1
00:00:00,500 --> 00:00:04,000
Vamos a ver unos casos particulares para calcular los determinantes.

2
00:00:04,639 --> 00:00:10,880
Lo primero que vamos a ver es unos ejemplos en los que el determinante siempre va a ser cero.

3
00:00:11,599 --> 00:00:17,399
Si yo veo que se verifica alguna de estas propiedades, no me hace falta calcular el determinante, aplico la propiedad.

4
00:00:17,920 --> 00:00:25,640
Antes de nada decir que cuando hablo de una línea en una matriz, me estoy refiriendo indistintamente a fila o a columna.

5
00:00:25,640 --> 00:00:31,059
¿Vale? La primera propiedad, si una línea es cero, su determinante va a ser cero

6
00:00:31,059 --> 00:00:35,920
¿Por qué va a ser así? Pues a ver, pongamos por ejemplo este determinante

7
00:00:35,920 --> 00:00:40,500
Y vamos a poner por ejemplo, voy a poner siempre determinantes 3x3 ¿Vale?

8
00:00:41,280 --> 00:00:47,659
La primera columna, eso, en la segunda columna la voy a poner todo ceros ¿Vale?

9
00:00:47,659 --> 00:00:50,380
Y aquí pues los números que queramos

10
00:00:50,380 --> 00:00:55,439
¿Por qué vamos a saber sin hacer cálculos?

11
00:00:55,539 --> 00:01:02,259
Es decir, yo si veo esto, diría, como tengo una columna que todo es cero, ya sé que su determinante es cero

12
00:01:02,259 --> 00:01:04,680
Pero vamos a ver por qué esto es así

13
00:01:04,680 --> 00:01:10,319
A ver, fijaos, si yo aplico Sarrus, lo que obtendría es el primer producto diagonal principal

14
00:01:10,319 --> 00:01:14,120
¿Qué ocurre? Que tiene un cero, por lo tanto el producto va a ser cero

15
00:01:14,120 --> 00:01:20,439
El siguiente, vuelvo a tener un 0 en el segundo producto, 3 por 0 por 3

16
00:01:20,439 --> 00:01:23,599
El siguiente, 0 por 2 por 1

17
00:01:23,599 --> 00:01:25,180
Vuelve a haber un 0

18
00:01:25,180 --> 00:01:27,159
Por lo tanto, todos esos son ceros

19
00:01:27,159 --> 00:01:30,379
En la diagonal secundaria hay también un 0

20
00:01:30,379 --> 00:01:31,939
Por lo tanto, es 0

21
00:01:31,939 --> 00:01:34,980
En sus paralelas, 3 por 0 por 5

22
00:01:34,980 --> 00:01:36,540
Veis que hay otro 0

23
00:01:36,540 --> 00:01:41,019
Y en el otro triángulo que me falta, también hay un 0

24
00:01:41,019 --> 00:01:48,920
Por eso el determinante de una matriz que tiene una línea que es 0 va a ser siempre 0

25
00:01:48,920 --> 00:01:52,019
La segunda propiedad

26
00:01:52,019 --> 00:01:57,420
Si tenemos dos líneas paralelas iguales, el determinante también va a ser 0

27
00:01:57,420 --> 00:02:00,379
Vamos a ver porque si yo me calculo aquí

28
00:02:00,379 --> 00:02:02,920
Voy a poner ejemplos sencillitos

29
00:02:02,920 --> 00:02:05,400
Menos 1, 0, 1

30
00:02:05,400 --> 00:02:09,360
Dos líneas paralelas iguales, pues por ejemplo estas dos

31
00:02:09,360 --> 00:02:13,560
Y aquí el 2, 1, 2

32
00:02:13,560 --> 00:02:14,840
Ya está este mismo

33
00:02:14,840 --> 00:02:17,659
A ver, ¿por qué va a ser 0?

34
00:02:18,039 --> 00:02:20,740
Fijaos, si yo aplico aquí otra vez, o sea, aplico Sarrus

35
00:02:20,740 --> 00:02:24,539
Lo que obtendría es menos 1 por 0 por 2

36
00:02:24,539 --> 00:02:26,500
Lo voy a ir calculando aquí abajo, ¿vale?

37
00:02:26,979 --> 00:02:29,699
Menos 1 por 0 por 2

38
00:02:29,699 --> 00:02:32,479
Más menos 1 por 1 por 1

39
00:02:32,479 --> 00:02:36,159
Menos 1 por 1 por 1

40
00:02:36,159 --> 00:02:39,060
Más 0 por 1 por 2

41
00:02:39,060 --> 00:02:44,780
Y ahora tendríamos que poner los negativos, estos son los positivos

42
00:02:44,780 --> 00:02:47,620
Los negativos son los de la diagonal secundaria

43
00:02:47,620 --> 00:02:50,199
Menos 2 por 0 por 1

44
00:02:50,199 --> 00:02:56,319
Menos 1 por 0 por 2

45
00:02:56,319 --> 00:02:59,400
Menos 1 por 0 por 2

46
00:02:59,400 --> 00:03:02,159
Menos 1 por 1 por menos 1

47
00:03:02,159 --> 00:03:08,180
Y fijaos, ¿qué ha ocurrido?

