Proporcionalidad numérica (11)
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Este es el mundo del 100. En porcentaje, en la palabra porcentaje, está metida la palabra 100 en algún sitio. Por tanto, el 100, digamos que es mi modelo.
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Lo que hago con 100 es lo que hago con otro número y lo hago de forma proporcional. Recordad que fue lo que dijo Luna ayer. Si el 297 fuera 100, cogería 10.
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Es decir, lo primero que me tengo que plantear es ¿qué ocurriría si tuviera 100? Y luego hago las cuentas para ver qué es lo que le pasa a 297.
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Bueno, pues lo primero que tengo que hacer es 10% de 297.
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Pues digo, mira, este es mi 100, este sería mi 10% y este sería mi 90%.
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Y ahora cruzo de orilla y me voy al 297.
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Y digo, en vez del 100 pongo 297, en vez de 10 pongo la X verde.
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¿Quién es la X verde? La X verde es el 10% de 297. ¿Y quién es la X azul? La X azul es el, ¿qué porcentaje? El 90%, ¿vale?
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Entonces, para plantearme cómo hacer cualquier porcentaje, me hago este dibujito.
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Lo primero que hago es decir, oye, que me hablan del 10%. Bueno, pues si fuera 100, sería 100, 10 y 90.
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Lo de 90 no es estrictamente necesario, pero yo te lo dejo puesto ahí porque creo que te va a servir.
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Y luego, en el otro lado, abajo, pongo el número del que quiero calcular el porcentaje. Me dicen, calcula el 10% de 297. Pues pongo 297. Aquí me faltaría mi X verde, que no es la misma que la X azul. X sería el 10% de 297 y la X azul sería el 90% de 297.
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Y luego, ¿qué es lo que ocurre? Fijaos lo que dijimos ayer. Si aquí, en vez de 100, tuviera 200, ¿cuánto valdría x verde? Repito, si aquí, en vez de 297, tuviera 200, ¿cuánto valdría esta x verde?
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Sería el doble. ¿Por qué? Porque son proporcionales. Por tanto, como son proporcionales, este entre este tiene que ser lo mismo que este entre este. Este entre este es lo mismo que este entre este.
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y resuelvo ecuaciones y no tengo ningún problema, y no tengo ningún problema.
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¿Qué es lo que tengo que hacer para hacerlo un poquito más cómodo?
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Dividir lo de abajo entre lo de arriba. ¿Por qué?
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Porque si divido abajo entre arriba, la x la voy a tener en el numerador
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y no voy a tener que multiplicar por x para quitar la x del denominador.
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Bueno, el ejemplo del 200 ya lo tuvimos aquí.
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¿Vale? Entonces ahora decimos, ¿cuál es el 20% de 1000? Pues yo creo que es muy sencillo, lo podemos incluso hacer a mano. ¿Qué relación tiene 1000? O sea, aquí sería lo mismo que poner 1000 aquí.
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¿Cuánto es 1000 entre 100? Pues 1000 entre 100 es lo mismo que x entre 20. Aquí cogería el azul, aquí cojo la x, y la x es la x verde, perdonadme, ¿vale?
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Despejo. Voy con el negro. Pues como x está dividido por 20, multiplico por 20. 20 por 1000 entre 100. ¿Sí? ¿Por qué? Vale, ahora te lo dibujo otra vez.
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Déjame que acabe de resolver, ¿vale? 20 entre 20, x es igual a 1000 entre 100 por 20. Divido entre 100 y multiplico por el número del porcentaje. Si es que me sale lo mismo, ¿lo veis? El número dividido por 100 y multiplicado por 20. Pues me queda que x es igual a 200.
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Ahora te lo hago con cajas. Mira, vamos a poner otra vez colores azules. ¿Cuál es el 20% de 1000? Pues, repito, el rojo, el verde y el azul.
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Lo primero que hago es plantearme el problema como si fuera 100. Entonces pongo 100. ¿Y qué porcentaje me están pidiendo? El 20%. Pues mi barra verde vale 20.
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¿Cuánto vale mi barra roja? Pues sabemos que esto más esto vale esto. 80. Igual que aquí. ¿Veis que es el mismo?
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Y ahora me planteo el problema de verdad, el de abajo. ¿Lo puedo poner con la barra azul arriba o abajo? No me importa.
