos uno 666 00:40:23,980 --> 00:40:24,760 hay un máximo 667 00:40:24,760 --> 00:40:26,980 si en el menos uno hay un máximo 668 00:40:26,980 --> 00:40:29,400 desde menos infinito a menos uno 669 00:40:29,400 --> 00:40:31,460 la función, ¿qué hace? ¿crece o decrece? 670 00:40:32,320 --> 00:40:32,840 crece 671 00:40:32,840 --> 00:40:35,559 y a la derecha 672 00:40:35,559 --> 00:40:38,139 decrece 673 00:40:38,139 --> 00:40:39,079 y ahora 674 00:40:39,079 --> 00:40:41,460 a la izquierda del 2, si hay un mínimo 675 00:40:41,460 --> 00:40:48,760 O sea, la izquierda, ¿qué hace? Decrecer. Y a la derecha, crece. ¿Lo veis? ¿Sí o no? 676 00:40:49,159 --> 00:40:58,369 Y ahora, cuando se pasa de crecimiento a decrecimiento, ¿puede pasar algo? ¿Sí? ¿Qué puede pasar? 677 00:40:58,989 --> 00:41:00,269 Un punto raro. 678 00:41:00,670 --> 00:41:01,969 ¿Un punto raro? ¿Tú qué quieres raro? 679 00:41:02,050 --> 00:41:02,409 Singular. 680 00:41:02,510 --> 00:41:07,650 No, tú sí quieres singular. Efectivamente, si pasas de crecimiento, muy bien, eso sí, ahí te doy la razón. 681 00:41:07,650 --> 00:41:11,789 Si pasas de decreciente a decreciente, un máximo es un tal. 682 00:41:11,789 --> 00:41:37,590 Luego lo que vamos a ver, la segunda derivada es la concavidad, la convexidad, que ahí os voy a dar más que un truco. Os tengo que decir varias cosillas. Vale, chavales, para ver si son máximos o mínimos relativos, yo tendría que hacer más cosas, poner los límites en más infinito o en menos infinito, más cosas para saber si esos máximos son relativos o absolutos. 683 00:41:37,590 --> 00:42:05,289 ¿Vale? Entonces, aquí hay varios ejercicios. Por favor, echarle un vistazo. ¿De acuerdo? Porque es que es siempre lo mismo. Entonces, la concavidad y convexidad. Esto también me interesa mucho. Más que nada, porque dependiendo de qué libros miréis, porque fijaros, yo que soy ya más antiguo que la Tana, ¿vale? A mí me explicaron esto y nunca se me olvidó. Por una cosita que os voy a decir. Lo que pasa es que yo para ustedes no os recomiendo que veáis esto. 684 00:42:05,289 --> 00:42:08,590 Pero digo por si consultáis algunos libros y demás. 685 00:42:09,090 --> 00:42:12,730 Los más antiguos, los más antiguos, yo ya que soy más viejo que mamá Ina, 686 00:42:13,250 --> 00:42:15,889 a mí me enseñaron una cosa que me da súper fácil de recordar. 687 00:42:16,050 --> 00:42:20,869 La concavidad y convexidad de una función me lo da la segunda derivada, ¿vale? 688 00:42:21,429 --> 00:42:24,269 Entonces, si la segunda derivada era mayor que cero, 689 00:42:25,170 --> 00:42:27,989 lo veis, es como los cuernos hacia arriba. 690 00:42:28,409 --> 00:42:30,230 Y entonces a mí me enseñaron que eran cóncavas. 691 00:42:30,389 --> 00:42:32,869 ¿Por qué? Porque dice, tú imagínate que esto es una copita 692 00:42:32,869 --> 00:42:34,809 y le echas tú tu cava ahí 693 00:42:34,809 --> 00:42:36,769 y te los tomas, entonces tú ahí 694 00:42:36,769 --> 00:42:38,710 echas el cava, no se derrama 695 00:42:38,710 --> 00:42:41,090 ¿vale? no se te derrama y entonces 696 00:42:41,090 --> 00:42:42,650 es con cava, y luego 697 00:42:42,650 --> 00:42:44,909 la otra que es un poquillo más así, dice 698 00:42:44,909 --> 00:42:46,730 si es para abajo, es con beso 699 00:42:46,730 --> 00:42:48,510 porque tú tienes la función así 700 00:42:48,510 --> 00:42:49,949 y le puedes dar un besito 701 00:42:49,949 --> 00:42:52,230 y demás, y lo otro es lo de acá 702 00:42:52,230 --> 00:42:54,889 él da una shumina, pero fíjate, eso no se 703 00:42:54,889 --> 00:42:56,829 nos olvidó a ninguno, sobre todo del cava 704 00:42:56,829 --> 00:42:58,969 ¿vale? lo del beso ya, pues depende 705 00:42:58,969 --> 00:43:00,949 pero a mí lo del cava no se me olvidó 706 00:43:00,949 --> 00:43:21,929 ¿Qué es lo que ocurre? Que ahora los más modernitos dicen, esta de aquí arriba es cóncava, esta de aquí abajo es conversa, con lo cual hay un xoxo montado porque no hay criterio, ¿vale? En los libros más antiguos lo vais a encontrar así, con el cóncava como a mí me gusta, y en los libros más modernitos van a decir lo contrario. 