Saltar navegación

Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.

Tema 2.- Números Racionales. 1ª Sesión. Fracción Generatriz--- 15-10-24 - Contenido educativo

Ajuste de pantalla

El ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:

Subido el 17 de octubre de 2024 por Angel Luis S.

35 visualizaciones

Más información Transcripción

Descargar la transcripción

Buenas tardes, estamos en la clase de matemáticas del día 15 de octubre. 00:00:01
Hoy vamos a empezar el tema de números racionales 00:00:06
y volveremos a hacer como en el anterior de números enteros, 00:00:08
pues repasar sus operaciones, sus propiedades, sus reglas. 00:00:12
Se volverán a repetir muchas cosas, como las propiedades de las potencias, 00:00:18
las operaciones combinadas, pero algo que aparecerá nuevo es que 00:00:21
a partir de ahora solo operaremos con fracciones, 00:00:26
Entonces, cuando haya números decimales, tendremos que pasarlos a fracción para poder trabajar con ellos. 00:00:29
Y es algo que vamos a aprender esta tarde. 00:00:37
Cómo se busca la fracción generatriz, o sea, la fracción que genera y equivale a un número decimal que reúna ciertas características. 00:00:40
Empecemos recordando quiénes son los números decimales, o digo, los números racionales, perdón. 00:00:50
Y los números racionales dijimos ya en el tema anterior que eran todos aquellos que se pudiesen escribir en forma de fracción, cuando estuvimos viendo el repasito de los tipos de números que tenían. 00:00:56
La fracción es una razón entre dos números, por eso se le llama racionales, porque estamos haciendo la razón, la relación que hay entre numerador y denominador. 00:01:08
Numerador y denominador que corresponderán a una división que si la realizamos nos produce un número decimal o un número entero. 00:01:22
En todos estos casos tenemos una fracción que les representa 00:01:30
tanto a los números enteros como a sus decimales 00:01:37
que aquí nos dice que son los decimales que sean exactos 00:01:39
o sea, que tengan un número finito de decimales 00:01:45
que se terminen en un momento dado 00:01:47
y los decimales periódicos 00:01:49
que es que tienen infinitos decimales 00:01:51
pero en algún momento esos decimales comienzan a repetirse 00:01:54
Entonces, el conjunto de nuestros números racionales que se representa con una letra Q serían los números enteros, que si os acordáis serán los naturales más los negativos, y a los cuales les añadimos estos números decimales exactos como este, porque solo tiene una cifra decimal, o periódico como este, porque va a tener infinitas cifras decimales, pero se están repitiendo. 00:01:58
El gorrito este que vemos aquí encima me dice que ese 3 se repite infinitamente. 00:02:24
Cuando ocurre esto, que se repite el número nada más de pasar la coma, se dice que es un número periódico 1. 00:02:32
Cuando ocurre esto otro, que se repite un número pero después de haber pasado la coma hay citas que no se repiten, 00:02:41
Vamos a decir que es un número periódico mixto. Ahora un poquito más adelante los escribiremos cuando veamos las fracciones ideátricas. 00:02:49
Ahora vamos a recordar qué era una fracción. Una fracción, hemos dicho que es una razón entre dos números. 00:02:57
Numerador, el de arriba, denominador, el de abajo. El denominador no puede ser nunca un cero, porque no sabemos dividir por cero. 00:03:06
¿Vale? ¿Qué me expresa esa fracción? 00:03:15
Pues yo esa fracción la puedo pensar como una división 00:03:19
Entonces cuando me hablan de la fracción 1 medio 00:03:22
Si divido 1 entre 2 es lo mismo que decir 0,5 00:03:25
Cuando me hablan de la fracción 5 tercios 00:03:29
Si hago la división en mi calculadora va a dar 1,6666 00:03:33
En un momento dado mi calculadora me pondrá un 7 al final de la pantalla 00:03:36
Pero porque me está redondeando los últimos decimales 00:03:40
al final del tema también veremos 00:03:44
cómo se hacen esas aproximaciones 00:03:47
por redondeo y por truncamiento 00:03:48
qué errores se cometen 00:03:51
cómo se controlan esos errores 00:03:53
