1 00:00:00,320 --> 00:00:06,019 Empezamos el tema 1 de este primer curso de bachillerato de Ciencias Sociales 2 00:00:06,019 --> 00:00:08,960 y este tema 1 se llama los números reales. 3 00:00:09,220 --> 00:00:15,380 Lo primero que os pongo es un diagrama de todos los conjuntos de números que conocéis hasta ahora. 4 00:00:16,780 --> 00:00:25,940 Lo que vamos a ir haciendo es ir leyendo estos apuntes y os iré señalando lo que voy leyendo cada vez. 5 00:00:25,940 --> 00:00:40,560 Entonces, ahora mismo estamos viendo este diagrama y vemos que los números naturales que conocemos, que son el 1, 2, 3, etc., sería el conjunto más pequeño que aparece en este diagrama. 6 00:00:41,140 --> 00:00:51,759 Si ampliamos ese conjunto y añadimos el número 0 y los números negativos, entonces estamos hablando del conjunto Z de los números enteros. 7 00:00:51,759 --> 00:00:58,759 el conjunto de los números naturales está incluido dentro del conjunto de los números enteros 8 00:00:58,759 --> 00:01:00,700 todos los naturales son enteros 9 00:01:00,700 --> 00:01:05,459 si ampliamos el conjunto de los números enteros que son los positivos, negativos y el cero 10 00:01:05,459 --> 00:01:10,700 ampliamos con números que no son enteros pero que se pueden escribir como una fracción 11 00:01:10,700 --> 00:01:15,140 entonces tenemos el conjunto de los números racionales 12 00:01:15,140 --> 00:01:19,659 y los números racionales como veremos un poquito después 13 00:01:19,659 --> 00:01:27,480 Son aquellos números que se pueden expresar como una fracción, pero hay un conjunto de números que no se puede expresar como una fracción, que es el de los irracionales. 14 00:01:28,040 --> 00:01:31,299 En los irracionales están todos los números con infinitos decimales. 15 00:01:32,040 --> 00:01:36,260 Y englobando racionales e irracionales están los números reales. 16 00:01:36,560 --> 00:01:41,500 Es el conjunto más amplio de números que vamos a estudiar este curso. 17 00:01:41,980 --> 00:01:46,420 Y en el conjunto de los números reales se incluyen todos los que conocéis. 18 00:01:46,420 --> 00:01:54,739 y todos son números decimales, exactos, periódicos o como sean, ¿de acuerdo? 19 00:01:55,219 --> 00:02:02,420 Bueno, pues empezamos el punto 1 que se llama números racionales. 20 00:02:03,260 --> 00:02:06,420 El conjunto de los números racionales se representa con una Q mayúscula. 21 00:02:07,299 --> 00:02:12,419 Como habéis visto en el diagrama, todos los conjuntos de números se expresan con una mayúscula 22 00:02:12,419 --> 00:02:18,479 mayúscula, pero barrada se llama, con una barra en vertical, como veis, ¿vale? Bueno, 23 00:02:18,539 --> 00:02:24,419 pues el conjunto de los números racionales, leemos, está formado por todos los números 24 00:02:24,419 --> 00:02:30,979 que se pueden escribir en forma de fracción, A partido por B, donde A y B, aquí pone con 25 00:02:30,979 --> 00:02:38,379 A y B, que pertenecen, ese símbolo, espero que lo conozcáis, es un símbolo matemático, 26 00:02:38,379 --> 00:02:49,139 es como una e, así, pertenece, se lee y dice aquí, e, a y b pertenecen a z, son enteros, o sea, números positivos o negativos. 27 00:02:49,560 --> 00:02:54,419 Y además, con una condición, un número racional no puede tener el denominador cero, ¿vale? 28 00:02:55,639 --> 00:02:59,199 Importante, porque un número partido por cero, pues ya sabéis que es infinito. 29 00:02:59,199 --> 00:03:17,469 Bueno, entonces vemos aquí que incluye todos los enteros, incluye los enteros y de los decimales los exactos y los periódicos, es decir, los que se pueden expresar como fracción. 