1
00:00:00,000 --> 00:00:07,000
Vamos a definir las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera

2
00:00:07,000 --> 00:00:10,000
recurriendo a la circunferencia goniométrica.

3
00:00:10,000 --> 00:00:14,000
Hasta ahora nosotros hemos definido el seno, el coseno, la tangente,

4
00:00:14,000 --> 00:00:17,000
todas las razones trigonométricas de un ángulo agudo.

5
00:00:17,000 --> 00:00:21,000
Lo que pretendemos ahora es definir las razones trigonométricas

6
00:00:21,000 --> 00:00:25,000
de un ángulo de 90 grados, o de un ángulo mayor de 90 grados,

7
00:00:25,000 --> 00:00:29,000
o de un ángulo negativo, es decir, de cualquier ángulo.

8
00:00:29,000 --> 00:00:32,000
Vamos a empezar trabajando con el seno y el coseno

9
00:00:32,000 --> 00:00:36,000
y vamos a ver, sobre la circunferencia goniométrica,

10
00:00:36,000 --> 00:00:38,000
cómo definirlo.

11
00:00:40,000 --> 00:00:43,000
Aquí tenemos la circunferencia goniométrica de radio unidad.

12
00:00:44,000 --> 00:00:47,000
Vamos a colocar los ángulos más destacados,

13
00:00:47,000 --> 00:00:51,000
0, 90, 270, 360, y también en radianes,

14
00:00:51,000 --> 00:00:54,000
pi medios, pi, 3 pi medios y 2 pi.

15
00:00:54,000 --> 00:00:57,000
Y, para empezar, vamos a tener un ángulo agudo.

16
00:00:57,000 --> 00:01:01,000
Nosotros trazamos un ángulo agudo sobre la circunferencia goniométrica.

17
00:01:01,000 --> 00:01:03,000
Ese ángulo alfa es un ángulo agudo.

18
00:01:04,000 --> 00:01:08,000
Y lo que nos vamos nosotros a fijar ahora es en cómo podríamos

19
00:01:08,000 --> 00:01:11,000
definir las razones trigonométricas de este ángulo

20
00:01:11,000 --> 00:01:16,000
de una manera que pueda extenderse a cualquier otro ángulo de la circunferencia.

21
00:01:17,000 --> 00:01:22,000
La clave de todo va a estar en el punto siguiente.

22
00:01:23,000 --> 00:01:26,000
Ese punto es la clave, el punto en el cual

23
00:01:26,000 --> 00:01:32,000
la segunda línea del ángulo corta a la circunferencia goniométrica.

24
00:01:32,000 --> 00:01:35,000
Ese punto es el punto clave para la definición.

25
00:01:35,000 --> 00:01:37,000
Ahora vamos a ver por qué.

26
00:01:37,000 --> 00:01:41,000
Si ese es un punto, pues ese punto tendrá dos coordenadas.

27
00:01:41,000 --> 00:01:47,000
Una sería la coordenada horizontal sobre el eje X, o eje de acisas.

28
00:01:48,000 --> 00:01:52,000
Y otra sería la coordenada vertical, que podemos trazar en cualquiera

29
00:01:52,000 --> 00:01:55,000
de los dos sitios, como hemos puesto ahí.

30
00:01:55,000 --> 00:02:00,000
Esa sería la coordenada vertical trazada sobre el eje de ordenadas.

31
00:02:01,000 --> 00:02:04,000
De forma que ese punto tendría dos coordenadas.

32
00:02:04,000 --> 00:02:06,000
La coordenada A y la coordenada B.

33
00:02:06,000 --> 00:02:08,000
Hemos dado esos nombres.

34
00:02:08,000 --> 00:02:11,000
La B estaría ahí y la A estaría ahí.

35
00:02:13,000 --> 00:02:15,000
Nosotros lo que vamos a hacer ahora es

36
00:02:15,000 --> 00:02:19,000
trabajar sobre ese triángulo AB.

37
00:02:19,000 --> 00:02:22,000
Ese triángulo AB.

38
00:02:22,000 --> 00:02:26,000
Y la hipotenusa sería el radio de la circunferencia.

