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00:00:12,339 --> 00:00:17,300
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:17,300 --> 00:00:21,679
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:21,679 --> 00:00:33,310
de la unidad AR4 dedicada a las técnicas de conteo. En la videoclase de hoy estudiaremos

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00:00:33,310 --> 00:00:36,770
las variaciones con repetición y resolveremos el ejercicio propuesto 10.

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00:00:47,740 --> 00:00:53,460
En esta videoclase vamos a estudiar las variaciones con repetición. Vamos a compararlas con las

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00:00:53,460 --> 00:00:57,700
variaciones sin repetición que habíamos visto en una videoclase anterior. En

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00:00:57,700 --> 00:01:02,740
aquel caso lo que tenía eran n elementos de entre los cuales iba a extraer un

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00:01:02,740 --> 00:01:07,299
subconjunto de m. Aquí pasa lo mismo, tengo n elementos de los cuales voy a

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00:01:07,299 --> 00:01:12,319
tomar m. En las variaciones sin repetición el orden era importante y os

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00:01:12,319 --> 00:01:16,079
recuerdo que en aquel ejemplo tenía 15 estudiantes de los que elegía un

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00:01:16,079 --> 00:01:20,780
delegado, un subdelegado y un encargado de reciclaje y no es lo mismo que a sea

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00:01:20,780 --> 00:01:26,959
al delegado a que A sea el encargado de reciclaje. Y lo que ocurría en las variaciones sin repetición

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00:01:26,959 --> 00:01:32,079
es que cada vez que seleccionaba un elemento, este no se puede repetir. Una vez que lo selecciono,

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00:01:32,260 --> 00:01:37,900
lo dejo fuera y el siguiente lo elijo de entre los restantes. Esa es la clave, puesto que ahora

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00:01:37,900 --> 00:01:44,719
en estas variaciones con repetición, los elementos sí se pueden repetir. Así que cada vez que haga

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00:01:44,719 --> 00:01:49,859
una extracción y seleccione un elemento, no me lo quedo, sino que lo devuelvo al conjunto inicial

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00:01:49,859 --> 00:01:55,620
para que pueda salir una vez más y pueda repetirse esa es la diferencia en este caso

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00:01:55,620 --> 00:02:02,040
variaciones con repetición de n elementos tomados de mnm se denotan así vr nm en elementos del

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00:02:02,040 --> 00:02:08,759
conjunto inicial m elementos el del subconjunto que yo selecciona y veamos voy a utilizar un

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00:02:08,759 --> 00:02:14,340
razonamiento similar al que utilizaba con las variaciones tengo en elementos de cuántas formas

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00:02:14,340 --> 00:02:20,460
posibles pudo elegir el primero, pues de n. Ese elemento que he seleccionado lo apunto pero lo

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00:02:20,460 --> 00:02:25,379
devuelvo al conjunto inicial para que pueda repetirse. Cuando voy a seleccionar el segundo,

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00:02:25,800 --> 00:02:31,939
en las variaciones sin repetición seleccionaba de entre los n menos 1 restantes. Ahora no. Ahora

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00:02:31,939 --> 00:02:37,360
vuelvo a tener los n elementos otra vez. Así que la segunda selección la puedo hacer de n formas

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00:02:37,360 --> 00:02:42,879
distintas. Tomo nota del segundo elemento y lo reintegro otra vez para que pueda repetirse.

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00:02:43,800 --> 00:02:53,900
En las variaciones sin repetición, el tercer elemento lo podía seleccionar de entre los n menos dos restantes, puesto que los dos que he sacado los he apartado para que no se puedan repetir.

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00:02:54,419 --> 00:03:00,740
Ahora vuelvo a estar igual que antes. El primero y el segundo elementos, ambos los he reintegrado para que puedan repetirse.

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00:03:01,259 --> 00:03:04,060
La tercera elección la hago entre los n elementos.

