1 00:00:01,110 --> 00:00:04,870 A 9 de marzo del 26, ¿vale? El día de la tortilla. 2 00:00:05,269 --> 00:00:07,570 A ver, enseñaros unas cosillas, chavales. 3 00:00:08,210 --> 00:00:13,130 He subido, como os lo dije, he subido en la parte de representación de funciones 4 00:00:13,130 --> 00:00:19,250 la gráfica x partido del logaritmo neperiano de x y la del logaritmo neperiano de x partido de x. 5 00:00:19,390 --> 00:00:22,789 Entonces, lo suyo sería, es que ustedes lo intentáis, ¿vale? 6 00:00:22,809 --> 00:00:29,070 Aquí en esta, en esta, en la unidad 11, en representación gráfica, ¿vale? 7 00:00:29,070 --> 00:00:41,590 He subido estas dos funciones que son importantes, ¿vale? Está tanto X, partido de logaritmo neperiano de X, como logaritmo neperiano partido de X, que os dije que lo hicierais este fin de semana. 8 00:00:42,049 --> 00:00:56,429 Entonces, están ahí hechos y si tenéis alguna duda, pues me lo decís, ¿vale? Son funciones que incluso ya os dije que me entraron a mí en las oposiciones y sobre todo, por ejemplo, el año pasado, hace dos años en Andalucía, la preguntaron esta misma, ¿no? 9 00:00:56,429 --> 00:01:01,250 Y es que es muy completa, es muy completa esta función, ¿vale? 10 00:01:01,450 --> 00:01:02,409 Oye, ¿qué tiene que ver esto? 11 00:01:02,929 --> 00:01:03,189 ¿Dime? 12 00:01:03,450 --> 00:01:04,250 ¿Qué tiene que ver esto? 13 00:01:04,909 --> 00:01:05,090 ¿Cómo? 14 00:01:05,510 --> 00:01:08,129 O sea, que ahora el punto de conocimiento es el siguiente. 15 00:01:08,409 --> 00:01:10,709 Claro, claro, mira, aquí está el dominio, el signo. 16 00:01:10,750 --> 00:01:13,069 Una cosa muy importante también es el signo, ¿vale? 17 00:01:13,510 --> 00:01:19,469 El signo muchas veces no se hace, pero me da mucha idea de cómo se va a comportar la función, ¿de acuerdo? 18 00:01:19,810 --> 00:01:22,310 Luego están los puntos de corte, las asíntotas. 19 00:01:22,310 --> 00:01:24,909 aquí lo que pasa es que me equivoqué 20 00:01:24,909 --> 00:01:27,290 y puse aquí la representación 21 00:01:27,290 --> 00:01:28,950 gráfica, pero la monotonía 22 00:01:28,950 --> 00:01:31,230 la curvatura y demás, muchas veces 23 00:01:31,230 --> 00:01:33,150 cuando ya tenemos muchísima 24 00:01:33,150 --> 00:01:35,250 información no hace falta irse a la curvatura 25 00:01:35,250 --> 00:01:36,670 yo lo he hecho para 26 00:01:36,670 --> 00:01:39,030 hacerlo lo más completo 27 00:01:39,030 --> 00:01:40,469 posible, igual aquí 28 00:01:40,469 --> 00:01:43,150 en este caso pues el dominio, el signo de la 29 00:01:43,150 --> 00:01:45,329 función que también es importante, los puntos de corte 30 00:01:45,329 --> 00:01:46,810 las asíntotas, la monotonía 31 00:01:46,810 --> 00:01:49,510 y ya su representación 32 00:01:49,510 --> 00:01:50,510 gráfica, entonces 33 00:01:50,510 --> 00:01:52,969 se supone que lo teníais que haber hecho 34 00:01:52,969 --> 00:01:55,069 para el fin de semana, también os mandé 35 00:01:55,069 --> 00:01:56,969 para el fin de semana, vierais 36 00:01:56,969 --> 00:01:58,209 los vídeos de 37 00:01:58,209 --> 00:02:00,370 V11 de integrales 38 00:02:00,370 --> 00:02:01,849 ¿por qué? porque 39 00:02:01,849 --> 00:02:05,049 me interesa 40 00:02:05,049 --> 00:02:06,849 mucho que no partierais de 41 00:02:06,849 --> 00:02:08,830 cero, entonces, de igual 42 00:02:08,830 --> 00:02:10,389 forma tengo que subir bastante 43 00:02:10,389 --> 00:02:12,229 más cosas, pero 44 00:02:12,229 --> 00:02:14,710 aquí en la parte de 45 00:02:14,710 --> 00:02:16,509 lo diré 46 00:02:16,509 --> 00:02:18,930 de cálculo de primitiva, la unidad 47 00:02:18,930 --> 00:02:24,949 12, subí aquí un esquema de integrales, que igual, lo que os digo, esquema de integrales. 48 00:02:25,590 --> 00:02:35,189 Esto de aquí, chavales, me refiero, no podemos hacer por desgracia todas. Lo que sí quiero 49 00:02:35,189 --> 00:02:38,530 que veáis, que es lo que vamos a empezar hoy, que creo que, bueno, vimos las inmediatas 50 00:02:38,530 --> 00:02:42,889 el otro día, ¿no? Vimos las inmediatas y creo que nos quedamos con las integrales por 51 00:02:42,889 --> 00:03:12,389 parte. Las integrales por parte, esto sigue esta regla de aquí, ¿eh? Las trigonométricas nos quedan, ¿no? Vale. Vale, las trigonométricas, vamos a ver las inmediatas. ¿Por qué? Porque si os dais cuenta, aquí en las trigonométricas hay unos cambios de, os diré, de variable, que es que a lo mejor puede tardar más de media hora o incluso a lo mejor ustedes, 52 00:03:12,889 --> 00:03:31,449 20 minutos de cada ejercicio. Entonces, lo que sí yo he hecho aquí son precisamente todo este esquema de integrales, que sería bueno que lo vierais, pues que veáis cómo dependiendo, por ejemplo, en las trigonométricas, que es lo que tenemos, los cambios de variables que se hacen son diferentes. 53 00:03:31,449 --> 00:03:44,389 Me refiero, lo malo que tienen muchas veces las integrales es que para dar cuenta del cambio de variable que tienes que elegir, pues como te equivoques en ese cambio, no sabes hacer la integral y has perdido mogollón de tiempo, ¿no? 54 00:03:44,669 --> 00:03:52,550 Entonces, aquí hay una serie de casos. Cuando el seno es impar, pues normalmente se coge coseno de t igual a t, coseno de x igual a t. 55 00:03:52,550 --> 00:04:01,969 cuando el impar es el coseno se coge al revés, el seno de x es igual a t, y luego también tenemos senos o cosenos elevados a m, 56 00:04:02,110 --> 00:04:09,830 donde m es par, que normalmente tenemos que utilizar funciones trigonométricas y demás, y luego, por ejemplo, el caso cuarto, 57 00:04:09,990 --> 00:04:17,889 donde el seno es par y el coseno también es par, el cambio de variable suele ser tangente de x igual a t. 58 00:04:17,889 --> 00:04:38,370 ¿Qué es lo que ocurre? Que hay que hacer, la verdad, que bastantes cosas, que ya os digo que yo aquí lo he hecho, precisamente al final te sale una inmediata, ¿vale? Pero los cambios de variable que tenemos que hacer para conseguir todo esto de aquí, pues son potentes, ¿vale? Son potentes. 59 00:04:38,370 --> 00:05:02,389 Por ejemplo, dice ella que nos quedamos en las trigonométricas, ¿no? Bueno, pues si hacemos esto de aquí, me lo voy a traer, si hacemos este ejercicio, fijaros, aquí lo que tengo yo es un seno elevado al cubo por el coseno de x, ¿verdad? 60 00:05:02,389 --> 00:05:06,509 Entonces, ¿qué es lo que ocurre? 61 00:05:06,910 --> 00:05:17,370 Lo que ocurre es que aquí normalmente se suele utilizar el cambio de variable coseno de x igual a t, ¿vale? 62 00:05:17,370 --> 00:05:26,230 Lo que ocurre es que luego yo tengo que derivar todo esto de aquí, este cambio de variable, y aquí nos aparecen los diferenciales, ¿vale? 63 00:05:26,230 --> 00:05:32,949 Es decir, si yo derivo el coseno de x, lo que tengo es menos n o de x por diferencial de x. 64 00:05:33,069 --> 00:05:36,430 Y si yo derivo la t, ¿qué tengo? El diferencial de t. 65 00:05:39,209 --> 00:05:44,290 Esta podría ser seno a la cuarta partido de x partido al 4. 66 00:05:44,829 --> 00:05:48,709 ¿Por qué? Porque la derivada de esta es el coseno. 67 00:05:49,329 --> 00:05:57,949 Entonces, pero si te das cuenta, claro, aquí a lo mejor con los cambios de variable también se obtiene esto. 68 00:05:57,949 --> 00:06:03,389 Pero lo que quiero que veáis, que en este caso que sí sería inmediata, ¿por qué? 69 00:06:03,449 --> 00:06:05,189 Porque tengo la variable esta de aquí. 70 00:06:05,290 --> 00:06:13,670 Aquí estoy en el caso de que yo tenga una función de x elevado a m y aquí tenga esa derivada de la función. 71 00:06:13,670 --> 00:06:32,050 Esto en teoría es f de x elevado a m más 1 partido m más 1. ¿Vale, chavales? Entonces, ¿qué ocurre? En este caso de aquí, pues esto sería seno a la cuarta de x partido de 4 más una constante de integración. 72 00:06:32,509 --> 00:06:36,850 Entonces, chavales, lo que yo siempre quiero que hagáis es que cuando ustedes integréis, ¿de acuerdo? 73 00:06:36,930 --> 00:06:39,889 Cuando ustedes integréis, luego intentad derivar. 74 00:06:39,990 --> 00:06:42,670 ¿Por qué? Porque si yo derivo, ¿qué tengo que obtener? 75 00:06:43,029 --> 00:06:45,449 Precisamente tengo que obtener el integrando. 76 00:06:45,569 --> 00:06:48,149 Es decir, yo tengo que obtener esto de aquí. 77 00:06:49,029 --> 00:06:50,889 ¿Vale, chavales? Esto de aquí. 78 00:06:51,050 --> 00:06:53,350 Y vamos a ver si es verdad o no. 79 00:06:53,350 --> 00:06:55,589 Si yo esto lo derivo, ¿qué sería? 