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Funciones "a trozos" - Contenido educativo

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Subido el 16 de enero de 2021 por Patricia De La M.

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Instrucciones para dibujar funciones a trozos

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Hola chicos, vamos a ver el ejemplo de una función a trozos muy sencillita. 00:00:00
Primero que nada, decir que una función a trozos es una función que está definida 00:00:07
con diferentes expresiones según la parte del eje x en el que nos encontremos. 00:00:11
De esta manera podéis observar aquí cómo está definida como x más 2 00:00:19
cuando la x es menor o igual que menos 1 00:00:24
y como 3 menos x cuando la x es mayor que menos 1. 00:00:27
Por tanto, en esta función tenemos diferenciadas dos grandes zonas en el eje cartesiano 00:00:32
para poder dibujar nuestra función. 00:00:38
Lo primero que vamos a hacer es hacer una separación entre las dos zonas que tenemos, 00:00:42
con una línea de puntos que pase por el punto de límite, que es el menos 1. 00:00:49
Este de aquí sería el menos 1. En esta zona de la izquierda tenemos que la función está definida por la expresión x más 2, para x menores que menos 1. 00:00:55
Y en el otro lado a la derecha del menos 1 tenemos que la función está definida con la expresión 3 menos x. 00:01:12
Ahora nos fijamos que las expresiones son de un tipo concreto 00:01:17
Son funciones polinómicas de grado 1, las dos 00:01:23
Por tanto, al ser polinómicas de grado 1, son rectas 00:01:27
Como rectas que son, solo necesitamos dibujar dos puntos para poder ver por dónde va la función 00:01:31
Entonces, para la primera parte de la función, para y igual a x más 2, 00:01:42
vamos a hacer una tabla de valores para ver por qué puntos va a pasar. 00:01:48
Me interesa, lógicamente, tomar puntos por donde voy a poderla dibujar, 00:01:56
que son puntos de x que estén por debajo del menos 1. 00:02:02
Entonces, vamos a tomar, por ejemplo, el menos 4. 00:02:06
Para el menos 4 tenemos que, si sustituimos el menos 4 en la x de la expresión, pues nos queda menos 4 más 2, tenemos que la y valdría menos 2. 00:02:09
Por tanto, el punto por el que pasa la función aquí sería el menos 4 menos 2. 00:02:21
Vale, lo dibujamos, el menos 4 estaría menos 2 menos 3 menos 4 menos 2, como por aquí. 00:02:37
Otro punto que también podríamos poner sería el menos 3, el menos 2, bueno, cualquier punto que esté por debajo de menos 1, 00:02:47
pero nos interesa el punto límite. 00:02:53
Siempre el punto límite, que es el menos 1, x igual a menos 1, debemos ver hasta dónde llega la función. 00:02:58
Además, justo ahí, la función es donde está definida. 00:03:04
en el x igual a menos 1 está definida con x más 2, por tanto, lo sustituimos en menos 1 ahí, en el x más 2, y nos saldría un 1. 00:03:07
Así que la función pasa por el menos 1, 1, menos 1, 1, y lo hacemos relleno puesto que pertenece a esa zona. 00:03:19
Podríamos hacer más puntos para comprobar que la función es esa recta 00:03:34
que une esos dos puntos, pero no nos hace falta 00:03:41
Entonces vamos a dibujar la verde rojo 00:03:44
unimos esos dos puntos y trazamos la recta 00:03:47
Lógicamente la función, si fuera solamente esta expresión 00:03:56
pues seguiría por el lado derecho del menos 1, seguiría con la misma inclinación, sería la misma recta. 00:04:02
Pero por esa parte no la dibujamos, puesto que pertenece solamente al lado izquierdo del menos 1. 00:04:10
Ahora dibujamos la otra parte, la parte del 3 menos x, que está en el lado derecho del menos 1. 00:04:19