707 00:43:21,929 --> 00:43:24,090 nosotros que vamos a hacer de cara 708 00:43:24,090 --> 00:43:26,170 a la evau, nosotros vamos 709 00:43:26,170 --> 00:43:27,750 a decir únicamente 710 00:43:27,750 --> 00:43:29,510 esto que está aquí, vale 711 00:43:29,510 --> 00:43:32,210 ahí me lo he puesto aquí 712 00:43:32,210 --> 00:43:34,289 ah vale 713 00:43:34,289 --> 00:43:36,409 entonces nosotros lo que vamos a decir es 714 00:43:36,409 --> 00:43:38,130 con cavidad positiva 715 00:43:38,130 --> 00:43:40,090 hacia arriba, si sale mayor que 0 716 00:43:40,090 --> 00:43:41,789 con cavidad positiva hacia arriba 717 00:43:41,789 --> 00:43:44,050 si sale menor que 0 con cavidad 718 00:43:44,050 --> 00:43:46,210 negativa hacia abajo y ahí ya 719 00:43:46,210 --> 00:43:47,690 no va a haber 720 00:43:47,690 --> 00:43:49,849 problema, yo creo que 721 00:43:49,849 --> 00:43:52,170 claro, también depende de quien corrija, 722 00:43:52,590 --> 00:43:54,230 pero yo creo que en este sentido, 723 00:43:55,090 --> 00:43:56,769 a menos que sea un hijo de la gran China 724 00:43:56,769 --> 00:43:57,670 el que lo corrige, 725 00:43:58,210 --> 00:44:02,989 no te lo va a poner mal 726 00:44:02,989 --> 00:44:05,150 si vas a poner como antiguamente. 727 00:44:05,389 --> 00:44:07,909 Entonces, yo para evitar suspicacia, 728 00:44:08,349 --> 00:44:08,550 ¿vale? 729 00:44:08,769 --> 00:44:09,929 ¿Qué es positiva? 730 00:44:10,070 --> 00:44:12,090 Pues concavidad positiva y hacia arriba. 731 00:44:12,349 --> 00:44:13,469 ¿Qué es negativa? 732 00:44:13,469 --> 00:44:15,489 Concavidad negativa y hacia abajo. 733 00:44:16,030 --> 00:44:16,130 ¿Vale? 734 00:44:16,610 --> 00:44:16,829 ¿Sí? 735 00:44:17,409 --> 00:44:19,750 Y ahí ya no entramos si es convesa o concava. 736 00:44:19,849 --> 00:44:21,090 ¿Os parece mejor eso? 737 00:44:21,789 --> 00:44:25,909 Porque así nos vamos a marear a perdiz. 738 00:44:26,409 --> 00:44:28,809 Pues nada, igual, esto es muy fácil. 739 00:44:29,090 --> 00:44:32,150 A ver, ¿y qué es la concavidad o la convesidad, chavales? 740 00:44:33,150 --> 00:44:35,730 O mejor, ¿qué son los puntos de inflexión? 741 00:44:35,730 --> 00:44:39,969 La concavidad o la convesidad es, ojo, 742 00:44:40,510 --> 00:44:42,449 la concavidad o la convesidad, ya os digo, 743 00:44:42,510 --> 00:44:47,130 es la forma de la función y cuando pasa de cóncava a convesa 744 00:44:47,130 --> 00:44:48,989 es un punto de inflexión. 745 00:44:48,989 --> 00:44:55,989 Por lo tanto, los puntos de inflexión normalmente la segunda derivada vale cero, ¿vale? 746 00:44:56,289 --> 00:44:58,989 Entonces, en este ejemplillo fijaros una cosilla, chavales. 747 00:44:59,750 --> 00:45:04,050 Derivo por primera vez, derivo por segunda y la segunda la igualo a cero. 748 00:45:04,610 --> 00:45:05,869 Me sale menos uno. 749 00:45:06,429 --> 00:45:07,949 Veo el signo, ¿vale? 750 00:45:08,010 --> 00:45:09,809 Hago mi recta real, ¿vale? 751 00:45:10,250 --> 00:45:13,829 Tengo desde menos infinito a menos uno y desde menos uno a más infinito. 752 00:45:13,989 --> 00:45:15,989 Fijaros que esto es una recta. 753 00:45:16,210 --> 00:45:17,630 La segunda derivada es una recta. 