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Vectores en el espacio. Introducción - Contenido educativo

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Subido el 24 de octubre de 2025 por Roberto A.

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Hoy es 24 ya, ¿sabes San Rafael? ¿Ves 24? 00:02:45
Felicito al yuste mayor, guillo. 00:02:53
San Rafael de Córdoba, bueno. 00:02:55
Vamos a ver, venga, silencio. 00:02:58
Empezar, ayer vimos un sonlayo del tema 5, que es vectores en el espacio, ¿vale? 00:03:01
Y entonces, ¿por qué se caracterizaba un vector? 00:03:06
Por tres cosas, ¿vale? 00:03:11
Venga, vectores en el espacio. 00:03:14
Por favor, silencio. Módulo, dirección, ¿verdad? Dirección y sentido. 00:03:16
Entonces, chavales, si yo me voy a GeoGebra, lo que quiero que veáis ustedes un poco aquí es que si yo hago un vector, para hacer un vector en GeoGebra se pone una minúscula, ¿vale? 00:03:31
y, por ejemplo, pongo dos coordenadas si estoy en el plano 00:03:44
y tres coordenadas si estoy en el espacio. 00:03:50
Yo qué sé, por ejemplo, el 2, 3. 00:03:53
Entonces, ¿qué ocurre? 00:03:54
Que siempre, siempre, cuando yo hago en jebra esto, 00:03:56
me lo va a poner como origen el 0, 0. 00:04:02
¿De acuerdo? 00:04:05
Entonces, lo que yo creo que veamos un poco es la distinción 00:04:06
entre lo que es un vector fijo o un vector libre 00:04:09
Y si os fijáis yo aquí, que es el vector 2, 3, esto empieza en el 0, 0 y acaba en el punto 2, 3, ¿vale? 00:04:11
Si yo aplico el teorema de Pitágoras, si yo hago, por ejemplo, aquí, yo me llevo esto aquí, ¿vale? 00:04:19
Venga, callarse ya, hombre. 00:04:27
Si yo tengo esto de aquí, que es el punto 2, 3, ¿de acuerdo? 00:04:29
Pues este módulo de v es la raíz de 2 al cuadrado más 3 al cuadrado, 00:04:34
Esto aquí es igual a 4 más 9 es igual a raíz de 3, ¿vale? 00:04:41
¿Qué vimos ayer? 00:04:46
¿Qué vimos ayer que era muy importante? 00:04:48
Que si yo multiplico este vector por un escalar, ¿vale? 00:04:50
Me varía ciertas características. 00:04:55
Nunca me va a variar la dirección. 00:04:58
Eso es súper importante. 00:05:00
La dirección nunca me va a variar. 00:05:02
¿Cuál es la dirección de un vector? 00:05:04
Pues es la recta que lo contiene, ¿vale? 00:05:06
Si yo me voy aquí al punto 2, 3, voy a ponerla esta de aquí a ver si me sale en azul, por ejemplo, ¿vale? 00:05:09
O en colorado, me da igual, ¿vale? 00:05:19
Lo que quiero que veáis es que la recta en la cual está contenido el vector, esa es la dirección. 00:05:21
Y el sentido es si va hacia un lado o va hacia otro, ¿de acuerdo? 00:05:28
Entonces, cuando yo lo multiplico por un escalar, cuando yo lo multiplico por un escalar, la dirección nunca me varía, nunca me varía. Lo que me va a variar es el sentido y también el módulo, ¿de acuerdo? ¿Sí? 00:05:32
Y ahora yo os pregunto, ¿tienes chicle, Pauladín? 00:05:46
Píramelo, que te vas a hacer un daño que no veas. 00:05:49
Ahora mismo te acuerdas de mí, pero luego te vas a acordar con el bolsillo 00:05:52
cuando vayas a los dentistas. 00:05:55
Aquí ya, en serio, verídico. 00:05:56
Entonces, ¿qué es lo que ocurre, chavales? 00:05:58
¿Qué es lo que ocurre? 00:06:00
Que alguien me sabe decir, alguien me sabe decir 00:06:02
que escalares al multiplicar por un vector no me varía su módulo. 00:06:06
¿Correct? 00:06:19
Repito la pregunta. 00:06:20
yo tengo un vector, un vector tiene un módulo 00:06:21
tiene un sentido y tiene una dirección 00:06:24
y yo lo puedo multiplicar por un escalar 00:06:26
de hecho yo aquí si hago 2V 00:06:28
me crea otro vector, no sé si lo veis ahí 00:06:30
aquí en el espacio también se representa 00:06:34
2V, de acuerdo 00:06:38
yo tengo aquí esto en el espacio 00:06:40
y aquí no sé si habéis visto que me lo ha ampliado 00:06:43
a más grande, ¿verdad? 00:06:46
ahí me varía el módulo 00:06:48
Si yo lo multiplico, por ejemplo, por 3, si yo hago 3v, pues me crea otro vector w, que lo que estoy haciendo es variarle el módulo. 00:06:49
¿Lo veis? Aquí no he variado ni el sentido y sobre todo no he variado nunca la dirección. 00:07:01
Pero si yo lo multiplico por un número negativo, por ejemplo, menos 1,1v, ¿qué coño he hecho? Ha pasado de mí, ¿no? 00:07:07
vale, este me lo voy a cepillar 00:07:19
no me lo permite, ¿o qué? 00:07:21
menos, ah, porque ya, menos 00:07:26
menos 1.1V, ¿no? eso sí 00:07:27
veis, la dirección no me la varía 00:07:31
sí que me varía el sentido porque es un número negativo 00:07:34