Hacemos otra tabla de valores y vamos a tomar valores que estén por la derecha del menos uno, es decir, por ejemplo, el cero. 00:04:30
Para que es igual a cero, sustituimos en la x y nos queda tres. 00:04:40
Por tanto, esta función pasa por el cero tres. 00:04:44
Cero tres, que sería este punto que hay aquí. 00:04:49
Otro más que podríamos hacer sería, por ejemplo, el dos. 00:05:00
para x igual a 2 la función vale 3 menos 2 vale 1 00:05:05
por tanto el 2, 1 es un punto de esta función 00:05:10
el 2, 1 estaría por aquí 00:05:14
y luego también es importante que hagamos el punto especial en x igual a menos 1 00:05:19
y digo especial porque este punto no pertenece a esta zona 00:05:26
Sin embargo, nos interesa mucho dibujarlo, aunque sea hueco, porque de ahí digamos que va a partir la recta. 00:05:34
Entonces tenemos que dibujarlo también. 00:05:43
Hacemos las cuentas, nos saldría menos menos uno, tres menos menos uno, que es tres más uno, sería cuatro. 00:05:46
Entonces nuestro punto, que no pertenece a esta parte, partiría, nuestra recta partiría de ese punto. 00:05:53
Entonces, el menos 1 vale 4 y lo vamos a hacer con un hueco, puesto que ahí la función está definida en el 1 que habíamos hallado antes, no en el menos 1. 00:06:01
Es decir, hay que tener en cuenta esto, que la función está definida aquí y no aquí. 00:06:17
Ahora ya unimos esos tres puntos y tenemos la otra parte de la recta. 00:06:23
Más o menos quedaría así. 00:06:44
Pues esta sería la función a trozos que nos han pedido dibujar. 00:06:47
Está compuesta por dos rectas, una en la parte de x menor que menos uno y otra en la parte de x mayor que menos uno. 00:06:54
Es una función discontinua de salto 3, salto finito, puesto que en x igual a menos 1 no es continua, hay un salto, como se puede observar aquí. 00:07:04
La función en menos 1 vale 1, no 4, pero ahí es donde digamos que la función tiende cuando vamos por la derecha del menos 1. 00:07:19
El dominio de la función la podremos escribir si queréis, si nos lo pidieran, pues sería dominio de f todo r, puesto que si os fijáis no hay ningún punto que no tenga imagen, vamos barriendo por todo el eje x y toda la recta real es dominio. 00:07:29
El recorrido o rango de la función no es todo r, sino que viene desde menos infinito, va barriéndose todas las i's, cuando llegamos al 1 de altura, pues sigue tomando valores con la otra recta y ya llegamos hasta el 4 de altura, pero justo el 4, pues no tiene, digamos que la función no lo toma. 00:07:49
Así que ponemos desde menos infinito hasta 4, pero el 4 abierto, como os estoy diciendo, puesto que no pertenece. 00:08:18
Vamos a hacer otro ejemplo de funciones a trozos. Tenemos aquí una gráfica que está dividida en tres zonas diferentes. 00:08:32
Para cada una de ellas la función está definida con una expresión diferente. 00:08:40
En el caso de x menores que menos 1 tenemos una función lineal de proporcionalidad directa como es y igual a 2x para el tramo entre menos 1 y 3, la función es una función constante, igual a menos 2. 00:08:44
Y para el tramo de x mayores que 3 hasta el infinito tenemos la función lineal x menos 5. 00:09:03
Así que vamos a diferenciar las zonas poniendo una línea de puntos en cada uno de los x que nos dividen las zonas. 00:09:10
El x igual a menos 1 y el x igual a 3. 00:09:22
Ahora sabemos que aquí la función va a tener esta expresión. 00:09:33
aquí la función tiene esta otra expresión 00:09:37
y aquí en esta otra zona la función tiene esta otra expresión 00:09:40
vale, ahora vamos a hacer 00:09:44
dos puntos para cada una de las rectas 00:09:56
puesto que las tres expresiones son expresiones de rectas 00:09:59
la de la función 2x es una función que pasa por el 0,0 00:10:03