80 00:06:55,810 --> 00:07:01,149 4 por seno al cubo de x partido de 4. 81 00:07:01,149 --> 00:07:03,670 ¿Y cuánto es la derivada del seno de x? 82 00:07:03,829 --> 00:07:04,730 Coseno de x. 83 00:07:05,250 --> 00:07:05,629 ¿De acuerdo? 84 00:07:05,730 --> 00:07:06,790 Y esto a mí, ¿qué me queda? 85 00:07:07,050 --> 00:07:10,029 Seno al cubo de x, coseno de x. 86 00:07:10,529 --> 00:07:10,769 ¿Vale? 87 00:07:11,490 --> 00:07:14,949 Pero, ¿qué es si yo no caigo en eso de la derivada? 88 00:07:15,290 --> 00:07:21,050 Pues, aquí lo que tenemos que ver es cuando yo tengo aquí el seno con impar 89 00:07:21,050 --> 00:07:24,129 y lo que hago es este cambio de variable. 90 00:07:24,290 --> 00:07:27,149 Y fijaros lo que tenemos que armar, ¿vale? 91 00:07:27,629 --> 00:07:29,930 Lo que tenemos que armar con los cambios de variable. 92 00:07:31,149 --> 00:07:36,910 Lo que yo quiero reflejar con esto es que muchas veces las integrales, 93 00:07:36,910 --> 00:07:43,850 como nos quieran poner una integral normal, vamos, normal que no sea inmediata y demás, 94 00:07:44,089 --> 00:07:49,350 pues los cambios que tenemos que hacer y demás son bastante duros, son bastante duros. 95 00:07:49,649 --> 00:07:50,829 Entonces, ¿qué ocurre? 96 00:07:50,990 --> 00:07:57,250 Que aquí el procedimiento suele ser precisamente cuando tengo el seno impar, 97 00:07:57,250 --> 00:08:09,250 que estoy en el caso este de aquí, en el caso 1, impar en el seno, pues entonces hago el coseno de x. 98 00:08:09,310 --> 00:08:13,670 Aquí, por ejemplo, si yo tuviera esta función de aquí, chavales, si yo tuviera esta función de aquí, 99 00:08:14,029 --> 00:08:21,910 esta no la podría hacer inmediata, ¿lo ves? Esta función de aquí no sería inmediata, esta de aquí. 100 00:08:21,910 --> 00:08:30,470 ¿Por qué? Porque la derivada de seno de x es coseno de x y no es coseno cuadrado de x. 101 00:08:30,569 --> 00:08:36,509 Entonces aquí no me queda más remedio que hacer el cambio de variable coseno de x es igual a t. 102 00:08:37,169 --> 00:08:38,909 ¿Vale? Coseno de x es igual a t. 103 00:08:39,289 --> 00:08:47,049 Y entonces ¿qué ocurre? Que si yo ahora esto lo derivo, que tengo menos seno de x diferencial de x es diferencial de t. 104 00:08:47,049 --> 00:08:52,789 ¿De dónde? Diferencial de x es menos de t partido de seno de x, ¿vale? 105 00:08:53,230 --> 00:08:56,649 Y entonces, ¿por qué os quiero yo saber esto? 106 00:08:56,990 --> 00:09:04,070 Porque fijaros, fijaros aquí, es que esta es complicada, esta es complicada. 107 00:09:04,549 --> 00:09:06,669 Aquí yo tendría un t al cuadrado, ¿verdad? 108 00:09:07,210 --> 00:09:13,070 ¿Veis que yo tengo aquí? Esto sería seno al cubo de x, esto sería t al cuadrado 109 00:09:13,070 --> 00:09:19,070 y diferencial de x, que es menos diferencial de t partido de seno de x. 110 00:09:19,309 --> 00:09:19,909 ¿Lo veis todos? 111 00:09:20,669 --> 00:09:21,049 ¿Sí o no? 112 00:09:21,370 --> 00:09:22,809 Y entonces, ¿aquí qué me quedaría? 113 00:09:23,049 --> 00:09:27,649 Este se me va con este, me queda un seno al cuadrado de x, 114 00:09:27,950 --> 00:09:30,750 t al cuadrado menos diferencial de t. 115 00:09:31,230 --> 00:09:32,289 Y ahora, ¿qué ocurre? 116 00:09:32,309 --> 00:09:35,929 Que tengo que echar mano de las ecuaciones trigonométricas. 117 00:09:35,929 --> 00:09:41,590 No sé si os acordáis que el teorema fundamental de la trigonometría me decía esto, ¿verdad? 118 00:09:43,070 --> 00:09:45,830 El seno al cuadrado más coseno al cuadrado es igual a 1. 119 00:09:45,970 --> 00:09:51,669 Entonces, el seno al cuadrado de x es igual a 1 menos coseno al cuadrado de x. 120 00:09:51,809 --> 00:09:58,450 Y como coseno al cuadrado de x es igual a t al cuadrado, esto es lo mismo que 1 menos t al cuadrado. 121 00:09:59,009 --> 00:09:59,690 ¿Lo veis, chavales? 122 00:10:00,850 --> 00:10:03,990 Esto aquí se forma la verdad que la mundial, ¿eh? 123 00:10:04,190 --> 00:10:05,169 Se forma aquí la mundial. 124 00:10:05,169 --> 00:10:13,870 Y entonces, si yo ahora sustituyo que tengo aquí 1 menos t al cuadrado por t al cuadrado menos diferencial de t, ¿verdad? 125 00:10:14,289 --> 00:10:18,710 Que esto que es realmente este menos me invierte el signo de todo esto de aquí. 126 00:10:18,950 --> 00:10:23,409 Entonces, este cuadrado menos 1 por t al cuadrado diferencial de t. 127 00:10:23,889 --> 00:10:24,950 ¿Habéis visto lo que he hecho? 128 00:10:25,590 --> 00:10:27,870 Habéis visto lo que he hecho, he hecho este cambio de variable. 129 00:10:28,029 --> 00:10:32,370 Y luego tengo que derivar manteniendo diferencial de x, diferencial de t. 130 00:10:32,370 --> 00:10:34,669 sustituyo el coseno de x 131 00:10:34,669 --> 00:10:36,929 que es, es decir, coseno cuadrado 132 00:10:36,929 --> 00:10:39,070 de x es t al cuadrado 133 00:10:39,070 --> 00:10:40,769 ¿lo veis? y ahora aquí 134 00:10:40,769 --> 00:10:42,850 despejo diferencial de x que es 135 00:10:42,850 --> 00:10:44,809 igual a menos diferencial de t partido de 136 00:10:44,809 --> 00:10:46,129 seno de x, ¿de acuerdo? 137 00:10:46,669 --> 00:10:48,610 entonces, ¿qué es lo que tengo aquí ya chavales? 138 00:10:48,610 --> 00:10:50,269 tengo estas que son inmediatas, ¿verdad? 139 00:10:50,990 --> 00:10:52,250 menos t al cuadrado 140 00:10:52,250 --> 00:10:54,529 diferencial de t, entonces 141 00:10:54,529 --> 00:10:56,730 ¿esto a qué es igual? ¿cuál es la integral de t 142 00:10:56,730 --> 00:10:57,769 a la cuarta, chavales? 143 00:11:00,529 --> 00:11:02,649 t a la quinta partido de 5 144 00:11:02,649 --> 00:11:04,850 ¿Y cuál es la integral de t al cuadrado? 145 00:11:04,990 --> 00:11:10,690 t al cubo partido de 3 más la constante de integración, ¿vale? 146 00:11:10,809 --> 00:11:14,409 Por eso yo necesitaba que mirarais los vídeos, 147 00:11:14,529 --> 00:11:18,509 porque si no es que esto lo tenéis que dominar como el comé. 148 00:11:18,669 --> 00:11:21,029 De hecho, ¿cuál es la derivada de t quinta partido de 5? 149 00:11:21,169 --> 00:11:24,370 Pues el 5 que se va con este 5, da la cuarta. 150 00:11:24,490 --> 00:11:26,789 ¿Cuál es la derivada de t al cubo partido de 3? 151 00:11:26,870 --> 00:11:29,909 El 3 pasa aquí, que se va con este 3, y me queda t al cuadrado. 152 00:11:30,029 --> 00:11:31,389 ¿Y ahora qué tengo que hacer, chavales? 153 00:11:31,389 --> 00:11:34,830 Pues lo que tengo que hacer es deshacer el cambio, ¿vale? 154 00:11:34,889 --> 00:11:36,789 Entonces, T es coseno de X, ¿no? 155 00:11:36,870 --> 00:11:48,250 Pues aquí tengo coseno a la quinta de X partido de 5 menos coseno al cubo de X partido de 3 más la constante K. 156 00:11:48,389 --> 00:11:55,210 Y yo os invito a que si ustedes deriváis esto, si ustedes deriváis esto, os tiene que salir esto de aquí. 157 00:11:56,529 --> 00:11:57,009 Dime. 158 00:11:57,009 --> 00:12:06,309 Cuando tú cambias de variable, ¿cuál es? 159 00:12:06,590 --> 00:12:08,909 Coseno de x es igual a t, ¿vale? 160 00:12:09,190 --> 00:12:15,210 Y entonces, ahora aquí, yo lo que necesito es saber cuánto vale de x, ¿vale? 161 00:12:15,250 --> 00:12:18,570 Entonces, si yo dirijo, ¿cuál es la derivada de coseno de x? 162 00:12:18,730 --> 00:12:23,950 Es menos seno de x, y aquí se añade diferencial de x, ¿vale? 163 00:12:23,950 --> 00:12:26,289 Y la derivada de t es 1, ¿verdad? 164 00:12:26,610 --> 00:12:28,669 Pero se añade diferencial de t. 165 00:12:29,230 --> 00:12:31,629 Entonces, si yo despejo diferencial de x, 166 00:12:31,769 --> 00:12:35,230 esto es menos de t partido seno de x. 167 00:12:38,220 --> 00:12:38,460 ¿Vale? 168 00:12:40,259 --> 00:12:43,220 Esto se puede complicar todo lo que tú quieras y más. 169 00:12:43,700 --> 00:12:45,700 Esto se puede complicar todo lo que tú quieras y más. 170 00:12:46,360 --> 00:12:53,720 Entonces, esta de aquí también es inmediata, ¿no? 171 00:12:54,299 --> 00:12:56,259 Pero, ¿cómo sabes que es inmediata? 172 00:12:56,259 --> 00:12:59,340 porque si tengo la derivada o no... 173 00:12:59,340 --> 00:13:00,279 Espérate, esta de aquí. 174 00:13:01,279 --> 00:13:02,580 Esta del logaritmo neperiano. 175 00:13:02,860 --> 00:13:03,759 Sí, un momentillo. 