¿vale? 00:03:55
y otra forma de interpretar 00:03:57
una fracción es como parte de una unidad 00:03:59
cuando yo tengo esa fracción 00:04:01
de un medio, la puedo pensar como 00:04:03
la mitad de algo 00:04:05
cuando tengo la fracción de antes de los 5 tercios 00:04:06
la puedo pensar como 5 00:04:09
terceras partes de algo 00:04:11
¿Cómo voy a hacer cinco terceras partes? 00:04:12
Pues en este caso lo que ocurre es que decimos que esta fracción es una fracción de tipo impropio 00:04:16
Porque el numerador es más grande que el denominador 00:04:24
Y entonces va a equivaler a un número más grande que uno 00:04:27
Cuando el numerador es más pequeño que el denominador 00:04:30
Se dice que es una fracción propia 00:04:34
Y el resultado de su división va a ser un número más pequeño que uno 00:04:36
Eso nos lo hemos puesto porque no hace falta que os sepáis los nombrecitos, pero sí ver que tenemos estos dos tipos de fracciones distintas y que las dos se pueden pensar como representación de partes de una unidad. 00:04:41
aquí estaríamos hablando de media pisa 00:04:55
y aquí estoy hablando 00:04:59
al decir 5 tercios de pisa 00:05:00
sería que tengo una pisa entera 00:05:03
que sería 3 tercios 00:05:06
más 2 tercios de una segunda pisa 00:05:07
o sea que en total tengo 5 tercios de pisa 00:05:09
¿vale? 00:05:12
lo veremos un poquito más adelante también esto 00:05:13
entonces 00:05:16
ahora vamos a lo que decíamos 00:05:17
decimos que 00:05:19
una fracción es generatriz de un número decimal 00:05:20
cuando vale exactamente lo mismo que ese número, o sea, equivale a él. 00:05:25
Si hago la división que está implícita dentro de la fracción, me sale el número decimal correspondiente. 00:05:30
Nosotros queremos verlo al revés, queremos ver cómo encontrar la fracción generatriz sabiendo el número decimal. 00:05:40
Y entonces vamos a tener varios casos. 00:05:49
Los vemos aquí en la teoría y luego os haré un esquemita a parte, a mano, para que me vayáis preguntando las dudas. 00:05:52
Primero, tengo los números decimales exactos, que son aquellos que tenían una cifra finita de decimales, o sea, se acaban en algún momento. 00:06:04
¿Cómo voy a encontrar la fracción generatriz que les genera? 00:06:13
Pues en el numerador de esa fracción generatriz lo que haremos será poner el número decimal pero quitándole la coma, o sea, el número entero. 00:06:17
Aquí como era un 0.75, el cero a la izquierda no tiene ningún valor, pues pongo solo el 75. 00:06:25
Y como denominador voy a poner un 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales tuviese el número original. 00:06:31
Entonces, este 0.75 equivale a hacer la división de 75 entre 100 00:06:39
Entonces, si pienso esa división como una fracción 00:06:46
Pues la fracción que genera 0.75 es 75 partido de 100 00:06:50
Ahora, esta no sería la fracción generatriz 00:06:57
Las fracciones generatrices tienen que ser irreducibles 00:07:01
Tienen que estar simplificadas al máximo 00:07:05
Y esta se podría simplificar 00:07:07
¿vale? porque vamos a ver un poquito más adelante 00:07:09
que yo digo que una fracción se puede simplificar si su numerador y su denominador 00:07:13
tienen divisores comunes y en este caso 00:07:18
el 75 y el 100 los podríamos dividir entre 5 00:07:22
como mínimo, veremos que va a ser más aún 00:07:26
que lo puedo dividir entre 25, ahora lo que quiero es que os quedéis 00:07:30
un poco con la idea de lo que estoy haciendo en cada caso 00:07:34
y luego haremos operaciones entre todos, ¿vale? 00:07:38
El 1,8, pues la misma historia. 00:07:41
Hemos dicho que en el numerador pongo el número entero sin la coma, 00:07:44
que sería el 18, y ahora en el denominador un 1. 00:07:48
Con tantos ceros como cifras decimales tenía el número original. 00:07:51
Como tenía solo una cifra decimal, el 8, pues solo con un 0. 00:07:55
O sea, que el 1,8 es lo mismo que hacer 18 entre 10. 00:07:59
La misma que anteriormente. 00:08:03
esta fracción no es la generatriz 00:08:05
puesto que es 00:08:08
una fracción que se puede simplificar 00:08:09