aunque en este caso no pertenecería a la zona en la que está definida 00:10:08
y la función menos 2 es una función constante 00:10:12
y igual a menos 2 es horizontal, una recta horizontal 00:10:16
y x menos 5 es una recta también 00:10:19
pero que no pasa por el 0, 0. 00:10:23
Entonces vamos a hacer una tabla de valores 00:10:26
para cada una de ellas. 00:10:29
Para x igual a, tienen que ser valores menores que menos 1 00:10:35
pues por ejemplo menos 4 00:10:39
y ponemos 2 por menos 4 00:10:40
saldría un menos 8 quizás demasiado bajo para nuestra gráfica entonces vamos a poner un poco 00:10:43
menos menos bajo por ejemplo el menos 2 y así nos saldría un menos 4 esta función pasaría por el 00:10:52
menos cuatro menos ocho y por el menos dos menos cuatro pero como siempre es muy importante hacer 00:11:02
el límite, pertenezca o no pertenezca a la zona 00:11:12
en este caso sí que pertenece, por tanto es importante además rellenarlo 00:11:16
hacerlo como un punto relleno, 2 por menos 1 00:11:20
nos va a dar una imagen de menos 2 00:11:24
y así que la función pasa por el menos 1 menos 2 00:11:28
vamos a dibujar esos puntos 00:11:32
y tenemos el menos 4 menos 8 que se baja demasiado hacia abajo 00:11:34
Luego tenemos el menos 2, menos 2, menos 4, que lo tendríamos por aquí, y el menos 1, menos 2, que estaría aquí, relleno, puesto que pertenece a la zona definida por el x, por el y igual a 2x. 00:11:39
Vale, ahora unimos estos dos puntos y ya tenemos la gráfica en la zona, la gráfica recta en la zona que corresponde. 00:12:02
Bien, ahora vamos a seguir con la parte de i igual a menos 2, que es una recta horizontal, como ya os he dicho, porque es un polinomio de grado 0. 00:12:18
así que la tabla de valores, bueno la voy a hacer pero realmente no haría falta 00:12:38
porque ya debemos saber que para cualquier valor de x siempre la y va a valer menos 2 00:12:44
entonces en el límite menos 1 que no pertenece a esa zona porque el igual en la expresión de arriba 00:12:49
no estaría incluido, aquí no está incluido 00:12:57
pues digamos que no lo vamos a dibujar relleno 00:13:03
pero sí que deberíamos tenerlo como punto de referencia 00:13:08
el 1 menos 2 aquí sería punto de referencia 00:13:11
no pertenece por eso lo hacemos hueco 00:13:16
pero al dibujarlo nos damos cuenta 00:13:20
de que justo se solapa con el punto anterior 00:13:26
es decir que es continuo ahí porque viene del mismo sitio 00:13:30
del que parte no entonces es decir la función parte del menos 12 menos 12 perdón igual que 00:13:34
acaba la otra ahora cogemos otro punto que esté entre el menos 1 y el 3 por ejemplo el 0 sería 00:13:44
buen buen indicador aunque bueno como ya siempre ya os digo para cualquier valor de x siempre va 00:13:52
a valer menos 2 así que es muy fácil de dibujar 00:13:58
para cualquier punto siempre valdrá menos 2 así que dibujamos directamente 00:14:04
la recta horizontal ahora en el punto 3 nos damos cuenta 00:14:09
también que sí que está el igual entonces como en el punto 3 está el 00:14:15
igual para igual a menos 2 el 3 00:14:19
sí que se va a rellenar el 3-2. El 3-2 sí lo vamos a rellenar por esta zona. 3-2. El 3-2 lo vamos a rellenar porque es justo el punto que pertenece a esa zona. 00:14:25
y ahora ya tenemos dibujada la primera y segunda parte 00:14:46
ahora vamos a la tercera parte de la función que es a partir del x igual a 3 00:14:51
entonces para igual a 3 vamos a utilizar directamente esta expresión que tenemos aquí al lado 00:14:55
que es la última parte de la función y hacemos la tabla de valores para esta otra recta 00:15:04