48
00:03:08,180 --> 00:03:11,240
Pues que vamos teniendo los mismos sumandos

49
00:03:11,240 --> 00:03:13,379
Menos 1, 0, 2 en positivo

50
00:03:13,379 --> 00:03:17,000
Y el menos 1 por 0 por 2 aquí le tengo en negativo

51
00:03:17,000 --> 00:03:21,340
El sumando menos 1 por 1 por 1 ahí está en positivo

52
00:03:21,340 --> 00:03:23,120
Y aquí le tengo en negativo

53
00:03:23,120 --> 00:03:28,080
Y el último 0 por 1 por 2 en positivo aquí está en negativo

54
00:03:28,080 --> 00:03:30,879
Por lo tanto siempre tengo su número y su opuesto

55
00:03:30,879 --> 00:03:34,020
Que al sumarlo lo que me va a dar exactamente 0

56
00:03:34,020 --> 00:03:41,020
¿Qué ocurre si las líneas paralelas no son solamente iguales sino que son proporcionales?

57
00:03:41,439 --> 00:03:46,520
Bueno, pues justamente por la proporción vamos a obtener también lo mismo

58
00:03:46,520 --> 00:03:53,879
Vamos a poner, por ejemplo, menos 1 en la que he cogido la primera fila de la otra

59
00:03:53,879 --> 00:04:00,680
Y ahora voy a multiplicarla por menos 2 y me quedaría 2, 2, menos 4

60
00:04:00,680 --> 00:04:03,259
Y vamos a dejar, por ejemplo, aquí la 1, 0

61
00:04:03,259 --> 00:04:12,539
Nosotros ya sabríamos al verlo, al ver que estas dos columnas son paralelas, son proporcionales

62
00:04:12,539 --> 00:04:14,599
Ya sabríamos que el determinante es 0

63
00:04:14,599 --> 00:04:17,379
Pero ¿por qué va a ser así? Vamos a comprobarlo

64
00:04:17,379 --> 00:04:20,379
Vamos a ir poniendo como antes los productos positivos

65
00:04:20,379 --> 00:04:23,100
La diagonal principal, menos 1 por 2 por 1

66
00:04:23,100 --> 00:04:26,779
Menos 1 por 2 por 1

67
00:04:26,779 --> 00:04:30,360
Más el siguiente, menos 1 por menos 4 por 1

68
00:04:30,360 --> 00:04:35,259
Menos 1 por menos 4 por 1

69
00:04:35,259 --> 00:04:36,379
Más

70
00:04:36,379 --> 00:04:40,759
Bueno, podríamos haber hecho aquí los productos para que hubiera sido más fácil

71
00:04:40,759 --> 00:04:44,220
Me queda 2 por 0 por 2, para no escribir tanto

72
00:04:44,220 --> 00:04:46,860
2 por 0 por 2

73
00:04:46,860 --> 00:04:48,699
Y ahora lo negativo, ¿vale?

74
00:04:49,100 --> 00:04:51,180
Fijaos que lo que estoy calculando es el determinante

75
00:04:51,180 --> 00:04:54,000
Este de aquí, que no lo he puesto

76
00:04:54,000 --> 00:04:57,120
Menos 2 por 2 por 1

77
00:04:57,120 --> 00:04:59,600
2 por 2 por 1

78
00:04:59,600 --> 00:05:28,899
menos, menos 1 por 2 por 1, menos 1 por 2 por 1, y menos 4 por 0 por menos 1, 4 por 0 por menos 1, y esto cuánto va a ser, pues a ver, el primero me da menos 2, el segundo más 4, este, el tercero es 0, esto me sale aquí menos 4, este me sale aquí menos por menos es más, por 2, más 2, y este vuelve a ser 0,

79
00:05:28,899 --> 00:05:35,220
Que obtengo otra vez los sumandos opuestos. Por lo tanto, el total va a ser cero.

80
00:05:36,459 --> 00:05:42,019
Y el último caso en el que el determinante va a ser cero es cuando lo que tengo es una combinación lineal.

81
00:05:42,300 --> 00:05:54,800
¿Qué es una combinación lineal? Pues posiblemente ya no lo recordéis porque lo visteis en cuarto de la ESO cuando veíamos el tema de vectores y de rectas.

82
00:05:54,980 --> 00:05:58,620
Una combinación lineal no es nada más que lo que soléis hacer cuando hacemos Gauss.