podríamos dividir entre 2 00:08:11
al numerador y al denominador 00:08:14
y el 9 quintos que me quedaría 00:08:15
al hacer esa división 00:08:18
si sería la fracción generativa 00:08:19
pero bueno, como os decía 00:08:21
un poquito más adelante, ahora lo que quiero es que quedéis 00:08:23
un poco con la idea en este resumen 00:08:25
antes de que hagamos ejercicios 00:08:27
y el esquema ese que os estaba diciendo 00:08:28
ahora 00:08:30
tengo otros tipos de números decimales 00:08:32
que son los números periódicos, esos que hemos dicho que tienen infinitos decimales 00:08:35
y que se van a repetir en algún momento. 00:08:40
Estos números periódicos, a su vez, se subdividen en dos tipos. 00:08:45
Los periódicos puros, que son aquellos que la repetición de las cifras empieza nada más de pasar la coma. 00:08:50
O sea, este 0,75 con este gorrito querría decir 0,75757575, o sea, que se están repitiendo todo el rato esas dos cifras, ¿vale? 00:08:57
Para no escribirlas tantas veces, pues las ponemos con un gorrito encima y ese gorrito me indica que se están repitiendo. 00:09:13
En este caso se está repitiendo todo el rato el 8, sería 1,88888. En este caso se repetiría el 23, o sea que el número sería 71,23232323, ¿vale? Y lo dejo como un único bloque. 00:09:20
¿Cómo busco la fracción generativa de estos números periódicos puros? Pues volvemos a algo parecido a lo de antes. 00:09:36
En el numerador voy a poner el número entero sin la coma. 00:09:44
O sea que en este caso, como el 0 de la izquierda no vale para nada, pues el número entero sin la coma es el 75. 00:09:48
Pero le quiero restar la parte que no se está repitiendo, que es el 0. 00:09:55
Que al estar a la izquierda de la coma se le llama parte entera. 00:10:01
Entonces tengo que el numerador es 75 menos 0. 00:10:05
Y en el denominador lo que voy a hacer es poner tantos nueves como cifras haya en este bloque de repeticiones al que se le llama periodo. 00:10:09
Como hay dos cifras, el 7 y el 5, pongo dos nueves. 00:10:22
O sea, tantos nueves como cifras haya debajo del gorrito para quedarnos mejor con ello. 00:10:28
¿Vale? 00:10:34
Haríamos lo mismo. 00:10:36
hago esas operaciones de la resta 00:10:37
y el resultado que me queda 00:10:39
tengo que ver si se puede o no simplificar 00:10:42
en este caso 00:10:44
75 se podría dividir entre 3 00:10:46
y 99 también se puede dividir entre 3 00:10:49
75 novenos no es la fracción general que yo buscaba 00:10:52
sería la simplificada 00:10:56
de este 75 partido 99 00:10:59
que sería 25 partido de 33 00:11:02
¿Vale? Como os digo, luego en el esquema lo vamos a volver a repetir 00:11:06
Y vamos a ver todos los pasos para que me digáis pasito a pasito si lo vais viendo 00:11:11
Ahora solo es el resumen este que os había puesto 00:11:16
Que veáis que va a ser lo mismo que luego escribamos 00:11:18
Otro tipo de número decimal periódico son los periódicos mixtos 00:11:21
¿En qué se diferencian de los anteriores? 00:11:27
En que en la parte decimal hay unas cifras que se repiten 00:11:31
que se vuelven a llamar periodo 00:11:35
y otras que no se repiten 00:11:38
que se llaman anteperiodo 00:11:40
como esos nombres son un poco feos 00:11:43
nosotros nos vamos a quedar con la historia 00:11:44
de que se repiten y que no se repiten 00:11:48
¿vale? 00:11:51
entonces, ¿cómo hago su fracción genéatrica? 00:11:53
pues el numerador es la misma historia que hemos hecho en los periódicos puros 00:11:56
pongo el número entero sin la coma 00:12:00
Como el 0 a la izquierda no valía nada, pues pongo un 75. 00:12:03
Y resto lo que no se repite. 00:12:07
Y lo que no se repite es el 0 y el 7. 00:12:09
Como el 0 no vale nada, pues lo que resto es el 7. 00:12:12
O sea que en este caso estaría restando la parte entera y el anteperiodo. 00:12:14
Como nos dice aquí, parte entera y anteperiodo. 00:12:20
Y en el denominador lo que voy a hacer es dividir por tantos nueves como cifras haya debajo del gorrito, como cifras tenga el periodo, en este caso como solo hay una cifra, 5, solo pongo un 9, seguidos de tantos ceros como cifras haya entre la coma y el periodo. 00:12:23