30 00:03:18,310 --> 00:03:24,030 Bueno, vamos a hacer un recordatorio de cosas importantes de los números racionales que sabéis más que de sobra de otros años. 31 00:03:24,030 --> 00:03:34,849 Lo primero, dos fracciones son equivalentes, x es igual, es decir, dos fracciones son iguales si representan la misma parte. 32 00:03:35,449 --> 00:03:45,530 Y esto se traduce en esta propiedad matemática importantísima, que si multiplico en aspa los productos que se obtienen son iguales, a por d igual a b por c. 33 00:03:47,840 --> 00:03:54,759 Fracción irreducible es aquella en la que el mínimo común múltiplo entre numerador y denominador es 1, 34 00:03:54,819 --> 00:03:58,000 es decir, ya no puedo simplificar ningún factor arriba y abajo. 35 00:03:58,819 --> 00:04:05,439 Y os pongo aquí, recuadrado, en todas las operaciones que hagamos, aunque sean con fracciones numéricas o algebraicas, 36 00:04:05,819 --> 00:04:07,500 siempre reducir en cuanto se pueda. 37 00:04:10,460 --> 00:04:13,219 Recordamos también lo que son fracciones propias e impropias. 38 00:04:13,659 --> 00:04:16,639 Una fracción propia, el numerador es menor que el denominador. 39 00:04:16,639 --> 00:04:23,199 una fracción impropia, el numerador es mayor, es decir, es mayor de 1, una fracción impropia. 40 00:04:23,879 --> 00:04:29,279 Y luego, como hemos dicho, un número racional son todos los que están en este conjunto, 41 00:04:29,939 --> 00:04:36,560 pero como hay fracciones equivalentes, por ejemplo, 2 tercios es lo mismo que 4 sextos, 42 00:04:36,680 --> 00:04:42,100 es lo mismo que 9 veintisieteavos, ¿vale? 43 00:04:42,100 --> 00:05:02,639 Todo ese conjunto de números equivalentes que representan lo mismo se llama número racional y como un número racional hay muchas formas de expresarlo, elegimos una de ellas que se llama representante canónico para hablar de todo el conjunto de fracciones equivalentes y es la fracción irreducible de denominador positivo. 44 00:05:02,639 --> 00:05:16,139 Es decir, si yo tengo menos dos quintos, eso es un representante canónico y también representa a cuatro partido por menos diez y a toda fracción equivalente a esa. 45 00:05:17,060 --> 00:05:26,279 Y luego vemos aquí, voy a quitar el rotulador para que lo veáis, las propiedades que os tenéis que saber de sobra de hace mil años. 46 00:05:26,279 --> 00:05:30,759 la multiplicación de fracciones se hace en línea 47 00:05:30,759 --> 00:05:34,399 a ver si puedo dibujar, sí, vale 48 00:05:34,399 --> 00:05:39,000 para multiplicar fracciones multiplico en línea 49 00:05:39,000 --> 00:05:42,759 si una fracción está elevada a un número negativo 50 00:05:42,759 --> 00:05:47,139 es igual a la misma fracción dada a la vuelta y el exponente positivo 51 00:05:47,139 --> 00:05:51,660 importantísima y a utilizar montones de veces 52 00:05:51,660 --> 00:06:10,480 Entonces, la división. Para dividir, lo que hago es multiplicar en cruz. Otra manera de hacerlo. Dividir es lo mismo que multiplicar por la inversa. Si quiero dividir entre c partido por d, es lo mismo que multiplicar por d partido por c. 53 00:06:10,480 --> 00:06:34,699 Si lo pongo de esta manera, entonces al final es una multiplicación que se hace en línea. Os lo aprendáis como queráis, ¿vale? La potencia de una potencia, si es la base fraccionaria, es igual que si la base es entera. Se multiplican los exponentes, c por d, si es una base elevado a una potencia y luego elevado a otra potencia. 