176 00:13:05,360 --> 00:13:05,700 A ver. 177 00:13:06,519 --> 00:13:07,240 Esta de aquí. 178 00:13:08,159 --> 00:13:11,820 Cuando lo que es muy importante, inmediata, 179 00:13:11,820 --> 00:13:14,360 son las que tenéis aquí, en esta hoja. 180 00:13:14,860 --> 00:13:14,960 ¿Vale? 181 00:13:15,139 --> 00:13:15,919 Son en esta hoja. 182 00:13:16,039 --> 00:13:18,200 Entonces, yo lo que siempre tengo que buscar 183 00:13:18,200 --> 00:13:22,879 es la relación entre una función que yo tenga y su derivada. 184 00:13:23,299 --> 00:13:23,480 ¿Vale? 185 00:13:23,519 --> 00:13:25,620 Entonces, aquí es lo que ocurre. 186 00:13:25,620 --> 00:13:29,179 Es que yo sé cuál es la derivada de seno de x. 187 00:13:29,659 --> 00:13:31,620 Seno de x, ¿y su derivada cuál es? 188 00:13:32,100 --> 00:13:33,799 Coseno de x, ¿lo veis? 189 00:13:34,039 --> 00:13:36,639 Y yo esto lo tengo aquí, ¿sí o no? 190 00:13:37,120 --> 00:13:45,120 Entonces, ¿esto es lo mismo, chavales, que coseno de x por seno a la menos 2 de x diferencial de x? 191 00:13:45,659 --> 00:13:46,299 Sí, ¿no? 192 00:13:46,899 --> 00:13:52,019 Recordad que había una propiedad que si yo tengo 1 partido de a elevado a b, 193 00:13:52,200 --> 00:13:55,000 esto es lo mismo que a elevado a menos b, ¿vale? 194 00:13:55,000 --> 00:14:02,179 de las potencias. Entonces, ¿qué ocurre? Que yo aquí tengo mi función f de x es igual 195 00:14:02,179 --> 00:14:07,360 a seno de x. ¿Lo veis? ¿Qué es lo que ocurre? Que está elevado a un exponente que es menos 196 00:14:07,360 --> 00:14:15,580 2. ¿Lo veis? Y aquí tengo f' de x. Sí, ¿no? Entonces, me tengo que ir a la que es 197 00:14:15,580 --> 00:14:23,139 del tipo la función compuesta, la primera, la primera de la derecha. ¿Vale? Entonces, 198 00:14:23,139 --> 00:14:31,620 Esto realmente que es, yo tengo mi función elevada a un exponente que es menos 2 y tengo su derivada, ¿no? 199 00:14:31,919 --> 00:14:42,399 Entonces esto realmente que es seno de menos 2 más 1 de x partido de menos 2 más 1 más la constante de integración. 200 00:14:42,399 --> 00:14:49,960 ¿Lo veis? ¿No? Y entonces esto que es, esto es seno menos 1 partido de menos 1 más la constante. 201 00:14:50,600 --> 00:14:58,539 Esto realmente es menos 1 partido de seno de x, que se me ha ido aquí la x, más la constante, ¿vale? 202 00:14:58,720 --> 00:15:02,320 Si yo derivo esto, chavales, fijaros, si yo derivo esto, ¿qué es? 203 00:15:02,799 --> 00:15:03,639 ¿Esto qué sería? 204 00:15:04,500 --> 00:15:06,200 ¿Esto qué sería si yo lo derivo? 205 00:15:07,799 --> 00:15:12,679 Esto sería, si quiero hacer lo de la división, la primera parte es 0, ¿verdad? 206 00:15:12,679 --> 00:15:29,159 Luego sería menos 1 por coseno de x y abajo sería seno al cuadrado de x menos por menos, es más, esto que es coseno de x partido seno al cuadrado de x, que era precisamente lo que yo tenía. 207 00:15:29,159 --> 00:15:30,259 Entonces, esta es inmediata. 208 00:15:30,740 --> 00:15:31,960 Esta es inmediata. 209 00:15:32,159 --> 00:15:32,720 Esta es inmediata. 210 00:15:32,799 --> 00:15:36,559 Que no caemos en la inmediatez, pues aquí también se puede resolver. 211 00:15:37,019 --> 00:15:40,399 Aquí también se puede resolver haciendo el cambio. 212 00:15:40,759 --> 00:15:44,679 Como el coseno es impar, a ver. 213 00:15:48,340 --> 00:15:53,379 Como el coseno es impar, pues se puede hacer con el cambio seno de x igual a t. 214 00:15:54,080 --> 00:15:54,360 ¿Vale? 215 00:15:54,639 --> 00:15:58,379 Y creo que lo tengo hecho aquí abajo, si no me equivoco. 216 00:16:00,019 --> 00:16:00,259 ¿Vale? 217 00:16:00,659 --> 00:16:01,320 Esta de aquí. 218 00:16:01,320 --> 00:16:05,820 Y si yo hago seno de x igual a t, seno al cuadrado de x es t al cuadrado. 219 00:16:06,019 --> 00:16:11,620 Y ahora la derivada que es coseno de x derivada de x igual a diferencial de t. 220 00:16:12,460 --> 00:16:16,580 Sustituyo porque coseno de x diferencial de x es diferencial de t. 221 00:16:16,820 --> 00:16:19,320 Y seno cuadrado de x es t al cuadrado. 222 00:16:19,379 --> 00:16:19,740 ¿Lo veis? 223 00:16:20,220 --> 00:16:20,379 ¿Sí? 224 00:16:20,480 --> 00:16:20,620 Dime. 225 00:16:23,929 --> 00:16:24,370 También. 226 00:16:26,649 --> 00:16:28,610 Lo que pasa es que muchas veces no te merece la pena, Claudia. 227 00:16:29,070 --> 00:16:31,710 Si tú ves la media t, por eso es inmediata. 228 00:16:32,110 --> 00:16:32,549 ¿Vale? 229 00:16:32,549 --> 00:16:34,309 Lo que pasa es que no siempre se ve. 230 00:16:34,450 --> 00:16:35,049 Ese es el problema. 231 00:16:35,049 --> 00:16:36,129 Que no siempre lo vemos. 232 00:16:36,549 --> 00:16:38,669 Entonces, aquí en este caso, si lo hacemos así, 233 00:16:39,169 --> 00:16:41,490 fijaros, al final tengo la misma solución, ¿o no? 234 00:16:42,070 --> 00:16:43,350 ¿Veis lo que he hecho aquí, o no? 235 00:16:45,330 --> 00:16:45,690 ¿Vale? 236 00:16:45,909 --> 00:16:47,629 Es la misma función. 237 00:16:48,350 --> 00:16:50,929 Lo único que yo a lo mejor no caigo en lo que dice Claudia, 238 00:16:51,350 --> 00:16:54,190 de que esta es la derivada de esta y es inmediata, ¿vale? 239 00:16:54,610 --> 00:16:55,429 Entonces, ¿qué hago? 240 00:16:55,529 --> 00:16:58,830 Como el coseno es impar, hago este cambio de variable, ¿de acuerdo? 241 00:16:58,990 --> 00:17:01,049 Seno de x es igual a t. 242 00:17:01,269 --> 00:17:03,909 Por lo tanto, seno cuadrado de x es igual a t. 243 00:17:03,909 --> 00:17:09,650 Si yo esto lo derivo, es coseno de x diferencial de x igual a diferencial de t. 244 00:17:09,970 --> 00:17:14,109 Es decir, todo esto de aquí que es, chavales, diferencial de t. 245 00:17:14,329 --> 00:17:17,470 Y seno al cuadrado de x que es t al cuadrado. 246 00:17:17,589 --> 00:17:19,450 Entonces me queda esto de aquí. 247 00:17:19,569 --> 00:17:20,569 Esta es inmediata, ¿verdad? 248 00:17:20,890 --> 00:17:21,289 ¿Por qué? 249 00:17:21,369 --> 00:17:24,730 Porque esto es t a la menos 2 diferencial de t. 250 00:17:25,230 --> 00:17:29,390 Y esto que es t elevado a menos 2 más 1 partido de menos 2 más 1. 251 00:17:29,970 --> 00:17:30,170 ¿Vale? 252 00:17:30,529 --> 00:17:33,289 Esto de aquí es menos 2 más 1. 253 00:17:33,289 --> 00:17:35,109 y esto de aquí es 254 00:17:35,109 --> 00:17:36,569 menos 2 más 1 255 00:17:36,569 --> 00:17:39,150 por lo tanto me queda menos 1 partido de t 256 00:17:39,150 --> 00:17:40,410 y ahora deshago el cambio 257 00:17:40,410 --> 00:17:42,990 recordamos que t es igual a seno de x 258 00:17:42,990 --> 00:17:44,410 he obtenido lo mismo 259 00:17:44,410 --> 00:17:46,089 he obtenido lo mismo 260 00:17:46,089 --> 00:17:47,730 ¿vale? 261 00:17:48,450 --> 00:17:50,029 ¿sí? ¿sí o no? 262 00:17:50,029 --> 00:17:51,690 pero el tiempo porque la otra 263 00:17:51,690 --> 00:17:53,829 es un concepto que está 264 00:17:53,829 --> 00:17:54,569 utilizando 265 00:17:54,569 --> 00:17:58,670 aquí abajo o en la anterior 266 00:17:58,670 --> 00:18:00,289 en la anterior 267 00:18:00,289 --> 00:18:01,009 que es la misma ¿no? 268 00:18:02,029 --> 00:18:02,289 dime 269 00:18:02,289 --> 00:18:08,049 aquí desaparece 270 00:18:08,049 --> 00:18:10,069 no, lo que pasa es que fíjate, hay una integral 271 00:18:10,069 --> 00:18:11,430 definida que cuando me dice 272 00:18:11,430 --> 00:18:12,950 que si yo tengo 273 00:18:12,950 --> 00:18:17,940 una función elevada a m o m 274 00:18:17,940 --> 00:18:19,480 una potencia, ¿vale? este n 275 00:18:19,480 --> 00:18:21,839 tiene que ser distinto de menos 1 276 00:18:21,839 --> 00:18:23,619 ¿vale? porque si no es un logaritmo neperiano 277 00:18:23,619 --> 00:18:25,680 y yo tengo aquí además su derivada 278 00:18:25,680 --> 00:18:27,880 ¿vale? esta es la derivada 279 00:18:27,880 --> 00:18:29,960 pues resulta que es inmediata, es la primera 280 00:18:29,960 --> 00:18:31,960 que tenemos en la tabla, tienes esta hoja 281 00:18:31,960 --> 00:18:33,440 la primera a la derecha 282 00:18:33,440 --> 00:18:41,700 ¿Vale? Esto es f de n más 1 partido n más 1 más la constante de integración. 283 00:18:41,920 --> 00:18:45,700 Entonces date cuenta que yo aquí que lo tengo coseno de x lo he dejado igual, 284 00:18:46,119 --> 00:18:50,160 pero seno cuadrado de x lo he puesto como seno elevado a menos 2 de x, 285 00:18:50,359 --> 00:18:52,519 precisamente por esta propiedad de las potencias. 286 00:18:53,059 --> 00:18:53,400 ¿Vale? 287 00:18:54,819 --> 00:18:55,579 ¿Sí o no? 288 00:18:58,039 --> 00:18:58,920 ¿Este de aquí? 289 00:18:59,579 --> 00:19:00,480 Claro, es lo que te digo. 290 00:19:00,480 --> 00:19:02,559 ¿El coseno es la derivada del seno? 291 00:19:03,440 --> 00:19:11,559 Pues entonces es inmediata. Fíjate lo que tengo aquí. Yo tengo mi función, mi f de x, es el seno. Y está elevado a n. n vale a menos 2. 