y también me está variando el módulo 00:07:38
¿eso lo veis todos? que me está variando el módulo 00:07:40
y si no, podemos hacer una cosilla 00:07:43
yo estoy aquí en 2D, si yo cojo 00:07:45
aquí, y me voy al 3, 2 00:07:48
este es el módulo 00:07:52
y si yo me voy aquí, no sé si lo veis 00:07:55
la circunferencia es diferente, ¿lo veis? 00:07:58
el rayo de la circunferencia es diferente 00:08:02
el módulo lo he ampliado 00:08:04
aunque le he cambiado el sentido, pero lo he ampliado 00:08:07
¿eso todo lo veis? ¿sí? entonces yo os pregunto 00:08:09
¿cuántos escalares hay? 00:08:13
escalar es un número, no es un vector 00:08:15
¿cuántos escalares hay que al multiplicarlo 00:08:17
por un vector 00:08:20
el módulo no me lo varía? 00:08:21
¿cuántos hay y cuáles son? 00:08:24
¿eh? 00:08:31
¿dos? ¿por qué dos? 00:08:33
porque uno es el número uno 00:08:35
y otro es el mismo módulo 00:08:36
ya, más o menos 00:08:38
uno y menos uno 00:08:39
¿eso lo veis todos? 00:08:42
si yo lo multiplico por uno 00:08:44
me quedo igual, ¿verdad? 00:08:46
Y si yo lo multiplico por menos 1 00:08:48
me cambia el sentido 00:08:50
pero el módulo es el mismo. 00:08:52
¿Eso lo veis o no? 00:08:54
¿Sí? 00:08:56
Entonces eso es, 00:08:56
lo tenemos que tener bastante claro 00:08:58
y además me sirve mucho ahora 00:08:59
para lo que vamos a introducir 00:09:01
de las operaciones con vectores. 00:09:02
¿Vale? 00:09:04
Entonces, chavales. 00:09:05
Esto, natillas. 00:09:09
Vale. 00:09:11
Lo que yo quiero que veáis 00:09:12
que cuando estamos en el plano, ¿vale? En el plano yo tengo dos coordenadas, pero sin embargo, 00:09:14
si yo estoy en el espacio, yo tengo tres coordenadas, ¿vale? Entonces, si yo tengo un 00:09:21
vector v, que es vx, vi y vz, las coordenadas en tres dimensiones en el espacio, ¿vale? El módulo 00:09:27
de v, que esto lo vimos también ayer, es la raíz cuadrada, ¿vale? De vx al cuadrado más vi al 00:09:36
cuadrado, más vz al cuadrado, ¿vale? Como ejemplo, si yo pongo ejemplo, venga, 2, 5 y menos 3, ¿vale? 00:09:43
¿Cuánto vale su módulo? Pues el módulo, si esto es, por ejemplo, w, ¿vale? Pues el módulo de w es 00:09:53
la raíz, ¿verdad? De 2 al cuadrado más 5 al cuadrado más menos 3 al cuadrado. ¿Lo veis, 00:10:03
chavales? Sí. Y esto aquí es igual a la raíz de 4 más 25 más 9. Esto, si no me equivoco, es la raíz 00:10:11
de 38. ¿Sí? Vale. Otra cosa importante, chavales. Otra cosa importante. Vamos a ver, y aquí voy a 00:10:19
pasar un poco de esto, ¿vale? Me voy a ir mejor a 2D para que lo veamos bien. Y si no, bueno, empiezo 00:10:29
aquí un algebra nuevo vale algebra punto clase vale lo voy a hacer entonces porque yo creo que 00:10:36
lo vamos a ver mejor vale entonces lo que quiero que veáis es que si yo por ejemplo hago aquí una 00:10:47
circunferencia de centro aquí mismo vale y de radio le pongo 3 si yo hago un vector ahora 00:10:55
Concentro esa circunferencia y me voy a cualquier punto de aquí, ¿vale? 00:11:06
¿Cuánto vale el módulo de ese vector? 00:11:12
3, ¿verdad? 00:11:16
Y aquí es lo que quiero que veáis un poco, es los vectores equipolentes. 00:11:17
Fijaros que mi vector, voy a ver si puedo sacar esto, a ver. 00:11:22
Este es mi vector u, ¿verdad? 00:11:28
Vale, esto se mantiene, ¿no? 00:11:32
Este es mi vector u. 00:11:34
Pues si yo hago que v es igual a u, lo que quiero que veáis es que GeoGebra me lleva ese mismo vector que tiene la misma dirección, el mismo sentido y el mismo módulo, pero me lo lleva al origen de coordenada. 00:11:35
Entonces, esto es un puntazo con los vectores, porque nosotros nos podemos llevar y operar con vectores equipolentes y nos facilitan mucho las operaciones con vectores, ¿vale? ¿Sí o no? 00:11:54
entonces, si no lo creéis 00:12:07
que son iguales, fijaros una cosa 00:12:10
si yo hago una recta que pase 00:12:12
por este punto A y por este punto B 00:12:14
y yo ahora le digo aquí 00:12:16
que me haga una recta 00:12:18
paralela 00:12:20
a esta de aquí 00:12:21
que pase por el origen 00:12:23
¿veis que son paralelas y que 00:12:25
está en la misma dirección 00:12:28
tanto el vector U como el vector 00:12:29
V? ¿lo veis? 00:12:32
¿si o no? pues 00:12:34
Cuando son vectores que están contenidos en restas diferentes, pues resulta que pueden ser el mismo vector, tienen la misma dirección. 00:12:35
Sobre todo, si están en restas paralelas, es que tienen la misma dirección. 00:12:49
Vemos aquí que el sentido es el mismo, que van, digamos, hacia arriba. 00:12:54