39
00:02:26,000 --> 00:02:28,000
Y lo que vamos a hacer es

40
00:02:28,000 --> 00:02:31,000
calcular cuál sería el seno del ángulo alfa

41
00:02:31,000 --> 00:02:33,000
según lo que nosotros sabemos.

42
00:02:33,000 --> 00:02:38,000
Es decir, si nosotros hemos cambiado el color para fijarnos mejor,

43
00:02:38,000 --> 00:02:42,000
ese es un triángulo rectángulo y como tal nosotros podemos definir

44
00:02:42,000 --> 00:02:44,000
el seno tal y como hemos hecho hasta ahora.

45
00:02:44,000 --> 00:02:47,000
Sería simplemente cateto opuesto dividido hipotenusa.

46
00:02:47,000 --> 00:02:49,000
B partido por R.

47
00:02:49,000 --> 00:02:51,000
Pero claro, R es 1.

48
00:02:51,000 --> 00:02:53,000
El radio de la circunferencia es 1 y por lo tanto

49
00:02:53,000 --> 00:02:57,000
el seno de alfa es justamente el valor de B.

50
00:02:57,000 --> 00:03:00,000
De manera que

51
00:03:00,000 --> 00:03:02,000
la segunda coordenada del punto

52
00:03:02,000 --> 00:03:06,000
nos da directamente el seno del ángulo alfa.

53
00:03:06,000 --> 00:03:08,000
Es decir, lo que mira ese segmento,

54
00:03:08,000 --> 00:03:11,000
el valor de la longitud de ese segmento,

55
00:03:11,000 --> 00:03:14,000
pues sería el seno del ángulo alfa.

56
00:03:15,000 --> 00:03:19,000
De igual manera, el coseno del ángulo alfa sería A partido por R

57
00:03:19,000 --> 00:03:22,000
y teniendo en cuenta que el radio es 1,

58
00:03:22,000 --> 00:03:25,000
el coseno del ángulo alfa sería A.

59
00:03:25,000 --> 00:03:29,000
Por tanto podemos cambiar y ahí tendríamos

60
00:03:29,000 --> 00:03:32,000
que el coseno de alfa justamente es el valor de A.

61
00:03:32,000 --> 00:03:34,000
Resulta entonces que ese punto,

62
00:03:34,000 --> 00:03:38,000
y ahí estaba porque decíamos que era la clave,

63
00:03:38,000 --> 00:03:41,000
ese punto, sus dos coordenadas, las coordenadas del punto,

64
00:03:41,000 --> 00:03:45,000
son precisamente las razones trigonométricas de este ángulo alfa,

65
00:03:45,000 --> 00:03:47,000
que es un ángulo agudo.

66
00:03:47,000 --> 00:03:50,000
Resulta que la coordenada horizontal nos da el coseno

67
00:03:50,000 --> 00:03:52,000
y la coordenada vertical nos da el seno.

68
00:03:52,000 --> 00:03:55,000
Es decir, lo que mida ese segmento verde,

69
00:03:55,000 --> 00:03:58,000
la medida de ese segmento es el coseno del ángulo,

70
00:03:58,000 --> 00:04:02,000
y lo que mida el segmento azul nos da el seno del ángulo.

71
00:04:02,000 --> 00:04:06,000
Entonces la visión un poco geométrica del seno y el coseno.

72
00:04:06,000 --> 00:04:09,000
Pero esta idea nos permite extender

73
00:04:09,000 --> 00:04:12,000
la definición de seno y coseno a cualquier otro ángulo

74
00:04:12,000 --> 00:04:16,000
sin más que fijarnos en ese punto, que es la clave.

75
00:04:21,000 --> 00:04:23,000
Ahí estaría.

76
00:04:23,000 --> 00:04:27,000
El coseno y el seno de cualquier ángulo serían respectivamente

77
00:04:27,000 --> 00:04:31,000
las coordenadas X e Y del punto asociado

78
00:04:31,000 --> 00:04:34,000
sobre la circunferencia goniométrica.

79
00:04:34,000 --> 00:04:37,000
Es decir, el coseno es la coordenada X, la coordenada horizontal,

80
00:04:37,000 --> 00:04:40,000
y el seno es la coordenada Y, la coordenada vertical,

81
00:04:40,000 --> 00:04:43,000
del punto asociado sobre la circunferencia goniométrica.

