1
00:00:00,000 --> 00:00:04,000
Vamos a ver ahora operaciones con funciones.

2
00:00:04,000 --> 00:00:08,000
La verdad es que las operaciones con funciones

3
00:00:08,000 --> 00:00:12,000
son muy fáciles. Lo único que hay que entender

4
00:00:12,000 --> 00:00:16,000
es lo que os quiero explicar ahora.

5
00:00:16,000 --> 00:00:20,000
Vamos a ver cinco operaciones con funciones.

6
00:00:20,000 --> 00:00:24,000
Suma, resta, multiplicación, división, y luego una operación nueva

7
00:00:24,000 --> 00:00:28,000
que se llama composición de funciones.

8
00:00:28,000 --> 00:00:32,000
Las funciones más conocidas por todos vosotros son la suma y la resta.

9
00:00:32,000 --> 00:00:36,000
Para explicaros esto he puesto tres funciones de ejemplo

10
00:00:36,000 --> 00:00:40,000
que las tenéis aquí. Las he llamado función f, función g

11
00:00:40,000 --> 00:00:44,000
y función h. Todas tienen la variable x.

12
00:00:44,000 --> 00:00:48,000
Por eso se pone entre paréntesis la x.

13
00:00:48,000 --> 00:00:52,000
Si os dais cuenta, cada una de ellas es de un tipo de los que estudiamos

14
00:00:52,000 --> 00:00:56,000
en el vídeo anterior. La primera es una función polinómica.

15
00:00:56,000 --> 00:01:00,000
Por lo tanto, su dominio, ya sabéis cuál es.

16
00:01:00,000 --> 00:01:04,000
Dominio de f de x

17
00:01:04,000 --> 00:01:08,000
son todos los números reales. No voy a tener ningún problema

18
00:01:08,000 --> 00:01:12,000
en calcular esta función. Ponga el número real que ponga en lugar

19
00:01:12,000 --> 00:01:16,000
de la x, voy a saber el resultado. La siguiente

20
00:01:16,000 --> 00:01:20,000
es una función racional. Seguro que todos sabéis

21
00:01:20,000 --> 00:01:24,000
también cuál es el dominio de esta función. El dominio

22
00:01:24,000 --> 00:01:28,000
de g de x es cualquier número real

23
00:01:28,000 --> 00:01:32,000
excepto uno que no podríamos calcular

24
00:01:32,000 --> 00:01:36,000
que es el que hace que el denominador se convierta en cero.

25
00:01:36,000 --> 00:01:40,000
Ese número es fácil de ver. Es el 2.

26
00:01:40,000 --> 00:01:44,000
Si en lugar de la x pongo un 2, me quedaría 1 dividido entre 0

27
00:01:44,000 --> 00:01:48,000
y eso no lo podríamos resolver ni con la calculadora ni de ninguna manera

28
00:01:48,000 --> 00:01:52,000
porque es una operación que no se inventó en matemáticas.

29
00:01:52,000 --> 00:01:56,000
Y la última es una función

30
00:01:56,000 --> 00:02:00,000
irracional. Acordaos al principio

31
00:02:00,000 --> 00:02:04,000
del tema, en el primer vídeo, que os decía

32
00:02:04,000 --> 00:02:08,000
que la raíz de esta

33
00:02:08,000 --> 00:02:12,000
fórmula no representaba una función. Porque si

34
00:02:12,000 --> 00:02:16,000
la x yo pongo 4, tendríamos dos resultados de la raíz cuadrada

35
00:02:16,000 --> 00:02:20,000
2 y menos 2. Pero

36
00:02:20,000 --> 00:02:24,000
cuando la veáis puesta en forma de función es porque sólo estamos

37
00:02:24,000 --> 00:02:28,000
cogiendo el resultado positivo. Si alguien nos dice

38
00:02:28,000 --> 00:02:32,000
que esto es una función, tenemos que interpretar que

39
00:02:32,000 --> 00:02:36,000
en este caso sólo cogeremos el resultado positivo de los dos

40
00:02:36,000 --> 00:02:40,000
que saldrían. Entonces el resultado

41
00:02:40,000 --> 00:02:44,000
de h de 4

42
00:02:44,000 --> 00:02:48,000
si la x fuera 4, sería sólo 2.

43
00:02:48,000 --> 00:02:52,000
Entonces estamos diciendo que es una función. Porque si hiciéramos la operación

44
00:02:52,000 --> 00:02:56,000
tal cual, si sólo hiciéramos la raíz cuadrada de 4

45
00:02:56,000 --> 00:03:00,000
tendría dos resultados. Entonces para que sea función sólo consideraremos el positivo.

46
00:03:00,000 --> 00:03:04,000
Y ahora, ¿cuál es el dominio? ¿Cuándo podemos resolver esto?

47
00:03:04,000 --> 00:03:08,000
Pues podemos resolverlo siempre que la x sea un número

48
00:03:08,000 --> 00:03:12,000
mayor o igual que 0. Entonces el dominio de h de x

49
00:03:12,000 --> 00:03:16,000
como estudiamos en el vídeo anterior, sería

50
00:03:16,000 --> 00:03:20,000
un intervalo que va desde 0

51
00:03:20,000 --> 00:03:24,000
hasta más infinito. Cualquier número positivo o el 0

52
00:03:24,000 --> 00:03:28,000
podríamos resolverlo. Este es el dominio de cada una de las funciones

53
00:03:28,000 --> 00:03:32,000
por separado. Vamos a ver qué pasa ahora cuando hacemos operaciones entre ellas.

54
00:03:32,000 --> 00:03:36,000
Vamos a empezar con la suma y la resta, que es

55
00:03:36,000 --> 00:03:40,000
que funcionan igual. Como suele suceder, suma y resta.

56
00:03:40,000 --> 00:03:44,000
Vamos a ver algunos ejemplos.

57
00:03:44,000 --> 00:03:48,000
Imaginad que a mí se me ocurre sumar f de x

58
00:03:48,000 --> 00:03:52,000
más g de x.

