1
00:00:01,330 --> 00:00:13,750
Bueno, vamos a resolver el siguiente ejercicio que apareció en la EBAU de Madrid del 2018 en junio.

2
00:00:14,349 --> 00:00:17,890
Va a consistir en un ejercicio de integrales y de derivadas.

3
00:00:18,469 --> 00:00:21,609
Es este ejercicio que tenéis aquí que nos piden lo siguiente.

4
00:00:21,850 --> 00:00:24,710
Nos dan una función que tiene un valor absoluto.

5
00:00:24,829 --> 00:00:29,710
Primero determinar si existen asíndotas horizontales y después calcular la derivada en un punto

6
00:00:29,710 --> 00:00:38,729
para luego hallar el recinto limitado. Es decir, tenemos un ejercicio de límites, otro de derivadas y por último uno de integrales.

7
00:00:39,049 --> 00:00:46,229
Nos piden en el de integrales hallar el recinto determinado por la curva, los valores x igual a menos 1 y x igual a 1.

8
00:00:46,329 --> 00:00:56,189
Bien, pues vamos con ello. Para ello, en primer lugar, para que la función tenga asíntotas horizontales, ¿qué límite tenemos que calcular?

9
00:00:57,130 --> 00:01:04,469
Bueno, pues el límite que habrá que calcular será el límite de la función cuando la x tiende a más y menos infinito.

10
00:01:05,090 --> 00:01:12,250
En realidad, el límite cuando x tiende a más y el límite cuando x tiende a menos infinito van a coincidir.

11
00:01:12,609 --> 00:01:16,189
¿Por qué? Porque la función es absolutamente...

12
00:01:17,109 --> 00:01:24,109
O sea, como aquí hay un cuadrado y ahí hay un valor absoluto, significa que f de x es lo mismo que f de menos x.

13
00:01:24,109 --> 00:01:30,290
es decir que la función es par o sea que los límites por más infinito y por menos infinito coinciden

14
00:01:30,290 --> 00:01:33,829
vamos a calcular cuál es el límite pues venga vamos a ello

15
00:01:33,829 --> 00:01:39,439
lo que tendremos que calcular es el límite de esta función

16
00:01:39,439 --> 00:01:52,260
y cuando la x tiende a más infinito la x podemos quitar el valor absoluto

17
00:01:52,260 --> 00:01:59,060
¿por qué? porque el valor absoluto de un número infinitamente grande pues es el propio número porque ya es positivo

18
00:01:59,060 --> 00:02:09,900
y aquí podemos pues hacerlo de varias formas o bien dividiendo arriba y abajo entre x por ejemplo se resolvería este límite

19
00:02:09,900 --> 00:02:15,639
o bien también podríamos aplicarlo pital aunque como tenemos una raíz eso es un poco latoso

20
00:02:15,639 --> 00:02:23,479
podemos simplemente y ahora aquí tened cuidado porque al meter el x dentro de una raíz entra como x al cuadrado

21
00:02:23,479 --> 00:02:33,879
y bueno, pues este límite va a quedar el límite cuando x tiende a infinito de 1 partido por raíz cuadrada de 1 más 9 partido por x al cuadrado

22
00:02:33,879 --> 00:02:41,039
y ese límite vale 1. ¿Por qué? Porque esta parte tiende a 0 y listo, ya está.

23
00:02:41,039 --> 00:02:55,000
Es decir, que tenemos una asíntota horizontal y igual a 1 por los dos lados.

24
00:02:55,099 --> 00:03:00,780
Es decir, cuando x tiende a infinito y cuando x tiende a menos infinito.

25
00:03:01,639 --> 00:03:03,099
De acuerdo, ese sería el apartado A.

26
00:03:03,340 --> 00:03:04,840
Vamos con el apartado B.

27
00:03:05,479 --> 00:03:13,509
Para ello, nos están pidiendo en el apartado B que calculemos f' de 4, la derivada en el 4.

28
00:03:13,509 --> 00:03:20,289
como tenemos un valor absoluto nos va a estorbar un poco quizá el valor absoluto a la hora de derivar

29
00:03:20,289 --> 00:03:32,069
pero tened en cuenta que en un entorno de 4 como la función es positiva el x es positivo

30
00:03:32,069 --> 00:03:39,870
f de x la podemos tomar sin el valor absoluto porque en un entorno de 4 x es ya positivo

31
00:03:39,870 --> 00:03:44,210
así que podemos utilizar esta derivada de hecho vamos a derivar esta función

32
00:03:44,210 --> 00:03:48,770
la vamos a llamar f barra y veremos pues que la derivada va a coincidir con esta derivada.

