1
00:00:01,830 --> 00:00:07,990
Buenas a todos. En este vídeo vamos a aprender a resolver ecuaciones logarítmicas.

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00:00:08,609 --> 00:00:12,250
Lo primero de todo es saber qué es una ecuación logarítmica.

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00:00:13,210 --> 00:00:20,109
Una ecuación logarítmica es aquella ecuación en la que la incógnita aparece dentro de algún logaritmo,

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00:00:20,449 --> 00:00:22,390
es decir, en el argumento de algún logaritmo.

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00:00:24,929 --> 00:00:29,109
Puede aparecer dentro de un solo logaritmo, de dos, de tres, etc.

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00:00:29,109 --> 00:00:41,109
Con que aparezca dentro de uno es una ecuación logarítmica. Para resolverlas seguiremos los siguientes pasos. Son pasos muy sencillos, solamente tres pasitos.

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00:00:41,670 --> 00:00:53,890
El primer paso, que es el paso más importante, es comprimir a ambos lados en un único logaritmo hasta dejar la ecuación como el logaritmo de una cosa igual al logaritmo de otra cosa.

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00:00:53,890 --> 00:01:20,209
¿Y cómo hacemos eso? Pues usando las propiedades del logaritmo. Las propiedades del logaritmo son básicamente estas tres que ven aquí en verde, que dice que la suma de dos logaritmos es el logaritmo del producto, la resta de dos logaritmos es el logaritmo de la división, y si tenemos un logaritmo multiplicado por un número, este número lo podemos subir al exponente dejándolo como el logaritmo de a elevado a n.

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00:01:20,209 --> 00:01:31,549
Por ejemplo, aplicando la primera propiedad podríamos tener que el logaritmo de 2 más el logaritmo de 3 es el logaritmo de 6, como bien sabemos, de 2 por 3.

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00:01:32,189 --> 00:01:39,250
Aplicando la segunda propiedad, el logaritmo de 8 menos el logaritmo de 2 sería el logaritmo de 8 entre 2, que es 4.

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00:01:40,049 --> 00:01:47,030
Y aplicando la tercera propiedad, por ejemplo, pues 3 multiplicado por el logaritmo de 2 sería el logaritmo de 2 al cubo, de 8.

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00:01:47,030 --> 00:01:58,890
Bien, entonces tenemos que usar estas tres propiedades para comprimir en un único logaritmo, tanto a la izquierda como a la derecha en la ecuación logarítmica.

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00:01:59,129 --> 00:02:05,909
Una vez que tengamos esto, pasamos al paso 2. Podemos suprimir los logaritmos y resolver la ecuación que queda.

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00:02:06,390 --> 00:02:13,889
Generalmente nos va a quedar una ecuación polinómica, puede que una ecuación de segundo grado, de primer grado, de tercer grado, que sabemos resolver perfectamente.

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00:02:13,889 --> 00:02:33,030
Y el paso 3 es comprobar las soluciones. Porque hay muchas veces que en una ecuación logarítmica se adhieren soluciones que son falsas al seguir estos pasos. Por lo tanto, hay que comprobar las soluciones.

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00:02:33,030 --> 00:02:39,689
Comprobar las soluciones, en este caso basta con ver que no salen logaritmos de números negativos ni de cero.

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00:02:39,849 --> 00:02:44,030
Ya sabemos que los logaritmos de números negativos no existen y el logaritmo de cero tampoco existe.

18
00:02:44,870 --> 00:02:54,050
Entonces basta con coger la x que te ha quedado e irte a la ecuación original y comprobar que no salen logaritmos de números negativos ni logaritmo de cero.

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00:02:54,050 --> 00:02:58,710
Aquí a la derecha hay una nota muy importante

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00:02:58,710 --> 00:03:03,169
Que dice que si nos encontramos un número suelto, así un 1 por ejemplo

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00:03:03,169 --> 00:03:05,069
Hay que transformarlo en logaritmo

22
00:03:05,069 --> 00:03:08,729
Para poder comprimir, para poder aplicar el primer paso

23
00:03:08,729 --> 00:03:12,530
Entonces, como lo habitual es tener un logaritmo decimal

24
00:03:12,530 --> 00:03:15,110
El 1 lo vamos a sustituir por el logaritmo de 10

25
00:03:15,110 --> 00:03:16,490
Porque el 1 es logaritmo de 10

26
00:03:16,490 --> 00:03:18,729
El 2, logaritmo de 100

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00:03:18,729 --> 00:03:20,969
El 3 sería logaritmo de 1000, etc.

28
00:03:20,969 --> 00:03:25,189
4 es logaritmo de 10.000, el 5 de 100.000, el 6 de 1.000.000, etc.