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Vamos a ponerlo con la barra aquí. Pues aquí en vez de 100 me están pidiendo que calcule el 20% de 1000.
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Entonces, mi 20% es mi X verde y mi 80% es mi X roja.
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Y ahora hago lo que ya sé que puedo hacer. Esto entre esto es igual que esto entre esto, porque son proporcionales, Carlos, son proporcionales.
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x roja entre 80 es igual a 1000 entre 100. Te lo pongo en colores otra vez. Mira, x entre 20 es igual a 1000 entre 100 y es igual a, me queda el rojo, que es x entre 80.
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Y ahora pongo en negro las operaciones. Porque son proporcionales. Ya verás cómo te sale igual. Haz la cuenta. Haz la cuenta y verás cómo te sale exactamente igual calcular el 80% como lo que me falta para completar o hacerlo así.
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Te da lo mismo, Carlos. Entonces, os recuerdo, si quiero calcular un porcentaje, lo primero es que me voy al reino del 100. El reino del 100 está aquí. Y escribo lo que me piden. El 20%, pues cojo 100, cojo 20.
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Aquí pongo 80 porque me va a venir muy bien no sólo para este sino para otros problemas. Y aquí digo, pues aquí abajo pongo los datos, el número del que quiero sacar el porcentaje. ¿De qué número quiero sacar el porcentaje? Del 1000.
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Pues pongo en la barra azul, la que sería proporcional a 100, pongo 1000 y aquí me falta calcular este porcentaje y me falta calcular este porcentaje y ya está hecho.
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Bueno, pues mirad, ahora mismo, ¿qué es lo que tengo hecho? Bueno, pues lo que tengo hecho es todo este planteamiento que tengo aquí. Pues, ¿cómo resuelvo? Pues mira, de la misma manera que resolvíamos en el libro ejercicios de este estilo, por ejemplo, hemos resuelto ejercicios de este estilo en el libro, ¿verdad?
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Pues aquí tengo ejercicio exactamente igual. Aquí resuelvo esta ecuación y aquí resuelvo esta otra ecuación. Y ya he calculado el porcentaje que quería.
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Bueno, vamos a ir un paso un poquito más allá. Solo un poquito. Mirad, me están pidiendo que hay una chaqueta que vale 121 euros. 121. A ver. Y creedme que lo de las barras os va a servir para muchas cosas. Os va a servir para muchas cosas.
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Entonces, tengo una chaqueta. A ver si lo vais a poder ver. Ahí está. Una chaqueta. No, este es un problema que me he inventado yo. Tengo una chaqueta que cuesta 121 euros. Esto es un ejemplo para vosotros.
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Cópialo, yo creo que te vendrá bien.
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Y de hecho lo que quiero es que lo resolváis conmigo.
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Y me hacen un descuento, bueno, ¿qué vale?
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Un descuento del 13%.
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Y lo que te pregunto es, ¿cuánto pago por la chaqueta?
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¿Vale?
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¿Me seguís, chicos?
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Todos a la vez, no, por favor.
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Bueno, pues espero que me estéis siguiendo.
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Vale.
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Porcentaje, me han hecho un descuento del 13%. Vale, vámonos al mundo del 100. Sí, claro que sí. Vámonos al mundo del 100. Aquí tengo la orilla de mi río, ¿vale? Y estoy en 100. ¿Qué significa que estoy en 100?
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Pues que la chaqueta, en vez de valer 121 euros, vale 100. Y me hacen un descuento del 13%. Es decir, me quitan... ¿Cuánto dinero si vale 100? 13, ¿verdad? Muy bien. Vale. Me quitan 13.
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Entonces, ¿cuánto dinero pago? 87, fenomenal. Entonces, esto es el precio con descuento, ¿verdad? 100 es el precio sin descuento. No, este es un ejemplo. Y este es un descuento.
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Pablo, ¿esto qué tiene que ver con los porcentajes? Muchísimo. Porque he calculado el 13% de 100 y digo, mira, 13 es el descuento que me hacen y pago 87. ¿Hay alguien que no entienda este mecanismo?
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Aquí, en el mundo del 100. Estoy en el mundo del 100. ¿Cuánto es 100 menos 13? A ver, si me quitan 13 del precio, ¿cuánto pago? No, todavía no. Estoy en el mundo del 100. O sea, pensad que lo primero que me tengo que plantear es que me voy a un mundo en el que todo vale 100.
