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Problemas de integral definida - Ejercicio 5

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Subido el 16 de marzo de 2020 por Manuel D.

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Bueno, vamos a calcular esta integral y vamos a suponer que nos piden que calculemos la integral definida entre 1 y 2. 00:00:02
Luego la vamos a interpretar geométricamente a ver qué significado tiene. 00:00:16
Bien, para ello lo que tenemos que hacer es un cambio de variable. 00:00:19
Tiene toda la pinta del mundo que el cambio de variable que tenemos que hacer, ¿cuál es? 00:00:23
Pues efectivamente, e elevado a x, e elevado a x igual a t. Si hacemos ese cambio de variable, como siempre hay que calcular los diferenciales, el diferencial de x, hay que calcular también en este caso toda la función, 00:00:27
traducirla antes y sobre todo después hay que traducir los límites si la x vale 1 entonces 00:00:44
la te va a valer y elevado a 1 s y si la x vale 2 pues la te valdrá elevado a 2 exacto elevados 00:00:53
Entonces, tendremos que calcular lo siguiente, el límite entre, perdón, la integral entre e y e cuadrado, estos son los nuevos límites de integración que hemos obtenido, entre e y e cuadrado, después traducimos toda la función, arriba que tengo, pues justo tengo el diferencial de t, fijaos que esta parte es el diferencial de t. 00:01:05
Es decir, arriba tendría diferencial de t, es esta parte, ¿veis? Y abajo tengo que traducir toda esa función en función de t. Esta primera es t cuadrado elevado a 2x, es t cuadrado, t por t, menos t menos 2. 00:01:37
Y ahora esta integral como se resuelve pues hay que hacer fracciones simples para ello lo que tenemos que hacer es buscar las raíces de t que en este caso pues vamos a ver cuáles son pues si no me equivoco un menos uno al cuadrado menos menos uno menos dos es cero. 00:02:00
así que el menos 1 es raíz y creo que también el 2, 2 al cuadrado menos 2 menos 2, 0, vale, es decir que esta función va a descomponer como t más 1 y t menos 2, esas son las raíces. 00:02:24
Entonces, lo que hay que hacer aquí es calcular a y b, para ello quitamos denominadores y sustituimos valores de t que hagan esto sencillo. Por ejemplo, para la t igual a 2, esto se me va al 0 y me queda que la b va a valer, perdón, aquí esto es un más 1. 00:02:41
entonces aquí 2 más 1, 3, es decir, p igual a un tercio 00:03:03
y si la t la hacemos menos 1, la otra raíz, esto se hace 0 00:03:10
y aquí tendré a por menos 3, es decir, menos 3a igual a 1 00:03:18
esto es a igual a menos un tercio 00:03:23
es decir, que aquí puedo sacar factor común al un tercio de la integral 00:03:27
Y ahora en un tercio esto lo he sacado y tenemos pues a valía, pues ahora vale menos 1 por un tercio menos un tercio por t más 1 entre e y e cuadrado. 00:03:33
Más la integral de b partido por t menos 2 que era un tercio, es decir, en un tercio lo saco. 00:03:54
Y ahora ya esto sale automáticamente, sin problemas. 00:04:01
Vamos a sustituir un tercio de factor común de menos 1 que multiplica el logaritmo de t más 1. 00:04:15
Y ahora hay que sustituir entre e y e cuadrado más logaritmo neperiano de t menos 2. 00:04:27
Y hay que sustituirlo también, esto entre e y e cuadrado. 00:04:38
Se hace la cuenta y listo. Va a quedar menos un tercio de menos logaritmo neperiano de e cuadrado más uno. 00:04:43
Cuidado con los signos. Menos logaritmo neperiano de e más uno más logaritmo neperiano de e cuadrado menos dos menos logaritmo neperiano de e menos dos. 00:04:55
y bueno pues habría que hacer redondear esta cuenta y se acabó 00:05:14
bien entonces en este caso la interpretación geométrica sería más o menos la siguiente 00:05:19
resulta que si nosotros dibujamos lo podemos hacer con GeoGebra 00:05:26
la función elevado esta función que tenemos aquí 00:05:29
pues resulta que es la siguiente hay una asíntota vertical aquí 00:05:33
vamos a ver ahora cuál sería este valor 00:05:37
y bueno, pues más o menos la cosa es tal que así. 00:05:41
Tiene ahí una asíntota vertical. 00:05:46
Entonces, ¿cuál sería ese valor? 00:05:51
¿Dónde tenemos asíntota vertical? 00:05:53
Bueno, pues donde este denominador se anula. 00:05:54
Si yo quiero saber cuándo se anula eso, 00:05:57
pues lo que haría sería hacer un cambio de variable 00:06:03
y este es el mismo cambio de variable que yo he hecho. 00:06:06
Es decir, las raíces ya las tengo. 00:06:08
Las raíces son t igual a menos 1 y t igual a 2. Pero como esto es elevado a x, pues ¿qué significa? Que yo para despejar la x tengo que calcular logaritmo neperiano de menos 1, que no existe, y el otro valor sería logaritmo neperiano de 2. 00:06:10
Así que para x igual o logaritmo neperiano de 2, el denominador se me anula, es decir, aquí voy a tener una asíndota vertical. 00:06:28
Y bueno, pues logaritmo neperiano de 2, como la e es 2,7 y pico, es decir, logaritmo de 2 es más pequeño que e, así que, o sea, el 2 es más pequeño que 2,7, 00:06:36
quiere decir que el 1 va a estar por aquí y que el 2, pues imaginémonos que está por aquí. 00:06:52
Entonces, bueno, esto en la escala está bastante mal. 00:06:58
Así que, en fin, vamos a poner, para que la escala esté un poco mejor, el 1 que esté aproximadamente ahí. 00:07:02
Y entonces, ¿eso qué significa? 00:07:13
Pues significa lo siguiente, que yo el área que estoy calculando es esta de aquí. 00:07:15
Subido por:
Manuel D.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
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47
Fecha:
16 de marzo de 2020 - 15:52
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
07′ 24″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
163.36 MBytes

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