Y si no os creéis los del módulo, yo ahora voy a hacer una circunferencia de centro cero. 00:12:57
Habíamos dicho tres, ¿verdad? 00:13:01
¿Veis cómo llega a la puntita del vector? 00:13:03
¿Vale? Son dos vectores equipolentes 00:13:08
Tienen la misma dirección, tienen el mismo sentido y tienen el mismo módulo 00:13:11
¿De acuerdo? ¿Sí? ¿Hasta ahí bien? 00:13:16
Si yo lo multiplico por 1 o menos 1 00:13:20
Si lo multiplico por un número positivo 00:13:22
Me varía el módulo, pero no la dirección ni el sentido 00:13:24
Sobre todo la dirección nunca lo va a variar 00:13:29
Si yo lo multiplico por un número negativo, lo que me varía es el módulo y el sentido, si lo multiplico por 1 se queda igual y si lo multiplico por menos 1 me varía el sentido por ser negativo, pero el módulo lo permanece invariable, ¿vale chavales? ¿Sí o no? Vale. 00:13:30
entonces, dos vectores son iguales 00:13:50
lo que dijimos, si tienen el mismo módulo 00:13:54
de dirección y sentido son equipolentes 00:13:56
el producto de un número por 00:13:57
un vector, que sepáis 00:14:00
que el módulo es al final el módulo 00:14:02
de la K 00:14:04
por V, porque aquí 00:14:04
el módulo siempre es algo 00:14:07
lo que mide y las distancias siempre son 00:14:09
positivas, y la métrica es algo 00:14:11
muy importante en matemática 00:14:14
en física, en construcciones, en distancias 00:14:16
en todo, ¿vale? 00:14:18
Si yo lo multiplico por 0, lo que tengo es el vector nulo. El vector nulo, chavales, el vector nulo que es aquel cuyas componentes son siempre 0, ¿vale? Y después lo que vimos ayer de los vectores unitarios. 00:14:19
Un vector unitario que hay, porque es muy importante esto de aquí de un vector unitario. Si yo tengo aquí mi vector v, ¿vale? Yo puedo conseguir un vector unitario, lo voy a poner en colorado, que tenga la misma dirección, tenga el mismo sentido, pero que su módulo valga 1. ¿Lo puedo conseguir? Lo puedo conseguir. 00:14:33
¿Cómo lo puedo conseguir? Fijaros que mi vector v era 2, 3, ¿vale? Pues yo ahora voy a conseguir un vector unitario, un vector unitario en la misma dirección, en el mismo sentido, pero cuyo módulo sea 1, ¿vale? 00:14:57
Lo único que tengo que hacer es dividir cada una de las coordenadas, ¿vale? 00:15:11
W sería la coordenada 2 y la coordenada 3 de V, ¿de acuerdo? 00:15:16
Pero dividido precisamente por su módulo. 00:15:22
Raíz de 13 partido de raíz de 13, ¿vale? 00:15:25
Vamos a comprobar si realmente es unitario. 00:15:30
¿Cómo compruebo el módulo de W? 00:15:32
Pues si yo hago la raíz de 2 elevado a raíz de 13 al cuadrado más 3 partido raíz de 13 al cuadrado, esto aquí es igual a 4 partido de 13, ¿verdad? Más 9 partido de 13 la raíz y ¿cuánto es 9 más 13? 4 más 9, perdona. 00:15:34
13, ¿verdad? 00:15:57
esto es raíz de 13 partido de 13 00:15:59
esto es raíz de 1 00:16:01
que es 1, ¿veis? 00:16:03
esto es unitario 00:16:04
entonces consigo un vector 00:16:06
unitario en la misma dirección 00:16:08
en el mismo sentido, dividiendo 00:16:10
siempre por el módulo del vector 00:16:13
¿vale? 00:16:15
¿sí? 00:16:16
aquí no te hace falta porque se te va 00:16:19
¿vale? 00:16:22
si tú consigues un vector 00:16:23
si tú quieres conseguir un vector unitario 00:16:25
aquí por ejemplo yo no me pondría 00:16:29
más que se te va con los cuadrados 00:16:31
¿vale? 00:16:33
pero si tenés las coordenadas del vector unitario 00:16:33
en el 2 raíz de 13 00:16:35
haría falta racionalizarlo 00:16:37
hombre aquí sería bonito poner 00:16:38
2 raíz de 13 partido de 13 ¿vale? 00:16:41
y aquí igual, pero en principio 00:16:43
lo único es 00:16:45
hombre las coordenadas de logo 00:16:47
son estas y lo bonito sería 00:16:49
racionalizarlo ¿vale? 00:16:51
Esto a la postre, pues sería W, sería 2 raíz de 13 partido de 13, ¿vale? 00:16:52
Y 3 raíz de 13 partido de 13, ¿vale? 00:16:59
Y así lo hemos racionalizado. 00:17:03
¿Hasta aquí todo bien, chavales? 00:17:08
Fácil, ¿no? 00:17:10
Vale. 00:17:11
Pues lo que yo quiero que veáis, lo que yo quiero que veáis es lo que es la suma y resta de dos vectores. 00:17:12
Porque esto luego está relacionado también con áreas. 00:17:18
María tiene chicle. 00:17:21
Píramelo, mi arma. 00:17:23
Vale, entonces, suma y resta de dos vectores 00:17:24
¿Vale? 00:17:27
Entonces, para poder sumar y restar 00:17:28
Claudia, vete de la clase, hija 00:17:31
Sí 00:17:33
Porque estás haciendo lengua 00:17:33
Y Petre también 00:17:35
Si estáis aquí en mi clase 00:17:36