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Y digo, ¿qué pasaría si todo valiera 100? Bueno, pues que me hacen el 13% de descuento, 87. Y ahora me voy al mundo del 121, que es un mundo que es proporcional al del 100.
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Lo que aquí mide 100, ¿aquí cuánto mide? Pues 121. Lo que aquí cuesta 100, aquí cuesta 121. ¿Por qué? Porque son dos, digamos, realidades que son paralelas, ¿vale?
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Bueno, y ahora voy a hacer las cuentas, pero vamos, no veas cómo. Este será el 13% de 121, que es el descuento, ¿verdad?, de 121.
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El verde, ¿qué es? El precio con descuento fenomenal de 121. Y este es el precio sin descuento. Un segundito, Carlos, un segundito.
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Este planteamiento, ¿lo entendéis, chicos? El planteamiento. Carlos, por favor, dime. Aquí voy a poner un río. Sí, dime. Sí, porque me lo han dicho. Sí. Claro, porque no lo sé todavía. Ahora lo calculo.
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El 13% de 121, que es mi descuento. Aquí pongo 13% de 121. Y aquí te pongo, si quieres, el 87% de 121.
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A ver, sí. Dime x rojo o x verde. Sí. Claro, lo tengo que calcular. Lo tengo que calcular. Entonces, ahora recuerdo. Azul entre azul es igual a rojo entre rojo es igual a verde entre verde.
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¿Por qué? Porque forman una proporción. Recordad, este mundo es proporcional. ¿Alguno habéis visto o habéis leído la novela de Gulliver? ¿Los viajes de Gulliver?
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Bueno, pues, ¿qué ocurre? Pues que Gulliver llega a un momento en el que viaja a un sitio en el que él es el grande, ¿vale? Entonces, él es el gigante y los señores pequeñitos son proporcionales a él, pero son mucho más pequeños.
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O sea, los hemos dividido todos por el mismo número. Y cuando Gulliver se convierte en pequeñito, también es un mundo que es proporcional. ¿Por qué? Porque él es pequeñito y las personas son más grandes, pero también, pues no sé, 10 veces, 30 veces, todo es como 30 veces más grande. Pues con el tema de los porcentajes, imaginaos que es algo parecido. ¿Vale? Bueno, pues aquí tengo mi río que separa un mundo del otro.
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Vale, pues entonces, aquí pongo, fijaos, ¿dónde tengo las X? ¿Abajo o arriba? ¿Dónde tengo las X? ¿Abajo o arriba? Abajo, ¿no? Pues entonces, para hacerme la vida más fácil, si las X las tengo abajo, voy a dividir los de abajo entre los de arriba.
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Y voy. Azul, 121 entre 100. Rojo, X entre 13. Vale. Y el verde, X entre 87. Fenomenal. Bien. Y ahora ya tengo planteado mi problema. Ya lo tengo planteado.
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planteado. Y ahora me pregunto, ¿qué es lo que me está pidiendo mi ejercicio? ¿La X roja o la X
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verde? Me están preguntando cuánto pago por la chaqueta. Por tanto, me están pidiendo el precio
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con el descuento. Por tanto, oye, si a mí me piden sólo la X verde, a la X roja que le den morcillas.
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¿Veis por qué era importante? Me han dicho 13% y yo te pongo aquí el 87. Este es el típico ejercicio en el que saber esto me vale para mucho. Bueno, pues voy a despejar. Bueno, voy a calcular, vamos. Es igual a, y me voy al verde, x verde entre 87.
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El 87 que me está dividiendo la X me está fastidiando, pues multiplico por 87. 87 por 121 entre 100 es igual a mi X verde entre 87 por 87.
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¿Puedo tachar algo, chicas? ¿Puedo tachar algo? Bueno, hoy os veo un poco dormidos. El 87. ¿Entonces qué me ocurre? Pues que X, es decir, lo que yo voy a pagar es dividir por 100 y multiplicar por 87 mi 121.
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¿No? Pues hacemos la cuenta. ¿Cómo? Con una maravillosa calculadora, que son 105,27 euros.
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¿Dudas, preguntas, sugerencias? Digo, ¿a qué mola? Yo creo que así es mucho más sencillo hacer un montón de problemas.
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¿Vale? Bueno, vamos a hacer...
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Sí, correcto.
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¿El rojo me interesa o no me interesa?
