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Métodos de resolución de Sistemas de Ecuaciones - Contenido educativo

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Subido el 15 de abril de 2025 por Brigytte Suhei D.

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Aquí va un resumen de los diferentes métodos para resolver los sistemas de ecuaciones.

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En este vídeo vamos a ver el tema de sistema de ecuaciones. 00:00:00
Vamos a trabajar los cuatro métodos de resolución de sistemas, 00:00:04
que son el método de sustitución, el método de reducción, de igualación y el método gráfico. 00:00:11
Vamos a trabajar con un mismo ejemplo los cuatro métodos. 00:00:17
Empezamos por el método de sustitución. 00:00:22
Esto es conveniente utilizarlo cuando tenemos una incógnita con coeficiente 1, 00:00:24
ya que la despejamos y como bien indica el método, sustituimos en la otra ecuación. 00:00:31
Veamos nuestro ejemplo. 00:00:37
En este caso es conveniente utilizar este método, ya que en la segunda ecuación podemos encontrar que la y tiene como coeficiente el 1. 00:00:40
Por tanto, la despejamos. Sería y igual a 3 más x. 00:00:49
Y ahora sustituimos en la primera ecuación y nos quedaría 2x más 5 y ahora esta y va a valer todo esto, 3 más x igual a 1. 00:00:53
A continuación aplicamos propiedad distributiva, 2x más 5 por 3, 15 y 5 por x, 5x igual a 1. 00:01:13
Y ya despejamos como una ecuación de primer grado. Tenemos las x que serían 7 y tengo 1 que pasaría el 15 restando y me quedaría 1 menos 15 menos 14. 00:01:23
Por tanto, el valor de x es igual a menos 2. 00:01:38
Una vez obtenemos el valor de una de las incógnitas, sustituimos la ecuación ya despejada para calcular la incógnita y. 00:01:43
Entonces tenemos que Y es igual a 3 más menos 2X, que sería Y igual a 3 menos 2, 1. 00:01:57
Entonces mi solución es X igual a menos 2, Y igual a 1. 00:02:12
Podemos comprobarlo sustituyendo estos valores para la X y para la Y en ambas ecuaciones. 00:02:23
Entonces, comprobación. Tenemos 2 por menos 2 más 5 por 1 es igual a 1. Y nos lo preguntamos. ¿Esto es verdad? 00:02:31
Ahora desarrollamos la primera parte de la igualdad. 2 por menos 2 sería menos 4 más 5 por 1 que es 5. Esto es igual a 1. Efectivamente, menos 4 más 5 es 1 y ambos lados de la ecuación son iguales. 00:02:49
Y en la otra ecuación, menos x que vale menos 2 más 1 es igual a 3. 00:03:10
Nos lo preguntamos. 00:03:19
Menos menos 2 es 2 más 1 es igual a 3. 00:03:22
Efectivamente, 3 es igual a 3. 00:03:26
Solo haré la comprobación en este método ya que es exactamente igual para los métodos que vemos a continuación. 00:03:31
Ahora vamos a pasar a ver el método de reducción. 00:03:39
Este es un poco más complejo. 00:03:43
Lo utilizaremos cuando tengamos coeficientes que coinciden en número o tienen signo contrario para poder eliminarlos. 00:03:46
Nuestro objetivo en este método es anular una de las incógnitas. 00:03:56
En este caso, voy a aprovechar que esta x es negativa y esta x es positiva para que al sumarlas se me anule la incógnita x. 00:04:00
Para que esto ocurra, yo tengo que multiplicar toda la segunda ecuación por 2. 00:04:16
entonces tendría menos 2x más 2y igual a 3 por 2 que son 6 00:04:21
y la de arriba como quiero mantenerla, quiero mantener ese 2x la voy a copiar igual 00:04:31
no me hace falta multiplicarla por nada 00:04:37
