1
00:00:02,160 --> 00:00:09,339
Hola, en este vídeo vamos a empezar a explicar la parte nueva del tema que son los logaritmos, ¿vale?

2
00:00:09,960 --> 00:00:16,500
Nadie se ha asustado de esta palabra tan fea y tan rara que tiene la verdad pinta de cosa muy difícil,

3
00:00:16,679 --> 00:00:23,179
pero bueno, nosotros espero que nos lo tomemos como una especie de acertijo y que no nos cueste mucho

4
00:00:23,179 --> 00:00:27,199
pillar el concepto, ¿vale? O al menos pillar la importancia que tiene.

5
00:00:27,199 --> 00:00:45,600
Mira, un logaritmo chicos no es más que un exponente, ¿vale? Un logaritmo es un exponente, en concreto es el exponente al que yo elevo un numerito que dentro del logaritmo aparece chiquitito aquí abajo que llamamos base, ¿vale?

6
00:00:45,600 --> 00:00:52,500
Pues un número al que yo elevo una base para obtener otro número que dentro del logaritmo se llama argumento, ¿vale?

7
00:00:53,159 --> 00:00:56,439
Bueno, la nomenclatura, la forma de escribir un logaritmo es esta, ¿vale?

8
00:00:56,479 --> 00:01:05,239
Ponemos log, un número chiquitito que es la base del logaritmo y un número pues del mismo tamaño que la etiqueta log, ¿vale?

9
00:01:05,859 --> 00:01:12,379
Esto se lee logaritmo en base a de b y el logaritmo es como hemos dicho un exponente.

10
00:01:12,379 --> 00:01:21,439
Es el exponente al que yo elevo la base del logaritmo para obtener el número que hemos puesto aquí en verde que llamamos argumento del logaritmo, ¿vale?

11
00:01:22,840 --> 00:01:25,799
Exponente al que elevo la base para obtener el argumento.

12
00:01:26,260 --> 00:01:33,340
Logaritmo en cierta base de un argumento es un exponente, que es al que yo elevo la base para obtener el argumento.

13
00:01:33,959 --> 00:01:37,000
Bueno, vamos a ver si con estos ejemplos pilláis el concepto.

14
00:01:37,000 --> 00:01:41,819
Lo primero que nos piden es calcular el logaritmo en base 2 de 32.

15
00:01:42,379 --> 00:01:50,680
Si yo aplico la fórmula, logaritmo en base 2 de 32 va a ser el número al que yo elevo 2, ¿vale?

16
00:01:50,700 --> 00:01:56,420
Un número al que yo elevo aquí, o sea, 2 lo elevo a un número y obtengo 32.

17
00:01:57,280 --> 00:02:01,680
Entonces, si pensamos un poco, 32 es una potencia de 2.

18
00:02:02,120 --> 00:02:05,659
¿Cuántas veces he tenido que multiplicar 2 por sí mismo para obtener 32?

19
00:02:06,239 --> 00:02:09,120
Si me hace falta lo factorizo, ¿vale?

20
00:02:09,120 --> 00:02:27,819
Bueno, este por ser el primero lo factorizaríamos, ¿vale? Pero yo creo que 32 ya ha salido alguna vez en clase y ya os suena de otras veces, ¿de acuerdo? Y ya sabemos que 32 es lo mismo que 2 a la quinta, ¿vale? 2 elevado a 5, ¿de acuerdo?

21
00:02:27,819 --> 00:02:40,840
Entonces, este logaritmo sería 5, ¿vale? Porque yo he tenido que elevar 2 a 5 para obtener 32, ¿de acuerdo?

22
00:02:41,520 --> 00:02:45,280
Bueno, creo que con las potencias de 10 vamos a ir más fácil.

23
00:02:45,479 --> 00:02:55,939
Logaritmo en base 10 de un millón. Bueno, ¿a qué exponente yo tengo que elevar 10 para obtener un millón?

24
00:02:55,939 --> 00:03:01,900
Pues bueno, ya sabéis que con las potencias de base 10 es tan fácil como contar ceros, ¿vale?

25
00:03:01,900 --> 00:03:06,719
Ya sabéis que yo en este caso tendré que elevar el 10 a 6, ¿vale?

26
00:03:07,060 --> 00:03:08,539
Para obtener un millón.