33
00:03:49,289 --> 00:03:55,610
Entonces derivamos esta f barra. La derivada de f barra sería, aplicamos la regla del cociente,

34
00:03:56,310 --> 00:04:05,629
es decir, derivada 1 por el denominador sin derivar más x por 1 partido por el doble de la raíz

35
00:04:05,629 --> 00:04:10,900
por la derivada de lo de dentro 2x, cuidado con la regla de la cadena,

36
00:04:10,900 --> 00:04:19,779
partido por x cuadrado más 9, la raíz se nos va con el cuadrado, ¿de acuerdo?

37
00:04:22,790 --> 00:04:26,730
Y esto, pues, ¿qué queda? Vamos a simplificar, no demasiado, pero un poquito sí,

38
00:04:27,350 --> 00:04:35,550
nos quedaría x por x, x cuadrado, el 2 con este 2 se va, te queda aquí x cuadrado partido por estos.

39
00:04:40,370 --> 00:04:45,370
¿Y ahora qué es lo que hay que hacer? Pues bueno, teniendo en cuenta lo dicho aquí,

40
00:04:45,370 --> 00:04:54,230
en un entorno del 4 f' de 4 pues va a coincidir con la derivada de esta función en el 4

41
00:04:54,230 --> 00:05:07,649
porque en un entorno del 4 f de x es digamos f barra de x va a ser positiva

42
00:05:07,649 --> 00:05:09,730
con lo cual no va a haber que tomar el valor absoluto

43
00:05:09,730 --> 00:05:18,170
y entonces ahora lo que hacemos es sustituir este valor aquí por 4 y listo

44
00:05:18,170 --> 00:05:28,889
F' de 4 será igual a, sustituyendo ahí, pues 16 más 9, y así hacemos la cuenta y se acabó.

45
00:05:36,720 --> 00:05:43,879
16 y 9, 25, raíz de 25, 5, 5 más 16 partido por 5, partido por 25.

46
00:05:44,319 --> 00:05:57,019
Y se acabó, hacemos la cuenta, he multiplicado arriba y abajo por 5, perdón, entonces esto es, sí, 125, lo he hecho bien,

47
00:05:57,019 --> 00:06:04,040
y 25 más 16 serían 41 partido por 125, que parece que es lo que da la derivada.

48
00:06:05,480 --> 00:06:09,680
Muy bien, he ido un poco rápido, espero no haberme equivocado la cuenta.

49
00:06:09,759 --> 00:06:12,879
Vamos con el apartado C. En el apartado C nos piden una integral.

50
00:06:13,019 --> 00:06:16,339
Vamos a recuperar el enunciado, lo tenemos aquí.

51
00:06:21,189 --> 00:06:26,629
Entonces, en el enunciado del apartado C nos piden que calculemos el área del recinto

52
00:06:26,629 --> 00:06:30,649
determinado por la función, las rectas x igual a menos 1 y x igual a 1.

53
00:06:30,829 --> 00:06:48,529
Vamos con ello. Entonces tenemos que dibujar, vamos a subir un poco para que se vea bien, tenemos que dibujar más o menos la función, no necesitamos tampoco tener cuidado con el cambio de signo a la hora de calcular la gráfica.

54
00:06:48,529 --> 00:06:55,829
¿Por qué? Porque la función es primero par y luego es enteramente positiva porque es un valor absoluto.

55
00:06:56,170 --> 00:07:03,949
En el numerador hay un valor absoluto y en el denominador hay una raíz cuadrada positiva, con lo cual la función es enteramente positiva.

56
00:07:03,949 --> 00:07:27,689
Y a la hora de calcular el área, área entre la gráfica x igual a menos 1, x igual a 1 y el eje x, este área va a coincidir necesariamente con la integral entre menos 1 y 1 de la función, sin más.

57
00:07:27,689 --> 00:07:56,009
Y ahora tened en cuenta lo siguiente, la función es como había dicho par, significa que es completamente simétrica respecto del eje Y, es decir que en el 0 por ejemplo la función vale 0, luego en el 1 y en el menos 1 valen lo mismo que valen pues 1 partido por raíz de 10, así que vamos a poner una escala, 1 partido por raíz de 10 estaría por aquí y la función va a bajar y luego va a subir, es absolutamente simétrica.

58
00:07:56,009 --> 00:08:00,430
lo que valga por aquí va a ser lo mismo que lo que haya aquí

59
00:08:00,430 --> 00:08:03,769
y entonces, perdón que no se veía

60
00:08:03,769 --> 00:08:05,509
y entonces ahora ¿qué significa eso?