O sea, como cifras haya en el anteperiodo, como solo hay una cifra, pues solo pongo un cero, ¿vale? 00:12:44
Entonces, en los periódicos puros son solo nueves los que hay en el denominador, en los periódicos mixtos van a ser nueves y ceros, ¿de acuerdo? 00:12:53
¿Qué me contáis hasta aquí? Un poco de lío, ¿no? 00:13:07
Mucho, mucho lío. 00:13:12
Mucho lío. Bueno, vamos a ver cómo se simplifica una fracción y luego vamos a hacer el resumen ese que os digo de los tres casos poniendo ejemplos en el que me vais a ir ayudando vosotras para que veáis que no es tanto lío si nosotros nos lo llevamos a nuestras palabras en vez de a estas tan raras que nos están poniendo aquí, ¿vale? 00:13:15
¿Vale? Entonces, recordamos primero que una fracción irreducible y que era simplificar fracciones. 00:13:33
Pues, simplificar una fracción es encontrar otra que valga lo mismo que ella, pero que esté representada con números más pequeños. 00:13:41
¿Vale? La forma de simplificar fracciones es buscar números que dividan al numerador y al denominador a la vez. 00:13:52
y entonces en ese caso voy haciendo esas divisiones 00:14:00
y me van quedando números más pequeños 00:14:06
pero que si hago la división de la fracción sigue dando el mismo resultado 00:14:09
tengo este 120 partido de 36 00:14:13
como 120 es un número par 00:14:17
y 36 es también un número par, a los dos les puedo 00:14:21
dividir entre 2, si divido 120 entre 2 me da 60 00:14:25
si divido 36 entre 2 me da 18 00:14:29
pues el 120 treinta y seis agos 00:14:32
y el 60 dieciocho agos 00:14:36
en realidad son el mismo número 00:14:38
si hiciésemos la división 00:14:40
me darían el mismo número decimal exacto 00:14:42
digo, ¿puedo seguir simplificando ese 60 y ese 18? 00:14:45
pues como los dos son pares 00:14:51
podría volver a hacer el mismo proceso que antes 00:14:52
dividirles a los dos entre 2 00:14:56
60 entre 2 me da 30 00:14:58
18 entre 2 me da 9 00:15:01
pues 30 novenos vale lo mismo que 60 dieciochoavos 00:15:03
y por supuesto igual que 120 treinta y seisavos 00:15:08
esta cadena de igualdades 00:15:13
me está diciendo que estas fracciones que me están saliendo 00:15:16
son lo que se llaman fracciones equivalentes 00:15:19
que es que tienen el mismo valor 00:15:22
aunque estén escritas con distintos números 00:15:26
digo voy a ver si todavía puedo seguir simplificando más 00:15:28
ya no puedo seguir dividiendo entre 2 00:15:32
porque el 30 es par pero el 9 no lo es 00:15:35
pues busco el siguiente número primo 00:15:37
que es el 3 00:15:39
y con los criterios de divisibilidad 00:15:40
que vimos en el tema anterior 00:15:43
pues pienso a ver si el 30 y el 9 00:15:45
se pueden dividir entre 3 00:15:47
aquí lo vemos a ojo 00:15:48
porque está el 30 y el 9 en la tabla del 3 00:15:51
30 entre 3 a 10 00:15:54
9 entre 3 es 3. Luego el 10 tercios este vale lo mismo que el 30 novenos, lo mismo que el 60 dieciochoavos, lo mismo que el 120 treinta y seisavos. 00:15:55
Pero a nosotros la hora de esperar nos va a ser mucho más cómodo porque está escrito con números muy pequeñitos. 00:16:07
Si intento seguir dividiendo para simplificar ya no puedo, porque ahora el único número que dividiría al 3 es el mismo. 00:16:13
pero el 3 no divide al 10 00:16:20
entonces ya no tengo un número común 00:16:23
que me divida el numerador y el denominador 00:16:25
¿qué ocurre cuando pasa esto? 00:16:27
que decimos que esta última fracción que nos ha salido es irreducible 00:16:30
decíamos en el enunciado primero 00:16:35
que una fracción es irreducible 00:16:39
cuando el numerador y el denominador 00:16:42
no tienen ningún divisor en común 00:16:44
que eso era lo mismo que decir que eran números primos entre sí 00:16:46
o números oprimos, por si los veis en algún sitio esa palabra. 00:16:50
¿Vale? Entonces, lo que hemos ido haciendo aquí 00:16:55
para simplificar estas fracciones ha sido utilizar los criterios de divisibilidad. 00:16:58
Podríamos hacerlo de otra manera, usando otra herramienta que ya conocemos, 00:17:06