27
00:03:09,319 --> 00:03:13,979
La base del logaritmo se eleva al propio logaritmo para obtener el argumento.

28
00:03:14,419 --> 00:03:17,520
El 10 se eleva a 6 para obtener un millón.

29
00:03:17,860 --> 00:03:21,639
Por tanto, el logaritmo en base 10 de un millón es 6, ¿vale?

30
00:03:21,919 --> 00:03:23,599
El logaritmo es el exponente.

31
00:03:23,599 --> 00:03:26,460
Venga, vamos a ver más ejemplos

32
00:03:26,460 --> 00:03:29,500
En este caso, el logaritmo en base 2 de 2

33
00:03:29,500 --> 00:03:33,460
¿A qué número yo elevo la base?

34
00:03:34,219 --> 00:03:36,539
Mirad, la base la verdad es que es una cosa bastante fácil

35
00:03:36,539 --> 00:03:40,580
Porque la base del logaritmo luego hace las veces de base de la potencia

36
00:03:40,580 --> 00:03:45,259
¿A qué número yo elevo el 2 para obtener también 2?

37
00:03:46,740 --> 00:03:51,379
Pues este es muy fácil porque ya sabéis que cualquier número naturalmente está elevado a 1

38
00:03:51,379 --> 00:03:55,400
Entonces el logaritmo en base 2 de 2 es 1

39
00:03:55,400 --> 00:04:02,039
Y esto sucede igual para cualquier logaritmo en el que coincida la base y el argumento

40
00:04:02,039 --> 00:04:05,539
Si a mí me pidieran logaritmo en base 7 de 7 es 1

41
00:04:05,539 --> 00:04:07,939
¿Por qué? Porque 7 elevado a 1 es 7

42
00:04:07,939 --> 00:04:13,580
Si me piden el logaritmo en base 325 de 325 es 1

43
00:04:13,580 --> 00:04:17,240
Porque 325 elevado a 1 es 325

44
00:04:17,240 --> 00:04:20,420
¿De acuerdo? Yo creo que lo estáis pillando

45
00:04:20,420 --> 00:04:23,040
Creo, tengo fe, sí, seguro que estoy bien.

46
00:04:23,720 --> 00:04:27,459
Vale, vamos a ver ahora el logaritmo en base 5 de 1.

47
00:04:28,079 --> 00:04:35,839
Por ejemplo, pues venga, ¿a qué número tengo que elevar yo el 5 para obtener como resultado 1?

48
00:04:37,199 --> 00:04:43,899
Venga, pues a poco que penséis, yo creo que os sale que el logaritmo en base 5 de 1 tiene que ser 0.

49
00:04:44,779 --> 00:04:50,139
¿Por qué? Porque yo el 5, si lo elevo a 0, obtengo 1.

50
00:04:50,420 --> 00:04:57,160
¿Vale? Y esto sucedería igual para cualquier logaritmo en el que la base sea cualquier número,

51
00:04:57,560 --> 00:05:02,180
bueno, ahora después veremos que tiene que ser obligatoriamente positivo, y el argumento sea 1.

52
00:05:02,180 --> 00:05:08,379
Por ejemplo, logaritmo en base 2000 de 1 es 0, porque 2000 elevado a 0 es 1, ¿vale?

53
00:05:08,779 --> 00:05:14,699
Esto parece un trabalenguas o parece una especie de acertijo, pero yo de verdad que espero que lo estéis pillando.

54
00:05:14,699 --> 00:05:20,399
Bien, vamos ahora con el siguiente, vamos a bajar por aquí un poquillo, que ya nos quedan solo dos

55
00:05:20,399 --> 00:05:24,279
Bien, me piden ahora logaritmo en base 2 de un medio

56
00:05:24,279 --> 00:05:33,160
¿A qué número yo tendré que elevar 2, que es la base, a qué número lo elevo para obtener un medio?

57
00:05:33,160 --> 00:05:36,060
Venga, este es un poquito más difícil, ¿vale?

58
00:05:36,519 --> 00:05:45,800
Porque me ponen aquí un medio, bueno, vale, es que un medio yo creo que desde hace unos años lo sabéis reescribir de otra manera

59
00:05:45,800 --> 00:05:55,199
¿Vale? Porque ya sabéis que cuando tengo números inversos, esto sale de que aquí en algún momento ha habido un exponente negativo.