54 00:06:34,699 --> 00:06:49,519 Ahora, continuamos por aquí. El producto de potencias de fracciones con la misma base es sumar los exponentes. Si tengo la misma base a partido por b, a partido por b, sumo los exponentes. 55 00:06:49,519 --> 00:07:14,860 Pero si tengo distinta base, como en este caso, pero tengo el mismo exponente, puedo encerrar el producto de las fracciones dentro del exponente, es decir, a partido por b elevado a c multiplicado por d partido por e también elevado a c, lo que puedo hacer es poner a partido por b multiplicado por d partido por e y todo ello elevado a c. 56 00:07:14,860 --> 00:07:34,970 Os lo sabéis de memoria, ¿de acuerdo? Bueno, pues continuamos. Hemos visto un repaso rapidito de los números racionales, que son estos de aquí, estos de aquí, y ahora vamos a ver los números irracionales, que son estos de aquí. 57 00:07:34,970 --> 00:07:43,269 Y si los racionales son los que se pueden expresar como una fracción, los irracionales son los que no se pueden expresar como una fracción, ¿de acuerdo? 58 00:07:45,350 --> 00:07:54,769 El conjunto del I mayúscula, barrada, que se llama de los números irracionales, está formado por los números que no pueden expresarse como una fracción. 59 00:07:54,769 --> 00:07:59,250 tienen infinitas cifras decimales que no se repiten de forma periódica 60 00:07:59,250 --> 00:08:09,310 y conocéis muchos de ellos como pi, como e, como 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 y puntos suspensivos, etc. 61 00:08:09,310 --> 00:08:16,250 Y una propiedad importante es que si tengo un número que es racional, 62 00:08:16,410 --> 00:08:19,730 es decir, que pertenece a q y uno que pertenece a i, que es irracional, 63 00:08:19,730 --> 00:08:37,870 Si lo sumo, el resultado ha perdido la propiedad del racional. Es irracional. Y si lo multiplico, también. En el momento en el que una suma o un producto haya un número irracional, el resultado es irracional. Tiene infinitas cifras decimales. 64 00:08:38,769 --> 00:08:48,169 Bueno, pues una vez vistos los dos conjuntos, os acordáis que en el diagrama de arriba decíamos que esos dos conjuntos unidos forman el conjunto de los números reales. 65 00:08:48,169 --> 00:08:58,850 Y esto es exactamente lo que dice aquí, que los números reales se representan por R mayúscula y este conjunto es igual a la unión de Q e I. 66 00:08:58,850 --> 00:09:13,230 Y, como os decía antes, existe el símbolo matemático pertenece, cuando es un elemento que pertenece a un conjunto, y existe el símbolo matemático, es como una U alargada hacia arriba, que es unión. 67 00:09:13,990 --> 00:09:18,789 Quiere decirse que los elementos de R son la unión del conjunto Q y del conjunto Y. 68 00:09:19,789 --> 00:09:29,610 Bueno, pues leemos, el conjunto R de los números reales está formado por los racionales y los irracionales, como hemos visto en el diagrama. 69 00:09:30,129 --> 00:09:35,470 Y la recta numérica, en la que se representan todos los números reales, se denomina recta real. 70 00:09:35,470 --> 00:09:39,470 Y vamos a utilizarla sobre todo para representar intervalos. 71 00:09:41,269 --> 00:09:45,070 Pues vamos a ver propiedades, bueno, vamos a ver dos operaciones. 72 00:09:45,230 --> 00:09:48,669 En los números reales vamos a hacer sumas y multiplicaciones. 