que es el máximo común divisor. 00:17:10
Si calculo el máximo común divisor de 120 y el máximo común divisor de 36 00:17:14
Si os acordáis de la definición de máximo común divisor 00:17:20
Era el mayor de los divisores comunes a los dos números 00:17:25
Pues si yo divido a esos dos números entre el mayor de sus divisores comunes 00:17:30
¿Qué ocurrirá? 00:17:36
Que de un golpe salto a la fracción irreducible 00:17:37
Si os fijáis, el máximo común divisor que me ha quedado aquí ha sido 12, que si lo pienso en sus factorizaciones, 2 al cuadrado por 3, que es justo los dos doces, y el 3 que había usado en el método anterior de impasito a pasito. 00:17:41
Bueno, pues otro método más de simplificar, el máximo común divisor. 00:18:01
Y por último, vamos a ver otro método, que es utilizando las propiedades de las potencias. 00:18:06
Dice, si factorizo el numerador y el denominador y elimino los factores comunes, esto es, me cargo un 2 que está multiplicando con uno que está dividiendo, otro 2 que está multiplicando con otro que está dividiendo, un 3 que está multiplicando con uno que está dividiendo. 00:18:13
¿Qué me queda? Un 2 y un 5, sin simplificar, y el 3. 00:18:28
Si lo multiplico, llego al 10 tercios, como he llegado en los casos anteriores. 00:18:33
¿Qué estoy haciendo en realidad aquí? 00:18:37
Pues estoy utilizando las propiedades de las potencias que me hacían. 00:18:39
Si yo tengo dos potencias que tienen la misma base, como sería este caso, 00:18:42
2 al cubo en el numerador y 2 al cuadrado en el denominador, 00:18:48
las puedo dividir restando sus exponentes. 00:18:52
O sea, al 3 del cubo del numerador le resto el 2 del denominador y me queda un 2 a 1, que el 1, acordaos, que no hacía falta ponerle. Al 3 a la 1 del numerador le resto con el 3 al cuadrado del denominador y me ha quedado un 3 en el numerador. 00:18:55
lo que se hace en estos casos, que lo veremos cuando veamos las propiedades de las potencias 00:19:12
es que al exponente más grande le resto el más pequeño 00:19:17
y lo que me esté sobrando, como en este caso este 3 00:19:20
lo pongo en la parte que más había 00:19:24
o sea, yo lo que he hecho ha sido quitar un 3 de arriba con un 3 de abajo 00:19:28
pues el que me sobra tiene que seguir quedando abajo 00:19:31
quité dos 2s de arriba con dos 2s de abajo 00:19:33
pues el 2 que me sobra estará arriba, ¿vale? 00:19:36
Bueno, pues hemos visto cómo se simplifica y hemos visto por encima esas fracciones generatrices. Vamos a ir haciéndolo entre todos a ver si nos ha quedado claro cómo se hace. Vamos a empezar primero simplificando fracciones, que lo vamos a hacer de los tres métodos y luego voy a deciros cómo me gusta a mí, me parece que lo hacéis más rápido, si equivocáis menos, de los tres métodos, ¿vale? 00:19:39
Bueno, pues me dicen, por ejemplo, a ver, tengo esta fracción, 230 dividido entre 20. 00:20:08
¿Cómo se os ocurre que podríamos simplificar esta fracción? 00:20:25
A ver, ahora abrid micrófonos y vamos a hacerlo entre todos para ver que vosotras mismas vais a ver cuál es la forma que os resulta más sencilla. 00:20:32
¿de qué forma puedo simplificar 00:20:42
yo esta fracción? ¿qué número veríais 00:20:45
que divide al 230 y al 20 00:20:49
no me contáis ninguna 00:20:51
de las tres 00:20:57
las dos acaban en cero 00:20:58
¿no? entonces puedo 00:21:03
dividir entre dos 00:21:05
en los dos sitios 00:21:07
¿os parece correcto? 00:21:08
si, si divido arriba entre dos 00:21:10
me va a quedar 00:21:13
115 00:21:14
y si divido abajo 00:21:16
entre 2 me queda un 10. ¿Habría algún otro número que divida a ese 115 y a ese 10? ¿Algún 00:21:19
otro número primo? El 2 ya no me vale porque el 5 es impar y el 10 es par. Paso al siguiente 00:21:29
número primo. ¿Podría dividir entre 3? Pues si me acuerdo del criterio de divisibilidad 00:21:37
del 3, que era sumar las cifras 00:21:44
5 más 1 a 6 00:21:46
y más 1 a 7, no es 00:21:48
múltiplo del 3, o sea que no me va a valer 00:21:50
paso al siguiente número primo 00:21:52