29
00:03:26,189 --> 00:03:29,090
En el caso de que estuviéramos en un logaritmo que no fuera decimal,

30
00:03:29,729 --> 00:03:34,389
la ecuación logarítmica tuviera logaritmos que no fueran decimales,

31
00:03:34,990 --> 00:03:37,110
por ejemplo, logaritmos en otra base, en base A,

32
00:03:37,729 --> 00:03:40,310
pues el 1 lo tendríamos que sustituir por el logaritmo base A de A,

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00:03:40,449 --> 00:03:44,830
el 2 por el logaritmo base A de A cuadrado, el 3 por el logaritmo base A de A al cubo, etc.

34
00:03:45,349 --> 00:03:48,710
Por ejemplo, si estuviéramos en base 5 y nos encontramos un 2,

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00:03:48,710 --> 00:03:54,930
Pues el 2 lo tendríamos que sustituir por el logaritmo base 5 de 5 al cuadrado, que es 25.

36
00:03:56,090 --> 00:04:05,430
Bueno, con todo esto ya tenemos las herramientas teóricas y ahora vamos a ver un ejemplo, que es como realmente aprendemos bien las cosas.

37
00:04:06,090 --> 00:04:16,370
Tenemos aquí una ecuación logarítmica. 2 multiplicado por el logaritmo de x más 5 igual a 1 más el logaritmo de 3x menos 5.

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00:04:16,370 --> 00:04:37,629
El primer paso es esencial, hacerlo bien, tenemos que comprimir a ambos lados en un único logaritmo, es decir, esto que tenemos aquí a la izquierda, en la ecuación logarítmica, el miembro de la izquierda de la ecuación, es 2 por logaritmo de x más 5, y esto lo tenemos que dejar como un único logaritmo.

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00:04:37,629 --> 00:04:48,850
Pues aplicando la tercera propiedad, que aquí está en verde, subimos el numerito que está delante, el 2, al exponente, y nos quedará logaritmo de x más 5 al cuadrado.

40
00:04:50,110 --> 00:04:54,009
De esta forma ya hemos dejado el miembro de la izquierda como un único logaritmo.

41
00:04:55,129 --> 00:05:00,769
Vamos a ver que nos encontramos a la derecha. A la derecha tenemos 1 más el logaritmo de 3x menos 5.

42
00:05:00,769 --> 00:05:13,850
Bueno, aquí tenemos un 1 suelto que hay que transformarlo en logaritmo. Entonces, tal como dice esta nota, el 1 lo vamos a sustituir por el logaritmo de 10.

43
00:05:14,189 --> 00:05:23,209
El 1 es el logaritmo en base de 10. Y una vez que está sustituido por el logaritmo de 10, vemos que aquí tenemos una suma de logaritmos.

44
00:05:23,209 --> 00:05:38,990
Tendríamos el logaritmo de 10 más el logaritmo de 3x-5. Aplicando la primera propiedad, la que dice que la suma de logaritmos es el logaritmo del producto, quedaría el logaritmo de la multiplicación de 10 por 3x-5.

45
00:05:39,269 --> 00:05:50,670
Por lo tanto, hemos llegado a esta situación. Tenemos a la izquierda el logaritmo de x más 5 al cuadrado y a la derecha el logaritmo de 10 multiplicado por 3x-5.

46
00:05:50,670 --> 00:06:03,810
Ya hemos conseguido nuestro primer objetivo, que era dejar la ecuación como una igualdad de dos logaritmos. Por lo tanto, ahora podemos suprimir los logaritmos y resolver la ecuación que queda.

47
00:06:03,810 --> 00:06:12,110
Al suprimir los logaritmos, es decir, al igualar sus argumentos, queda que x más 5 al cuadrado es igual a 10 por 3x menos 5.

48
00:06:12,990 --> 00:06:14,949
Y esto es una ecuación de segundo grado.

49
00:06:15,709 --> 00:06:21,689
Lo que pasa es que hay que hacer muy bien este producto notable, porque lo que tenemos a la izquierda, x más 5 al cuadrado, es un producto notable.

50
00:06:22,810 --> 00:06:29,569
Ya sabemos que hay que elevar el cuadro al primero, también se eleva el cuadro al segundo, pero hay que hacer el doble del primero por el segundo, que muchas veces se nos olvida.

51
00:06:29,569 --> 00:06:40,110
Entonces, haciéndolo correctamente, nos queda el cuadrado de x, x cuadrado, el doble del primero por el segundo sería 10x, y el cuadrado de 5, 25.

52
00:06:41,050 --> 00:06:47,509
Si multiplicamos en el otro lado 10 por el paréntesis, por 3x menos 5, nos queda 30x menos 50.