83
00:05:58,899 --> 00:06:07,180
Cuando transformamos una ecuación en otra sumando o restando dos ecuaciones que previamente han sido multiplicadas, ¿vale?

84
00:06:07,180 --> 00:06:18,720
Es decir, yo puedo decir que la ecuación 3 es, por ejemplo, dos veces la ecuación 1 más tres veces la ecuación 2.

85
00:06:19,160 --> 00:06:20,860
Esto es una combinación lineal, ¿vale?

86
00:06:21,160 --> 00:06:27,319
Cuando una, bueno, he puesto aquí ecuaciones, en nuestro caso serían filas o líneas, filas o columnas.

87
00:06:27,319 --> 00:06:30,779
Si una de ellas podemos encontrar como un juego

88
00:06:30,779 --> 00:06:34,759
Es decir, como si fuera una más la otra o menos la otra

89
00:06:34,759 --> 00:06:36,399
Multiplicadas por algunos números

90
00:06:36,399 --> 00:06:37,019
¿Vale?

91
00:06:38,000 --> 00:06:40,620
Eso sería una combinación lineal

92
00:06:40,620 --> 00:06:45,300
Vamos a verlo con un ejemplo

93
00:06:45,300 --> 00:06:46,540
Igual que hemos hecho aquí

94
00:06:46,540 --> 00:06:49,339
No voy a demostrarlo, sino vamos a ver con un ejemplo

95
00:06:49,339 --> 00:06:51,199
Que efectivamente se cumple

96
00:06:51,199 --> 00:06:55,459
Vamos a suponer que tenemos de primera fila

97
00:06:55,459 --> 00:06:57,819
Menos uno la que tenía antes, dos uno

98
00:06:57,819 --> 00:07:01,600
Vamos a poner las mismas que teníamos, menos 1, 2, 0

99
00:07:01,600 --> 00:07:06,980
Y ahora vamos a poner como tercera fila la suma de las dos

100
00:07:06,980 --> 00:07:09,579
Menos 2, 4, 1

101
00:07:09,579 --> 00:07:20,959
Si nosotros al hacer esto nos damos cuenta que la fila 3 es la fila 1 más la fila 2

102
00:07:20,959 --> 00:07:25,620
Yo no tendría que hacer ningún cálculo, diría que directamente el determinante es 0

103
00:07:25,620 --> 00:07:28,439
Ahora vamos a ver por qué sería así

104
00:07:28,439 --> 00:07:30,139
Vamos a ver cuánto sería este determinante

105
00:07:30,139 --> 00:07:32,300
Aplicamos otra vez Arus

106
00:07:32,300 --> 00:07:34,060
Menos 1 por 2 por 1

107
00:07:34,060 --> 00:07:36,579
Menos 1 por 2 por 1

108
00:07:36,579 --> 00:07:38,139
Ya voy a poner directamente el resultado

109
00:07:38,139 --> 00:07:39,120
Menos 2

110
00:07:39,120 --> 00:07:42,019
El siguiente sería menos 1 por 4 por 1

111
00:07:42,019 --> 00:07:44,319
Menos 4

112
00:07:44,319 --> 00:07:46,819
Y el siguiente sería 2 por 0 por menos 2

113
00:07:46,819 --> 00:07:48,300
Más 0

114
00:07:48,300 --> 00:07:49,839
El negativo

115
00:07:49,839 --> 00:07:52,379
Menos 2 por 2 por 1

116
00:07:52,379 --> 00:07:54,420
Sería menos 4 es decir

117
00:07:54,420 --> 00:07:57,339
más 4 menos

118
00:07:57,339 --> 00:08:02,500
menos 1 por 2 por 1 sería menos 2 con el menos

119
00:08:02,500 --> 00:08:06,459
me queda 1 más 2 menos y el que me queda es 4

120
00:08:06,459 --> 00:08:09,259
por 0 que es 0 por menos 1, 0

121
00:08:09,259 --> 00:08:14,300
fijaos que vuelve a pasar lo mismo de antes, me quedan los sumandos opuestos

122
00:08:14,300 --> 00:08:18,579
menos 4 con más 4 y menos 2 más 2, es decir que es

123
00:08:18,579 --> 00:08:22,399
exactamente 0, ¿vale? bueno pues estos son

124
00:08:22,399 --> 00:08:27,420
casos concretos en los que el determinante es 0. Ahora vamos a ver unos casos particulares

125
00:08:27,420 --> 00:08:33,039
dependiendo del tipo de matriz. Si lo que tenemos es una matriz diagonal, ¿qué era

126
00:08:33,039 --> 00:08:39,059
una matriz diagonal? Aquella que tenía todos los elementos 0 a excepción de los elementos

127
00:08:39,059 --> 00:08:43,200
de la diagonal. Por lo tanto, bueno, siempre estoy llamando a la matriz, la podríamos