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A ver, lo que pago por la chaqueta, ¿qué es?
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Es el verde.
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¿Qué? A mí, si no me piden el rojo, ¿para qué voy a hacer dos ecuaciones?
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El rojo es el descuento.
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¿Vale?
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Bueno, pues vamos a darle la vuelta un poquito al ejercicio.
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Porque ya con esto, ya salís campeones. Mirad, me compro una chaqueta, no, ¿qué me puedo comprar? Pues una toalla. No, una toalla no. Venga, algo. Un abaco, un lápiz. Venga, ¿qué os apetece compraros ahora?
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Una calculadora de chocolate. Una calculadora de chocolate. Venga, ya sé que no existe, pero nos lo hemos inventado. Una calculadora de chocolate.
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Me compro una calculadora de chocolate y me descuentan 7 euros de su precio, que son 47 euros, ¿vale?
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Es decir, mi calculadora costaba 47 euros, me han hecho un descuento de 7 euros, ¿vale? Y por tanto, ¿cuánto he pagado? 40. Voy a ponerlo aquí entre paréntesis, ¿vale?
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He pagado, le he puesto en azul, bueno, no importa. He pagado 40 pavos. Voy a subir la hoja, ¿no? Un poquito. Bien, he pagado 40 euros y entonces me preguntan, ¿qué descuento me han hecho en tanto por ciento?
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Es decir, ¿qué porcentaje me han descontado de la calculadora? Vale. Bueno, pues este es el mismo problema, pero al revés. Fijaos, aquí me han dicho, ¿cuánto pago por la chaqueta? Pues, ¿cuánto pago? Aquí lo sé. Lo que no sé es el porcentaje del descuento.
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Como siempre, me voy al mundo del 100. Me voy al mundo del 100. Aquí tengo mi río. Entonces, mundo del 100. Si una calculadora vale 100, me hacen un descuento, que es el rojo, y pago el verde, ¿verdad?
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¿Qué descuento me han hecho? ¿El porcentaje? ¿Lo sabemos o no lo sabemos? No, no, no te digo, digo si lo sabes o no lo sabes. No digo cómo calcularlo. ¿Lo sabes o no lo sabes? No lo sabes, ¿no?
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¿No? X roja. Vale. ¿Esto cuánto vale esta barra? ¿Lo sabemos? Pues tampoco lo sabemos, ¿no? Bueno, vale 100 menos X o X verde. Y fijaos, ahora me voy al mundo de qué.
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Bien, ¿el precio de la calculadora cuánto es? Me voy al mundo del 47. Este es el mundo del 100 y este es el mundo del 47. ¿Y qué me están diciendo? Que me hacen un descuento ¿de cuánto? De 7 euros.
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Y por tanto, ¿cuánto he pagado? Venga, repetimos por si es necesario. Este es mi descuento sobre 47, ¿no? Esto es el precio con descuento sobre 47.
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Y este es el precio sin descuento, ¿no? Fijaos que esto está chupado. A ver, os recuerdo. El azul entre el azul es igual que el rojo entre el rojo y es igual al verde entre el verde.
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¿Vale? Hasta ahí todos de acuerdo. ¿Por qué? Porque son proporcionales. ¿Vale? Bueno, pues entonces, ¿dónde tengo la x? ¿Arriba o abajo? Arriba. Pues entonces, como la x la tengo arriba, para que me quede más cómoda la ecuación, pongo arriba entre abajo de este.
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Sí, claro. ¿Por qué son proporcionales? Porque un porcentaje es algo que es proporcional. Es la definición de porcentaje. Si yo tengo 100, por ejemplo, aquí en el descuento, dicen, si mi chaqueta vale 100, me hacen un descuento del 13%, ¿vale?
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Si mi chaqueta vale el doble, ¿qué descuento me hacen? El doble. El doble, ¿no? Vale. Si mi chaqueta vale la mitad, ¿qué descuento me hacen? La mitad. Por tanto, son proporcionales. Y como son proporcionales, puedo aplicar esto.
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¿No? Cien y cuarenta y siete tienen, son una razón, ¿verdad? Son una razón. Y esta es otra razón, ¿no? Pues esta razón y esta razón forman una proporción.
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Sí. Lo de arriba y abajo. Mira, voy a rellenar. Sí. Aquí. Sí. Vale. ¿Qué porcentaje de descuento te han hecho? ¿No porcentaje? No lo sé. Por tanto, X. ¿Cuánto has pagado? No lo sabes. Pues X también. Dime.