Atended y copiáis esto 00:17:38
Estáis haciendo otra cosa 00:17:41
Entonces, para eso, primero me parece una falta de respeto tremenda 00:17:43
Y segundo 00:17:46
Si yo no he pasado ni lista 00:17:47
¿Qué pasa? Que no queréis que os ponga falta 00:17:49
Pero si estáis aquí, por lo menos atendedme 00:17:53
y si no os invito, vayáis a la biblioteca 00:17:54
y ya está, no pasa nada, y estudiáis 00:17:57
todo lo que queráis, pero ya que estáis 00:17:59
aquí 00:18:01
suma y resta de dos vectores 00:18:01
suma y resta de dos vectores 00:18:05
sobre todo aquí lo que me interesa es 00:18:06
que analíticamente es súper 00:18:09
fácil, súper fácil 00:18:11
pero lo que me interesa es que veáis 00:18:13
la componente geométrica 00:18:15
que va con 00:18:17
dos vectores, ¿vale? 00:18:19
cuando yo sumo dos vectores, lo importante 00:18:20
es que tengan el mismo 00:18:23
me da igual si tienen el mismo origen o no 00:18:24
¿vale? pero cuando yo sumo 00:18:27
el vector u y el vector v 00:18:29
lo que yo tengo que hacer es 00:18:31
donde finaliza el vector u 00:18:33
me llevo yo mi vector v 00:18:34
¿de acuerdo? y si yo 00:18:36
uno ese origen de u 00:18:39
con el final de v 00:18:41
lo que obtengo es 00:18:43
la suma de vectores, no sé si me he 00:18:45
explicado bien que yo creo que no mucho 00:18:47
¿vale? es decir 00:18:49
yo tengo aquí un vector v 00:18:51
Un vector u. ¿Vale? Y ya resulta que yo tengo aquí un vector v. ¿De acuerdo? 00:18:53
Si yo lo que hago es este vector v, como me voy a llevar un vector equipolente, 00:19:02
un vector equipolente que es uno que va a tener su mismo módulo, dirección y sentido, 00:19:08
pues yo donde acaba u me llevo mi vector v. ¿Entendéis lo que estoy haciendo? Mi vector v. 00:19:12
Y ahora resulta que si yo uno el origen de u con el final de v, pues yo lo que tengo precisamente el w, que w es la suma de u más u. 00:19:20
¿Realmente qué estoy obteniendo? 00:19:36
Realmente qué estoy obteniendo. 00:19:39
Yo a partir de aquí lo que estoy haciendo es, al final y a la postre, tener un paralelogramo, ¿de acuerdo? 00:19:41
Y entonces las diagonales de ese paralelogramo van a ser tanto la suma como la resta. 00:19:48
Vamos a verlo un momentillo en GeoGebra, chavales. 00:19:54
En GeoGebra, ¿vale? 00:20:00
Esto de aquí, vamos a ver. 00:20:02
Voy a hacer un vector. 00:20:12
Había empezado otro GeoGebra, vamos a ver aquí. 00:20:20
Oye, esto es pase, lo de los chefrovenios, esto creo que os lo pasé. 00:20:29
Aquí puedes poner en esta plantilla los parámetros y demás y tal y te lo resuelve, ¿vale? 00:20:32
Esto lo puse yo en el aula virtual. 00:20:39
Bueno, chavales, si yo tengo mi vector u, ¿vale? 00:20:43
Mi vector u, yo qué sé, coordenadas, por ejemplo, 4 menos 1. 00:20:46
Pues ese es mi vector u, ¿de acuerdo? 00:20:50
Y yo ahora voy a tener mi vector v que va a ser, yo qué sé, menos 2, 5, ¿vale? 00:20:53
Tengo mi vector u y mi vector v. 00:21:03
Entonces, yo ahora voy a hacer tanto la suma como la resta de ambos. ¿Cómo haría yo la suma? Pues yo lo que tendría que hacer es, voy a hacer, a ver si me deja aquí, voy a hacer una resta que contenga A a U, voy a hacer una resta que contenga A a V, voy a hacer una resta paralela a esta que pase por este punto, 00:21:05
y voy a hacer una recta paralela 00:21:47
a esta 00:21:49
que pase por aquí, no me dejan 00:21:50
y entonces chavales 00:21:57
¿qué es lo que tengo? no sé si os fijáis 00:21:59
tengo un polígono 00:22:01
a ver si me sale bien 00:22:02
que es un paralelogramo 00:22:05
a ver 00:22:13
va desde aquí 00:22:13
hasta aquí 00:22:17
hasta aquí 00:22:19
vale, como me falla un poquillo 00:22:22
a la vista, eso es un 00:22:25
paralelogramo formado, os acordáis 00:22:27
por este vector u y este vector v. 00:22:29
¿Os acordáis? Más o menos. 00:22:32
Si yo ahora hago u más v, 00:22:34
u más v 00:22:38
va a ser un vector 00:22:38
que va desde aquí 00:22:40
hasta este punto d. 00:22:42
Y ahora ha quedado fatal, ¿no? 00:22:45
¿Eh? 00:22:47
Vale, si yo hago 00:22:50
u más v, ¿no? 00:22:51
Claro, u más v. 00:22:53
Hostia. 00:22:55
¿Y por qué? 00:22:57
Porque el punto B no está en el final de la flecha. 00:23:01
Ángela María, muy bien, muy bien. 00:23:05
A fin, fin. 00:23:08
Vale, voy a hacer una cosilla. 00:23:10
Gracias, F de acentón, gracias, madre. 00:23:12
Vale, voy a hacer una cosa mejor. 00:23:15
Voy a hacer un vector para que no haya follón. 00:23:19
Voy a hacer un vector aquí que vaya desde el 0, 0 aquí. 00:23:21