61
00:08:05,750 --> 00:08:07,350
significa que a la hora de hacer la integral

62
00:08:07,350 --> 00:08:09,250
yo puedo decir que esto es el doble

63
00:08:09,250 --> 00:08:11,689
que la integral entre 0 y 1 de la función

64
00:08:11,689 --> 00:08:13,589
por simetría

65
00:08:13,589 --> 00:08:16,350
y eso significa, esto lo bueno es que a partir del 0

66
00:08:16,350 --> 00:08:19,230
la función en valor absoluto, me puedo quitar el valor absoluto

67
00:08:19,230 --> 00:08:21,189
porque el valor absoluto cambia justo en el 0

68
00:08:21,189 --> 00:08:24,290
entonces lo que hago es calcular el doble

69
00:08:24,290 --> 00:08:28,149
de la integral entre 0 y 1 de la función ya sin valor absoluto.

70
00:08:31,879 --> 00:08:34,379
Y ahora, pues vamos con esta integral.

71
00:08:34,919 --> 00:08:37,419
Esta es la integral para integrar...

72
00:08:37,419 --> 00:08:38,600
Perdón, me falta el diferencial.

73
00:08:39,879 --> 00:08:40,440
Importante.

74
00:08:41,299 --> 00:08:43,860
Y ahora, la integral de esta función, ¿cuál es?

75
00:08:44,220 --> 00:08:45,580
Bueno, pues esto es...

76
00:08:46,100 --> 00:08:48,200
Lo podemos escribir de la siguiente forma.

77
00:08:49,000 --> 00:08:51,620
Yo tengo 1 partido por la raíz de una función

78
00:08:51,620 --> 00:08:56,480
y pues me interesaría tener en el numerador la derivada de la función.

79
00:08:56,480 --> 00:09:08,779
Si yo tuviese esto, la integral, esta integral, ¿cuánto vale? Pues esta integral vale, si yo tengo 1 partido por la raíz de una función por la derivada,

80
00:09:08,899 --> 00:09:16,200
si yo tuviese aquí un 2, 1 partido por el doble de la raíz es la raíz al integrar. Es constante.

81
00:09:16,679 --> 00:09:23,120
Lo veis porque al derivar la raíz me queda 1 partido por el doble de la raíz de la función por la derivada de la función.

82
00:09:23,120 --> 00:09:25,840
entonces la derivada de la función es 2x

83
00:09:25,840 --> 00:09:27,740
así que arriba yo necesitaría

84
00:09:27,740 --> 00:09:29,659
tener 2x para tener

85
00:09:29,659 --> 00:09:31,679
f' y ahora abajo tendría

86
00:09:31,679 --> 00:09:33,159
que tener un 2, bueno pues lo pongo

87
00:09:33,159 --> 00:09:34,620
también lo pongo y fijaos

88
00:09:34,620 --> 00:09:37,480
como he añadido un 2 arriba y un 2 abajo

89
00:09:37,480 --> 00:09:39,580
pues se me cancelarían y no estoy

90
00:09:39,580 --> 00:09:41,700
cambiando nada así que lo he hecho bien

91
00:09:41,700 --> 00:09:43,259
de manera que yo aquí tengo

92
00:09:43,259 --> 00:09:45,580
esta es f' lo vamos a poner con

93
00:09:45,580 --> 00:09:50,519
otro color, esta es f

94
00:09:50,519 --> 00:09:54,659
y eso significa que yo aquí

95
00:09:54,659 --> 00:10:02,539
Y tengo el doble de la integral entre 0 y 1 de f' de x partido por el doble de la raíz.

96
00:10:05,600 --> 00:10:19,679
Es decir, esta integral valdrá el doble de raíz de f de x y f de x es x cuadrado más 9.

97
00:10:20,259 --> 00:10:22,519
Y lo tengo que evaluar entre el 0 y el 1.

98
00:10:22,519 --> 00:10:32,440
Muy bien, tened en cuenta que aquí el 2, este que he metido, no hay ningún problema en meterlo porque estoy metiendo también 1 en el numerador

99
00:10:32,440 --> 00:10:35,779
Y 2 con el 2 se me va a ir y me queda lo mismo que tenía antes, así que no estoy cambiando nada

100
00:10:35,779 --> 00:10:40,419
Entonces ahora ya simplemente aplico la regla de barro y se acabó, hemos terminado

101
00:10:40,419 --> 00:10:56,049
Esto te quedaría el doble de, aquí estoy haciendo barro, raíz de 1 más 9 menos raíz de 0 más 9, sustituyendo en el 1 y en el 0

102
00:10:56,049 --> 00:10:59,429
y esto te queda el doble de raíz de 10

103
00:10:59,429 --> 00:11:04,350
menos 3. Y esto, unidades cuadradas, fijaos

104
00:11:04,350 --> 00:11:06,690
que es un valor positivo, raíz de 10 es mayor que 3.

105
00:11:08,230 --> 00:11:12,029
Perfecto, hemos acabado el ejercicio. Espero que os haya gustado, nos vemos en futuros

106
00:11:12,029 --> 00:11:14,309
vídeos de integrales o de lo que surja. ¡Hasta luego!