que sería el 5, ¿cómo sabíamos 00:21:54
si un número se podía dividir entre 5? 00:21:56
pues mirando su última cifra 00:21:59
si acababa en 0 o en 5 00:22:00
se podía dividir entre 5 00:22:02
entonces ya tenemos un número 00:22:04
que divide a los dos, que es 00:22:06
el 5, pues 00:22:08
divido al numerador y al denominador 00:22:10
entre 5 00:22:12
¿qué me va a quedar arriba? 00:22:13
pues un 23 00:22:16
y abajo me va a quedar 00:22:17
un 2 00:22:19
¿podría seguir simplificando? 00:22:20
ya he agotado todos los números 00:22:24
todos esos divisores comunes 00:22:25
¿qué creéis? 00:22:27
yo creo que ya no 00:22:29
ya no, porque divisor del 2 00:22:30
solo es el 1 y el 2 00:22:32
como el 2 no divide al 23 00:22:34
porque es impar 00:22:37
pues no puedo seguir simplificando 00:22:38
Pues esta sería mi fracción irreducible 00:22:41
Esta ya es 00:22:44
Irreducible 00:22:46
Perdonad que escriba tan mal 00:22:50
Pero es que no termino de controlar la tablet esta 00:22:54
Y mira que he practicado como los niños en casa 00:22:56
Parece que estoy con los cuadernos rubios 00:22:58
Y mi pario, le cojo el punto a la tablet 00:23:00
Estaba acostumbrado a trabajar con otro cacharrillo 00:23:02
Y esta no la cojo el punto ni por nada 00:23:05
No sé si es que me tiene manía 00:23:07
Bueno, fijaos 00:23:08
que lo hemos ido haciendo pasito a pasito 00:23:11
¿cómo lo podríamos haber hecho más deprisa? 00:23:15
la otra opción era factorizar los números 00:23:19
lo de la rayita 00:23:22
y íbamos siempre buscando los números primos más pequeños 00:23:24
que eran divisores de cada uno de los números 00:23:30
consejo aquí 00:23:33
ir mirando primero el más pequeño de los dos 00:23:34
porque como lo que estoy buscando es factores comunes 00:23:39
el que no me valga en el pequeño 00:23:42
ya no me hace falta probarle en el grande 00:23:45
porque no voy a hacer nada con él 00:23:47
entonces digo, el 2 00:23:49
divide al 20, sí 00:23:50
y me daría 10 00:23:53
¿puedo seguir dividiendo entre 2? 00:23:55
sí 00:23:59
me daría 5 00:23:59
entre 5 a 1 00:24:01
entonces me ha quedado que el 20 es 00:24:04
2 al cuadrado 00:24:06
por 5 00:24:08
Voy al 230 y pruebo con esos factores. Entre 2 me va a dar 115. No puedo dividir entre 2, paso al siguiente número primo, el 3. No puedo porque la suma de las cifras no es un número 3. Paso al 5 y cuando hago la división entre 5 me queda 2, 2 y 3. 00:24:10
el 23 es un número primo, pues he terminado. 00:24:39
Me ha quedado 2 por 5 y por 23. 00:24:44
Entonces, si hiciésemos la regla del máximo común divisor, 00:24:49
el máximo común divisor de este 230 y este 20, ¿quién va a ser? 00:24:56
¿Qué factores habría que coger para hacer el máximo común divisor de dos números? 00:25:03
Pues teníamos que coger los repetidos con los exponentes más pequeños, ¿vale? 00:25:09
¿Quién se está repitiendo? 00:25:15
Se está repitiendo el 2 en los dos sitios y se está repitiendo el 5. 00:25:17
¿Cuál de los dos 2 tiene el exponente más pequeño? 00:25:22
El 2 normal, 5 al grado. 00:25:26
Este 2 normal. 00:25:28
¿Y cuál de los dos 5 tiene el exponente más pequeño? 00:25:30
Pues me da igual, los dos tienen el mismo exponente. 00:25:32
¿Cuál va a ser mi máximo común divisor? 00:25:35
El 10. 00:25:38
A ver si consigo. El 2 por 5 que es igual al 10. Pues fijaos, si yo a ese 230 y a ese 20 los hubiese dividido entre 10 desde el principio, ¿qué habría ocurrido? 00:25:39
que me queda el 23 00:26:00
y el 2 que quería desde el principio 00:26:02
¿vale? 00:26:06
entonces, hemos hecho lo mismo 00:26:09
nada más que en uno pasito a paso y en otro 00:26:11
utilizando ese máximo común divisor 00:26:14
que conocíamos, vamos a ver la última forma 00:26:18
y la última forma os va a gustar un montón 00:26:21
porque es tachar, voy tachando ahí todo lo que se repite 00:26:24
y me quedo solo con lo que no he podido tachar. 00:26:27
Pues esa última forma, que era cargarme los factores comunes, 00:26:31
me llevaría a que este 230 y ese 20 que hemos puesto antes 00:26:37
tienen como factorizaciones 2 por 5 y por 23 00:26:46