Un vector que vaya desde aquí a... 00:23:28
Aquí no va a haber problema. 00:23:40
Vale. 00:23:42
Y otro vector que vaya de aquí a aquí. 00:23:43
¿Vale, chavales? 00:23:46
Y ahora voy a hacer una recta que contenga de A a C. 00:23:47
Gracias, Cendón Madre. 00:23:52
Y otra recta que vaya de A a B. 00:23:54
Y ahora sí. 00:23:57
Ahora voy a hacer una recta paralela a esta de aquí que pase por B y una recta aquí que pase por C, ¿vale? 00:23:58
Y ahora si yo hago U más V, ahora sí, ¿vale? Gracias madre, va a llegar a este paralelogramo, ¿de acuerdo? 00:24:10
¿De acuerdo? Este paralelogramo que va desde A a C a este punto de aquí, a ver si atino, A, A, B, la suma de los dos, ¿de acuerdo? La suma de los dos es la diagonal de ese paralelogramo, ¿lo veis? ¿Sí o no? 00:24:22
Y ahora, que aquí lo vamos a ver un poco mal, porque GeoGebra lo va a partir desde el origen, la otra diagonal es la diferencia entre u menos v, ¿vale? 00:24:46
Un menos v, si os fijáis, es, voy aquí a esto, lo voy a ocultar, lo voy a ocultar, lo voy a ocultar para que se quede mejor, ¿vale? 00:25:01
¿Qué coño? Ocultar. Este vector de aquí, si yo me lo llevo, chavales, si yo me lo llevo de aquí a aquí, es el mismo resultado, ¿de acuerdo? 00:25:18
aunque no me convence mucho 00:25:36
aquí tengo A 00:25:38
y aquí tengo B 00:25:41
y esto de aquí 00:25:41
vamos a ver cuánto es el módulo 00:25:44
un menos V 00:25:57
o un menos V 00:25:59
un menos V, yo tengo aquí U 00:26:00
y V 00:26:03
otra vez 00:26:03
esto ya sí, claro, ya decía yo 00:26:05
hostia, veo poco pero 00:26:11
esto ya sí que concuerda 00:26:13
con esto de aquí, ¿vale? 00:26:15
de hecho si yo hago, fijaros 00:26:17
Una circunferencia que vaya de A a este punto, ¿vale? 00:26:19
A este punto. 00:26:26
Y yo mido aquí cuánto vale este segmento de aquí. 00:26:30
A ver si yo hago aquí un segmento que vaya de A a la circunferencia. 00:26:42
Y yo lo mido. 00:26:51
Mide casi 10, ¿no? 00:26:55
9,89, ¿vale? 00:26:56
Y si yo hago una circunferencia que vaya desde aquí hasta aquí y ahora hago un segmento que vaya desde aquí a cualquier punto de la circunferencia, si lo mido, me da también 9,89. 00:26:57
¿Lo veis? Y este de aquí, fijaros, si yo hago una recta que pase de aquí, aquí, chavales, y yo ahora hago una recta paralela desde aquí a esta de aquí, que pase por el punto C, fijaros, que son dos rectas paralelas y este vector de aquí es el mismo que este de aquí. 00:27:17
¿Lo veis? Entonces, geométricamente, ¿qué tenemos que saber? Que si yo tengo dos vectores u y v, me van a formar, cuando estoy en un plano, me van a formar un paralelogramo. 00:27:43
Un paralelogramo. 00:28:00
Geométricamente, la suma de dos vectores es, 00:28:02
yo hago el paralelogramo, me voy al, digamos, al vértice opuesto, 00:28:07
esta es la suma, y la otra diagonal es la resta de vectores. 00:28:14
Eso gráficamente. 00:28:21
Si nos vamos a lo que es analíticamente, es muy fácil. 00:28:23
¿Por qué? 00:28:29
Porque si yo tengo mi vector v, que es vx, vi, y yo tengo mi vector w, que es wx, wi, y u más w resulta que es z, o no, wx, no, aquí no me gusta, pero bueno. 00:28:29
Esto sería vx más vx y aquí vi, es decir, más vi, ¿no veis? 00:28:48
Ejemplo, si yo tengo mi vector v, que es yo que sé, 4 menos 3, 00:28:59
y yo tengo mi vector v es menos 5, 8, ¿de acuerdo? 00:29:06
Pues V más W, realmente que es 4 menos 5, menos 3 más 8, esto es igual a menos 1, 5. 00:29:10
¿Lo veis así de fácil en el espacio? ¿Qué ocurre en el espacio, chavales? 00:29:24
Que yo cuántas componentes tengo. 5, 2, menos 7. Y W es, yo qué sé, menos 2, menos 4 y 10. 00:29:29
Pues, ¿cuánto es v más w? Pues, v más w es realmente 5 menos 2, 2 menos 4, menos 7 más 10. 00:29:40
Es decir, v más w es igual a 3 menos 2, 3. ¿Lo veis todos? Dimeis. 00:29:53
Pero, ¿cuántas medias de espacio son 3? 00:30:01
cada vector tiene tres componentes 00:30:04
no, eso realmente 00:30:13
mira, si yo me voy a GeoGebra 00:30:16
vale 00:30:18
y yo me voy, te voy a poner un GeoGebra 00:30:20
nuevo, tú aquí 00:30:22
esto lo ves, si yo tengo aquí 00:30:30
el punto, yo que sé, yo tengo el punto 00:30:32
A, que es 00:30:34
3, 6 00:30:36
No, voy a poner otro más pequeñito para que se vea bien 00:30:38
¿Por qué? Ah, va, 3, 6 00:30:40
Si yo ahora hago un vector, ¿vale? 00:30:44
Que vaya desde el 0, 0 hasta aquí 00:30:47
Fíjate que las componentes del vector son 3, 6 00:30:51
¿Vale? Entonces, si yo ahora estoy en el espacio 00:30:53
¿Vale? Si yo ahora tengo el punto 00:30:58
