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00:00:00,000 --> 00:00:05,680
¡Hola! Vamos a ver si con este GeoGebra ilustramos mejor lo que hay que hacer en

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00:00:05,680 --> 00:00:15,200
ejercicio 94 de la página 327. En el apartado A nos da tres puntos, el punto A, el punto B y el punto C,

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00:00:15,200 --> 00:00:21,800
y nos piden la ecuación del plano que pasa por esos puntos, que sería este plano de aquí,

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00:00:21,800 --> 00:00:25,800
que es un plano sencillo de encontrar analíticamente.

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00:00:25,800 --> 00:00:35,800
Tiene esa ecuación que se ve ahí, "-x-2z-3", y a partir de ahora va a ser un dato para el resto del problema.

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00:00:35,800 --> 00:00:45,800
A este plano que hemos hallado hay que unir como datos la recta R, que nos da ya el problema,

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00:00:45,800 --> 00:00:48,800
y el punto P, que también nos da el problema.

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00:00:48,800 --> 00:00:58,800
Nos piden calcular ecuaciones para otra recta S, que pase por P, que sea paralela al plano,

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00:00:58,800 --> 00:01:02,800
y que además corte a la recta R.

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00:01:02,800 --> 00:01:07,800
Bueno, entonces la primera idea es que si la recta pasa por P y es paralela al plano,

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00:01:07,800 --> 00:01:13,800
pues entonces necesariamente tiene que estar contenida en este otro plano paralelo a P.

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00:01:13,800 --> 00:01:20,800
De todas las rectas que pasan por P y son paralelas al plano original están contenidas en ese plano verde.

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00:01:20,800 --> 00:01:29,800
Y ya que queremos exactamente es esta recta, que es una de las paralelas al plano,

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00:01:29,800 --> 00:01:34,800
que pasa por P y que además corta R en ese punto Q.

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00:01:35,800 --> 00:01:41,800
La forma de hallar ese punto Q se puede observar directamente en la figura,

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00:01:41,800 --> 00:01:49,800
que el punto Q no es solamente donde se cortan las rectas R, que es la recta dada, y S, que es la buscada,

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00:01:49,800 --> 00:01:56,800
sino que el punto Q, incluso aunque no sepamos todavía cuál es la ecuación de la recta S,

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00:01:56,800 --> 00:02:03,800
S.Q es también el punto de corte entre la recta R y el plano paralelo que acabamos de hallar.

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00:02:03,800 --> 00:02:09,800
Es decir, podríamos determinar Q de esa manera y la recta S, pues directamente,

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00:02:09,800 --> 00:02:20,800
sería la recta que pasa por esos puntos P y Q, que es esta recta que tiene esta ecuación que vemos aquí.

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00:02:20,800 --> 00:02:29,800
Bueno, en clase hablábamos de otro enfoque, que es, en vez de hallar primero este punto Q,

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00:02:29,800 --> 00:02:38,800
y buscando esta recta S, es darnos cuenta de que podemos describirla como contenida en dos planos.

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00:02:38,800 --> 00:02:45,800
Entonces, uno de los planos que claramente contiene S es el plano en verde, que es el plano paralelo a P, que pasa por P.

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00:02:45,800 --> 00:02:53,800
Y si observamos la figura, pues sólo somos capaces de imaginar un plano que contiene a la vez a R, que es el dato,

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00:02:53,800 --> 00:03:01,800
y a S, que es la buscada, que sería este plano de aquí, que corta los dos planos.

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00:03:01,800 --> 00:03:07,800
Bueno, no nos interesa ahora mismo ver el plano original, pero ese plano en rosa que está ahí,

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00:03:07,800 --> 00:03:12,800
pues evidentemente corta al plano verde justamente en la recta S.

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00:03:12,800 --> 00:03:18,800
O sea, que podemos describir la recta S como el corte entre esos dos planos.

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00:03:18,800 --> 00:03:25,800
El plano verde, que ya hemos dicho que es el plano paralelo al plano dato, que era este, que pasa por P.

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00:03:25,800 --> 00:03:32,800
Y el plano rosa, que se puede calcular como el plano que pasa por P, que contiene a la recta R.

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00:03:32,800 --> 00:03:36,800
Con esos datos, pues es fácil hallar su ecuación.

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00:03:36,800 --> 00:03:43,800
Su ecuación sería esta que vemos aquí, o que deberíamos estar viendo.

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00:03:43,800 --> 00:03:48,800
Bueno, esta es su ecuación, es 0,71i igual a 0, que es equivalente a i igual a 0.

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00:03:48,800 --> 00:03:56,800
Entonces, otra forma de describir la recta pedida, esta recta S, es decir, que está definida por dos ecuaciones.

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00:03:56,800 --> 00:04:02,800
Una es menos x menos z igual a menos 1, la del plano verde, y la otra es i igual a 0, la del plano rosa.

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00:04:02,800 --> 00:04:12,800
Sería la forma de dar S en implícitas, que equivale a la forma de dar S en paramétricas, como esta recta que está aquí.

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00:04:12,800 --> 00:04:19,800
Bueno, respecto al tercer apartado, solamente por ilustrarlo, pues nos olvidamos ya de esta recta.

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00:04:20,800 --> 00:04:23,800
Nos olvidamos de este plano y de este otro plano.

39
00:04:23,800 --> 00:04:31,800
Y en el ejercicio nos dicen que pensemos solamente en el plano pi original, en la recta R.

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00:04:31,800 --> 00:04:40,800
Y lo que nos están pidiendo es que calculemos las coordenadas de un punto de R que quediste de pi y de S.

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00:04:40,800 --> 00:04:42,800
O sea, que S sí que hay que poner. Aquí está S.

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00:04:42,800 --> 00:04:46,800
Un punto de R es este punto de aquí.

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00:04:49,800 --> 00:04:53,800
Y que se mueve según cambie el parámetro lambda en la recta R.

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00:04:53,800 --> 00:05:01,800
Queremos un punto de todos estos que estoy recorriendo ahora, un punto de R, que quediste del plano y de la recta.

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00:05:01,800 --> 00:05:07,800
Bueno, pues yo creo que todos, si ponemos el plano así un poco de canto, lo podemos imaginar como por aquí.

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00:05:07,800 --> 00:05:09,800
Un punto que esté a esa misma distancia.

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00:05:09,800 --> 00:05:22,800
Si trazo la perpendicular al plano por el punto R, esta recta de aquí, pues vemos que esa recta resulta ser también perpendicular a la recta S.

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00:05:22,800 --> 00:05:31,800
Y, por tanto, lo que tenemos que hacer es, en este segmento que va del plano a la recta, encontrar el punto medio.

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00:05:31,800 --> 00:05:33,800
Sería una forma de hallarlo.

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00:05:33,800 --> 00:05:43,800
Y la otra es, como hemos hecho en clase, plantear directamente la ecuación que dice que la distancia de este punto al plano es igual a la distancia del punto a la recta.

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00:05:43,800 --> 00:05:49,800
Vamos a ver si ahí se ve claramente dónde tiene que caer el punto medio más o menos.

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00:05:49,800 --> 00:05:53,800
Quizás en esta vista sea más claro.

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00:05:53,800 --> 00:05:57,800
Bueno, que no me enrollo más, espero que con esto se vea mejor.

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00:05:57,800 --> 00:06:00,800
Y si no, pues nada, lo seguimos intentando.