59
00:03:52,000 --> 00:03:56,000
f de x es x-5 y le sumo

60
00:03:56,000 --> 00:04:00,000
1 partido de x-2

61
00:04:00,000 --> 00:04:04,000
Haría operaciones

62
00:04:04,000 --> 00:04:08,000
le pongo a todo el mismo denominador

63
00:04:08,000 --> 00:04:12,000
x-2, x-2

64
00:04:12,000 --> 00:04:16,000
divido y multiplico, sería x-5 por x-2

65
00:04:16,000 --> 00:04:20,000
y esto se queda igual

66
00:04:20,000 --> 00:04:24,000
lo paso todo a una única fracción

67
00:04:24,000 --> 00:04:28,000
hago la multiplicación y me quedaría

68
00:04:28,000 --> 00:04:32,000
x al cuadrado menos 7x más 10

69
00:04:32,000 --> 00:04:36,000
más 1, es decir, x al cuadrado menos 7x

70
00:04:36,000 --> 00:04:40,000
más 11 partido

71
00:04:40,000 --> 00:04:44,000
de x-2. ¿Cuál es el dominio de esta función?

72
00:04:44,000 --> 00:04:48,000
El dominio

73
00:04:48,000 --> 00:04:52,000
de la función suma de f de x más g de x

74
00:04:52,000 --> 00:04:56,000
se ve claramente. Me ha quedado una función

75
00:04:56,000 --> 00:05:00,000
racional y serían todos los números reales

76
00:05:00,000 --> 00:05:04,000
excepto el 2.

77
00:05:04,000 --> 00:05:08,000
Fijaos que el dominio

78
00:05:08,000 --> 00:05:12,000
de la función que ha resultado de sumar f de x y g de x

79
00:05:12,000 --> 00:05:16,000
es la intersección

80
00:05:16,000 --> 00:05:20,000
de los dominios de cada una de las funciones originales

81
00:05:20,000 --> 00:05:24,000
el dominio de f de x

82
00:05:24,000 --> 00:05:28,000
más g de x es igual a la intersección

83
00:05:28,000 --> 00:05:32,000
del dominio de f de x con el

84
00:05:32,000 --> 00:05:36,000
dominio de g de x. ¿Qué significa la intersección?

85
00:05:36,000 --> 00:05:40,000
Los valores que cumplen a la vez

86
00:05:40,000 --> 00:05:44,000
o sea, que están a la vez en los dos conjuntos

87
00:05:44,000 --> 00:05:48,000
o sea, si el dominio de f de x

88
00:05:48,000 --> 00:05:52,000
son todos los reales y el de g de x

89
00:05:52,000 --> 00:05:56,000
son todos los reales también excepto

90
00:05:56,000 --> 00:06:00,000
el 2, pongamos que está por aquí, aquí habría un huequito

91
00:06:00,000 --> 00:06:04,000
pues el dominio de la suma de las dos

92
00:06:04,000 --> 00:06:08,000
es la intersección de estos dos conjuntos

93
00:06:08,000 --> 00:06:12,000
es decir, los valores que cumplen a la vez, el de arriba y el de abajo

94
00:06:12,000 --> 00:06:16,000
el único valor que no cumple a la vez el de arriba y el de abajo

95
00:06:16,000 --> 00:06:20,000
es el 2, por eso el dominio de la suma

96
00:06:20,000 --> 00:06:24,000
es todo menos el 2 que coincide con el dominio de g de x

97
00:06:24,000 --> 00:06:28,000
ha coincidido. Imaginamos ahora

98
00:06:28,000 --> 00:06:32,000
que si sumáramos

99
00:06:32,000 --> 00:06:36,000
entonces no hace falta ni siquiera hacer la suma

100
00:06:36,000 --> 00:06:40,000
si yo sumara g de x más h de x me quedaría

101
00:06:40,000 --> 00:06:44,000
algo así, x menos 5 más raíz de x

102
00:06:44,000 --> 00:06:48,000
bueno, esto no es fácil de simplificar pero el dominio

103
00:06:48,000 --> 00:06:52,000
sí que es fácil de ver, dominio de f de x

104
00:06:52,000 --> 00:06:56,000
más h

105
00:06:56,000 --> 00:07:00,000
de x sería la intersección

106
00:07:00,000 --> 00:07:04,000
de este con este otro

107
00:07:04,000 --> 00:07:08,000
que era desde cero incluido hasta más infinito

108
00:07:08,000 --> 00:07:12,000
¿cuál es la intersección?

109
00:07:12,000 --> 00:07:16,000
pues está claro, desde cero hasta más infinito

110
00:07:16,000 --> 00:07:20,000
son los únicos que cumplen los dos

111
00:07:20,000 --> 00:07:24,000
y con la multiplicación pasa exactamente lo mismo

112
00:07:24,000 --> 00:07:28,000
con la multiplicación pasa exactamente lo mismo

113
00:07:28,000 --> 00:07:32,000
multiplicación o producto

114
00:07:32,000 --> 00:07:36,000
si yo hago por ejemplo f de x

115
00:07:36,000 --> 00:07:40,000
por g de x me quedaría algo así

116
00:07:40,000 --> 00:07:44,000
1

117
00:07:44,000 --> 00:07:48,000
me queda también una función racional así y el dominio

118
00:07:48,000 --> 00:07:52,000
de la multiplicación

119
00:07:52,000 --> 00:07:56,000
es

120
00:07:56,000 --> 00:08:00,000
todos los números reales excepto el 2, también es la intersección

121
00:08:00,000 --> 00:08:04,000
¿vale? así que

122
00:08:04,000 --> 00:08:08,000
esto es fácil, con el que hay que empezar a tener cuidado

123
00:08:08,000 --> 00:08:12,000
es con la división

124
00:08:12,000 --> 00:08:16,000
en esta operación hay que tener en cuenta alguna cosilla

125
00:08:16,000 --> 00:08:20,000
y os voy a poner el ejemplo con el que mejor lo vais a ver

126
00:08:20,000 --> 00:08:24,000
que es si dividiéramos

127
00:08:24,000 --> 00:08:28,000
si dividiéramos g de x

128
00:08:28,000 --> 00:08:32,000
entre f de x

129
00:08:32,000 --> 00:08:36,000
fijaos

130
00:08:36,000 --> 00:08:40,000
g de x es

131
00:08:40,000 --> 00:08:44,000
esto, entre f de x

132
00:08:44,000 --> 00:08:48,000
que es esto, me va a quedar

133
00:08:48,000 --> 00:08:52,000
esto es como si tuviera un 1 debajo

134
00:08:52,000 --> 00:08:56,000
me va a quedar esto

135
00:08:56,000 --> 00:09:00,000
¿vale?