pero cogiendo valores que estén pasados el 3, por ejemplo el 4, o incluso vamos a coger el 5 mejor. 00:15:14
Bueno, 4 sería menos 1 el valor, si lo veis al sustituir en la x un 4 nos saldría 4 menos 5, pues sería menos 1, 00:15:24
por tanto pasa por el 4 menos 1. 00:15:32
Bien, y luego también, por ejemplo, podemos coger el 5. 5 menos 5 nos va a salir un 0. Así que esta función, esta parte de la recta va a pasar por el 0, por el 0, perdón, por el 5, 0. Por el 5, 0, que es este punto. 00:15:35
El otro, el 4 menos 1, era este. Ya nos sobraba uno, pero bueno, deberíamos también poner aquí el 3, aunque sea límite, porque aunque no pertenece a esta zona, sí que va a ser donde inicie, digamos, la función. 00:16:00
Entonces vamos a ver cuánto valdría según esta recta, la imagen del 3. 3 menos 5 sería menos 2 y entonces el punto sería el 3 menos 2. 00:16:23
Y nos damos cuenta de que vale lo mismo que valía en la otra función. Por tanto, aunque aquí lo pintaríamos sin rellenar, pues aquí se nos va a volver a rellenar por la otra función. 00:16:36
Entonces ya podemos dibujar la segunda parte de la función, la tercera parte de la función mejor dicho, que sería esta recta que tenemos aquí y que sube indefinidamente y esta sería la función a trozos que nos habían planteado. 00:16:53
Podemos observar que esta función es continua en todo R, no tiene ningún punto de discontinuidad porque todas las rectas de las que está formada se han unido perfectamente. 00:17:11
donde empieza una acaba la otra y entonces no hay ningún hueco ni ningún salto por tanto es continua 00:17:23
y luego el dominio es todo r y el recorrido también esto todo r como podéis observar chicos 00:17:29
tenemos ahora otro ejemplo de funciones a trozos que está definida para tres zonas si os fijáis 00:17:39
aumentamos un poco el grado de dificultad porque tenemos ahí una en la expresión de intermedia 00:17:47
tenemos una parábola. Está definida desde menos infinito hasta cero, desde cero hasta 00:17:53
cinco y desde cinco hasta infinito. Entonces vamos a hacer primero la separación de las 00:18:02
zonas en el plano cartesiano. Para x igual a cero ya tenemos que es el propio eje el 00:18:07
que separa, ¿verdad? Esta zona es la propia separación, con lo cual ya no hace falta 00:18:15
que hagamos separación ahí. Luego tenemos hasta x igual a 5, 1, 2, 3, 4, 5, el siguiente 00:18:21
límite de separación en 5 cambia a otra función. Entonces en la primera zona tenemos 00:18:29
que y vale una función constante que es un 1 horizontal, una recta horizontal. Justo 00:18:40
en la zona intermedia tenemos la parábola que es x cuadrado menos 6x más 5 y en la otra zona 00:18:47
tenemos la recta 5 menos x una función lineal que es una recta entonces vamos a dibujar las 00:18:56
tres las tres funciones la primera es muy muy fácil porque es una recta horizontal no hace 00:19:05
falta ni siquiera que hagamos tabla de valores pero la función igual a 1 es una 00:19:14
recta horizontal así que entonces tenemos que para x más pequeños que el 00:19:19
0 que es donde está definida si os fijáis para x menores que 0 pues la 00:19:31
función vale 1 así que todos los puntos serían de este estilo 00:19:36
bueno más arriba un poquito hacia abajo 00:19:41
serían puntos de este estilo arriba y no todos esos puntos pertenece a esa zona y el justo en 00:19:46
el límite aunque sabemos que lo vamos a hacer hueco porque no el cero no estaba en esa zona 00:19:53
definido pues haremos un un punto sin rellenar que es el 01 pasaría por el 01 pero no es así 00:19:58
porque no pertenece sin embargo tenemos que dibujarlo aunque sea hueco verdad vale entonces 00:20:10
vamos a dibujar ahora la recta esa que une todos estos puntos y ya tenemos la primera parte 00:20:20