73 00:09:48,789 --> 00:09:54,230 como operaciones básicas. Y vamos a ver las propiedades que cumplen. Bueno, pues la suma 74 00:09:54,230 --> 00:10:00,409 cumple la propiedad conmutativa, quiere decir que puedo sumar a más b o b más a. La multiplicación 75 00:10:00,409 --> 00:10:06,470 también cumple la propiedad conmutativa. Las dos operaciones cumplen la propiedad asociativa, 76 00:10:06,649 --> 00:10:12,529 quiere decir yo puedo hacer primero a más b y sumarle a ese resultado c o a y sumarle el 77 00:10:12,529 --> 00:10:18,710 resultado de b más c y con la multiplicación lo mismo. Vamos a ver el elemento neutro de cada 78 00:10:18,710 --> 00:10:24,830 operación. El elemento neutro se llama neutro porque lo que hace es nada, deja al elemento con 79 00:10:24,830 --> 00:10:29,950 el que está operando como está. ¿Cómo puedo dejar a como está sumándole algo? Pues sumándole cero, 80 00:10:30,289 --> 00:10:35,710 por eso cero es el elemento neutro y a más cero es a. ¿Cuál es el elemento neutro de la multiplicación? 81 00:10:35,710 --> 00:10:44,809 El 1, porque al multiplicar a por 1, a se queda igual. Y el elemento simétrico. El elemento simétrico es 82 00:10:44,809 --> 00:10:55,129 el que a un número a yo opero sumando o multiplicando y me da el neutro, ¿vale? Entonces, ¿qué 83 00:10:55,129 --> 00:11:01,009 le tengo que sumar a a para que me dé 0? Menos a y se llama opuesto. ¿Qué le tengo 84 00:11:01,009 --> 00:11:07,490 que sumar, que multiplicar a a para que me dé 1, que es el neutro? Pues a elevado a 85 00:11:07,490 --> 00:11:13,049 menos 1 o lo que es lo mismo, 1 partido por a y se llama elemento inverso. Espero que 86 00:11:13,049 --> 00:11:18,850 a elevado a menos 1 igual a 1 partido por a, nadie tenga dudas de que es así, que todo el mundo se lo sepa. 87 00:11:19,750 --> 00:11:25,710 Bueno, y luego hay una propiedad que engloba, o sea, que utiliza las dos operaciones a la vez, 88 00:11:25,710 --> 00:11:31,730 la multiplicación y la suma, que se llama la propiedad distributiva, que dice que si yo tengo un número 89 00:11:31,730 --> 00:11:41,809 y a ese le multiplico por el resultado de una suma, lo que puedo hacer es multiplicar el primero por el primer sumando 90 00:11:41,809 --> 00:11:43,950 y sumarle el primero por el segundo sumando. 91 00:11:44,409 --> 00:11:46,750 Eso es lo que yo llamaba la regla de la pinza, 92 00:11:48,389 --> 00:11:49,549 que es como si fuera un cangrejo, 93 00:11:50,269 --> 00:11:53,590 que es que hago esto por esto y esto por esto, ¿vale? 94 00:11:54,830 --> 00:12:02,409 Bueno, pues estas son las propiedades de la suma y la multiplicación de números reales 95 00:12:02,409 --> 00:12:08,629 y lo último ya que os cuento es que, 96 00:12:08,809 --> 00:12:11,090 aunque os suene un poco que no sabéis a qué viene, 97 00:12:11,809 --> 00:12:18,690 Los números, los conjuntos en matemáticas, aparte de describirlos y decir qué propiedades tienen, 98 00:12:19,190 --> 00:12:24,289 una propiedad importantísima es que tengan una relación de orden, que sean conjuntos ordenados. 99 00:12:24,830 --> 00:12:29,409 Bueno, pues el conjunto de los reales es un conjunto ordenado. 100 00:12:29,409 --> 00:12:34,470 Os parecerá que no tiene importancia, pero es importantísimo poder colocarlos en la recta real. 101 00:12:35,009 --> 00:12:39,009 Existe otro conjunto de números que se llaman los números complejos, que no se pueden ordenar. 102 00:12:39,009 --> 00:12:45,730 y entonces nunca puedes decir cuál es mayor que otro, si está por encima o por debajo, si es igual o no, no se pueden ordenar, ¿de acuerdo? 103 00:12:46,110 --> 00:12:50,690 Bueno, pues el conjunto de los reales es un conjunto ordenado. Hasta aquí la clase de hoy.