El punto B, ¿vale? 00:31:04
El punto B es igual a, yo que sé 00:31:06
2, 4, 6 00:31:09
aquí me ha hecho un vector 00:31:12
perdón, claro, es que 00:31:15
el 2, 4, 6, tengo aquí 00:31:18
el punto B, mira el punto 00:31:21
B, ¿vale? 2, 4, 6, que es 00:31:23
una componente X, una componente Y 00:31:25
y una componente Z, ¿vale? 00:31:27
si yo hago el vector 00:31:29
un vector 00:31:30
que va 00:31:32
desde el 0, 0 hasta B 00:31:34
sus componentes también son 2, 4, 6 00:31:37
¿Lo ves? ¿Eso qué ocurre? ¿Cuál es el módulo de este vector? 00:31:41
El módulo de este vector es la raíz cuadrada de 2 al cuadrado más 4 al cuadrado más 6 al cuadrado. 00:31:47
¿Vale? 00:31:55
Ahí lo vemos, el vector con las tres componentes. 00:31:57
¿Lo ves? Si yo esto aquí lo varío, pues al final lo voy viendo en todas sus posiciones. 00:32:02
¿Vale? Entonces, ¿qué es restar realmente? ¿Qué es restar polinomios? ¿Qué es restar vectores? Pues si yo, por ejemplo, lo que tengo aquí es un v, v, jesús, menos v doble, realmente es menos v doble, ¿ya vale? Esto es lo mismo, perdonad, esto es igual que v más menos v doble, 00:32:10
Y menos W que es el opuesto, ¿de acuerdo? El opuesto de W, ¿vale? ¿Y qué ocurre con el opuesto de W? Tiene la misma dirección, tiene sentido contrario y tiene el mismo módulo. 00:32:37
De hecho, si mi v, que era 5, 2, menos 7, y w es menos 2, menos 4, 10, menos w, que es donde haya un menos, pongo un más, ¿lo veis? 00:32:53
Estos son los vectores 2, 4, 6, el menos w. ¿Lo veis? ¿Sí o no? 00:33:12
Bueno, si yo me voy a GeoGebra, yo tengo aquí el vector u, ¿lo veis? Tengo el vector u. Si yo hago menos u, está en la misma dirección, lo único que tiene es sentido diferente y lo que sí es el mismo módulo. ¿Lo veis? El mismo módulo. 00:33:18
Yo de hecho, si yo aquí hago al GR1 de U, me sale 778, ¿lo veis? 00:33:41
Y si yo hago aquí el módulo, el módulo de V, me sale 748. 00:33:49
Es exactamente el mismo. 00:33:59
Le he cambiado las coordenadas, aquí era 246, aquí es menos 4 menos 6. 00:34:00
tiene la misma dirección, tiene 00:34:05
distinto, perdón, el mismo módulo 00:34:07
pero sentido contrario 00:34:10
¿vale? es lo único 00:34:11
¿eso lo veis? y entonces 00:34:13
la resta 00:34:15
dime hijo 00:34:17
te lo confirmo 00:34:18
porque todavía no he podido hablar con Javier 00:34:21
¿vale? esto que sería 00:34:23
pues 5 menos menos 2 00:34:25
¿cuánto es chaval? 7 00:34:27
esto es un 6 00:34:29
y esto es menos 17 00:34:31
esto es un menos, perdonadme ¿vale? 00:34:33
¿Lo veis, chavales, o no? 00:34:35
Fácil, ¿no? 00:34:38
V menos, V. 00:34:43
¿Sí? 00:34:45
Entonces, chavales, 00:34:51
geométricamente, el paralelogramo. 00:34:53
Pero cuando tenemos tres vectores, 00:34:57
tres vectores, y esto es súper importante 00:34:59
porque luego vamos a ver el producto mixto 00:35:02
de tres vectores, ¿vale? 00:35:04
Cuando yo tengo tres vectores, 00:35:07
al final lo que tengo no es un paralelogramo. 00:35:09
Tengo un paralelepípedo, ¿vale? 00:35:13
Entonces, lo que formo es, abajo que tengo, chavales, realmente, 00:35:16
abajo que es lo que tengo, la suma de dos vectores, ¿lo veis? 00:35:21
Abajo yo tengo el paralelogramo, la suma de dos vectores. 00:35:24
Yo tengo mi vector u, mi vector v, y luego mi vector w. 00:35:27
Yo primero sumo uv, que me da esto de aquí. 00:35:31
Fijaros, yo formo el paralelogramo con el mismo origen. 00:35:35
hago la diagonal 00:35:39
y ahora tengo que sumar 00:35:43
estos de aquí, que es la suma de V 00:35:45
con W 00:35:48
pues de nuevo hago un paralelogramo 00:35:49
lo que pasa que ahora es hacia arriba, lo veis 00:35:51
y uno, el mismo 00:35:53
origen con esto de aquí 00:35:55
formo un paralelopípedo 00:35:57
y entonces que ocurre, que esto de aquí 00:35:59
de acuerdo, esto de aquí 00:36:02
es súper importante 00:36:03
para también geométricamente 00:36:05
Hallar áreas, optimizar áreas y demás, ¿vale? 00:36:07
¿Sí o no? 00:36:12
Entonces, propiedades de las operaciones con vectores, la asociativa. 00:36:13
Aquí, sí, me da igual primero sumar dos vectores y luego un tercero, 00:36:17
que sumar el segundo y el tercero y le sumo el primero. 00:36:21
Conmutativa, da igual sumar u más v que v más u. 00:36:24
El vector nulo, que es el elemento neutro. 00:36:28
Si yo cualquier vector le sumo el vector nulo, me quedo igual, 00:36:30
porque ¿cuáles son las componentes del vector nulo, chavales? 00:36:35
0, 0, 0 si estamos en tres dimensiones 00:36:37
o 0, 0 si estamos en dos 00:36:41