dibujada ahora vamos a hacer la parábola que solamente la podemos dibujar en la zona en la 00:20:28
que está digamos definida que es desde el 0 hasta desde el 0 hasta 00:20:36
desde el 0 hasta el 5 vale para dibujar una parábola ya sabéis que hay puntos 00:20:47
hay cosas claves que hay que hacer lo primero en darnos cuenta que el 00:20:55
coeficiente principal de la parábola que es a igual a 1 el coeficiente que 00:20:59
multiplica la equis ahí lo tenéis es positivo por tanto parábola va a ser de 00:21:04
ramas hacia arriba verdad porque a es positivo luego también sabemos que la x 00:21:09
del vértice es menos b partido 2a en este caso el b vale menos 6 así que 00:21:18
menos b sería 6 menos menos verdad partido 2 por 1 que es 2 así que 6 entre 00:21:25
2 a 3 la x del vértice es 3 por tanto el vértice va a ser el punto 3 algo que 00:21:32
¿Qué algo? Pues la imagen de 3, según la parábola. La imagen de 3, según la parábola, sería f de 3. 00:21:40
f de 3 va a valer 3 al cuadrado menos 6 por 3, donde está la x ponemos el 3, y más 5. 00:21:47
Daros cuenta que hemos sustituido la x por el 3. Calculamos, nos quedan 9 menos 18 que serían menos 9 y luego más 5 que serían menos 4. 00:21:57
Así que menos 4 es la imagen de 3, es decir, la altura del vértice. Vamos a dibujar el vértice porque es muy importante. 00:22:13
El vértice estaría en el 3-4, que sería este punto. Ese es el vértice. 00:22:24
Ahora los puntos de corte con los ejes también nos ayudan a definir bien la parábola, aunque pudiera ser que alguno estuviera fuera, o los dos, fuera de la zona en la que está definido. 00:22:45
Pero podemos imaginarnos la parábola entera y luego solo marcar la zona en la que pertenece. 00:22:56
la zona a la que pertenece, que sería del 0 al 5, de la x, 0 al 5. 00:23:04
Entonces vamos a hacer el corte con el eje x, es decir, los ceros de la parábola. 00:23:08
El corte con el eje x es hacer la ecuación de segundo grado, igualando la y a 0, 00:23:19
es decir, los puntos donde la parábola vale 0. 00:23:33
Según la fórmula de menos b más menos raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4c partido 2a pues esto nos saldría 6 más menos la raíz cuadrada de 36 menos 4 por 1 y por 5 que serían menos 20 partido 2a que serían 2. 00:23:35
Estos dos puntos nos van a quedar, x por un lado 6, bueno primero 6 más menos 10, la raíz cuadrada de 16 que es 4, partido por 2. 00:24:04
Entonces tenemos una primera raíz del polinomio que sería 5 con el más, porque es 6 más 4, 10 entre 2 a 5, 00:24:15
y la segunda raíz del polinomio de la parábola que sería con el menos, 6 menos 4, 2 entre 2 a 1. 00:24:24
Bien, pues entonces ya sabemos que el 5, 0 es un punto y el 1, 0 es el otro punto de corte. 00:24:31
Corte con el eje X, puesto que en el eje X la Y es 0. 00:24:42
Daros cuenta que aquí hemos obligado a que la Y sea 0. 00:24:46
Ya tenemos estos resultados que nos ayudan mucho a dibujar la parábola. 00:24:52
Si necesitáramos algo más, pues podríamos seguir dando puntos en la zona en la que nos interesa, 00:24:56
pero nos interesa precisamente los puntos límite eso sí que nos interesa siempre hay que hacer los 00:25:01
puntos límite entonces los puntos límite de la zona en la que está definida la parábola que 00:25:10
serían el 5 y el 0 entonces el 0 no le tenemos todavía que sería el punto de corte además con 00:25:16
el eje y 0 de equis sustituimos en la parábola en la parábola sustituimos la x por el 0 en su sitio 00:25:28
y nos queda 5 o sea que esta función pasa además por el 0 5 que es el corte con el eje y además 00:25:41