si no me coincidiera ya que en este caso tengo como coeficiente de la x un menos 1 00:04:39
podría tener aquí un 3 para poder conseguir que esos dos se me anulen lo 00:04:48
que voy a hacer es calcular el mínimo común múltiplo de los coeficientes en 00:04:56
este caso si quisiésemos calcular el mínimo común múltiplo de 2 y menos 1 nos 00:05:01
saldría menos 2 como yo lo quiero mantener en signo lo voy a dejar en 2 00:05:06
Por eso multiplico en 2. Si fuera 2x y 3x, el mínimo común múltiplo de 2 y 3 sería 6. 00:05:13
La primera incógnita la tendría que multiplicar por 3 y la segunda la tendría que multiplicar por 2. 00:05:23
Y así obtendría 6x menos 6x para que se me anulen. 00:05:30
Continuamos por aquí. Entonces, tengo la primera ecuación, que es 2x más 5y igual a 1. 00:05:37
Ahora, como tienen signos diferentes, los sumamos. Si tuvieran mismos signos, los restamos para poder cambiar el signo y así que la incógnita que yo haya elegido se me anude. 00:05:43
En este caso es la x, 2 menos 2, 0. 2 más 5 son 7y y 1 más 6 son 7. 00:05:56
Despejando esta pequeña ecuación me quedaría 7 entre 7, 1. 00:06:08
Como hemos visto en el método anterior, tenemos que sustituir este valor en cualquiera de las ecuaciones 00:06:15
para poder obtener el valor de la otra incógnita a descubrir, en este caso, x. 00:06:23
Pues lo sustituyo en la segunda, que es la más sencilla. 00:06:30
Menos x más 1 que acabo de obtener para el valor de y igual a 3. 00:06:34
Entonces, voy a pasar esa x que es negativa al otro lado para que la operación me sea más sencilla. 00:06:39
más 1 menos 3 es igual a x, es decir, que 1 menos 3 que es menos 2, x es igual a menos 2. 00:06:45
Que por supuesto me ha dado las mismas soluciones que en el apartado anterior resolviéndolo por el método de sustitución. 00:06:59
La solución x igual a menos 2 y igual a 1. 00:07:09
Vamos ahora al método de igualación. 00:07:14
En este método, mi objetivo es despejar una de las incógnitas, tanto en la primera como en la segunda ecuación, para poder igualarlas. 00:07:17
En este caso, voy a despejar de ambas ecuaciones la y. 00:07:30
Si lo despejo de la primera ecuación, me quedaría y igual a 1 menos 2x partido de 5, 00:07:36
Ya que este 2x está sumando pasaría restando y este 5 está multiplicando a la y pasaría dividiendo. 00:07:42
Para la segunda ecuación tenemos, es mucho más sencilla, y igual a 3. 00:07:55
Esta x está restando pasa sumando. 00:08:01
Ahora tenemos y igual a una expresión algebraica y igual a otra expresión algebraica. 00:08:07
Ahora, si la y en la primera ecuación vale eso de aquí y la y en la segunda ecuación vale esto de aquí, 00:08:13
querrá decir que como todo vale y, esto también tendrá que ser igual. 00:08:21
De ahí aplicamos el método de igualación. 00:08:26
1 menos 2x partido de 5 es igual a 3 más x. 00:08:30
Estamos igualando los valores de y. 00:08:37
Y ahora resolvemos como una ecuación de primer grado. 00:08:39
Sacamos mínimo común múltiplo o bien aprovechamos que solo tengo este número aquí que está multiplicando 00:08:43
Perdón, que está dividiendo, pasa multiplicando 00:08:49
O bien calculamos mínimo común múltiplo y nos cargamos los denominadores 00:08:52
Lo haremos así para ver la balanza 00:08:57
1 menos 2x partido de 5, en este caso el mínimo común múltiplo es 5 00:08:59
Y al otro lado igual 00:09:04
Como he añadido ese 5 en el denominador, también lo tengo que añadir en el numerador 00:09:06