292 00:19:12,200 --> 00:19:22,779 Y encima tengo la derivada del seno, que es el coseno. ¿Sí o no? Entonces estoy en este caso. ¿Sí o no? ¿Vale? Necesito la derivada. 293 00:19:23,559 --> 00:19:29,480 Más o menos, chavales, ¿lo veis? Todo esto se puede complicar mogollón, pero mogollón. 294 00:19:29,480 --> 00:19:32,759 aquí por ejemplo, estas 5 295 00:19:32,759 --> 00:19:34,140 estas 5 296 00:19:34,140 --> 00:19:37,059 fijaros todo lo que tenemos 297 00:19:37,059 --> 00:19:38,819 que armar para llegar 298 00:19:38,819 --> 00:19:40,920 a esto 299 00:19:40,920 --> 00:19:42,579 de aquí, chavales 300 00:19:42,579 --> 00:19:44,700 tenemos que armarla de Dios 301 00:19:44,700 --> 00:19:46,839 entonces, por eso os digo 302 00:19:46,839 --> 00:19:48,779 que integrales como tal 303 00:19:48,779 --> 00:19:50,839 nos pueden poner lo más grande 304 00:19:50,839 --> 00:19:51,940 yo siempre lo dejaría para 305 00:19:51,940 --> 00:19:54,240 al final, a menos que yo vea que 306 00:19:54,240 --> 00:19:56,700 efectivamente una integral polinómica 307 00:19:56,700 --> 00:19:58,599 es muy fácil o una integral 308 00:19:58,599 --> 00:20:01,319 inmediata de senos o cosenos, ¿vale? 309 00:20:01,740 --> 00:20:03,359 ¿Sí? ¿Sí o no? 310 00:20:04,099 --> 00:20:06,759 Entonces, chavales, echarle un vistazo a este esquema 311 00:20:06,759 --> 00:20:11,059 y aquí he puesto una serie que me quedan bastante. 312 00:20:11,180 --> 00:20:13,519 Ayer me pegué una pechada de hacer integrales que no veas. 313 00:20:14,579 --> 00:20:17,299 Y hay mogollón de ejercicios de integrales 314 00:20:17,299 --> 00:20:19,539 que os tengo que subir por partes, ¿vale? 315 00:20:19,539 --> 00:20:23,019 Porque me quedan bastantes por haceros, ¿de acuerdo? 316 00:20:23,099 --> 00:20:25,680 Entonces, por desgracia, no me da tiempo aquí a hacerlos todos. 317 00:20:26,099 --> 00:20:28,480 Y voy a ir un poco rápido en el sentido de que veáis 318 00:20:28,480 --> 00:20:32,519 los mecanismos que es lo que a mí me interesa, ¿vale? Como lo tenéis aquí subido, echarle 319 00:20:32,519 --> 00:20:37,400 un vistazo. Fijaros, chavales, voy a empezar de las más sencillas a las más complicadas. 320 00:20:37,559 --> 00:20:41,460 Esta de aquí es una función polinómica que está dividida entre dos. Yo divido por 321 00:20:41,460 --> 00:20:46,059 dos cada uno de ellos, la separo, ¿de acuerdo? Y es inmediata. ¿Cuál es la derivada de 322 00:20:46,059 --> 00:20:49,960 x al cuadrado? x al cubo partido de 3. ¿Cuál es la derivada de x? x al cuadrado partido 323 00:20:49,960 --> 00:20:56,700 de 2. ¿Cuál es la derivada de 1? Es x, ¿vale? Siempre tengo que añadir la constante de 324 00:20:56,700 --> 00:21:26,680 derivación. Si yo, por ejemplo, chavales, tengo de aquí que es x partido de raíz cúbica de x, aquí lo que siempre tengo que ver es lo de la potencia, recordar estas propiedades que os la pongo aquí en colorado, ¿vale? Es la raíz emésima de a elevado a p, eso es una potencia siempre que es igual a a elevado a p partido de m. ¿Qué ocurre? Que raíz cúbica de x, que es x elevado a un tercio, ¿lo veis? Y luego hay otra propiedad que a elevado a 325 00:21:26,680 --> 00:21:30,220 De 1 partido de a elevado a m es igual que a elevado a menos m. 326 00:21:30,220 --> 00:21:34,940 Por lo tanto, tengo aquí, chavales, x por x elevado a 1 menos 1 tercio. 327 00:21:35,339 --> 00:21:37,339 Y luego tengo que aplicar las propiedades de potencia. 328 00:21:37,440 --> 00:21:40,660 Cuando multiplico potencia, que es la misma base que se hacían con sus exponentes, 329 00:21:41,039 --> 00:21:41,640 se sumaba. 330 00:21:41,779 --> 00:21:44,799 Entonces, 1 menos 1 tercio son 2 tercios. 331 00:21:44,960 --> 00:21:46,880 Esta es inmediata también, ¿vale, chavales? 332 00:21:47,059 --> 00:21:47,859 Esta es inmediata. 333 00:21:48,000 --> 00:21:51,700 Esto es x elevado a 2 tercios más 1 partido de 2 tercios más 1. 334 00:21:51,960 --> 00:21:52,960 ¿Qué es lo que ocurre? 335 00:21:53,039 --> 00:21:56,059 Que luego lo que queda bonito es racionalizar, ¿vale? 336 00:21:56,539 --> 00:21:58,680 Entonces, esto lo pasamos de nuevo a raíz 337 00:21:58,680 --> 00:22:01,000 y luego podemos sacar factor común, 338 00:22:01,519 --> 00:22:04,500 podemos sacar de la raíz un x, ¿vale? 339 00:22:04,839 --> 00:22:06,339 Como esto está subido, chavales, 340 00:22:06,460 --> 00:22:07,039 echadle un vistazo. 341 00:22:07,140 --> 00:22:08,759 A mí lo que me interesa son las metodologías. 342 00:22:09,259 --> 00:22:11,099 Por ejemplo, esta de aquí, chavales, 343 00:22:11,200 --> 00:22:12,279 ¿qué es lo que quiero que veáis? 344 00:22:12,880 --> 00:22:14,779 Yo aquí tengo una racional, ¿verdad? 345 00:22:14,839 --> 00:22:15,440 Una racional. 346 00:22:15,680 --> 00:22:17,240 Y ahora me fijo en el denominador. 347 00:22:17,720 --> 00:22:19,619 ¿Cuál es la derivada del denominador? 348 00:22:19,619 --> 00:22:21,619 ¿Cuál es la derivada de 2x más 7? 349 00:22:22,839 --> 00:22:25,359 ¿Cuál es la derivada de 2x más 7? 350 00:22:25,359 --> 00:22:27,319 un 2. ¿Vale? Es un 2. 351 00:22:27,559 --> 00:22:28,440 ¿Tengo un 2 arriba? 352 00:22:29,500 --> 00:22:31,460 ¿Lo puedo multiplicar por 2 y 353 00:22:31,460 --> 00:22:32,960 dividir entre 2 y se me quede igual? 354 00:22:33,299 --> 00:22:35,599 ¿Sí? Pues entonces aquí es una de las técnicas 355 00:22:35,599 --> 00:22:37,400 más habituales. ¿De acuerdo? Es 356 00:22:37,400 --> 00:22:39,420 buscar arriba la derivada 357 00:22:39,420 --> 00:22:41,000 del de abajo. ¿Vale? Entonces, 358 00:22:41,420 --> 00:22:43,380 como la derivada de 2x más 7 es 359 00:22:43,380 --> 00:22:45,539 un 2, yo aquí lo que puedo hacer 360 00:22:45,539 --> 00:22:47,339 chavales es, pongo 361 00:22:47,339 --> 00:22:49,319 un 2 y aquí lo 362 00:22:49,319 --> 00:22:51,160 tengo que multiplicar por un medio, porque 363 00:22:51,160 --> 00:22:52,619 un medio por 2, ¿cuánto es? 364 00:22:52,619 --> 00:22:55,700 1, un medio por 2 365 00:22:55,700 --> 00:22:58,059 un número por su inverso siempre es 366 00:22:58,059 --> 00:22:59,259 un 1, ¿de acuerdo? 367 00:22:59,700 --> 00:23:02,319 entonces chavales, tengo ya aquí la derivada 368 00:23:02,319 --> 00:23:03,680 del de abajo 369 00:23:03,680 --> 00:23:05,819 y entonces fijaros aquí 370 00:23:05,819 --> 00:23:07,259 en la segunda inmediata 371 00:23:07,259 --> 00:23:09,339 la segunda inmediata, ¿qué me dice? 372 00:23:09,599 --> 00:23:11,019 que cuando yo tengo 373 00:23:11,019 --> 00:23:12,880 una función 374 00:23:12,880 --> 00:23:14,660 una función 375 00:23:14,660 --> 00:23:17,779 que está en el denominador o uno partido 376 00:23:17,779 --> 00:23:19,480 de la función por su derivada 377 00:23:19,480 --> 00:23:21,940 eso es igual al logaritmo neperiano 378 00:23:21,940 --> 00:23:23,799 de esa función, ¿de acuerdo? 379 00:23:24,079 --> 00:23:26,140 Esta es otra de las típicas 380 00:23:26,140 --> 00:23:28,059 que sí van a caer bastante, ¿eh? 381 00:23:28,500 --> 00:23:30,279 Es una racional donde yo tenga 382 00:23:30,279 --> 00:23:32,400 que buscar al final 383 00:23:32,400 --> 00:23:34,299 la derivada de lo de abajo 384 00:23:34,299 --> 00:23:35,460 arriba, ¿de acuerdo? 385 00:23:35,680 --> 00:23:38,259 Y una cosa, cuando pongáis logaritmo neperiano 386 00:23:38,259 --> 00:23:40,299 poner el argumento siempre 387 00:23:40,299 --> 00:23:41,619 en valor absoluto, ¿de acuerdo? 388 00:23:41,700 --> 00:23:44,119 Porque el logaritmo neperiano, su argumento 389 00:23:44,119 --> 00:23:46,460 siempre tiene que ser estrictamente mayor que cero. 390 00:23:46,799 --> 00:23:48,759 ¿Habéis entendido lo que he hecho aquí, chavales, o no? 391 00:23:49,599 --> 00:23:49,819 ¿Sí? 392 00:23:51,940 --> 00:23:53,819 De 2x más 7 es un 2. 393 00:23:53,980 --> 00:23:54,799 No la tengo, ¿verdad? 394 00:23:55,480 --> 00:23:56,619 No tengo aquí un 2. 395 00:23:57,559 --> 00:23:58,619 ¿La tengo aquí o no? 396 00:23:59,319 --> 00:24:00,460 Vale, pues entonces, ¿qué hago? 397 00:24:00,819 --> 00:24:04,539 Yo multiplico por 2, pero tengo que también multiplicar por un medio. 398 00:24:04,740 --> 00:24:06,119 ¿Para qué? Para que se me quede igual. 