136
00:09:00,000 --> 00:09:04,000
¿cuál es el dominio de esto?

137
00:09:04,000 --> 00:09:08,000
ya no es la intersección

138
00:09:08,000 --> 00:09:12,000
hay que tener en cuenta algo más

139
00:09:12,000 --> 00:09:16,000
dominio de g de x entre f de x

140
00:09:16,000 --> 00:09:20,000
si os dais cuenta de lo que me ha quedado

141
00:09:20,000 --> 00:09:24,000
el dominio son todos los reales excepto dos números, el 2 y el 5

142
00:09:24,000 --> 00:09:28,000
¿vale? porque tanto para 2

143
00:09:28,000 --> 00:09:32,000
para x igual a 2 como para x igual a 5 el denominador se hace 0

144
00:09:32,000 --> 00:09:36,000
y no podría resolver esa función

145
00:09:36,000 --> 00:09:40,000
entonces cuando es una división

146
00:09:40,000 --> 00:09:44,000
el dominio es

147
00:09:44,000 --> 00:09:48,000
os lo digo, sería la intersección

148
00:09:48,000 --> 00:09:52,000
pero además hay que quitarle los valores

149
00:09:52,000 --> 00:09:56,000
que hagan que la función que está debajo se convierta en 0

150
00:09:56,000 --> 00:10:00,000
en este caso sería el dominio de g de x

151
00:10:00,000 --> 00:10:04,000
entre f de x

152
00:10:04,000 --> 00:10:08,000
sería igual a

153
00:10:08,000 --> 00:10:12,000
el dominio de g de x

154
00:10:12,000 --> 00:10:16,000
la intersección del dominio de g de x

155
00:10:16,000 --> 00:10:20,000
con el dominio de f de x igual que antes

156
00:10:20,000 --> 00:10:24,000
la intersección de los dos dominios que han formado

157
00:10:24,000 --> 00:10:28,000
pero hay que quitarle

158
00:10:28,000 --> 00:10:32,000
si os lo pongo en notación matemática

159
00:10:32,000 --> 00:10:36,000
va a ser un poco complicado

160
00:10:36,000 --> 00:10:40,000
menos los números

161
00:10:40,000 --> 00:10:44,000
menos los números reales

162
00:10:44,000 --> 00:10:48,000
tales que f de x

163
00:10:48,000 --> 00:10:52,000
se convierte en 0

164
00:10:52,000 --> 00:10:56,000
es decir, lo mismo que antes

165
00:10:56,000 --> 00:11:00,000
pero a lo de antes hay que quitarle cualquier valor

166
00:11:00,000 --> 00:11:04,000
que haga que f de x, la función que hemos puesto debajo, se convierta en 0

167
00:11:04,000 --> 00:11:08,000
y en este caso había un número

168
00:11:08,000 --> 00:11:12,000
que decía que f de x se convertiría en 0, que es el 5

169
00:11:12,000 --> 00:11:16,000
lo hemos tenido que añadir a la intersección

170
00:11:16,000 --> 00:11:20,000
si yo lo hubiera hecho al revés

171
00:11:20,000 --> 00:11:24,000
f de x entre g de x

172
00:11:24,000 --> 00:11:28,000
me quedaría algo que nos puede despistar

173
00:11:28,000 --> 00:11:32,000
y por eso os lo estoy contando

174
00:11:32,000 --> 00:11:36,000
para que no os despistéis

175
00:11:36,000 --> 00:11:40,000
si lo hago al revés, sería

176
00:11:44,000 --> 00:11:48,000
x menos 5

177
00:11:48,000 --> 00:11:52,000
dividido entre 1 partido de x menos 2

178
00:11:52,000 --> 00:11:56,000
si multiplico en cruz ahora, fijaos lo que me queda

179
00:11:56,000 --> 00:12:00,000
x menos 5 por x menos 2

180
00:12:00,000 --> 00:12:04,000
dividido entre 1, que es x menos 5 por x menos 2

181
00:12:04,000 --> 00:12:08,000
es una función polinómica, una función que no es racional

182
00:12:08,000 --> 00:12:12,000
porque si ahora hago esta multiplicación, me queda x al cuadrado menos 7x más 10

183
00:12:12,000 --> 00:12:16,000
y esto me diría

184
00:12:16,000 --> 00:12:20,000
alguien que no supiera mucho de cómo funciona esto, me diría

185
00:12:20,000 --> 00:12:24,000
el dominio de esto son todos los números reales

186
00:12:24,000 --> 00:12:28,000
pues hay una pequeña trampa aquí

187
00:12:28,000 --> 00:12:32,000
como una de las funciones originales, en este caso g de x

188
00:12:32,000 --> 00:12:36,000
no podemos olvidarnos de eso

189
00:12:36,000 --> 00:12:40,000
porque en la función de partida ya no valía el 2

190
00:12:40,000 --> 00:12:44,000
y ahora en el resultado final

191
00:12:44,000 --> 00:12:48,000
que ha salido como resultado

192
00:12:48,000 --> 00:12:52,000
de una operación entre dos funciones, tampoco tiene que valer

193
00:12:52,000 --> 00:12:56,000
entonces aquí el dominio, aunque no hay ninguna otra

194
00:12:56,000 --> 00:13:00,000
no hay ningún otro valor

195
00:13:00,000 --> 00:13:04,000
que haga hacer el denominador

196
00:13:04,000 --> 00:13:08,000
el dominio tiene que ser igualmente la intersección de los dos

197
00:13:08,000 --> 00:13:12,000
es decir, el dominio de f de x

198
00:13:12,000 --> 00:13:16,000
partido de g de x, aunque alguien podría pensar que son todos los reales

199
00:13:16,000 --> 00:13:20,000
si viera esto, los que sabemos de desde dónde viene

200
00:13:20,000 --> 00:13:24,000
los que sabemos cómo se ha formado esto, sabemos que desde el principio

201
00:13:24,000 --> 00:13:28,000
el 2 no podía valer, la g no admite el 2

202
00:13:28,000 --> 00:13:32,000
tenemos que ponerlo así

203
00:13:32,000 --> 00:13:36,000
por culpa de que la g no admitía el 2 desde un principio

204
00:13:36,000 --> 00:13:40,000
el 2 ya estaba eliminado, no era entre las x que podíamos elegir