Al ser una ecuación, puedo hacer desaparecer los denominadores, ya que son los mismos 00:09:14
Y obtendría una ecuación de primer grado, 1 menos 2x igual a 5 00:09:20
Por 3x, por 3 más x 00:09:26
Ahora aplicamos propiedad distributiva en el segundo miembro de la ecuación 00:09:31
y nos quedaría 15 más 5x, nos llevamos las x a un lado y los números al otro, vamos a respetar los signos y hacemos 1 menos 15 igual a 5x 00:09:38
y el 2 que está restando pasaría sumando. 00:09:56
Por tanto, tengo 1 menos 15 menos 14 igual a 7x. 00:10:01
Por tanto, x sería menos 14 partido de 7, que es menos 2. 00:10:08
Y por supuesto, al igual que los otros métodos, tenemos que sustituir, en este caso, 00:10:17
en esta ecuación que tenemos ya despejada para calcular el valor de la otra incógnita, en este caso i. 00:10:22
i es igual a 3 más menos 2, i es igual a 1. 00:10:29
Como ya sabíamos de haber resuelto este mismo ejercicio por los diferentes métodos anteriormente. 00:10:40
Vamos a ver el último método, el método gráfico. 00:10:48
Para este método vamos a crear tablas de valores para cada una de las ecuaciones para poder representarlas. 00:10:52
Voy a utilizar colores para poder referenciarlas adecuadamente. 00:10:59
La primera va a ser de color naranja y lo primero que hago es despejar. 00:11:02
Despejo la Y, 1 menos 2X partido de 5 y creo una tabla de valores. 00:11:08
¿Esto qué quiere decir? Que voy a dar valores a la x para calcular su imagen, los valores de la y 00:11:15
En este caso voy a intentar dar valores donde el numerador sea múltiplo de 5 para que al dividirlo me quede un número entero 00:11:23
Si no consigo encontrarlo me pueden quedar fracciones y represento las fracciones con normalidad 00:11:33
En este caso voy a coger el valor menos 2 que al sustituirlo en la x me queda como imagen menos 2 por menos 2, 4 más 1, 5, 5 entre 5, 1. 00:11:38
Voy a tomar también el valor 3, donde 1 menos 2 por 3, que sería menos 6, 1 menos 6 sería menos 5, menos 5 entre 5 me queda menos 1. 00:11:54
He conseguido poner valores aquí para que las imágenes sean enteras. 00:12:12
Un valor que es muy sencillo también de poner, ya que se me anularía 00:12:16
Lo voy a escribir para que se entienda mejor 00:12:22
Sería el 1 medio 00:12:23
1 menos 2 por 1 medio partido de 5 00:12:25
En este caso los dos S me van y me quedaría 1 menos 1 partido de 5 00:12:31
Que sería 0 00:12:36
Por tanto, si a la X le doy el valor 1 medio, la Y me da 0 00:12:37
Ahora puedo representar mis tres puntos 00:12:43
El menos 2 de la x 00:12:47
Perdón, menos 2 de la x 00:12:52
1 de la y, que sería este punto de aquí 00:12:56
El 3, 1, 2, 3, menos 1 00:13:00
Que sería este punto de aquí 00:13:09
Pinto de color naranja 00:13:11
Y por último, este punto que es el 1 medio de la X, que está entre 0 y 1, y 0. 00:13:12
No hace falta subir el I, porque el I vale 0. 00:13:22
Uno de estos tres puntos de la mejor manera posible, vosotros lo haréis con regla, entonces no tendréis ningún problema. 00:13:25
Y uno de los tres puntos. 00:13:34
Ahora, siempre tienen que estar las rectas alargadas, ¿de acuerdo? Al agarrar lo más que podáis. 00:13:37
Ahora voy a representar la segunda recta, lo voy a hacer de color verde. 00:13:45
Despejamos y igual a 3 más x, creo la tabla de valores y voy dando valores sencillos. 00:13:50
En este caso, como no tengo denominador, voy a intentar que sean más bonitos. 00:14:01
El menos 1, si sustituyo la x por menos 1, me quedaría 3 menos 1, 2. 00:14:05