3 y 2 al cuadrado por 5. 00:26:53
¿Vale? 00:26:59
Pues entonces, ¿qué hago? 00:27:00
Un 5 que está multiplicando y uno que está dividiendo, 00:27:02
5 entre 5 me va a dar 1. 00:27:06
Los 5 han desaparecido. 00:27:08
Ahora, división de potencias de la misma base. 00:27:11
Hemos dicho que cuando dividíamos potencias de la misma base, 00:27:14
dejábamos la misma base y restábamos los exponentes. 00:27:20
Claro, pero ¿dónde lo dejo? 00:27:22
Pues hemos quedado en que voy a dejarlo donde más hubiese. 00:27:25
O sea, que digo, exponente 2 menos exponente 1, que era el que había cuando no nos decían nada, 00:27:28
pues 2 menos 1, 1. 00:27:34
¿Y dónde me queda ese 2 a la 1? 00:27:36
En el denominador. 00:27:38
El 23 que no le he tocado, pues lo dejo como está. 00:27:41
Pues ya ha llegado a mi fracción genéatrica. 00:27:45
Y ahora, un remis de todo esto para que veáis cómo lo puedo hacer más rápido, ir haciéndolo sobre la marcha, equivocarme menos y no perder tiempo. 00:27:48
A ver si consigo yo ahora ver cómo se muestra eso. 00:28:03
Es que hay veces que funciona el lápiz, otras veces que hay que hacerlo con el ratón. 00:28:22
Es lo que me mosquea a mí de la tableta esta, que te vuelve loco. 00:28:33
cuando tiene puestas las dos cosas, pues fijaos, 00:28:37
podríamos haber ido sobre las factorizaciones haciendo esto, 00:28:40
que es lo que yo os aconsejo que hagáis, porque tardo menos y me equivoco menos. 00:28:44
Empiezo con el número más pequeño, como es. 00:28:49
Factor primero el 2. ¿Puedo dividir el grande también entre 2? 00:28:51
Sí. ¿Qué me queda en cada caso? Pues 115 y 10. 00:28:55
Pues ya he visto que se están repitiendo los doses, me los cargo. 00:29:02
¿Puedo seguir dividiendo entre 2? No, voy al siguiente número primo que sí que puedo dividir al 10, que es el 5, puesto que el 2 no me vale para el 105. Divido entre 5 y me queda 2. Divido aquí entre 5 y me queda 23. Se han repetido los 5, me los cargo. 00:29:07
¿Puedo seguir dividiendo? Pues el 2 solo le puedo dividir por 2 00:29:27
que no me vale para el 23, pues cuando ya veo que no me salen factores comunes 00:29:31
he terminado y me quedo con esos dos últimos 00:29:36
cocientes, con lo cual la fracción 00:29:40
que yo estaba buscando irreducible 00:29:44
de ese 230 partido de 20 es el 23 partido de 2 00:29:47
como hemos estado viendo todo el rato 00:29:52
¿vale? ¿habéis visto la historia? 00:29:54
si, así mejor 00:29:58
con esta última forma 00:29:59
que es un remis de las tres anteriores 00:30:02
tardo muchísimo menos 00:30:04
y me equivoco muchísimo menos 00:30:05
¿vale? ahora eso sí 00:30:07
esto recalca lo que os decía en el tema anterior 00:30:09
que cuando factoricéis números 00:30:12
no os saltéis el orden 00:30:13
de los factores, no empiezo 00:30:16
dividiendo por el primero que se me ocurre 00:30:17
sino que voy siempre en orden, empiezo 00:30:19
de números más pequeños o más grandes 00:30:21
porque si empiezo a descolocar factores 00:30:23
voy a empezar a simplificar 00:30:26
mal en este caso y me va a salir 00:30:27
lo que Dios quiera, me voy a perder yo 00:30:30
solito, si voy en orden 00:30:31
esto de ir tachando es 00:30:33
muy sencillo y encima 00:30:35
me equivoco muy poco 00:30:37
como voy encima con la picaresca 00:30:39
de ir utilizando los números 00:30:41
que he visto fácilmente 00:30:43
en el más pequeño 00:30:45
utilizarlos 00:30:48
también en el grande 00:30:50
las divisiones que tenga que hacer 00:30:51
aún sin calculadora 00:30:53
que no nos gusta dividir sin calculadora 00:30:55
me van a resultar sencillas 00:30:58
¿vale? 00:31:00
si lo intento hacer así a ojímetro 00:31:01
pues me voy a volver loco 00:31:03
¿de acuerdo? 00:31:04
vale, bien 00:31:07
¿seguimos? 00:31:08
sí, sí, sí 00:31:10
bueno, pues vamos a seguir 00:31:11
vamos a ver lo que os decía 00:31:13
las fracciones generativas, ¿vale? 00:31:17
Ahora que nos ha quedado más o menos como simplifico 00:31:31
para terminar luego siempre dejando como irreducible 00:31:40
la fracción que yo haya encontrado. 00:31:42