205
00:13:40,000 --> 00:13:44,000
entonces eso hay que tenerlo en cuenta

206
00:13:44,000 --> 00:13:48,000
si sabemos cómo se ha formado esto

207
00:13:48,000 --> 00:13:52,000
si os dan esto directamente y nos dicen que se ha formado dividiendo f de x entre g de x

208
00:13:52,000 --> 00:13:56,000
pues sí, el dominio es todo lo reales, pero si vosotros sabéis cómo se ha formado

209
00:13:56,000 --> 00:14:00,000
y sabemos que podíais poner el 2, pues tenéis que respetar eso

210
00:14:00,000 --> 00:14:04,000
y aquí tampoco podíais poner el 2

211
00:14:04,000 --> 00:14:08,000
el 2 que os diera aquí sería falso

212
00:14:08,000 --> 00:14:12,000
y os voy a poner un último ejemplo, a ver si me cae de aquí, aunque sea de mala manera

213
00:14:12,000 --> 00:14:16,000
porque tengo curiosidad por saber

214
00:14:16,000 --> 00:14:20,000
si se os ocurre a vosotros cómo resolverlo

215
00:14:20,000 --> 00:14:24,000
imaginaos que ahora divido f de x entre h de x

216
00:14:24,000 --> 00:14:28,000
y me queda esto

217
00:14:28,000 --> 00:14:32,000
x menos 5 partido de raíz de x

218
00:14:32,000 --> 00:14:36,000
pensad a ver cuál creéis que es el dominio

219
00:14:36,000 --> 00:14:40,000
acordaos de esta regla que os he dado para las divisiones

220
00:14:40,000 --> 00:14:44,000
el dominio es la intersección de los dos dominios

221
00:14:44,000 --> 00:14:48,000
pero además hay que tener en cuenta otra cosa, ¿sabéis hacerlo?

222
00:14:48,000 --> 00:14:52,000
pues supongo que ya tenéis vuestra respuesta pensada

223
00:14:52,000 --> 00:14:56,000
así que el dominio

224
00:14:56,000 --> 00:15:00,000
de f de x entre h de x

225
00:15:00,000 --> 00:15:04,000
será

226
00:15:08,000 --> 00:15:12,000
esto

227
00:15:12,000 --> 00:15:16,000
la intersección de los dos dominios sería esto

228
00:15:16,000 --> 00:15:20,000
incluido el 0, pero como el 0 ahora no puede estar en el denominador

229
00:15:20,000 --> 00:15:24,000
pues son todos los números positivos, pero el 0 no

230
00:15:24,000 --> 00:15:28,000
el 0 no vale, supongo que muchos lo habréis acertado, espero que todos

231
00:15:28,000 --> 00:15:32,000
vale, pues vamos a pasar a la última de las operaciones

232
00:15:32,000 --> 00:15:36,000
que a mis alumnos del año pasado y yo diría que incluso a los del año anterior

233
00:15:36,000 --> 00:15:40,000
también, era una operación que les gustó mucho

234
00:15:40,000 --> 00:15:44,000
y además se les daba muy bien, ¿vale? y eso que era la primera vez que lo veían

235
00:15:44,000 --> 00:15:48,000
y esto se llama composición de funciones

236
00:15:48,000 --> 00:15:52,000
creo que es una operación nueva, que no habéis visto nunca y que es muy importante

237
00:15:52,000 --> 00:15:56,000
de cara a bachillerato, los que penséis

238
00:15:56,000 --> 00:16:00,000
seguir en bachillerato el año que viene

239
00:16:00,000 --> 00:16:04,000
composición de funciones

240
00:16:04,000 --> 00:16:08,000
fijaos, la composición de funciones es una

241
00:16:08,000 --> 00:16:12,000
una operación curiosa y se utiliza mucho

242
00:16:12,000 --> 00:16:16,000
para calcular derivadas y por lo tanto también en las integrales

243
00:16:16,000 --> 00:16:20,000
por eso es importante que cuando antes lo aprendáis y lo aprendáis bien

244
00:16:20,000 --> 00:16:24,000
os va a facilitar todas esas operaciones que veréis más adelante

245
00:16:24,000 --> 00:16:28,000
la composición de funciones es una operación que consiste en meter

246
00:16:28,000 --> 00:16:32,000
una función dentro de la otra, ¿qué quiere decir esto?

247
00:16:32,000 --> 00:16:36,000
que nosotros, el resultado que nos dé

248
00:16:36,000 --> 00:16:40,000
al resultado que nos dé una función, ese va a ser

249
00:16:40,000 --> 00:16:44,000
el número que introduciremos en la siguiente

250
00:16:44,000 --> 00:16:48,000
voy a poner un ejemplo con números

251
00:16:48,000 --> 00:16:52,000
imaginaos que yo quiero hacer

252
00:16:52,000 --> 00:16:56,000
esto se escribe así

253
00:16:58,000 --> 00:17:02,000
fijaos que se representa con un circulito

254
00:17:02,000 --> 00:17:06,000
f compuesta de h de x

255
00:17:06,000 --> 00:17:10,000
¿vale? esto es lo mismo que

256
00:17:10,000 --> 00:17:14,000
meter dentro de f de x

257
00:17:14,000 --> 00:17:18,000
la h, a veces se pone así también, aunque la manera correcta

258
00:17:18,000 --> 00:17:22,000
es ponerlos así

259
00:17:22,000 --> 00:17:26,000
¿cómo creamos la función compuesta?

260
00:17:26,000 --> 00:17:30,000
nos vamos a la fórmula de f de x, la que está afuera

261
00:17:30,000 --> 00:17:34,000
o la que está delante, eso es importante

262
00:17:34,000 --> 00:17:38,000
y cada vez que veamos una x, en lugar de

263
00:17:38,000 --> 00:17:42,000
poner la x, pondremos toda la fórmula de la que está dentro

264
00:17:42,000 --> 00:17:46,000
es decir, en lugar de poner la x

265
00:17:46,000 --> 00:17:50,000
se pondría entre paréntesis, aunque en este caso no hace falta

266
00:17:50,000 --> 00:17:54,000
lo habitual es ponerla entre paréntesis, como cuando hacemos cualquier sustitución

267
00:17:54,000 --> 00:17:58,000
entonces pondría raíz de x y luego cuando ya

268
00:17:58,000 --> 00:18:02,000
he sustituido la x, continúo escribiendo

269
00:18:02,000 --> 00:18:06,000
¿lo veis? porque si yo lo hiciera al revés

270
00:18:06,000 --> 00:18:10,000
si hiciera h compuesta de f en lugar

271
00:18:10,000 --> 00:18:14,000
de f compuesta de h, lo que habría que hacer es dentro

272
00:18:14,000 --> 00:18:18,000
de la h, meter la f

273
00:18:18,000 --> 00:18:22,000
entonces me iría a la fórmula, empezaría por la fórmula de la h

274
00:18:22,000 --> 00:18:26,000
y cada vez que haya una x, pongo dentro

275
00:18:26,000 --> 00:18:30,000
f de x, fijaos que es distinto el resultado

276
00:18:30,000 --> 00:18:34,000
que he obtenido, ¿vale? ¿cómo funciona esto en la realidad?