82
00:04:43,000 --> 00:04:47,000
De esta manera, si yo tengo ahora ya un punto en el segundo cuadrante,

83
00:04:47,000 --> 00:04:50,000
perdón, un ángulo en el segundo cuadrante,

84
00:04:50,000 --> 00:04:53,000
el punto asociado, el punto asociado es la clave

85
00:04:53,000 --> 00:04:56,000
para definir el seno y el coseno de este ángulo,

86
00:04:56,000 --> 00:04:58,000
que ya no es un ángulo agudo,

87
00:04:58,000 --> 00:05:01,000
y que hasta ahora nosotros no habíamos definido

88
00:05:01,000 --> 00:05:03,000
cuál era su seno y su coseno.

89
00:05:03,000 --> 00:05:05,000
Si nosotros trazamos ese punto,

90
00:05:05,000 --> 00:05:07,000
que ese punto tendrá dos coordenadas,

91
00:05:07,000 --> 00:05:09,000
esa sería la coordenada vertical,

92
00:05:09,000 --> 00:05:12,000
y esa va a ser el seno justamente de alfa,

93
00:05:12,000 --> 00:05:14,000
lo que mida ese segmento,

94
00:05:14,000 --> 00:05:16,000
y aquí estaría el coseno.

95
00:05:16,000 --> 00:05:19,000
De manera que ese punto tendrá dos coordenadas,

96
00:05:19,000 --> 00:05:23,000
ya veremos más adelante cuáles son los signos,

97
00:05:23,000 --> 00:05:25,000
tampoco que nos demos cuenta,

98
00:05:25,000 --> 00:05:28,000
veremos que efectivamente ahí el coseno ya es negativo,

99
00:05:28,000 --> 00:05:31,000
puesto que está en la parte negativa del eje de las X,

100
00:05:31,000 --> 00:05:35,000
pero eso es otra historia que contaremos después.

101
00:05:35,000 --> 00:05:38,000
Lo importante es darnos cuenta de que para ese ángulo alfa

102
00:05:38,000 --> 00:05:40,000
también podemos definir el coseno y el seno,

103
00:05:40,000 --> 00:05:44,000
simplemente apoyándonos en el punto P.

104
00:05:44,000 --> 00:05:47,000
Si ponemos ahora un punto del tercer cuadrante,

105
00:05:47,000 --> 00:05:50,000
de la misma manera podemos poner el punto P,

106
00:05:50,000 --> 00:05:54,000
en el cual la segunda línea corta la circunferencia goniométrica,

107
00:05:54,000 --> 00:05:57,000
y ese sería el seno y ese sería el coseno,

108
00:05:57,000 --> 00:06:01,000
son dos puntos en los cuales

109
00:06:01,000 --> 00:06:05,000
el punto en el cual la línea corta la circunferencia goniométrica

110
00:06:05,000 --> 00:06:08,000
nos da esos dos segmentos,

111
00:06:08,000 --> 00:06:12,000
y de esa manera definimos el seno y el coseno de este ángulo.

112
00:06:12,000 --> 00:06:16,000
Y por último vamos a poner un ejemplo de un ángulo del cuarto cuadrante,

113
00:06:16,000 --> 00:06:19,000
en el cual de la misma manera trazaríamos el punto,

114
00:06:19,000 --> 00:06:22,000
esa sería la coordenada vertical,

115
00:06:22,000 --> 00:06:24,000
y esa sería la coordenada horizontal,

116
00:06:24,000 --> 00:06:27,000
por lo tanto ese punto también nos da la clave

117
00:06:27,000 --> 00:06:30,000
para definir el seno y el coseno de un ángulo en el cuarto cuadrante.

118
00:06:30,000 --> 00:06:33,000
Por supuesto, todo esto que hemos hecho

119
00:06:33,000 --> 00:06:35,000
puede ocurrir si el ángulo es negativo,

120
00:06:35,000 --> 00:06:38,000
o si se da más de una vuelta la circunferencia,

121
00:06:38,000 --> 00:06:41,000
siempre podemos encontrar el punto asociado

122
00:06:41,000 --> 00:06:43,000
al ángulo del que se trata.

123
00:06:43,000 --> 00:06:45,000
¿De acuerdo?