399 00:24:07,019 --> 00:24:07,220 ¿Vale? 400 00:24:07,779 --> 00:24:10,279 Entonces, yo ya aquí, fíjate, yo aquí ya sí lo tengo. 401 00:24:10,740 --> 00:24:11,160 ¿Lo veis? 402 00:24:11,859 --> 00:24:12,579 Que tengo aquí. 403 00:24:12,980 --> 00:24:13,180 ¿Vale? 404 00:24:13,880 --> 00:24:16,279 Vale, esta de aquí, esta es inmediata. 405 00:24:16,680 --> 00:24:16,880 ¿Vale? 406 00:24:16,880 --> 00:24:21,200 Esta es la derivada de una suma de una resta, es la suma o la resta de derivada. 407 00:24:21,200 --> 00:24:37,980 Entonces, ¿cuál es la derivada de x? x cuadrado partido de 2. ¿Cuál es la integral de seno de x? Menos coseno de x. ¿Vale? Y lo único que se pone es una única constante de integración, que yo la separe. ¿Vale, chavales? Estas sí que son inmediatas. 408 00:24:37,980 --> 00:24:44,900 Y siempre os digo lo mismo, si tú pruebas, ah, al resultado lo deriva, me tiene que dar precisamente lo que tengo aquí. 409 00:24:45,359 --> 00:24:51,099 ¿Vale, chavales? Entonces, cuando integréis, luego deriváis y os tiene que dar el integrando, ¿vale? 410 00:24:54,019 --> 00:25:01,059 Efectivamente, es al revés. La derivada del seno es el coseno, pero la integral del seno es menos coseno, ¿vale? 411 00:25:01,059 --> 00:25:21,420 Y si no, tú piensa, ¿qué derivada me tiene que dar seno? ¿Qué derivada me tiene que dar seno? Yo sé que la derivada del coseno es menos seno, ¿verdad? Entonces, menos coseno me tiene que dar seno, ¿vale? Dime. 412 00:25:21,420 --> 00:25:26,200 Sí, de integración 413 00:25:26,200 --> 00:25:27,099 Esto se me ha ido a la olla 414 00:25:27,099 --> 00:25:29,819 Esto de integración 415 00:25:29,819 --> 00:25:31,359 Esto se me ha ido aquí 416 00:25:31,359 --> 00:25:32,900 A la olla al máximo 417 00:25:32,900 --> 00:25:35,599 Yo aquí lo que pasa es que he separado 418 00:25:35,599 --> 00:25:38,440 Precisamente la propiedad 419 00:25:38,440 --> 00:25:40,440 Que me dice que la suma o la resta 420 00:25:40,440 --> 00:25:42,519 De integrales es la resta o la suma 421 00:25:42,519 --> 00:25:44,440 De integrales, si yo integro 422 00:25:44,440 --> 00:25:46,359 X es X cuadrado 423 00:25:46,359 --> 00:25:48,160 Partido de 2 más una constante, ¿sí o no? 424 00:25:48,420 --> 00:25:50,039 Si yo integro seno de X 425 00:25:50,039 --> 00:25:51,920 esta, entonces yo tendría dos constantes 426 00:25:51,920 --> 00:25:53,920 al final, lo que se hace, se pone 427 00:25:53,920 --> 00:25:55,940 una única constante de integración, ¿vale? 428 00:25:55,940 --> 00:25:57,900 aquí hay una errata, esto es integración 429 00:25:57,900 --> 00:25:58,799 ¿vale, chavales? 430 00:25:59,619 --> 00:26:00,140 entonces 431 00:26:00,140 --> 00:26:03,640 cuando yo tengo x cuadrado 432 00:26:03,640 --> 00:26:05,839 más uno al cuadrado, fijaros 433 00:26:05,839 --> 00:26:08,000 aquí, ¿vale? esta de aquí que parece 434 00:26:08,000 --> 00:26:10,039 fácil, que no, vamos 435 00:26:10,039 --> 00:26:11,339 y lo es, ¿vale? 436 00:26:11,660 --> 00:26:13,859 esta de aquí, chavales, que tengo una 437 00:26:13,859 --> 00:26:15,859 función elevada al cuadrado, ¿sí o no? 438 00:26:16,119 --> 00:26:17,720 para que fuese inmediata 439 00:26:17,720 --> 00:26:19,839 yo tendría que tener aquí la derivada 440 00:26:19,839 --> 00:26:21,519 de x cuadrado más 1, ¿sí o no? 441 00:26:21,960 --> 00:26:24,099 Que la derivada de x cuadrado más 1, ¿cuánto es? 442 00:26:24,880 --> 00:26:26,319 2x. ¿Tengo aquí 2x? 443 00:26:26,799 --> 00:26:28,039 No. Igual que yo 444 00:26:28,039 --> 00:26:29,880 puedo multiplicar por 2 y 445 00:26:29,880 --> 00:26:31,839 dividir entre 2 y demás, lo que 446 00:26:31,839 --> 00:26:34,079 no puedo añadir nunca es una x 447 00:26:34,079 --> 00:26:35,200 a la integración, ¿vale? 448 00:26:35,660 --> 00:26:37,619 Nunca puedo añadir la x. 449 00:26:37,740 --> 00:26:39,519 Entonces, si yo tuviera, por ejemplo, chavales, 450 00:26:39,680 --> 00:26:43,140 esto de aquí, es distinta, 451 00:26:43,599 --> 00:26:45,400 ¿vale? Aquí, ¿cuál es la 452 00:26:45,400 --> 00:26:47,160 derivada de x cuadrado más 1? 453 00:26:47,539 --> 00:26:48,980 2x. Entonces yo aquí 454 00:26:48,980 --> 00:26:51,319 sí que necesito aquí un 2 455 00:26:51,319 --> 00:26:53,359 y por lo tanto yo lo que hago es 456 00:26:53,359 --> 00:26:55,480 multiplico por un medio para compensar 457 00:26:55,480 --> 00:26:56,700 ese 2, ¿verdad? 458 00:26:57,039 --> 00:26:59,119 Entonces esta sí, esto es un medio 459 00:26:59,119 --> 00:27:01,619 y esta ya sí que es inmediata. 460 00:27:02,259 --> 00:27:03,200 ¿Veis que es inmediata? 461 00:27:03,599 --> 00:27:05,559 Porque yo tengo esta función de aquí 462 00:27:05,559 --> 00:27:07,279 y aquí tengo su derivada. 463 00:27:07,539 --> 00:27:08,599 Esta es f de x 464 00:27:08,599 --> 00:27:10,619 y esta es f' de x. 465 00:27:10,619 --> 00:27:12,140 Es distinta la de arriba, ¿eh? 466 00:27:12,720 --> 00:27:14,720 Esta es distinta la de arriba. Quiero que veáis 467 00:27:14,720 --> 00:27:16,140 la distinción. 468 00:27:16,519 --> 00:27:18,579 Entonces, ¿qué ocurre? Esto sería un medio 469 00:27:18,579 --> 00:27:23,319 ¿Y cuál es la derivada integral de 2x por x cuadrado más 1 al cuadrado? 470 00:27:23,500 --> 00:27:29,720 Es x cuadrado más 1 elevado a 2 más 1 partido de 2 más 1. 471 00:27:29,859 --> 00:27:30,480 ¿Lo entendéis? 472 00:27:31,200 --> 00:27:31,400 ¿Sí? 473 00:27:31,839 --> 00:27:33,599 Más mi constante de integración. 474 00:27:33,740 --> 00:27:34,799 Y entonces, ¿esto qué es? 475 00:27:34,980 --> 00:27:43,099 Es un medio de x cuadrado, bueno, estos tres, más 1 al cubo partido de 3. 476 00:27:43,279 --> 00:27:45,339 Es decir, más la constante. 477 00:27:45,460 --> 00:27:47,819 La constante no olvidarse nunca, ¿vale? 478 00:27:47,819 --> 00:27:50,180 Que es lo que suele también fallar mucho la gente. 479 00:27:51,039 --> 00:27:52,859 Entre 6 más la constante. 480 00:27:53,440 --> 00:27:54,759 Esto si tuviera esto de aquí. 481 00:27:54,900 --> 00:27:55,339 Dime, hija. 482 00:27:56,359 --> 00:27:57,980 La constantista la tienes que poner así, 483 00:27:58,039 --> 00:27:58,779 se puede poner una fila. 484 00:27:59,140 --> 00:27:59,500 ¿Una qué? 485 00:27:59,619 --> 00:28:00,420 Una fila. 486 00:28:00,640 --> 00:28:02,759 Sí, yo es que a mí me gusta ponerle este 487 00:28:02,759 --> 00:28:03,900 para distinguirla. 488 00:28:03,960 --> 00:28:05,779 Una K también le puedes poner, ¿vale? 489 00:28:06,279 --> 00:28:07,579 Entonces, ¿aquí qué es lo que ocurre? 490 00:28:07,640 --> 00:28:09,740 Yo aquí no tengo la derivada, ¿lo veis? 491 00:28:10,160 --> 00:28:11,539 Yo aquí no tengo la derivada. 492 00:28:11,539 --> 00:28:14,859 No tengo aquí 2X, 493 00:28:15,000 --> 00:28:16,220 pero es que no tengo ni la X. 494 00:28:16,220 --> 00:28:35,140 Entonces aquí la única posibilidad es desarrollar este binomio. ¿Vale? ¿Y cuál es una identidad notable, chavales? Es el cuadrado del primero más el cuadrado del segundo más el doble producto del primero por el segundo. ¿Vale? Lo desarrollo. Y estas ya son inmediatas, ¿verdad, chavales? 495 00:28:35,140 --> 00:28:56,079 Esto es x a la quinta partido de 5 más, voy a hacer esta primera, ¿vale? Esto es 2x al cubo partido de 3 más x más la constante de integración. ¿Vale, chavales? Es decir, yo aquí no tengo ninguna x que la necesito. Aquí sí, ¿vale? Estos son dos ejemplos distintos. 496 00:28:56,079 --> 00:29:02,039 Entonces, ¿qué es lo que ocurre? Desarrollo el binomio, ¿vale? El binomio que es una identidad notable. 497 00:29:02,200 --> 00:29:07,019 Era el cuadrado del primero más el cuadrado del segundo más el doble producto del primero por el segundo. 498 00:29:07,160 --> 00:29:13,079 Y aquí yo ya tengo integrales inmediatas, ¿vale? Integrales inmediatas. 499 00:29:13,680 --> 00:29:14,700 ¿Sí? Digo... 500 00:29:14,700 --> 00:29:17,660 Si tú haces la derivada de lo que acabas de hacer, te tienes que dar x más 4. 501 00:29:17,700 --> 00:29:20,599 Es que si yo hago la derivada de 2x más 1, me da 2x. 502 00:29:21,039 --> 00:29:22,200 Y como... 503 00:29:22,200 --> 00:29:23,180 De los resultados... 504 00:29:23,180 --> 00:29:43,640 Sí, sí, sí, sí. Deriva esto y te va a salir x cuadrado más 2x cuadrado más 1, que al final y a la postre es x cuadrado más 1 al cuadrado, ¿vale? Otra cosa es que tú creigas que esto realmente es x cuadrado más 1 dos veces, ¿vale? Pero te tiene que dar, ¿vale? Te tiene que dar. 505 00:29:43,640 --> 00:29:46,740 Artema, Fernanda 506 00:29:46,740 --> 00:29:54,160 aquí chavales, por ejemplo 507 00:29:54,160 --> 00:29:55,880 esta, esta de aquí 508 00:29:55,880 --> 00:29:57,740 si yo hago esta de aquí 509 00:29:57,740 --> 00:29:59,559 ¿qué dices? 