60
00:05:55,660 --> 00:06:02,939
O sea, si yo tengo aquí 1 dividido de 2, es lo mismo que darle la vuelta y tener escrito 2 elevado a menos 1.

61
00:06:03,579 --> 00:06:11,360
¿Vale? Entonces, si lo reescribís de esta manera, pues ya se ve bien fácil que el exponente es menos 1.

62
00:06:11,360 --> 00:06:18,279
¿Vale? Cuando yo cojo el 2 y lo elevo a menos 1, esto se escribe como un medio, ¿vale?

63
00:06:18,420 --> 00:06:24,459
Entonces logaritmo en base 2 de un medio es menos 1, repito, porque 2 elevado a menos 1 es un medio.

64
00:06:25,920 --> 00:06:32,019
Venga, vamos con el último ejemplo en el que me piden a qué número tengo que elevar 3 para que me dé raíz de 3.

65
00:06:32,019 --> 00:06:42,279
Bueno, escribo 3 elevado a algo, ¿vale? que va a ser el logaritmo y después de esto tengo que obtener raíz de 3.

66
00:06:42,860 --> 00:06:48,779
Bueno, aquí esto nos puede parecer difícil, pero si reflejamos un poco la memoria y volvemos a 15 días atrás,

67
00:06:49,360 --> 00:06:55,519
cuando vimos que un radical se podía reescribir como una potencia de exponente fraccionario,

68
00:06:56,420 --> 00:07:02,000
aprendíamos que si tengo raíz cuadrada de 3, aquí es como si tuviera un 2 y aquí es como si tuviera un 1,

69
00:07:02,019 --> 00:07:27,360
Y puedo escribir raíz cuadrada de 3 como 3 elevado a 1 medio, por tanto, el logaritmo, ¿vale? Pues una vez que reescribimos eso, aquí ya coincide y el logaritmo en base 3 de raíz de 3 es 1 medio, porque si yo tomo el 3, a ver, cojo 3 y lo elevo a 1 medio, ya sabéis que esto se transforma en raíz de 3, que sería el argumento que me pedían, ¿vale?

70
00:07:27,360 --> 00:07:31,139
Bueno, igual que este ejemplo haremos muchos en clase, ¿de acuerdo?

71
00:07:31,259 --> 00:07:36,259
Pues nos pondrán aquí argumentos más o menos dificilillos y tendremos que encontrar los logaritmos

72
00:07:36,259 --> 00:07:38,720
También aprenderemos a hacerlo con la calculadora

73
00:07:38,720 --> 00:07:46,120
Bueno, nos vamos a encontrar otros ejercicios en los que nos piden averiguar la base de un logaritmo

74
00:07:46,120 --> 00:07:53,120
Antes de verlos tenéis que saber que la base de un logaritmo en principio no puede ser cualquier número real, ¿vale?

75
00:07:53,120 --> 00:07:54,839
Sino que tenemos restricciones

76
00:07:55,459 --> 00:08:03,740
Estas restricciones nos dicen que la base siempre tiene que ser un número estrictamente positivo y distinto de 1, ¿vale?

77
00:08:04,100 --> 00:08:08,740
No existen los logaritmos en base 1 porque es que ya sabéis que 1 elevado a lo que sea siempre me da 1,

78
00:08:08,860 --> 00:08:10,959
entonces entraríamos ahí en un bucle raro, ¿de acuerdo?

79
00:08:11,779 --> 00:08:13,459
Vamos a ver unos cuantos ejemplos.

80
00:08:13,459 --> 00:08:21,540
Para hacer estos ejemplos lo que vamos a tener es que usar un poquito dotes adivinatorias o como mucho apoyarnos en la factorización, ¿vale?

81
00:08:21,540 --> 00:08:37,919
Bueno, en este caso, si me piden el logaritmo en base a indeterminada de 125 y me dicen que es 3, tengo que encontrar el número al cual yo cuando lo elevo a 3 obtengo 125, ¿vale?

82
00:08:37,919 --> 00:09:06,120
Bueno, en este caso, si nos hace falta, podemos intentar factorizar el 125, a ver qué pasa, y, pues, chicos, enseguida nos damos cuenta de que 125 es lo mismo que 5 al cubo, qué suerte que el exponente coincide con el que me decían que era el logaritmo, entonces, esto es perfecto, ¿vale?, tan perfecto como que el número que busco, la base que busco, es 5, porque yo, cuando el 5 lo elevo a 3, obtengo 125.