277
00:18:34,000 --> 00:18:38,000
pues imaginaos, voy a quedarme con la de arriba

278
00:18:38,000 --> 00:18:42,000
en la de arriba, imaginaos que yo calculo

279
00:18:42,000 --> 00:18:46,000
f compuesta de h para el valor 4

280
00:18:46,000 --> 00:18:50,000
que la x es 4, ¿vale? entonces en la fórmula que me ha dado

281
00:18:50,000 --> 00:18:54,000
en lugar de la x pongo 4 y hago cuentas

282
00:18:54,000 --> 00:18:58,000
recordad que cuando las raíces, trabajamos con ellas

283
00:18:58,000 --> 00:19:02,000
como si fueran funciones, solo cogemos la parte positiva, entonces la raíz cuadrada

284
00:19:02,000 --> 00:19:06,000
de 4 sería 2, solo la parte positiva

285
00:19:06,000 --> 00:19:10,000
entonces 2 menos 5 da menos 3

286
00:19:10,000 --> 00:19:14,000
¿vale? fácil de hacer así, ¿verdad?

287
00:19:14,000 --> 00:19:18,000
¿qué significa esto? esto, la función compuesta

288
00:19:18,000 --> 00:19:22,000
es como si yo primero hubiera calculado

289
00:19:22,000 --> 00:19:26,000
la que está dentro, h de x

290
00:19:26,000 --> 00:19:30,000
en este caso, h de x

291
00:19:30,000 --> 00:19:34,000
y es raíz de x

292
00:19:34,000 --> 00:19:38,000
y yo hubiera

293
00:19:38,000 --> 00:19:42,000
hecho h de 4

294
00:19:42,000 --> 00:19:46,000
¿cuánto da? 2

295
00:19:46,000 --> 00:19:50,000
¿vale? y este 2 ahora, que es el resultado

296
00:19:50,000 --> 00:19:54,000
de h de 4

297
00:19:54,000 --> 00:19:58,000
lo meto en el

298
00:19:58,000 --> 00:20:02,000
argumento de f

299
00:20:02,000 --> 00:20:06,000
entonces este 2 lo paso ahora

300
00:20:06,000 --> 00:20:10,000
por la f, que es x menos 5

301
00:20:10,000 --> 00:20:14,000
entonces 2 menos 5 me da como resultado

302
00:20:14,000 --> 00:20:18,000
3, ¿vale?

303
00:20:18,000 --> 00:20:22,000
pues es eso, primero hacemos la que está dentro

304
00:20:22,000 --> 00:20:26,000
y lo que da como resultado la que está dentro

305
00:20:26,000 --> 00:20:30,000
es el argumento de la siguiente, y al final obtenemos un resultado final

306
00:20:30,000 --> 00:20:34,000
que es la función compuesta, la función compuesta me va directamente de aquí a aquí

307
00:20:34,000 --> 00:20:38,000
sin pasar por el medio

308
00:20:38,000 --> 00:20:42,000
voy a poneros

309
00:20:42,000 --> 00:20:46,000
un ejercicio para ver si sabéis cuánto daría

310
00:20:46,000 --> 00:20:50,000
por ejemplo g compuesta

311
00:20:50,000 --> 00:20:54,000
de h de x

312
00:20:54,000 --> 00:20:58,000
a ver si me sabéis averiguar su fórmula

313
00:20:58,000 --> 00:21:02,000
y h compuesta de g de x al revés

314
00:21:02,000 --> 00:21:06,000
¿y qué más os puedo preguntar?

315
00:21:06,000 --> 00:21:10,000
pues os pregunto

316
00:21:10,000 --> 00:21:14,000
g compuesta de f

317
00:21:14,000 --> 00:21:18,000
de x, venga, parad el vídeo

318
00:21:18,000 --> 00:21:22,000
y a ver si me sabéis dar estas fórmulas

319
00:21:22,000 --> 00:21:26,000
la primera es

320
00:21:26,000 --> 00:21:30,000
dentro de la g hay que meter la h

321
00:21:30,000 --> 00:21:34,000
entonces empiezo a escribir la g y cuando llego a una x

322
00:21:34,000 --> 00:21:38,000
pongo la h, esta sería la primera

323
00:21:38,000 --> 00:21:42,000
en la siguiente, dentro de la h hay que meter la g

324
00:21:42,000 --> 00:21:46,000
la h es la raíz cuadrada y cuando voy a escribir una x

325
00:21:46,000 --> 00:21:50,000
en vez de la x escribo la g

326
00:21:50,000 --> 00:21:54,000
y la tercera, dentro de la g hay que meter la f

327
00:21:54,000 --> 00:21:58,000
es decir, empiezo a escribir la g

328
00:21:58,000 --> 00:22:02,000
y cuando llego a la x

329
00:22:02,000 --> 00:22:06,000
no voy a poner entre paréntesis para que lo veáis más claro

330
00:22:06,000 --> 00:22:10,000
esto se podría luego simplificar un poco más

331
00:22:10,000 --> 00:22:14,000
en este caso no hubiera hecho falta el paréntesis

332
00:22:14,000 --> 00:22:18,000
lo que mejor vais a entender va a ser el primer ejemplo

333
00:22:18,000 --> 00:22:22,000
voy a escribirlo aquí

334
00:22:22,000 --> 00:22:26,000
g compuesta de h de x

335
00:22:26,000 --> 00:22:30,000
es igual a

336
00:22:30,000 --> 00:22:34,000
1 partido de raíz de x

337
00:22:34,000 --> 00:22:38,000
menos 2

338
00:22:38,000 --> 00:22:42,000
vale, para calcular el dominio

339
00:22:42,000 --> 00:22:46,000
primero hay que ver que la primera que se resuelve