510 00:30:00,460 --> 00:30:02,859 pues esta aquí puedo desarrollar 511 00:30:02,859 --> 00:30:04,319 al cubo 512 00:30:04,319 --> 00:30:06,480 que la mayoría de ustedes no recordáis 513 00:30:06,480 --> 00:30:07,160 como se 514 00:30:07,160 --> 00:30:10,220 el binomio de Newton 515 00:30:10,220 --> 00:30:12,339 ¿vale? que esto realmente 516 00:30:12,339 --> 00:30:26,200 Chavales, cuando tengo a más b al cubo, esto es al cubo más 3a cuadrado b más 3ab cuadrado más b al cubo, ¿vale? Esto, natillas de anones, no os acordáis. 517 00:30:26,200 --> 00:30:35,099 Pero, ¿qué ocurre? Yo tengo aquí una función al cubo. ¿Cuál es la derivada de x menos 5, chavales? ¿Cuál es la derivada? ¿1? ¿Lo tengo aquí? 518 00:30:35,099 --> 00:30:46,440 Sí, ¿no? Pues entonces esta es inmediata. Esto es x menos 5 elevado a 3 más 1 partido 3 más 1 más la constante de integración. 519 00:30:46,539 --> 00:30:52,640 Es decir, x menos 5 a la cuarta partido de 4 más la constante. 520 00:30:53,119 --> 00:30:56,119 Y es lo que os digo, si yo derivo esto, chavales, ¿qué ocurre? 521 00:30:56,500 --> 00:31:03,099 Esto es 4 que se va con este 4, x menos 5 al cubo, ¿y cuánto es la derivada de x menos 5? 522 00:31:03,099 --> 00:31:11,299 un 1. Es decir, se me queda esto de aquí. ¿Vale? ¿Sí? Venga. O si no, fija los chochos 523 00:31:11,299 --> 00:31:15,839 que hay que montar y luego ya derivas en 1. ¿De acuerdo? Entonces vamos ahí a lo sencillo. 524 00:31:16,180 --> 00:31:20,220 Cuando tengo una raíz, chavales, cuando tengo una raíz, siempre voy a intentar poner la 525 00:31:20,220 --> 00:31:26,339 raíz como potencia. Entonces, cuando yo tengo la raíz de 3x más 5, esto realmente es lo 526 00:31:26,339 --> 00:31:31,519 mismo que 3x más 5 elevado a un medio. ¿De acuerdo? Y ahora, ¿cuál es la derivada de 527 00:31:31,519 --> 00:31:33,420 3x más 5? Un 3. 528 00:31:33,740 --> 00:31:35,640 Entonces, ¿yo qué es lo que he hecho? Como la 529 00:31:35,640 --> 00:31:37,200 derivada de 3x más 5 530 00:31:37,200 --> 00:31:39,660 es un 3, yo multiplico 531 00:31:39,660 --> 00:31:41,599 por 3, pero tengo que multiplicar también por 532 00:31:41,599 --> 00:31:43,440 un tercio para que se me quede 533 00:31:43,440 --> 00:31:45,640 todo igual, ¿vale? Y entonces, ¿qué ocurre? 534 00:31:45,680 --> 00:31:47,420 Yo tengo un tercio y aquí, 535 00:31:47,579 --> 00:31:49,640 chavales, ¿qué es lo que ocurre? Que tengo 3x 536 00:31:49,640 --> 00:31:51,579 más 5 elevado a un medio, pero 537 00:31:51,579 --> 00:31:53,539 tengo también la derivada de 3x 538 00:31:53,539 --> 00:31:55,500 más 5, que es 3. Por lo tanto, esta 539 00:31:55,500 --> 00:31:56,559 ¿cómo es? Es 540 00:31:56,559 --> 00:31:59,660 inmediata. Es 3x 541 00:31:59,660 --> 00:32:01,240 más 5, un medio más 1 542 00:32:01,240 --> 00:32:03,599 partido de un medio más uno, ¿vale? 543 00:32:03,680 --> 00:32:07,359 Y luego lo tengo que volver a pasar a raíz, ¿vale, chavales? 544 00:32:07,859 --> 00:32:08,720 ¿Cómo lo veis? 545 00:32:11,720 --> 00:32:14,519 Otra posibilidad es hacer un cambio de variable, ¿vale? 546 00:32:14,920 --> 00:32:17,200 Otra cosa es que tú caigas en el cambio de variable. 547 00:32:17,359 --> 00:32:18,200 Los cambios de variables, 548 00:32:18,559 --> 00:32:20,779 que son más los de los cambios de variable de integración, 549 00:32:20,900 --> 00:32:24,380 que hay algunos casos donde sí se aconseja ciertos cambios 550 00:32:24,380 --> 00:32:26,400 y otros que dices tú, 551 00:32:26,539 --> 00:32:28,759 vaya fumada se han hecho aquí para hacer el cambio. 552 00:32:28,900 --> 00:32:31,460 Entonces, aquí lo único es que tú puedes decir, 553 00:32:31,460 --> 00:32:40,119 Bueno, pues como tengo una raíz cuadrada, lo que me interesa es que lo de dentro sea t, ¿de acuerdo? 554 00:32:40,920 --> 00:32:45,680 Entonces, en vez de tener la integral de un polinomio, tengo la integral de t. 555 00:32:45,839 --> 00:32:51,559 ¿Qué es lo que ocurre? Que yo al derivar esto, tengo 3x diferencial de x más diferencial de t. 556 00:32:51,660 --> 00:32:56,480 Por lo tanto, diferencial de x es de t partido de 3, ¿de acuerdo? Si despejo. 557 00:32:57,140 --> 00:32:57,980 Aquí, ¿qué ocurre? 558 00:32:58,000 --> 00:33:01,940 Que 3x más 5 es t y derivada de x es dt partido de 3. 559 00:33:02,099 --> 00:33:02,980 Esto es un tercio. 560 00:33:03,559 --> 00:33:08,759 La raíz de t la pongo como t elevado a 1 medio y, de nuevo, es inmediata. 561 00:33:09,299 --> 00:33:09,420 ¿Vale? 562 00:33:09,539 --> 00:33:13,279 t elevado a 1 medio es t elevado a 1 medio más 1 partido de 1 medio más 1, 563 00:33:13,680 --> 00:33:15,000 que es 3 medios y 3 medios. 564 00:33:15,460 --> 00:33:15,819 ¿De acuerdo? 565 00:33:16,400 --> 00:33:16,720 ¿Sí o no? 566 00:33:16,720 --> 00:33:21,420 Y al final obtengo exactamente, chavales, exactamente lo mismo. 567 00:33:22,000 --> 00:33:22,180 ¿Vale? 568 00:33:23,019 --> 00:33:24,700 Esta de aquí es inmediata. 569 00:33:24,700 --> 00:33:26,859 coseno de x, ¿cuál es la derivada de 570 00:33:26,859 --> 00:33:28,880 coseno de x? es menos seno de x 571 00:33:28,880 --> 00:33:30,940 por lo tanto, ¿cuál es la integral de coseno 572 00:33:30,940 --> 00:33:33,160 de x? seno de x, ¿por qué la integral 573 00:33:33,160 --> 00:33:34,799 de coseno de x es 574 00:33:34,799 --> 00:33:36,880 seno de x? porque al derivar seno 575 00:33:36,880 --> 00:33:38,480 de x obtengo coseno de x 576 00:33:38,480 --> 00:33:40,920 y aquí existe más lo que conté el otro día 577 00:33:40,920 --> 00:33:43,059 ¿vale? ¿qué ocurre 578 00:33:43,059 --> 00:33:44,940 cuando se integra el elevado a x? 579 00:33:45,019 --> 00:33:46,720 que se quede igual, ¿vale? por eso estaba 580 00:33:46,720 --> 00:33:48,440 en la fiesta el hombre solo 581 00:33:48,440 --> 00:33:50,700 ¿vale? entonces la integral de 582 00:33:50,700 --> 00:33:52,539 elevado a x es elevado a x 583 00:33:52,539 --> 00:34:11,059 ¿De acuerdo? Aquí otro ejemplillo más, chavales. Lo pongo siempre. Aquí también hay un problema que me encuentro en muchos, chavales, en muchos exámenes, ¿vale? Siempre lo más fácil para nosotros es sumar y restar, ¿vale? Eso es lo de siempre. 584 00:34:11,059 --> 00:34:37,360 Pero, sin embargo, por ejemplo, yo tenía un profesor que siempre decía, la suma y la resta son nuestros enemigos. Sin embargo, la multiplicación y la división son nuestros amigos. ¿En qué sentido se basaba este hombre? Porque cuando yo tengo, por ejemplo, 5 más 7 partido 5, hay gente que me tacha los 5. 5 más 7 partido de 5 me tacha los 5 y dice que es 7, ¿vale? Y eso me lo encuentro así muchas veces. 585 00:34:37,360 --> 00:34:43,980 ¿Qué es lo que ocurre? Que normalmente ahí sí que os podéis dar cuenta, pero cuando aparecen las X os hacen un chocho tremendo. 586 00:34:44,300 --> 00:34:52,860 ¿Cuándo puedo cepillarme yo cosas? Cuando yo lo que tengo arriba son factores y abajo son factores, es decir, van multiplicando y van iguales, lo puedo tachar. 587 00:34:52,860 --> 00:35:01,599 Pues ocurre también lo mismo con las raíces, es decir, la raíz de una suma no es la suma de raíces. 588 00:35:01,599 --> 00:35:12,840 La raíz de una resta no es la suma de raíces, pero sin embargo, la raíz de una multiplicación es la multiplicación de raíces y la raíz de una división es la división de raíces. 589 00:35:12,840 --> 00:35:16,699 Por lo tanto, yo esto de aquí lo puedo poner como la división de estas raíces. 590 00:35:16,820 --> 00:35:23,559 ¿Y esto de aquí qué es? Esto al final es una constante. Una constante que yo la puedo sacar fuera. ¿Lo veis? La puedo sacar fuera. 591 00:35:23,659 --> 00:35:29,139 ¿Y ahora aquí qué me queda? Esto es el pie elevado a 2 tercios. Siempre tengo que poner las raíces como potencia. 592 00:35:29,139 --> 00:35:56,880 Y x elevado a 2 tercios, ¿qué es? Es inmediata. Es x elevado a 2 tercios más 1 partido de 2 tercios más 1. ¿Vale, chavales? ¿Sí o no? Aquí, coseno cuadrado de x. No sé si recordáis que hay una función que al derivarla me da 1 partido coseno cuadrado de x. ¿Qué función al derivarla me da 1 partido coseno cuadrado de x? La tangente de x. 593 00:35:56,880 --> 00:36:10,900 ¿Vale? Entonces, ¿esto qué es igual? A7 tangente de x más la constante, ¿vale? Aquí he puesto una k, se puede poner la c rara esta que yo pongo, ¿vale? Es decir, esto de aquí es igual a 7 por la derivada de x partido de coseno de x y esta es inmediata. 