83
00:09:06,120 --> 00:09:11,179
Cuando 5 lo elevo a 3 obtengo 125

84
00:09:11,179 --> 00:09:16,279
Vamos a hacer otro, venga, nos piden ahora logaritmo en base a de 64

85
00:09:16,279 --> 00:09:18,879
Y me dicen que es 6, vale, venga pues nada

86
00:09:18,879 --> 00:09:21,659
Voy a intentar factorizar el 64 a ver qué pasa

87
00:09:21,659 --> 00:09:24,480
Yo creo que esta factorización, algunos ya

88
00:09:24,480 --> 00:09:27,240
Las potencias de 2 yo creo que nos las

89
00:09:27,240 --> 00:09:30,259
Si no nos las sabemos es bastante recomendable, vale

90
00:09:30,259 --> 00:09:34,279
Entonces a poquito que factorizo el 64 me doy cuenta

91
00:09:34,279 --> 00:09:39,700
de que 64 no es más que 2 a la sexta, ¿vale?

92
00:09:41,659 --> 00:09:45,620
Genial, porque coincide con el logaritmo, o sea, el logaritmo era 6,

93
00:09:45,700 --> 00:09:48,519
que coincide con el exponente que buscaba, ¿vale?

94
00:09:49,320 --> 00:09:53,179
Entonces, acabo de descubrir que 64 es lo mismo que 2 a la sexta, ¿vale?

95
00:09:53,279 --> 00:09:56,500
Por tanto, la base que yo buscaba es 2, ¿de acuerdo?

96
00:09:58,820 --> 00:10:01,039
Continuamos, mira, ahora nos ponen el mismo ejercicio,

97
00:10:01,039 --> 00:10:03,840
solo que nos dicen que el logaritmo es 3, ¿vale?

98
00:10:04,659 --> 00:10:08,559
¿Qué número cuando yo lo elevo a 3 obtengo 64?

99
00:10:10,259 --> 00:10:12,120
Aquí va a haber que pensar un poquillo más, ¿vale?

100
00:10:12,639 --> 00:10:20,000
Bueno, por lo que va a haber que pensar no es ni más ni menos que, bueno, intentar, como ya sabemos que 64 es 2 a la sexta,

101
00:10:20,580 --> 00:10:24,679
¿podríamos hacer aquí tres grupos de alguna manera y obtener una base?

102
00:10:25,120 --> 00:10:32,240
Yo creo que a poquillo que penséis os dais cuenta de que 64 también se puede escribir como 4 por 4 por 4,

103
00:10:32,240 --> 00:10:41,419
Es decir, 4 al cubo. Como el logaritmo era 3, ¿vale? La base que va con este exponente tiene que ser el 4, ¿vale?

104
00:10:41,480 --> 00:10:45,679
Por tanto, la base que yo he buscado aquí es 4, ¿de acuerdo?

105
00:10:46,559 --> 00:10:57,299
Y por último nos piden ahora una base a la que elevar, o sea, un número que cuando yo elevo a 4 obtengo 1 partido de 16.

106
00:10:57,299 --> 00:11:00,120
Bueno, esto va a ser aquí más difícil

107
00:11:00,120 --> 00:11:02,059
Vamos, bueno, no va a ser más difícil, a ver

108
00:11:02,059 --> 00:11:05,200
Un poquito, pero vamos, que yo creo que tampoco, bueno

109
00:11:05,200 --> 00:11:09,659
A ver, vosotros sabéis que cuando yo tengo un número elevado a un exponente negativo

110
00:11:09,659 --> 00:11:12,419
Puedo reescribir esto de aquí de esta manera

111
00:11:12,419 --> 00:11:15,960
1 partido de a elevado a 4, ¿verdad?

112
00:11:16,620 --> 00:11:20,620
Y de esta manera ya he conseguido reescribir una fracción

113
00:11:20,620 --> 00:11:25,639
De forma que puedo identificar más fácil aquí los denominadores

114
00:11:25,639 --> 00:11:28,799
La verdad que el acertijo se me simplifica un poco.

115
00:11:29,279 --> 00:11:31,899
¿Qué número cuando yo lo elevo a 4 obtengo 16?