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00:03:04,639 --> 00:03:11,000
Siempre cada vez que haga una extracción y tome nota, la siguiente se hace de entre los n elementos, todos otra vez.

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00:03:11,580 --> 00:03:16,020
Así que aquí lo que tengo es una cadena de n por n por n por n m veces.

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00:03:16,680 --> 00:03:22,520
Así que variaciones con repetición de n elementos tomados de m en m será la potencia n elevado a m.

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00:03:23,800 --> 00:03:29,280
Supongamos que, como ejemplo, en una clase con 15 estudiantes vamos a entregar 3 diplomas.

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00:03:29,599 --> 00:03:33,419
Y es posible que un mismo estudiante reciba más de un diploma.

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00:03:34,020 --> 00:03:38,979
Porque puedo tener el diploma del estudiante que tiene su mesa más limpia,

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00:03:38,979 --> 00:03:44,419
puedo tener el diploma del estudiante que más ayuda a los compañeros y puedo

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00:03:44,419 --> 00:03:49,120
tener el diploma del estudiante que más ayuda al profesor por ejemplo y puede

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00:03:49,120 --> 00:03:53,080
darse el caso de que la persona que más ayuda a sus compañeros sea también la

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00:03:53,080 --> 00:03:57,400
persona que más limpia tiene su mesa y a su vez la persona que más ayuda al

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00:03:57,400 --> 00:04:01,580
profesor puede ser que tenga para los tres diplomas tres personas distintas

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00:04:01,580 --> 00:04:05,560
dos personas y una que lleve el tercero o una persona que lleve los tres

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00:04:05,560 --> 00:04:12,340
diplomas. Me preguntan de cuántas formas posibles se puede repartir y en este caso la idea es que

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00:04:12,340 --> 00:04:18,699
disponemos de los 15 estudiantes y voy a seleccionar a una persona de entre los 15 para que se lleve

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00:04:18,699 --> 00:04:24,600
el primer diploma. En mi ejemplo, la persona que más limpia tiene su mesa. Puedo hacer la selección

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00:04:24,600 --> 00:04:30,759
de entre los 15 estudiantes y tengo 15 posibilidades. Una vez que he seleccionado de entre los 15

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00:04:30,759 --> 00:04:35,079
estudiantes la persona que tiene más limpia la mesa, vamos a pensar en cuál es la persona que

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00:04:35,079 --> 00:04:40,220
más ayuda a sus compañeros. Tengo una vez más los 15 estudiantes para elegir, así que tengo 15

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00:04:40,220 --> 00:04:46,579
posibilidades. Una vez que he seleccionado a esta persona para darle este diploma, voy a seleccionar

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00:04:46,579 --> 00:04:53,319
la persona a quien darle el tercero, que va a ser la persona que más ayuda al profesor. ¿Cuántas

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00:04:53,319 --> 00:04:59,480
posibilidades tengo para elegir los 15 estudiantes? Puesto que puede repetirse. 15 por 15 por 15, 15

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00:04:59,480 --> 00:05:06,240
elevado al cubo, resulta que tengo un total de 3.375 formas de repartir estos diplomas. Son

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00:05:06,240 --> 00:05:12,839
variaciones con repetición porque no es lo mismo que el estudiante A tenga el diploma de tengo la

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00:05:12,839 --> 00:05:18,500
mesa más limpia y el estudiante B tenga el diploma de ayudo más a los compañeros o viceversa. Por eso

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00:05:18,500 --> 00:05:23,860
son variaciones con repetición. Variaciones sin importar el orden, con repetición porque puede

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00:05:23,860 --> 00:05:31,709
darse el caso de que un mismo estudiante en este ejemplo reciba más de un diploma. En el aula

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00:05:31,709 --> 00:05:37,629
virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. Asimismo,

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00:05:38,069 --> 00:05:43,410
tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. No dudéis en traer vuestras

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00:05:43,410 --> 00:05:48,829
dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. Un saludo y hasta pronto.