594 00:36:10,900 --> 00:36:12,980 ¿Qué se puede hacer también con potencia? 595 00:36:14,099 --> 00:36:16,019 Pero no tienes aquí el seno. 596 00:36:17,760 --> 00:36:19,500 No tienes aquí el seno. 597 00:36:19,579 --> 00:36:19,760 ¿Vale? 598 00:36:20,079 --> 00:36:23,340 Entonces aquí lo que puedes hacer también es un cambio de variable, 599 00:36:23,460 --> 00:36:24,320 un chocho tremendo. 600 00:36:24,619 --> 00:36:27,039 Lo único es saberse que esta es inmediata. 601 00:36:27,440 --> 00:36:27,599 ¿Vale? 602 00:36:28,559 --> 00:36:30,280 El seno aquí es inmediato. 603 00:36:30,599 --> 00:36:32,280 Y ahora volvemos aquí a lo mismo, chavales. 604 00:36:32,400 --> 00:36:33,619 Fijaros, esta de aquí. 605 00:36:35,059 --> 00:36:37,320 Es que tengo aquí 16 horas a la puta que no me va a dar tiempo. 606 00:36:37,320 --> 00:36:39,039 Es que vamos fatal de tiempo. 607 00:36:39,039 --> 00:36:41,039 yo lo siento mucho, chavales 608 00:36:41,039 --> 00:36:43,199 al final con la semana de exámenes 609 00:36:43,199 --> 00:36:45,420 es que hemos perdido 4 horas de exámenes 610 00:36:45,420 --> 00:36:47,539 pero bueno, vale, yo tengo aquí 611 00:36:47,539 --> 00:36:48,860 dos funciones, vale 612 00:36:48,860 --> 00:36:51,519 aquí dos funciones, ¿qué es lo que ocurre? 613 00:36:51,519 --> 00:36:54,099 que yo tengo seno de x cuadrado 614 00:36:54,099 --> 00:36:55,900 más 4 615 00:36:55,900 --> 00:36:57,480 ¿vale? entonces 616 00:36:57,480 --> 00:36:59,119 ¿qué ocurre? 617 00:36:59,659 --> 00:37:01,380 que yo tengo aquí que es 618 00:37:01,380 --> 00:37:03,719 la derivada de x cuadrado menos 4 619 00:37:03,719 --> 00:37:04,679 es 2x, ¿verdad? 620 00:37:05,500 --> 00:37:07,159 ¿sí o no? tengo aquí 621 00:37:07,159 --> 00:37:19,940 Que es 2x. Entonces, ¿qué ocurre? Que si yo aquí multiplico un medio y por 2 se me queda igual y ahora que tengo aquí 2x, ¿lo veis? 622 00:37:21,260 --> 00:37:28,360 Buscando el que la derivada de x cuadrado menos 4 es igual a 2x. Y yo ya tengo aquí 2x. 623 00:37:28,820 --> 00:37:36,599 Entonces, esta de aquí ya es inmediata o no es inmediata. No es inmediata, ¿no? ¿Por qué? 624 00:37:36,599 --> 00:37:45,219 vamos a probarlo 625 00:37:45,219 --> 00:37:47,300 hay una función que al derivarla 626 00:37:47,300 --> 00:37:49,420 me de el seno de algo 627 00:37:49,420 --> 00:37:50,960 por la derivada de ese algo 628 00:37:50,960 --> 00:37:53,360 esto no es 629 00:37:53,360 --> 00:37:54,579 menos coseno 630 00:37:54,579 --> 00:37:56,699 bueno esto es menos un medio 631 00:37:56,699 --> 00:37:59,739 menos un medio 632 00:37:59,739 --> 00:38:01,360 de coseno 633 00:38:01,360 --> 00:38:03,320 de x cuadrado menos 4 634 00:38:03,320 --> 00:38:04,340 más una constante 635 00:38:04,340 --> 00:38:06,659 vamos a probar a derivar esto 636 00:38:06,659 --> 00:38:08,619 si yo esto lo derivo chavales 637 00:38:08,619 --> 00:38:09,360 ¿qué es lo que tengo? 638 00:38:09,739 --> 00:38:10,960 tengo menos 1 medio 639 00:38:10,960 --> 00:38:12,980 la derivada del coseno 640 00:38:12,980 --> 00:38:15,199 es menos seno 641 00:38:15,199 --> 00:38:16,940 de x cuadrado menos 4 642 00:38:16,940 --> 00:38:18,980 y ahora al aplicar la regla de la cadena 643 00:38:18,980 --> 00:38:21,800 ¿cuál es la derivada de x cuadrado menos 4 chavales? 644 00:38:22,599 --> 00:38:24,440 es 2x 645 00:38:24,440 --> 00:38:26,860 este menos con este menos se me va 646 00:38:26,860 --> 00:38:29,039 este 2 con este 2 se me va 647 00:38:29,039 --> 00:38:30,699 ¿y qué me queda chavales? 648 00:38:30,699 --> 00:38:34,739 es x por el seno de x cuadrado menos 4. 649 00:38:36,059 --> 00:38:36,320 ¿Vale? 650 00:38:36,400 --> 00:38:39,619 Entonces, aquí tenéis la 1, 2, 3, 4, la quinta. 651 00:38:40,219 --> 00:38:41,219 Un segundillo. 652 00:38:44,159 --> 00:38:45,099 Perdóname un segundo. 653 00:38:45,539 --> 00:38:49,139 La quinta tengo la integral de seno de f de x 654 00:38:49,139 --> 00:38:53,400 por la derivada de seno de f de x 655 00:38:53,400 --> 00:38:54,860 por la derivada de f de x, 656 00:38:55,039 --> 00:38:55,800 que es lo que tengo aquí. 657 00:38:56,159 --> 00:38:57,679 Tengo seno de f de x 658 00:38:57,679 --> 00:39:00,000 y aquí casi la derivada, 659 00:39:00,219 --> 00:39:02,420 que multiplicándolo por 2 y por un medio, 660 00:39:02,420 --> 00:39:04,739 ya lo tengo, entonces estoy aplicando 661 00:39:04,739 --> 00:39:05,320 la quinta 662 00:39:05,320 --> 00:39:08,179 claro, tú me habías hecho una pregunta ya 663 00:39:08,179 --> 00:39:10,619 si tú, cuando pones lo de los x 664 00:39:10,619 --> 00:39:12,599 pones, digamos, 6x 665 00:39:12,599 --> 00:39:14,719 o sea, delante 666 00:39:14,719 --> 00:39:15,760 tienes que poner un sexto 667 00:39:15,760 --> 00:39:18,360 sí, siempre el inverso, ¿vale? 668 00:39:19,159 --> 00:39:20,659 pues a veces, imagínate que aquí 669 00:39:20,659 --> 00:39:22,619 me aparece un 6, a mí yo lo que 670 00:39:22,619 --> 00:39:23,800 necesito es un 2, ¿verdad? 671 00:39:24,159 --> 00:39:26,539 entonces, ¿qué hago? que 6 es 2 por 3 672 00:39:26,539 --> 00:39:28,619 saco el 3 fuera y ya lo tengo 673 00:39:28,619 --> 00:39:30,599 no tengo que multiplicar 674 00:39:30,599 --> 00:39:32,679 y lo puedo hacer también, me saco el 6 675 00:39:32,679 --> 00:39:34,679 y luego multiplico por 2 por 1 medio 676 00:39:34,679 --> 00:39:36,099 pero 6 por 1 medio, ¿cuánto es? 677 00:39:39,360 --> 00:39:39,880 ¿Vale? 678 00:39:40,699 --> 00:39:42,639 ¿Vale, chavales? Esta es inmediata 679 00:39:42,639 --> 00:39:47,239 también. Esta de aquí, chavales 680 00:39:47,239 --> 00:39:49,139 estas también son inmediatas pero pasa 681 00:39:49,139 --> 00:39:50,800 una cosilla. Esta de aquí 682 00:39:50,800 --> 00:39:52,539 Fijaros 683 00:39:52,539 --> 00:39:54,920 ¿Cuál es la derivada de 2x? 684 00:39:55,239 --> 00:39:56,840 ¿Cuál es la derivada de 2x? 685 00:39:58,820 --> 00:39:59,340 2 686 00:39:59,340 --> 00:40:01,139 ¿Y cuál es la derivada 687 00:40:01,139 --> 00:40:02,099 de menos x? 688 00:40:02,099 --> 00:40:07,010 menos 1, ¿verdad? 689 00:40:07,210 --> 00:40:08,289 Entonces, ¿qué ocurre? 690 00:40:08,690 --> 00:40:10,150 Que esto de aquí, ¿vale? 691 00:40:10,269 --> 00:40:11,489 ¿Yo cómo lo puedo poner? 692 00:40:12,269 --> 00:40:12,550 ¡Guau! 693 00:40:16,969 --> 00:40:18,409 Ahora me va a salir 800 veces. 694 00:40:19,150 --> 00:40:22,989 Esto de aquí es elevado a 2x diferencial de x 695 00:40:22,989 --> 00:40:26,449 más 3 integral de elevado a menos x 696 00:40:26,449 --> 00:40:27,570 diferencial de x. 697 00:40:27,630 --> 00:40:28,170 ¿Lo veis, verdad? 698 00:40:30,849 --> 00:40:32,070 Entonces, ¿qué es lo que ocurre? 699 00:40:32,070 --> 00:40:33,829 Yo ese 3 lo puedo sacar fuera. 700 00:40:35,010 --> 00:40:36,309 Entonces, a ver si esto quiere. 701 00:40:36,489 --> 00:40:37,630 Ahora, ¿vale? 702 00:40:37,630 --> 00:40:39,510 esta de aquí es inmediata 703 00:40:39,510 --> 00:40:42,230 es inmediata, necesito 704 00:40:42,230 --> 00:40:44,309 necesito tener aquí la derivada 705 00:40:44,309 --> 00:40:45,590 de 2x que es un 2 706 00:40:45,590 --> 00:40:48,429 ¿qué es lo que voy a hacer chavales? meto aquí un 2 707 00:40:48,429 --> 00:40:50,269 y aquí tengo que poner un medio 708 00:40:50,269 --> 00:40:51,989 ¿lo veis? ¿sí o no? 709 00:40:52,809 --> 00:40:54,429 ¿cuál es la derivada de 710 00:40:54,429 --> 00:40:56,429 menos x? un menos 1 711 00:40:56,429 --> 00:40:57,849 entonces pongo aquí un menos 712 00:40:57,849 --> 00:41:00,230 ¿y qué ocurre? que yo aquí multiplico 713 00:41:00,230 --> 00:41:02,429 por menos 1 ¿estáis de acuerdo conmigo 714 00:41:02,429 --> 00:41:04,349 o no? ¿veis los trucos que hay que 715 00:41:04,349 --> 00:41:06,269 hacer? ¿sí? entonces ¿qué 716 00:41:06,269 --> 00:41:08,349 me queda aquí, un medio 717 00:41:08,349 --> 00:41:10,130 la derivada de esto 718 00:41:10,130 --> 00:41:10,670 ¿cuál es? 719 00:41:12,030 --> 00:41:13,409 ¿cuál es la integral? 720 00:41:13,849 --> 00:41:16,070 elevado a 2x, ¿vale? 721 00:41:16,349 --> 00:41:17,869 y aquí este menos 722 00:41:17,869 --> 00:41:19,929 con aquí sería menos 3 723 00:41:19,929 --> 00:41:21,929 elevado a menos x 724 00:41:21,929 --> 00:41:24,349 más c, ¿de acuerdo? 