116
00:11:32,539 --> 00:11:39,320
Bueno, este no vamos a factorizar ni nada porque yo creo que tiene que estar ya bastante claro que la base va a ser 2, ¿vale?

117
00:11:39,740 --> 00:11:47,039
¿Por qué? Porque cuando yo, si yo cojo el 2 y lo elevo a menos 4, ¿vale?

118
00:11:47,220 --> 00:11:55,539
Realmente lo que tendría que ser 1 partido de 2 elevado a 4, que es 1 partido de 16, que era el argumento que yo buscaba.

119
00:11:55,639 --> 00:11:58,419
Por tanto, aquí la base, estos.

120
00:12:00,299 --> 00:12:08,340
Venga, y vamos muy deprisa, muy deprisa a estudiar alguna restricción y alguna norma sobre el argumento de los logaritmos.

121
00:12:08,740 --> 00:12:14,159
Mira, chicos, el argumento de un logaritmo siempre, siempre, siempre tiene que ser un número mayor o igual que 0.

122
00:12:14,340 --> 00:12:21,559
O sea, si os pongo un logaritmo en el que el argumento sea negativo, os estoy trolleando, ¿vale?

123
00:12:21,620 --> 00:12:23,480
Porque eso no se puede calcular, ¿vale?

124
00:12:23,480 --> 00:12:29,399
No existen los logaritmos de números negativos, ¿vale?

125
00:12:30,179 --> 00:12:34,519
Si, bueno, ya os contaré un poquillo más en profundidad por qué, ¿de acuerdo?

126
00:12:34,940 --> 00:12:40,820
Entonces, chicos, resolver este tipo, o sea, cuando a mí me pongan una incógnita en el lugar del argumento es ultra fácil,

127
00:12:40,919 --> 00:12:45,039
porque es que simplemente con aplicar la definición de logaritmo voy a descubrir quién es el argumento.

128
00:12:45,039 --> 00:12:56,399
El logaritmo en base 3 de b es 3 cuando yo tomo el 3, lo elevo a 3 y entonces obtengo b.

129
00:12:57,120 --> 00:13:01,639
¿Quién va a ser b? Pues 3 elevado a 3, 3 por 3 por 3, que es 27.

130
00:13:02,539 --> 00:13:04,759
¿Vale? Así de fácil. ¿De acuerdo?

131
00:13:05,940 --> 00:13:12,639
Vamos con el siguiente que sería logaritmo en base 1 quinto de 2.

132
00:13:12,639 --> 00:13:20,639
El logaritmo en base de un quinto de b tiene que ser 2, es decir, cuando yo la base la elevo al logaritmo obtengo el argumento.

133
00:13:21,600 --> 00:13:31,820
¿Qué obtengo cuando elevo un quinto a 2? Pues bueno, ya sabéis que lo que obtengo es 1 elevado a 2 entre 5 elevado a 2, es decir, 1 partido de 25.

134
00:13:32,059 --> 00:13:37,220
Por tanto, aquí el argumento será 1 partido de 25.

135
00:13:37,220 --> 00:13:45,340
El logaritmo en base a un quinto de 1 partido de 25 es 2 porque un quinto elevado a 2 es 1 partido de 25

136
00:13:45,340 --> 00:13:51,659
Venga y por último me piden logaritmo en base a 8 de b tiene que ser un medio

137
00:13:51,659 --> 00:13:57,799
Es decir yo 8 lo elevo un medio para obtener b

138
00:13:57,799 --> 00:14:03,840
Pues quien será b pues 8 elevado a un medio que simplemente lo reescribimos

139
00:14:03,840 --> 00:14:06,899
Porque ya sabéis que cuando me encuentro una potencia exponente fraccionario

140
00:14:06,899 --> 00:14:10,679
¿Vale? Pues simplemente lo puedo escribir como radical

141
00:14:10,679 --> 00:14:14,019
¿De acuerdo? Entonces, aquí ya, pues nada, muy fácil

142
00:14:14,019 --> 00:14:18,179
El logaritmo en base 8 de raíz cuadrada de 8 es 1 medio

143
00:14:18,179 --> 00:14:22,279
Porque 8 elevado a 1 medio es raíz de 8

144
00:14:22,279 --> 00:14:22,980
¿Vale?