340
00:22:46,000 --> 00:22:50,000
es la que está adentro, es decir, h de x

341
00:22:50,000 --> 00:22:54,000
y fijaos que lo primero que vamos a resolver es entonces

342
00:22:54,000 --> 00:22:58,000
raíz de x y ahí para poderlo resolver tenemos una condición

343
00:22:58,000 --> 00:23:02,000
y es que el dominio de h de x

344
00:23:02,000 --> 00:23:06,000
solo pueden ser los números positivos o el 0

345
00:23:06,000 --> 00:23:10,000
entonces, para saber el dominio de esta función compuesta

346
00:23:10,000 --> 00:23:14,000
lo primero que hay que tener en cuenta es el dominio de la que está adentro

347
00:23:14,000 --> 00:23:18,000
ya por culpa de la que está adentro solo van a valer los números positivos o el 0

348
00:23:18,000 --> 00:23:22,000
pero además no va a valer

349
00:23:22,000 --> 00:23:26,000
ningún número que

350
00:23:26,000 --> 00:23:30,000
que

351
00:23:30,000 --> 00:23:34,000
vamos a ver

352
00:23:34,000 --> 00:23:38,000
vamos a ver como os digo esto

353
00:23:38,000 --> 00:23:42,000
ningún resultado de h de x que

354
00:23:42,000 --> 00:23:46,000
esté fuera del dominio de g de x

355
00:23:46,000 --> 00:23:50,000
por culpa de h de x

356
00:23:50,000 --> 00:23:54,000
el dominio de h de x

357
00:23:54,000 --> 00:23:58,000
era desde 0 hasta más infinito

358
00:23:58,000 --> 00:24:02,000
de momento

359
00:24:02,000 --> 00:24:06,000
para la función compuesta ya solo valen estos números

360
00:24:06,000 --> 00:24:10,000
por culpa de h de x

361
00:24:10,000 --> 00:24:14,000
a g de x hay un número

362
00:24:14,000 --> 00:24:18,000
que no se puede calcular

363
00:24:18,000 --> 00:24:22,000
y es el 2

364
00:24:22,000 --> 00:24:26,000
no podemos

365
00:24:26,000 --> 00:24:30,000
esto nunca puede dar 2

366
00:24:30,000 --> 00:24:34,000
entonces vamos a ver cuando

367
00:24:34,000 --> 00:24:38,000
esto daría 2

368
00:24:38,000 --> 00:24:42,000
cuando

369
00:24:42,000 --> 00:24:46,000
h de x

370
00:24:46,000 --> 00:24:50,000
da 2

371
00:24:50,000 --> 00:24:54,000
cuando la raíz de x da 2

372
00:24:54,000 --> 00:24:58,000
elevamos las dos cosas al cuadrado

373
00:25:02,000 --> 00:25:06,000
la raíz se va con el cuadrado

374
00:25:06,000 --> 00:25:10,000
x es igual a 4

375
00:25:10,000 --> 00:25:14,000
x igual a 4 tampoco vale

376
00:25:14,000 --> 00:25:18,000
no solo

377
00:25:18,000 --> 00:25:22,000
estamos limitados a los números positivos

378
00:25:22,000 --> 00:25:26,000
sino además que el 4 tampoco va a valer

379
00:25:26,000 --> 00:25:30,000
porque no va a valer el 4

380
00:25:30,000 --> 00:25:34,000
porque es el que hace que al meterlo dentro de la raíz

381
00:25:34,000 --> 00:25:38,000
esto es un poco rioso al principio

382
00:25:38,000 --> 00:25:42,000
os pondré más ejemplos

383
00:25:42,000 --> 00:25:46,000
ahora no os puedo preguntar

384
00:25:46,000 --> 00:25:50,000
¿lo estáis entendiendo?

385
00:25:50,000 --> 00:25:54,000
fijaos que el dominio quedaría así

386
00:25:54,000 --> 00:25:58,000
dominio de g compuesta de h de x

387
00:25:58,000 --> 00:26:02,000
sería

388
00:26:02,000 --> 00:26:06,000
desde el 0 hasta el 4

389
00:26:06,000 --> 00:26:10,000
sin incluir el 4 unido a otro intervalo que ya va desde el 4

390
00:26:10,000 --> 00:26:14,000
hasta más infinito

391
00:26:14,000 --> 00:26:18,000
o que también lo podríamos haber puesto así

392
00:26:18,000 --> 00:26:22,000
como el dominio de h de x excepto el 4

393
00:26:22,000 --> 00:26:26,000
que es el que hace que le llegue a la g de x un 2

394
00:26:26,000 --> 00:26:30,000
fijaos, lo podemos comprobar

395
00:26:30,000 --> 00:26:34,000
si pongo 4, la raíz de 4 es 2, menos 2 es 0, no funciona

396
00:26:34,000 --> 00:26:38,000
si pongo el 0, el 0 funcionaría, raíz de 0 es 0

397
00:26:38,000 --> 00:26:42,000
menos 2, menos 2, 1 entre menos 2, sí, eso se puede hacer

398
00:26:42,000 --> 00:26:46,000
daría menos 0,5

399
00:26:46,000 --> 00:26:50,000
¿va a valer algún número negativo? pues no, porque no puedo hacer la raíz

400
00:26:50,000 --> 00:26:54,000
vamos a seguir viendo ejemplos porque esto

401
00:26:54,000 --> 00:26:58,000
cuesta un poquito de entender, lo del dominio de las funciones compuestas

402
00:26:58,000 --> 00:27:02,000
no es fácil de primeras, es un poco liosillo

403
00:27:02,000 --> 00:27:06,000
vamos a ver la siguiente

404
00:27:06,000 --> 00:27:10,000
h compuesta de g de x

405
00:27:10,000 --> 00:27:14,000
vale

406
00:27:14,000 --> 00:27:18,000
esta fórmula es así

407
00:27:18,000 --> 00:27:22,000
y nos fijamos otra vez primero en la que está dentro, en g de x

408
00:27:22,000 --> 00:27:26,000
¿qué número no valía para g de x? el 2

409
00:27:26,000 --> 00:27:30,000
¿y qué números no podemos dar?

410
00:27:30,000 --> 00:27:34,000
¿qué números no pueden salir de g de x?