725 00:41:24,869 --> 00:41:26,190 vuelvo a lo mismo chavales 726 00:41:26,190 --> 00:41:28,150 si yo no estoy convencido 727 00:41:28,150 --> 00:41:30,210 derivo, derivo, ¿vale? 728 00:41:30,510 --> 00:41:31,769 si yo derivo esto 729 00:41:31,769 --> 00:41:34,010 este 2 se me va con este 2 y me queda 730 00:41:34,010 --> 00:41:35,730 elevado a x, que es esto de aquí 731 00:41:35,730 --> 00:41:38,170 este menos se me va con este menos 732 00:41:38,170 --> 00:41:39,909 es un más, más 3 elevado a x 733 00:41:39,909 --> 00:41:42,510 más 3 elevado a e menos x 734 00:41:42,510 --> 00:41:43,670 ¿vale chavales? 735 00:41:44,650 --> 00:41:46,610 Estos son los tipos que yo creo 736 00:41:46,610 --> 00:41:48,170 que son las más 737 00:41:48,170 --> 00:41:50,329 proclives para que caigan en la pau 738 00:41:50,329 --> 00:41:51,469 según me está diciendo 739 00:41:51,469 --> 00:41:53,769 Javier, como nos quieran poner 740 00:41:53,769 --> 00:41:55,909 una de estas 741 00:41:55,909 --> 00:41:58,369 malagueñas. Esta de aquí chavales 742 00:41:58,369 --> 00:42:00,170 me interesa muchísimo, ¿por qué? 743 00:42:00,210 --> 00:42:01,969 porque aquí hay mucha gente que se confunde 744 00:42:01,969 --> 00:42:04,409 y es muy fácil. Fijaros aquí 745 00:42:04,409 --> 00:42:17,730 Fijaros aquí, esta función de aquí, esto de aquí, yo lo puedo hacer como 2 elevado a 1x diferencial de x más 2 por 1 partido de x cuadrado diferencial de x. 746 00:42:17,730 --> 00:42:30,670 ¿Lo puedo hacer o no? Sí, ¿verdad? La suma de una suma es la suma de integrales cuando yo tengo la integral de una constante por una función en la constante por la integral. 747 00:42:31,170 --> 00:42:32,989 Entonces, ¿esta de aquí es inmediata? 748 00:42:34,710 --> 00:42:36,269 Esta de aquí es, ¿qué es? 749 00:42:36,349 --> 00:42:38,070 x elevado a menos 1. 750 00:42:38,150 --> 00:42:41,949 Por lo tanto, sería menos 1 más 1 partido de menos 1 más 1. 751 00:42:42,130 --> 00:42:42,510 ¿Sí o no? 752 00:42:45,130 --> 00:42:45,429 ¿Vale? 753 00:42:45,750 --> 00:42:47,530 Es el único caso que no vale. 754 00:42:47,789 --> 00:42:48,170 ¿Por qué? 755 00:42:48,269 --> 00:42:49,929 Porque me salió la división por 0. 756 00:42:50,150 --> 00:42:52,570 Esto es 2 por el logaritmo neperiano. 757 00:42:52,570 --> 00:42:55,969 Y, chavales, aquí ponerme valor absoluto siempre, ¿vale? 758 00:42:56,190 --> 00:42:58,670 Sin embargo, ¿esto qué es? 759 00:42:58,889 --> 00:43:02,329 Esto es realmente x elevado a menos 2, ¿vale? 760 00:43:02,429 --> 00:43:11,909 Entonces, esto es más 2 por x elevado a menos 2 más 1 partido menos 2 más 1 más la constante de integración. 761 00:43:12,050 --> 00:43:12,730 ¿Vale, chavales? 762 00:43:13,190 --> 00:43:14,409 Entonces, ¿esto qué me queda? 763 00:43:15,010 --> 00:43:25,190 Me queda 2 logaritmo neperiano de x más 2 por x elevado a menos 1 partido de menos 1 más la constante. 764 00:43:25,190 --> 00:43:34,369 Pero como esto no queda bonito como ustedes, esto es 2 logaritmo neperiano de x menos 2 partido de x más la constante. 765 00:43:34,650 --> 00:43:37,190 Y así ya quedaría perfecto. 766 00:43:38,150 --> 00:43:42,170 Igual, yo os invito a que si tú lo derivas, te tiene que dar esto. 767 00:43:42,889 --> 00:43:43,090 ¿Vale? 768 00:43:44,050 --> 00:43:45,349 ¿Lo entendéis, chavales, o no? 769 00:43:47,309 --> 00:43:49,389 Aquí, esta es inmediata, ¿vale? 770 00:43:49,590 --> 00:43:51,110 Esta de aquí, esta de aquí es cachonda. 771 00:43:51,869 --> 00:43:52,130 ¿Vale? 772 00:43:52,170 --> 00:43:54,449 Esta de aquí es cachonda, pero vamos, que no es complicada. 773 00:43:54,449 --> 00:44:10,929 Lo único que tenemos que saber, operar, ¿vale? Operar con potencia, ¿de acuerdo? Entonces, chavales, y aquí es lo que yo os digo, aquí es lo que yo os digo. Cuando yo tengo, si fuera al revés, ya sería una jodienda, ¿eh? Si fuese al revés toda la vuelta, ya sería una jodienda. 774 00:44:10,929 --> 00:44:12,730 pero sin embargo 775 00:44:12,730 --> 00:44:14,690 como yo tengo aquí una suma 776 00:44:14,690 --> 00:44:16,670 partido de X, tiene un denominador 777 00:44:16,670 --> 00:44:18,849 común, ¿verdad? que es X al cuadrado 778 00:44:18,849 --> 00:44:20,730 ¿sí o no? yo eso lo puedo 779 00:44:20,730 --> 00:44:21,690 poner, chavales 780 00:44:21,690 --> 00:44:25,090 como X partido de X cuadrado 781 00:44:25,090 --> 00:44:26,510 más raíz de X 782 00:44:26,510 --> 00:44:27,070 ¡joder! 783 00:44:28,510 --> 00:44:30,829 diferencial de X, lo puedo separar en dos 784 00:44:30,829 --> 00:44:32,449 ¿sí? ¿sí, verdad? 785 00:44:32,750 --> 00:44:34,369 y ahora que tengo que jugar 786 00:44:34,369 --> 00:44:36,010 con las propiedades de potencia 787 00:44:36,010 --> 00:44:38,570 esto es 1 partido de X 788 00:44:38,570 --> 00:44:38,869 ¿verdad? 789 00:44:38,869 --> 00:44:41,670 conmigo, y esto 790 00:44:41,670 --> 00:44:42,969 ¿qué es? esto es 791 00:44:42,969 --> 00:44:45,429 x elevado a un medio 792 00:44:45,429 --> 00:44:46,789 menos 2 793 00:44:46,789 --> 00:44:49,409 ¿vale? esto es 794 00:44:49,409 --> 00:44:51,250 x elevado a un medio 795 00:44:51,250 --> 00:44:53,550 partido de x al cuadrado 796 00:44:53,550 --> 00:44:55,150 se restan los exponentes ¿vale? 797 00:44:55,550 --> 00:44:57,630 y entonces chavales, esto de aquí ¿qué era? 798 00:44:57,889 --> 00:44:59,610 logaritmo neperiano, esto es logaritmo 799 00:44:59,610 --> 00:45:01,590 neperiano de x, y esto que 800 00:45:01,590 --> 00:45:02,690 es un medio menos 2 801 00:45:02,690 --> 00:45:05,030 es menos 3 medios ¿verdad? 802 00:45:05,329 --> 00:45:07,449 entonces esto es x menos 803 00:45:07,449 --> 00:45:08,809 3 medios más 1 804 00:45:08,809 --> 00:45:11,610 partido de menos tres medios más uno 805 00:45:11,610 --> 00:45:14,530 más la constante de integración, ¿vale? 806 00:45:14,849 --> 00:45:17,710 Entonces esto me queda logaritmo neperiano de x 807 00:45:17,710 --> 00:45:21,550 menos menos tres medios más uno es menos un medio, ¿verdad? 808 00:45:22,730 --> 00:45:24,489 Entonces esto es un dos 809 00:45:24,489 --> 00:45:27,789 y esto me queda, ¿qué hemos dicho? 810 00:45:27,869 --> 00:45:28,489 Menos un medio. 811 00:45:29,130 --> 00:45:31,610 Menos un medio es raíz de x 812 00:45:31,610 --> 00:45:33,630 que tengo que racionalizar 813 00:45:33,630 --> 00:45:37,829 y me queda logaritmo neperiano de x 814 00:45:37,829 --> 00:45:41,230 más 2 raíz de x 815 00:45:41,230 --> 00:45:43,050 partido de x más la constante 816 00:45:43,050 --> 00:45:44,849 de integración. ¿Vale, chavales? 817 00:45:45,110 --> 00:45:45,630 Escuchadme. 818 00:45:47,190 --> 00:45:49,130 Aquí hay 16 hojas 819 00:45:49,130 --> 00:45:50,210 de tal. Mañana 820 00:45:50,210 --> 00:45:52,489 lo que quiero ver 821 00:45:52,489 --> 00:45:54,210 son... 822 00:45:54,210 --> 00:45:58,460 Chavales, 823 00:45:58,579 --> 00:46:00,440 cosas que nos quedan. Bueno, mañana 824 00:46:00,440 --> 00:46:01,280 examen. 825 00:46:02,400 --> 00:46:04,500 Podéis presentaros todos, lo único que 826 00:46:04,500 --> 00:46:05,579 quien quiera subir nota. 827 00:46:06,219 --> 00:46:08,659 Al final lo que hacemos es romper el examen 828 00:46:08,659 --> 00:46:10,280 Si no estáis convencidos o no. 829 00:46:10,719 --> 00:46:14,579 El examen, como tal, ya os digo, todavía no está aprobado al 100%. 830 00:46:14,579 --> 00:46:16,199 Hoy lo tenemos que aprobar sí o sí. 831 00:46:17,440 --> 00:46:19,820 Yo he propuesto dos cosas, si os soy sincero. 832 00:46:19,840 --> 00:46:21,360 He puesto dos ejercicios, ¿vale? 833 00:46:21,380 --> 00:46:22,940 Lo que pasa es que con muchos apartados. 834 00:46:23,380 --> 00:46:24,780 Entonces, son dos ejercicios. 835 00:46:24,920 --> 00:46:28,099 Cinco de geometría, cinco puntos y cinco de funciones. 836 00:46:28,599 --> 00:46:30,400 ¿Qué es lo que pretendemos, chavales? 837 00:46:31,119 --> 00:46:32,800 Cinco puntos, cinco puntos cada uno. 838 00:46:32,800 --> 00:46:35,639 ¿Qué es lo que pretendemos con cada apartado? 839 00:46:35,719 --> 00:46:38,119 Que ningún apartado dependa del anterior, ¿vale? 840 00:46:38,119 --> 00:46:43,719 Es decir, que si tú no sabes hacer un apartado, pues que no te jodas el siguiente, ¿vale? 841 00:46:45,199 --> 00:46:46,300 ¡Complicado, complicado! 842 00:46:49,320 --> 00:46:55,340 En la hora de clase, en principio he puesto dos cosas.