y el vector opuesto es aquel 00:36:42
que tiene las mismas coordenadas 00:36:45
pero cambiado el signo 00:36:47
¿y qué ocurre si yo sumo V más W? 00:36:48
pues que me va 00:36:52
V más menos V 00:36:53
que me va a dar el vector nulo 00:36:55
¿eso lo entendéis? 00:36:57
y luego con el producto 00:36:59
por escalar por un vector 00:37:01
si yo tengo dos números 00:37:03
esclares y lo multiplico 00:37:05
por v, me da igual. 00:37:07
Primero multiplica ese número por el 00:37:09
vector y luego cuando ya tengo 00:37:11
multiplicado ese número por ese vector, lo 00:37:13
multiplico por a, que multiplica 00:37:15
esos dos números y lo multiplico por v. 00:37:17
No sé si esto lo entendéis bien o no. 00:37:19
Si yo, por ejemplo, tengo 00:37:22
que a es igual a 2, que b 00:37:23
es igual a 3 y mi vector 00:37:25
v es, yo qué sé, 4 00:37:27
0 menos 1. 00:37:29
Si yo tengo 00:37:32
a por b por v, 00:37:33
a por b por v, ¿qué es? 00:37:35
¿Cuánto es d por v? Pues esto es 12, ¿verdad? 0 menos 3. Y el a hemos dicho que era un 2, ¿no? Esto es un 2. Esto era un a. Vaya, es que aquí, como estoy con el otro, esto es una a y esto es un 2, ¿verdad? 00:37:37
entonces esto aquí es igual a 24, 0, menos 6 00:37:57
lo que me dice, si yo multiplico A por B primero 00:38:00
A por B ¿cuánto hecha? A por B es 6 00:38:05
y como mi V es 4, 0, menos 1 00:38:08
pues resulta que yo que tengo 6V, ¿cuánto es? 00:38:12
24, 0, menos 6, ¿ves como me da lo mismo? 00:38:17
pues eso es lo que me dice esta propiedad de aquí 00:38:22
Luego, si yo lo distribuyo, es decir, si yo tengo suma de escalares y lo multiplico por v, 00:38:26
es lo mismo sumar esos dos números y luego multiplicarlo por v, 00:38:31
que primero multiplicar un número por v y luego le sumo la multiplicación del otro número por v. 00:38:35
Igualmente la distributiva 2, es decir, yo tengo un escalar pero dos vectores, 00:38:42
aquí tengo dos escalares y un vector, yo tengo aquí un escalar y dos vectores. 00:38:45
Yo puedo hacer primero la suma de los vectores y luego lo multiplico por el escalar 00:38:49
o multiplico ese número por un vector, lo multiplico ese número por el otro y hago la suma de vectores. 00:38:54
Y luego el producto por 1. ¿Cuál es el elemento neutro de la multiplicación? El 1. 00:39:01
¿Cuál es el elemento neutro de la suma? El vector neutro. ¿Vale, chavales? ¿Sí? Vale. 00:39:06
pues 00:39:15
entonces 00:39:17
vamos a ver 00:39:19
esto de aquí es fácil pero ahora lo que yo 00:39:20
quiero que veáis es esto que es muy importante 00:39:27
¿por qué se da todo esto de aquí? 00:39:29
porque ahora volvemos otra vez 00:39:32
a la combinación lineal 00:39:33
de vectores, a la dependencia 00:39:35
e independencia lineal 00:39:38
y sobre todo 00:39:40
a las bases y a las coordenadas 00:39:41
¿todo el mundo dio 00:39:44
física aquí el año pasado? 00:39:45
todo el mundo dio física aquí el año pasado 00:39:47
bueno pues sin saberlo 00:39:50
este año no, este año no dais 00:39:52
poca gente, me refiero que 00:39:54
el año pasado era todo el mundo 00:39:56
y este año no 00:39:58
sin saberlo ustedes 00:39:58
sin saberlo ustedes 00:40:01
desde primero de eso 00:40:02
estáis utilizando una base 00:40:05
una base, sobre todo en física 00:40:08
se ve muy bien, os acordáis 00:40:09
del IJK de física 00:40:11
el IJK de física 00:40:14
Eso eran vectores unitarios, eran vectores unitarios, ¿de acuerdo? ¿Qué se caracteriza por un vector unitario? Porque su módulo es 1, ¿de acuerdo? Y entonces, ¿qué es lo que ocurre? Yo tengo un plano, yo tengo un plano, fijaros en la pizarra. 00:40:16
Yo puedo tener distintas, yo con dos vectores, que no tengan la misma dirección, yo puedo poner cualquier punto de la pizarra como combinación lineal de esos dos vectores. 00:40:32
No sé si me estoy explicando, porque yo creo que en el plano es fácil, ¿no? Vamos a ver, GeoGebra, clase, borrar, por ejemplo. 00:40:50
yo tengo aquí un punto 00:41:07
¿verdad? elijo aquí un punto 00:41:10
bueno, mejor dicho, sí 00:41:12
este punto de aquí 00:41:14
este punto de aquí es el 7, 4 00:41:15
¿vale? ¿por qué es el 7, 4? 00:41:19
porque su componente x 00:41:22
es 7 y su componente y es 4 00:41:24
¿sí o no? entonces 00:41:26
si yo tengo un vector, chavales 00:41:28
yo tengo un vector 00:41:30
lo diré 00:41:31
un vector que va 00:41:33
desde 0 hasta 1 00:41:35
es unitario 00:41:38
y si yo tengo otro vector que va 00:41:39
desde 0 hasta 1 es unitario 00:41:42
si, ¿alguien me 00:41:44