Y luego el otro límite sería con el 5. El 5 que ya le tenemos aquí es 0. Por tanto, esta parábola va a pasar o pasaría por el 0,5, pero no pasa este porque este no pertenece a la zona. 00:25:50
entonces lo vamos a hacer hueco 00:26:16
son otros resultados importantes bien vamos a ello 00:26:22
y tendríamos el 50 que es un punto de corte pero que además sabemos que no 00:26:31
entra lo hacemos hueco el 05 que si entra y estaría aquí lo 00:26:36
tenemos que hacer relleno al 05 luego también tenemos 00:26:47
el vértice aquí y bueno pues podríamos hacer algún punto más tenemos también el 00:26:54
10 que es este de aquí que es uno de los cortes con el eje 00:26:59
también y ya pues nos podemos imaginar cómo va la parábola así que nos 00:27:04
disponemos a dibujarla más o menos una cosa como esta fijaros que seguiría por 00:27:09
aquí verdad y también seguiría por aquí pero esas zonas no pertenecen a la parábola entonces no las 00:27:19
debemos dibujar vale en principio pues habría que borrarlas muy bien pues ahora el vértice me queda 00:27:31
un poquito ahí chunguillo pero bueno vemos que en la parte que es igual a cero pues no se une 00:27:50
la función con lo cual ahí va a ser discontinua y ahora ya vamos a la última parte que es la parte 00:27:57
de la recta 5 menos x en la recta 5 menos x ahí lo que tenemos que hacer es una tabla de valores 00:28:03
puesto que es una recta y ya está así que por ejemplo vamos a hacer un punto pasado el 5 que 00:28:12
sería el 6 entonces 5 menos 6 sería menos 1 y tenemos el punto 6 menos 1 otro punto también 00:28:22
si queréis puede ser el 85 menos 8 que es el saldría menos 3 entonces pasa también por el 00:28:33
punto 8 menos 3 y uno muy importante como siempre lo digo es el punto límite 00:28:43
el punto límite siempre le tenemos que poner que es el 5 en este caso aunque no 00:28:50
bueno si éste ahora sí que pertenece si os fijáis aquí donde está definida la 00:28:55
función el 5 está justo el igual está justo en la parte donde estamos ahora 00:29:01
que es la 5 menos x. Entonces sustituimos el 5 y nos queda 5 menos 5 igual a 0. 00:29:06
Antes este no pertenecía, pero ahora sí pertenece. Por tanto, el punto 5, 0 se va a rellenar, 00:29:18
pero además vale lo mismo que antes, así que lo único que tenemos que hacer es rellenar con la gráfica esta. 00:29:30
aquí rellenamos es un punto y luego 00:29:38
dibujamos los otros puntos que tenemos aquí 00:29:44
con uno ya nos valdría pero 6-1 sería aquí 00:29:47
y 8-3 sería aquí que si os fijáis pues están 00:29:54
todos alineados por tanto podemos dibujarlos y ya tendríamos 00:29:59
nuestra recta y nuestra gráfica entera hecha la parábola nos ha quedado muy bien pero bueno 00:30:05
podemos hacerla mejor recordar siempre que el vértice nunca es un punto con pico siempre es 00:30:12
suave no no es un no es un pico vale no tiene digamos un cambio brusco de pendiente sino que 00:30:17
va suave no siempre dibujarla si esta función tiene una discontinuidad de salto 4 en x igual 00:30:26
a 0 y el resto de puntos son continuos luego el dominio de esta función es todo 00:30:33
r sin ningún problema está definida en todas partes incluido el 0 porque el 0 00:30:40
en el 0 vale vale 5 00:30:44
y el recorrido sería desde menos infinito hasta 00:30:50
hasta el 5 incluido 00:30:57
Valoración:
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Idioma/s:
es
Autor/es:
PATRICIA DE LA MORENA GONZALEZ
Subido por:
Patricia De La M.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
146
Fecha:
16 de enero de 2021 - 9:11
Visibilidad:
Público
Centro:
IES MIGUEL DE CERVANTES
Duración:
31′ 04″
Relación de aspecto:
1.75:1
Resolución:
1024x584 píxeles
Tamaño:
49.22 MBytes

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