53
00:06:49,920 --> 00:06:57,500
Ahora, para ordenar esta ecuación de segundo grado, vamos a pasar el 30x que está aquí sumando, lo vamos a pasar restando al otro lado, y el menos 50 lo vamos a pasar sumando.

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00:06:57,500 --> 00:07:01,060
De esta forma, nos queda ya la ecuación ordenada de segundo grado.

55
00:07:01,079 --> 00:07:14,740
que es x cuadrado menos 20x, porque teníamos aquí 10 y pasamos menos 30, o sea, 10 menos 30 menos 20, más 75 igual a 0, puesto que teníamos 25 y el 50 que pasa sumando más 75.

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00:07:15,480 --> 00:07:28,120
Todo el mundo sabe resolver esta ecuación de segundo grado, como es una ecuación de segundo grado completa, aplicamos la fórmula, que es menos b más menos raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4 por a por c partido por 2a.

57
00:07:28,120 --> 00:07:48,240
Aplicándolo con estos términos, con a igual a 1, b igual a menos 20 y c igual a 75, tenemos que nos queda 20 más menos la raíz de b menos 20 al cuadrado, que es 400, menos 4 por 1 por 75, que es menos 300, partido por 2a, que es 2 por 1, 2.

58
00:07:48,240 --> 00:07:54,459
Dentro de la raíz, el radicando, tenemos aquí 400 menos 300, que es 100

59
00:07:54,459 --> 00:07:56,819
Y la raíz de 100 es 10

60
00:07:56,819 --> 00:08:00,899
Por lo tanto nos queda 20 más menos 10 partido por 2

61
00:08:00,899 --> 00:08:04,540
Flecha hacia arriba, flecha hacia abajo, dos soluciones

62
00:08:04,540 --> 00:08:06,800
Una con el más y la otra con el menos

63
00:08:06,800 --> 00:08:10,980
Con el más, 20 más 10, 30 entre 2, 15

64
00:08:10,980 --> 00:08:14,560
Y con el menos, 20 menos 10, 10 entre 2, 5

65
00:08:14,560 --> 00:08:18,079
Bueno, con esto habríamos acabado el paso 2

66
00:08:18,079 --> 00:08:26,399
El que teníamos aquí que decía que había que suprimir los logaritmos y resolver la ecuación que queda. Pero hay que hacer el paso 3, no se nos puede olvidar, que es comprobar las soluciones.

67
00:08:27,160 --> 00:08:46,659
Porque muchas veces las soluciones que obtenemos en una ecuación logarítmica son falsas. Entonces lo que tenemos que ver es si al sustituir la x por 15 y al sustituir la x por 5, en la ecuación original sale algún logaritmo de un número negativo o sale algún logaritmo de 0.

68
00:08:46,659 --> 00:09:03,279
En ese caso habría que tachar la solución y decir que es falsa. Si cogemos el 15 y sustituimos aquí en la ecuación original, basta con sustituir dentro de los logaritmos y aquí nos encontramos logaritmo de 15 más 5 que es 20. Eso no hay ningún problema, es un número positivo.

69
00:09:03,279 --> 00:09:16,379
Y aquí nos quedaría logaritmo de 3 por 15, 45, menos 5, 40. Otro logaritmo de un número positivo, así que no hay ningún problema. La solución x igual a 15 es una solución correcta y la marcamos con un tic.

70
00:09:17,799 --> 00:09:32,139
Cogemos el 5. Vamos a ver qué pasa. Aquí quedaría logaritmo de 10, sin problemas. Y aquí quedaría logaritmo de 3 por 5, 15, menos 5, 10 también, así que también sin problemas. Por lo tanto, también el 5 es una solución correcta.

71
00:09:32,139 --> 00:09:43,139
Con lo cual, esta ecuación logarítmica tiene dos soluciones, que son x igual a 15 y x igual a 5, y ambas son soluciones correctas.

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00:09:43,139 --> 00:09:47,799
Bueno, pues esto ha sido todo

73
00:09:47,799 --> 00:09:50,759
Solamente hemos visto un ejemplo

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00:09:50,759 --> 00:09:52,220
Espero que haya servido

75
00:09:52,220 --> 00:09:57,019
La idea es practicar, practicar y practicar

76
00:09:57,019 --> 00:09:58,879
¿Vale? Cuantos más ejemplos hagáis mejor

77
00:09:58,879 --> 00:10:01,720
Esto simplemente es un ejemplo

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00:10:01,720 --> 00:10:03,519
Y bueno, seguimos en el siguiente vídeo

79
00:10:03,519 --> 00:10:04,240
Pues viendo más

80
00:10:04,240 --> 00:10:05,259
Chao