sabe decir este vector que va 00:41:46
desde aquí hasta aquí 00:41:48
como una combinación 00:41:50
lineal de este vector 00:41:52
v y este vector u? 00:41:54
7 y más 7 00:41:56
claro, si estamos en física así 00:41:57
si estamos en física 00:42:00
así, nosotros ahora lo que pasa es que en vez de ser 00:42:02
i, j es u y v 00:42:04
¿vale? 00:42:06
U y V. Entonces, ¿qué ocurre? Si yo hago 7 veces U, ¿lo veis? 7 veces U, ya me lo pone ahí, ¿lo veis esto desde aquí? Más 4 veces V, pues ¿qué se me queda? Ese vector de ahí, ¿lo veis? 00:42:07
entonces, ¿qué ocurre con u y con v? 00:42:25
que estamos adelantando un poco este marco 00:42:28
pues que son vectores unitarios 00:42:30
que no tienen la misma dirección 00:42:34
y entonces yo puedo poner cualquier punto del plano 00:42:38
como combinación lineal de ellos 00:42:42
¿vale? 00:42:44
¿tienen que ser ortogonales o tienen que ser 00:42:45
ortonormales y demás? 00:42:48
no, por ejemplo, fijaros aquí 00:42:50
a ver si me voy para atrás 00:42:52
Yo ahora tengo mi vector, voy a hacer mi vector que sea esto de aquí, hasta aquí. 00:42:55
Ay, va a quedar fatal, ¿no? 00:43:07
Yo tengo mi vector que sea de aquí a aquí. 00:43:10
¿Es unitario o no? 00:43:15
Este vector de aquí a aquí. 00:43:16
¿Sí o no? 00:43:19
Yo puedo poner cualquier punto de este plano como combinación lineal de estos dos. ¿Lo puedo poner? ¿Seguro? ¿Por qué? Yo puedo poner cualquier punto, por ejemplo, este punto de aquí. 00:43:19
este punto de aquí 00:43:43
lo puedo poner como combinación 00:43:46
lineal de estos dos 00:43:48
¿eh? como no 00:43:49
tienen la misma dirección 00:43:52
yo lo puedo poner como combinación 00:43:53
de esto de aquí 00:43:56
¿qué es lo que tengo que formar 00:43:57
realmente chavales? ¿qué es lo que 00:43:59
tengo que formar? tengo que 00:44:01
formar realmente un 00:44:03
paralelogramo 00:44:05
¿vale? un paralelogramo 00:44:07
con esta dirección, con este 00:44:09
sentido que acabe aquí 00:44:12
¿Vale? 00:44:13
Pero ¿qué es lo que ocurre? 00:44:16
Para formarlo 00:44:17
Tengo que multiplicar 00:44:19
Por un número 00:44:25
Este de aquí y por otro número 00:44:27
Este de aquí 00:44:28
Para formar ese paralelogramo 00:44:29
¿Me explico? 00:44:32
Si yo lo que quiero es 00:44:34
Una recta 00:44:36
A ver, recta paralela 00:44:39
Tengo que hacer una recta 00:44:40
Que vaya de aquí a aquí 00:44:42
Otra recta que vaya de aquí a aquí 00:44:47
hago una recta paralela 00:44:50
a esta que pase por aquí 00:44:58
una recta paralela 00:45:02
que pase por aquí 00:45:05
¿vale? 00:45:10
¿y ahora qué ocurre? 00:45:13
que si yo hago otra recta paralela 00:45:15
a esta 00:45:18
que pasa por aquí 00:45:20
a ver, esto no lo tenemos que hacer 00:45:23
pero si lo entendemos 00:45:26
es bastante importante, ¿vale? 00:45:27
Si yo hago una recta paralela a esta que pase por aquí 00:45:30
y una recta paralela a esta. 00:45:34
Hostia, tengo un chocho ya que no vea. 00:45:41
Tengo una recta paralela a esta que pase por aquí. 00:45:44
Guau. 00:45:57
No sé si veis, vamos a ver este paralelogramo. 00:45:59
bueno, lo que yo creo que veáis 00:46:06
es que cuando yo tengo 00:46:08
una base 00:46:10
formada 00:46:11
una base formada 00:46:13
por vectores que son 00:46:15
unitarios, que son 00:46:20
perpendiculares 00:46:22
¿vale? es mucho más 00:46:24
fácil hallar las coordenadas 00:46:28
de un vector respecto a eso, que son los que 00:46:30
utilizáis en física 00:46:32
el IJK 00:46:33
que si en este caso de aquí 00:46:34
no tenemos vectores ni que sean unitarios ni que sean perpendiculares, ¿vale? 00:46:37
Entonces, chavales, lo que sí me interesa aquí es que le echéis un vistazo a esta parte del libro, 00:46:44
que es la combinación lineal y la dependencia e independencia lineal, 00:46:53
para entrar en lo que es una base, que es súper importante, ¿vale? 00:46:56
Y las coordenadas de un vector respecto a la base. 00:47:01
Sin saber realmente lo que es, lo habéis trabajado ya. 00:47:03
¿Vale? La habéis trabajado ya. Entonces, por favor, leeroslo porque no es complicado y si podéis hacer estos ejercicios de la página 135, hacedlo, ¿vale? 00:47:07
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Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
6
Fecha:
24 de octubre de 2025 - 13:35
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
47′ 28″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
298.14 MBytes

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