411
00:27:34,000 --> 00:27:38,000
no pueden salir números negativos, porque entonces tendríamos que hacer la raíz

412
00:27:38,000 --> 00:27:42,000
cuadrada de números negativos y eso no se puede

413
00:27:42,000 --> 00:27:46,000
entonces de momento no vale el 2, ni cualquier número

414
00:27:46,000 --> 00:27:50,000
que haga que el resultado de g de x, de la que está dentro

415
00:27:50,000 --> 00:27:54,000
sea negativo, porque entonces no podríamos resolver la raíz

416
00:27:54,000 --> 00:27:58,000
entonces nos interesa ver qué números

417
00:27:58,000 --> 00:28:02,000
son negativos dentro de la raíz

418
00:28:02,000 --> 00:28:06,000
porque esos no valen

419
00:28:06,000 --> 00:28:10,000
o también podemos ver cuáles son los positivos, porque esos sí que valen

420
00:28:10,000 --> 00:28:14,000
vamos a ver los que sí que valen, los que son positivos

421
00:28:14,000 --> 00:28:18,000
¿cuándo esto es mayor o igual que 0?

422
00:28:18,000 --> 00:28:22,000
pues es fácil de ver, porque el numerador siempre va a ser positivo

423
00:28:22,000 --> 00:28:26,000
siempre va a ser mayor que 0, y el denominador

424
00:28:26,000 --> 00:28:30,000
¿cuándo va a ser positivo también? pues siempre que la x

425
00:28:30,000 --> 00:28:34,000
sea mayor que 2, porque si es 2

426
00:28:34,000 --> 00:28:38,000
vale 0, 1 entre 0 no se puede hacer, el 2 habíamos quedado que no valía

427
00:28:38,000 --> 00:28:42,000
pero cualquier número que sea más grande que 2, por ejemplo 3

428
00:28:42,000 --> 00:28:46,000
menos 2 da 1, eso sí que se puede hacer, si fuera menor que 2 no, daría negativo

429
00:28:46,000 --> 00:28:50,000
entonces esto se ve fácil, si quisiéramos hacerlo más despacio

430
00:28:50,000 --> 00:28:54,000
habría que hacer la tabla de numerador y denominador

431
00:28:54,000 --> 00:28:58,000
y resolver esta inequación racional

432
00:28:58,000 --> 00:29:02,000
entonces el resultado, los que son mayores que 0

433
00:29:02,000 --> 00:29:06,000
se puede hacer así de cabeza

434
00:29:06,000 --> 00:29:10,000
y serían mayores o iguales que 0

435
00:29:10,000 --> 00:29:14,000
sería desde el 2

436
00:29:14,000 --> 00:29:18,000
el 2 no vale, porque hace que sea 0

437
00:29:18,000 --> 00:29:22,000
hasta más infinito

438
00:29:22,000 --> 00:29:26,000
cualquier número mayor que 2

439
00:29:26,000 --> 00:29:30,000
vale, y habíamos dicho

440
00:29:30,000 --> 00:29:34,000
también aquí que el 2 no valía, o sea que este es el resultado final

441
00:29:34,000 --> 00:29:38,000
este es el dominio

442
00:29:38,000 --> 00:29:42,000
de h

443
00:29:42,000 --> 00:29:46,000
compuesta de g de x

444
00:29:46,000 --> 00:29:50,000
la última, para ver si ya va quedando más claro

445
00:29:50,000 --> 00:29:54,000
es que la última es demasiado fácil

446
00:29:54,000 --> 00:29:58,000
g compuesta de f de x

447
00:29:58,000 --> 00:30:02,000
lo primero, no hay ningún problema con f de x, la que está adentro

448
00:30:02,000 --> 00:30:06,000
porque es polinómica y vale cualquier número real

449
00:30:06,000 --> 00:30:10,000
y lo que no valdría es ningún número

450
00:30:10,000 --> 00:30:14,000
que diera como resultado en x menos 5

451
00:30:14,000 --> 00:30:18,000
diera como resultado 2

452
00:30:18,000 --> 00:30:22,000
¿qué número hace que x menos 5 sea 2?

453
00:30:22,000 --> 00:30:26,000
pues lo vamos a ver fácil

454
00:30:26,000 --> 00:30:30,000
lo pasamos al otro lado

455
00:30:30,000 --> 00:30:34,000
x igual a 7, o sea que el 7 tampoco vale

456
00:30:34,000 --> 00:30:38,000
entonces el dominio

457
00:30:38,000 --> 00:30:42,000
que se veía claro aquí también

458
00:30:42,000 --> 00:30:46,000
el dominio de g compuesta de f de x

459
00:30:46,000 --> 00:30:50,000
será todos los números reales excepto el 7

460
00:30:50,000 --> 00:30:54,000
necesitáis más ejemplos

461
00:30:54,000 --> 00:30:58,000
lo estoy viendo

462
00:31:02,000 --> 00:31:06,000
voy a ver si encuentro algo por aquí

463
00:31:12,000 --> 00:31:14,000
mira

464
00:31:14,000 --> 00:31:18,000
esto es dificil

465
00:31:22,000 --> 00:31:26,000
os lo voy a poner como ejemplo pero me gustaría que lo intentaseis hacer

466
00:31:26,000 --> 00:31:30,000
los que ya hayáis entendido algo

467
00:31:30,000 --> 00:31:34,000
intentaseis hacer este ejercicio que es interesante

468
00:31:34,000 --> 00:31:38,000
si más o menos lo habéis entendido intentadlo

469
00:31:38,000 --> 00:31:42,000
paráis el vídeo

470
00:31:42,000 --> 00:31:46,000
yo voy a hacer alguno y los demás os los dejaré de deberes

471
00:31:46,000 --> 00:31:50,000
de hecho os los pondré en el cuestionario

472
00:31:50,000 --> 00:31:54,000
yo voy a hacer el primero, g compuesta de f

473
00:31:54,000 --> 00:31:58,000
vamos a intentar averiguar el dominio de g compuesta de f

474
00:31:58,000 --> 00:32:02,000
fijaos que son dos funciones racionales

475
00:32:02,000 --> 00:32:06,000
primero voy a calcular el dominio de cada una por separado

476
00:32:06,000 --> 00:32:10,000
dominio de f de x

477
00:32:10,000 --> 00:32:14,000
¿cuál es el dominio de esta?