128
00:08:43,200 --> 00:08:50,720
llamar como quisiéramos, ¿vale? Fijaos, yo que sé, menos 1, 2, 5, y todo lo demás

129
00:08:50,720 --> 00:08:59,830
es cero. Bueno, pues la propiedad, el caso particular, las propiedades que verifican

130
00:08:59,830 --> 00:09:05,990
este tipo de matrices, es que el determinante va a ser siempre el producto de la diagonal

131
00:09:05,990 --> 00:09:10,169
principal, tanto en la diagonal como en la escalar como en la triangular, es decir, esto

132
00:09:10,169 --> 00:09:16,870
va a ser siempre menos uno, en este caso por dos, por cinco, que sería menos diez. Y fijaos

133
00:09:16,870 --> 00:09:22,090
por qué va a ser esto así, pues porque todo el resto de sumandos van a ser cero. Si yo

134
00:09:22,090 --> 00:09:26,090
Hago Sarrus, sería diagonal principal menos 1 por 2 por 5, ¿vale?

135
00:09:26,669 --> 00:09:28,669
No tiene ningún 0, es lo que he puesto.

136
00:09:28,909 --> 00:09:33,610
Siguiente sumando, 0 por 0 por 0, pues eso ya sabemos que es 0.

137
00:09:34,090 --> 00:09:38,289
El siguiente, 0 por 0 por 0, también es 0.

138
00:09:38,950 --> 00:09:43,330
Diagonal secundaria, 0 por 2 por 0, tiene un 0, también es 0.

139
00:09:44,070 --> 00:09:47,529
Siguiente, 0 por 0 por 5, también es 0.

140
00:09:47,529 --> 00:09:51,190
Y el que me falta, 0 por 0 por menos 1.

141
00:09:51,190 --> 00:09:58,710
Pues también es cero, ¿vale? Luego el único sumando que no es cero es justamente la diagonal principal.

142
00:09:59,230 --> 00:10:08,929
¿Qué era una matriz escalar? ¿Lo recordáis? Una matriz escalar es una matriz diagonal, pero que todos los elementos de la diagonal principal son iguales.

143
00:10:08,929 --> 00:10:23,629
Por ejemplo, 2, 2, 2. 0, 0, 0, 0, 0, 0. Pues fijaos, ¿cuánto va a ser esto? Pues lo mismo, 2 por 2 por 2, 2 al cubo, 8.

144
00:10:23,809 --> 00:10:29,110
¿Y por qué va a ser así? Pues exactamente por lo mismo que en el caso anterior. Es una matriz diagonal.

145
00:10:29,730 --> 00:10:33,590
Si yo me pusiera a hacerlo por Sarrus, vería que todos los demás son ceros.

146
00:10:33,590 --> 00:10:45,809
Y por último, una matriz triangular. Pues, por ejemplo, vamos a poner en la diagonal, no sé, 2 menos 1, 1, y vamos a poner los ceros en la parte de arriba.

147
00:10:46,470 --> 00:10:53,450
Y aquí, pues, 1, fijaos que me estoy poniendo números sencillitos, ¿vale? Aunque en el fondo nos da lo mismo.

148
00:10:53,649 --> 00:11:03,470
¿Qué os he dicho? He dicho que en estos tres casos el determinante va a ser siempre el mismo, es decir, sería 2 menos, el mismo quiero decir el producto de la diagonal principal.

149
00:11:03,590 --> 00:11:08,330
No el mismo valor, menos 1 por 1, es decir, menos 2.

150
00:11:08,610 --> 00:11:11,669
¿Y por qué? Pues exactamente por lo mismo que pasaba antes.

151
00:11:12,289 --> 00:11:17,370
Diagonal principal, 2 menos 1, 1, y ahora en el resto de sumando siempre va a haber un 0.

152
00:11:17,950 --> 00:11:22,389
1 por 1, por el 0 de arriba del todo, aunque he cogido un poco el otro.

153
00:11:22,970 --> 00:11:26,950
El siguiente sería 0 por 0, por 2, también va a ser 0.

154
00:11:27,590 --> 00:11:31,629
Diagonal secundaria, menos 2 por 1, por 0, también es 0.

155
00:11:32,570 --> 00:11:35,870
1 por 0 por 1, también es 0.

156
00:11:36,509 --> 00:11:37,590
Uy, se me ha subido un poquito.

157
00:11:38,049 --> 00:11:42,750
Y el último, 0 por 1 por 2, pues tenemos un 0, también es 0.

158
00:11:43,210 --> 00:11:48,789
Luego estos serían los casos particulares para poder saber si tenemos matriz diagonal, escalar o triangular,

159
00:11:49,330 --> 00:11:53,049
que el determinante siempre va a ser el producto de la diagonal.