Si le doy el valor a la x, 0, me queda 3 más 0, 3 00:14:12
Y por último, si le doy el valor 1, me queda 3 más 1, 4 00:14:18
1 de la x, 4 de la y 00:14:24
Y ahora voy a representarlos 00:14:26
Empiezo por el menos 1 de la x, 2 de la y 00:14:27
Sería ese punto de ahí, punto de color verde que es de la segunda ecuación 00:14:33
El 0 de la X, sería aquí, 3 de la Y, este de aquí y por último el 1, 4. 00:14:38
El 1 de la X, 4 de la Y y uno de los tres puntos. 00:14:55
Voy a intentar que estos puntos se producen de la mejor manera posible. 00:15:11
Ahí está. 00:15:15
tanto la recta naranja como la recta verde, este que estoy pintando aquí. 00:15:20
Ese punto es la solución de mi sistema. 00:15:27
Este punto coincide con el menos 2 de la x, 1 de la y, menos 2, 1. 00:15:30
Por eso la solución de este ejercicio es x igual a menos 2 y igual a 1. 00:15:37
Por último, quería hablaros de la clasificación de los sistemas de ecuaciones dependiendo del número de soluciones que tengan. 00:15:46
Si tiene una solución, se llaman sistemas compatibles determinados. 00:15:53
Esto quiere decir que se encuentran dos rectas que se están cruzando y se unen en un punto. 00:16:00
El sistema que hemos estudiado nosotros como ejemplo sería un sistema compatible determinado, 00:16:06
ya que sus rectas son secantes y se cortan en un único punto. 00:16:12
Cuando tienen infinitas soluciones, ese sistema se llama compatible indeterminado. 00:16:18
Lo que ocurre con las rectas de este sistema es que está justo una encima de la otra. 00:16:25
Tanto son rectas coincidentes. 00:16:32
Y cuando el sistema no tiene solución, se denomina sistema incompatible y son rectas que no se cortan, aquellas que llamamos rectas paralelas. 00:16:34
Esto que os indico aquí nos habla del sistema escrito de la siguiente forma. 00:16:48
a1x más b1y, siendo a1 el coeficiente de x de la primera ecuación y b1 el coeficiente de x de la segunda ecuación. 00:16:58
Y c1, perdonad. 00:17:10
Y en la segunda ecuación pondríamos A2X más B2Y igual a C2. 00:17:12
Lo que quiere decir que con resolver estas proporciones podemos saber si el sistema es compatible determinado, indeterminado o incompatible sin llegar a resolverlo. 00:17:24
Por ejemplo, en nuestro caso, que teníamos 2x más 5y igual a 1 y menos x más y igual a 3, 00:17:38
tenemos que a1 no vale 2, que a2 vale menos 1 y que, por supuesto, esto es distinto que 5. 00:17:51
O sea que menos 2, obviamente, es distinto que 5. 00:18:00
Por tanto, el sistema es compatible determinado, como ya bien sabíamos por haberlo resuelto por los diferentes métodos en los que nos salía una única solución y al hacerlo por el método gráfico nos salían rectas secantes. 00:18:05
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Educación Secundaria Obligatoria
    • Ordinaria
      • Primer Ciclo
        • Primer Curso
        • Segundo Curso
      • Segundo Ciclo
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        • Cuarto Curso
        • Diversificacion Curricular 1
        • Diversificacion Curricular 2
Autor/es:
Brigytte Daza Vega
Subido por:
Brigytte Suhei D.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
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1
Fecha:
15 de abril de 2025 - 12:47
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES LA SENDA
Duración:
18′ 22″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
82.44 MBytes

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