478
00:32:14,000 --> 00:32:18,000
todos los números reales excepto el menos 2

479
00:32:18,000 --> 00:32:22,000
y dale de abajo

480
00:32:22,000 --> 00:32:26,000
todos los números reales excepto el 4

481
00:32:26,000 --> 00:32:30,000
la función g compuesta de f

482
00:32:30,000 --> 00:32:34,000
cada vez

483
00:32:34,000 --> 00:32:38,000
es que claro

484
00:32:38,000 --> 00:32:42,000
bueno, lo voy a hacer pero es que

485
00:32:42,000 --> 00:32:46,000
calcular la fórmula ahora es complicado porque veis que son funciones un poco complejas

486
00:32:46,000 --> 00:32:50,000
la voy a poner pero en realidad para calcular el dominio no nos hace falta eso

487
00:32:50,000 --> 00:32:54,000
no nos hace falta eso y no quiero que lo hagáis

488
00:32:54,000 --> 00:32:58,000
yo os lo voy a poner en esta primera pero en las que os voy a pedir a vosotros

489
00:32:58,000 --> 00:33:02,000
este paso no os lo saltamos porque es complicado

490
00:33:02,000 --> 00:33:06,000
dentro de la g hay que poner la f, cada vez que aparece una x

491
00:33:06,000 --> 00:33:10,000
meteré todo esto, va a salir algo complicado

492
00:33:10,000 --> 00:33:14,000
fijaos, pongo 3, ahora aparece una x

493
00:33:14,000 --> 00:33:18,000
pues en vez de la x pongo todo eso

494
00:33:18,000 --> 00:33:22,000
ahora que hay que poner

495
00:33:22,000 --> 00:33:26,000
el menos 1, luego habría que simplificarlo y os diréis un rato

496
00:33:26,000 --> 00:33:30,000
no es lo que me interesa a mi

497
00:33:30,000 --> 00:33:34,000
continuamos, ahora una x, en vez de la x hay que poner 2x más 1

498
00:33:34,000 --> 00:33:38,000
partido de x más 2 y luego el menos 4

499
00:33:38,000 --> 00:33:42,000
esta sería la fórmula, habría que simplificarla

500
00:33:42,000 --> 00:33:46,000
habría que dejarlo más sencillo porque esto es muy complejo

501
00:33:46,000 --> 00:33:50,000
pero para calcular el dominio lo bueno es que si habéis entendido la anterior no hace falta

502
00:33:50,000 --> 00:33:54,000
hacer toda esta simplificación, este proceso tan largo que sería

503
00:33:54,000 --> 00:33:58,000
algo complicado y seguramente nos confundiéramos

504
00:33:58,000 --> 00:34:02,000
entonces, ¿qué hay que ver primero? la función que está dentro

505
00:34:02,000 --> 00:34:06,000
la función que está dentro es f y su dominio ya lo tengo

506
00:34:06,000 --> 00:34:10,000
calculado aquí, ya sé que el menos 2 no va a valer, pero aparte

507
00:34:10,000 --> 00:34:14,000
del menos 2 no va a valer todos los números

508
00:34:14,000 --> 00:34:18,000
que como resultado de ésta den cuánto

509
00:34:18,000 --> 00:34:22,000
den el número que no vale en g de x

510
00:34:22,000 --> 00:34:26,000
quiero encontrar qué

511
00:34:26,000 --> 00:34:30,000
número lo metes en f de x y te da como resultado 4

512
00:34:30,000 --> 00:34:34,000
porque ese tampoco va a valer

513
00:34:34,000 --> 00:34:38,000
porque a la g de x no le podemos dar de valor 4

514
00:34:38,000 --> 00:34:42,000
entonces la pregunta que me hago es esta

515
00:34:42,000 --> 00:34:46,000
¿qué valor de x hace que todo esto que es f de x dé 4?

516
00:34:46,000 --> 00:34:50,000
porque no quiero que dé 4, ese hay que sacarlo también del dominio

517
00:34:50,000 --> 00:34:54,000
resolvemos esto, despejo, paso lo que está dividiendo

518
00:34:54,000 --> 00:34:58,000
paso al otro lado multiplicando y sigo

519
00:34:58,000 --> 00:35:02,000
haciendo operaciones, quito paréntesis

520
00:35:02,000 --> 00:35:06,000
las x a un lado, los números al otro

521
00:35:06,000 --> 00:35:10,000
con cuidado de cambiar de signo

522
00:35:10,000 --> 00:35:14,000
menos 7 es igual a 2x

523
00:35:14,000 --> 00:35:18,000
despejo la x, menos 7 medios

524
00:35:18,000 --> 00:35:22,000
es decir, menos 3,5 tampoco va a valer

525
00:35:22,000 --> 00:35:26,000
no va a valer, entonces el dominio

526
00:35:26,000 --> 00:35:30,000
de g compuesta de f de x

527
00:35:30,000 --> 00:35:34,000
es todos los números reales

528
00:35:34,000 --> 00:35:38,000
menos el 2 porque

529
00:35:38,000 --> 00:35:42,000
menos el menos 2

530
00:35:42,000 --> 00:35:46,000
porque no se lo podemos meter a la f

531
00:35:46,000 --> 00:35:50,000
cuando menos 2 en las x, este denominador me quedaría cero

532
00:35:50,000 --> 00:35:54,000
y aquí también cero, un desastre

533
00:35:54,000 --> 00:35:58,000
y tampoco vale cualquier número que haga

534
00:35:58,000 --> 00:36:02,000
que esto que está entre paréntesis de 4

535
00:36:02,000 --> 00:36:06,000
al restarlo de 4 tendríamos otra división

536
00:36:06,000 --> 00:36:10,000
y ese número lo hemos averiguado aquí

537
00:36:10,000 --> 00:36:14,000
es el menos 7 medios

538
00:36:14,000 --> 00:36:18,000
luego os pondré otros ejercicios en el cuestionario

539
00:36:18,000 --> 00:36:22,000
para que practiquéis esto y con esto hemos acabado la teoría

540
00:36:22,000 --> 00:36:26,000
de este tema y lo último

541
00:36:26,000 --> 00:36:30,000
que os va a entrar en el examen de la tercera evaluación

542
00:36:30,000 --> 00:36:34,000
luego veremos algunas cosillas para ampliar que son importantes

543
00:36:34,000 --> 00:36:38,000
y que necesitáis conocerlas para los cursos siguientes

544
00:36:38,000 --> 00:36:42,000
pero ya a un ritmo más relajado