754 00:45:17,630 --> 00:45:20,469 al ser una función polinómica 755 00:45:20,469 --> 00:45:22,150 cada vez que hay una raíz, la raíz 756 00:45:22,150 --> 00:45:24,210 que te hace el polinomio cero 757 00:45:24,210 --> 00:45:25,909 va a cambiar de signo 758 00:45:25,909 --> 00:45:27,949 entonces yo me cojo aquí el cerápio 759 00:45:27,949 --> 00:45:30,150 y bueno, si quiere me cojo el menos 2 760 00:45:30,150 --> 00:45:31,969 para que lo comprobéis, si es que el 0 761 00:45:31,969 --> 00:45:33,429 me sale 6, que es positivo 762 00:45:33,429 --> 00:45:36,269 en el menos 2 me sale 763 00:45:36,269 --> 00:45:38,110 menos 6, que es 764 00:45:38,110 --> 00:45:39,929 negativo, entonces yo que digo 765 00:45:39,929 --> 00:45:41,809 desde menos 1 a más infinito 766 00:45:41,809 --> 00:45:44,110 la concavidad es positiva 767 00:45:44,110 --> 00:45:46,250 hacia arriba y desde menos infinito 768 00:45:46,250 --> 00:45:48,190 a menos 1, la concavidad es 769 00:45:48,190 --> 00:45:50,389 negativa hacia abajo. Y en el menos 1 770 00:45:50,389 --> 00:45:52,510 pues hay un punto de inflexión. 771 00:45:53,170 --> 00:45:53,369 ¿Vale? 772 00:45:53,969 --> 00:45:56,190 Y no, tan solo una cosa, 773 00:45:56,309 --> 00:45:57,929 por favor, echarle un vistazo a esto 774 00:45:57,929 --> 00:46:00,309 porque lo siguiente es, regla 775 00:46:00,309 --> 00:46:02,070 de L'Hôpital, que hay más ejercicios 776 00:46:02,070 --> 00:46:03,750 de los que he subido de regla de L'Hôpital 777 00:46:03,750 --> 00:46:06,210 que me gustaría que le echarais un vistazo 778 00:46:06,210 --> 00:46:08,250 que ahí aparecen los senos que a ti te 779 00:46:08,250 --> 00:46:09,050 gustan, ¿vale? 780 00:46:09,849 --> 00:46:12,150 Y luego, chavales, 781 00:46:12,949 --> 00:46:14,190 otra cosa 782 00:46:14,190 --> 00:46:15,530 es la optimización 783 00:46:15,530 --> 00:46:19,050 que intentaremos verlo el lunes 784 00:46:19,050 --> 00:46:20,670 y luego el lunes 785 00:46:20,670 --> 00:46:23,530 este es muy fácil, de verdad 786 00:46:23,530 --> 00:46:25,130 hay varias cosillas aquí 787 00:46:25,130 --> 00:46:27,550 y luego he subido también 788 00:46:27,550 --> 00:46:29,789 en la aplicación de derivada 789 00:46:29,789 --> 00:46:33,050 y necesito, a ver, yo no expongo deberes 790 00:46:33,050 --> 00:46:35,130 pero necesito que para el lunes 791 00:46:35,130 --> 00:46:36,590 la hayáis echado un vistazo 792 00:46:36,590 --> 00:46:38,750 es, te dije 793 00:46:38,750 --> 00:46:40,929 el teorema de rol 794 00:46:40,929 --> 00:46:42,630 y el teorema del valor medio 795 00:46:42,630 --> 00:46:44,570 no es complicado, eh 796 00:46:44,570 --> 00:47:00,889 Pero los ejercicios son muy importantes de cara al examen. ¿Por qué? Porque el teorema de rol y el teorema del valor medio me tienen dos hipótesis previas, que es que la función tenga que ser continua en un intervalo cerrado y derivable en un intervalo abierto. 797 00:47:00,889 --> 00:47:23,989 Entonces, ¿qué es lo que ocurre? ¿Cómo te puedo preguntar yo continuidad y derivabilidad en un ejercicio muy completo? Es, tengo esta función, échale un vistazo porque hay varios ejercicios hechos, esta función cumple la hipótesis del valor medio, pues entonces tú tienes que ver que esa función es continua y derivable, con lo cual ya estoy matando, en este caso, tres pájaros de un tiro. 798 00:47:23,989 --> 00:47:27,289 Y luego, ¿cuáles son los puntos que cumplen esas hipótesis? 799 00:47:27,630 --> 00:47:29,190 Y lo único es decir una cosilla. 800 00:47:29,389 --> 00:47:33,610 Igual que el de Darbo, ¿cómo se llama? 801 00:47:34,130 --> 00:47:36,530 Generaliza el de Borsano, que tiene premio. 802 00:47:37,030 --> 00:47:40,489 El del valor medio generaliza el de Rol. 803 00:47:40,769 --> 00:47:41,050 ¿Vale? 804 00:47:41,570 --> 00:47:42,610 Venga, gracias.