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Claro, lo que quiero hacer es decir, ah, pues me han hecho un descuento del 7%. Sígueme y a ver si al final del todo he sido capaz de resolver tu duda, ¿vale? Bueno, pues entonces voy a hacer arriba entre abajo, es decir, 100 entre 47, ¿a qué es igual? A la X roja entre 7 y es igual a la X entre 40.
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Vale. Pregunta. ¿Qué es lo que me están pidiendo? ¿Cuál es la pregunta? El descuento, ¿no? Descuento. ¿El descuento qué es? ¿Rojo o verde? Descuento. Amarillo. Muy bien.
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Pues entonces tengo que calcular esto. Pues entonces calculo la x roja, 100 entre 47 es igual a x entre 7.
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Resuelvo. Multiplico por 7 en los dos lados de la ecuación. 7 por 100 entre 47 es igual a x entre 7 por 7. ¿Puedo tachar algo? El 7. Eso es.
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Entonces, ¿qué me queda? Que x es igual a 100 entre 47 por 7. Es que va a salir un número muy raro. Para eso tenemos nuestra maravillosa calculadora.
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Un 6 con algo va a salir, ¿no? 100 entre 47 por 7. Ah, pues no, un 14,89. Eso es, 89 por ciento. Eso es. Dime, ¿esto? Un río. De la calculadora. ¿De mi calculadora? No te estoy siguiendo, Lucía.
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¿Alguien ha hecho algo?
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Repíteme, por favor
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¿Esta calculadora?
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¿Qué le pasa a la calculadora?
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¡Ah! Un doble cero
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Aquí puedes escribir 100
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Puedes añadir dos ceros
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Es que sois súper curiosos
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Os encanta
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Bueno, pues ya está
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Resuelto el ejercicio
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De nada
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Yo con el que necesito
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Con el que necesito
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Sí
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¿Al descuento sobre 100? Repito, si esto me costara 100, me habrían hecho un descuento de X y habría pagado X verde. Este es el mismo planteamiento que arriba.
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Lo que pasa es que aquí no conozco ni este número ni este número. ¿Vale? Porque no conozco los porcentajes. ¿Y qué es lo que conozco?
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Pues conozco lo que ha pasado en el mundo del 47. En el mundo del 47 me han dicho que el descuento es de 7 euros y por tanto has pagado 40. A ver, ¿cómo resolvería la siguiente pregunta? Y con esto ya nos vamos. ¿Qué porcentaje he pagado? Porcentaje del precio he pagado.
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Tengo dos opciones. Carlos, dime. Sigue, continúa, por favor. Menos 100 menos 14,89. Perfecto. Vamos a hacerlo. 100 menos 14,89 son 85,11. He pagado 100 menos 14,89 que son 85,11%.
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¿Vale? Pero hay otra manera de hacerlo. ¿Cuál de las X es el porcentaje que he pagado? ¿Lo que he pagado qué color tiene? A ver, el descuento es el rojo.
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Y lo que he pagado, el verde. Pues calculo mi X. Carlos, va a salir lo mismo, ya lo verás. Esto a veces cuesta verlo, pero no pasa nada.
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¿Y ahora qué busco? Pues busco mi x verde. Esto es para contestarle a Jimena que, oye, calculo lo que necesito. Lo que no necesito, bueno, lo puedo calcular si tengo ganas de hacer cuentas, pero no tengo por qué.
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X entre 40 es igual al que conozco a 100 entre 47. ¿Qué hago para resolver esta ecuación? Multiplico por 40 en los dos lados de la ecuación. Es igual a 100 entre 47 por 40.
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Claro que sí. Y tacho. ¿Qué puedo tachar? Pues aquí tengo un 40 y un 40. ¿Qué me queda? Que x es igual a qué? x es igual a 100 entre 47 por 40.
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¿Cuál te va a salir? ¿85,11%? Pues te sale por el estilo. Bueno, por el estilo no, te sale lo mismo.
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100 entre 47 por 40, que es 85,11%. Pues esto es lo que he pagado, el 85,11%.
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Chicos, cosa más real que los porcentajes no hay en la vida.
00:37:01
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- 7 de mayo de 2020 - 2:15
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- Centro:
- IES CONDE DE ORGAZ
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