Entonces decíamos, el primer caso era decimales exactos. 00:31:44
Y hemos dicho que decimales exactos es cuando 00:31:49
tienen un número finito de decimales, ¿vale? 00:32:00
Veamos un ejemplo. 00:32:16
El 2,35, ¿vale? Pues dijimos que en el numerador poníamos el número entero sin la coma, ¿vale? 00:32:17
Y en el denominador, ¿qué hacíamos? Pues mover la coma hasta el final suponía que habíamos multiplicado por 100. 00:32:32
Cuando la coma se mueve hacia la derecha estoy multiplicando por potencias positivas de 10 00:32:42
¿Cómo compenso esas dos posiciones que he movido la coma? 00:32:47
Pues haciendo la operación contraria, dividir entre 100 00:32:52
Entonces, como multiplico y luego divido, me vuelvo a quedar en el mismo sitio que estaba al principio 00:32:56
Pero yo he conseguido representar mi número decimal como fracción 00:33:03
O sea, que es número entero sin la coma, dividido por un 1 con tantos ceros como cifras decimales, tenga el número original. 00:33:08
Ahora, ¿he terminado? No, porque este se puede simplificar. 00:33:20
Entonces, tenemos que simplificar. 00:33:23
¿Y cómo vamos a simplificar ese 235 y ese 100? 00:33:33
pues fijaos, la que hemos dicho antes 00:33:37
me voy a pensar 00:33:40
en esos divisores 00:33:42
comunes 00:33:44
y empiezo pensando 00:33:45
en los divisores del 100 00:33:47
que es el más pequeño de los dos 00:33:49
bien, le puedo dividir entre 2 00:33:51
y me quedaría un 50 00:33:54
¿puedo dividir el 235 00:33:56
entre 2? 00:33:58
no, porque es un número impar 00:33:59
pues no me ha valido, voy a ver 00:34:02
otro factor 00:34:04
¿puedo seguir dividiendo entre 2? 00:34:05
Y me sale 25. 00:34:07
El 235 sigo sin poderle dividir entre 2. 00:34:10
Voy a ver el siguiente divisor del 25, que es el 5. 00:34:13
Amigo, ¿y el 235? 00:34:18
¿Le podría dividir entre este 5 que me acaba de salir? 00:34:20
Sí. 00:34:23
Resulta que como acaba en 5, sí puedo. 00:34:24
Pues divido entre 5 y me queda 47. 00:34:27
¿Vale? 00:34:32
y ya veo que este 5 00:34:33
y este 5 me los puedo cargar 00:34:36
¿qué me queda del 100? 00:34:38
un 5 y los dos 2 que he quitado antes 00:34:42
y el 47 es un número primo, no lo voy a poder simplificar 00:34:44
pues resulta que ya he llegado a un fracino irreducible 00:34:47
no voy a poder tachar nada más 00:34:50
pues pongo que en el numerador me ha quedado el 47 00:34:52
ese último cociente 00:34:56
¿y qué me ha quedado en el denominador? 00:34:59
en el delineador me ha quedado 00:35:00
del 100 00:35:02
he dejado sin tachacobas 00:35:04
con un punterito 00:35:05
me ha quedado 00:35:08
ese 2 por 2 00:35:12
y por 5 00:35:15
o sea que es un 4 por 5 00:35:16
y arriba un 47 00:35:20
pues esta fracción 00:35:22
que es irreducible 00:35:25
es la que es la fracción genatriz 00:35:26
¿de acuerdo? 00:35:28
Perdón, Ángel Luis. 00:35:42
Dime. 00:35:43
El 47, ¿por qué lo has puesto en el numerador? 00:35:44
Porque era de la factorización del 235 y el 235 estaba en el número. 00:35:47
Estaba arriba. 00:35:51
Vale, ya lo viste. 00:35:52
Cada uno lo dejó en su posición, ¿vale? 00:35:53
Vale, vale, vale. 00:35:55
¿De acuerdo? 00:35:56
Yo solo utilizo las factorizaciones para ir viendo qué factores tengo en común y me puedo cargar. 00:35:56
Pero luego tengo que conservar cada uno en su posición, ¿vale? 00:36:00
Vale, vale. 00:36:06
Este a lo mejor habíais visto más rápido 00:36:06
Ver que había salido el 47 y el 20 00:36:08
Como vosotros lo veáis mejor 00:36:12
Esto al final es lo que os resulte más cómodo 00:36:14
Y os dé más seguridad a la hora de hacer las operaciones 00:36:19
Pero la idea de cómo se hace la operación genástica 00:36:21
Y de los requimales exactos 00:36:24
¿Nos ha quedado clara? 00:36:25
Sí, a mí sí 00:36:27
Bueno, pues vamos ahora a por los periódicos puros 00:36:27
Pues periódicos puros 00:36:31
Dijimos que eran los que tenían repetidas las cifras desde nada más de pasar la coma. 00:36:45
¿Aquí qué cifra es la que se está repitiendo? 00:36:58
El 3. 00:37:00
El 333, el 333, el 3003, pues el 3 solo. 00:37:01
Lo que hago es, si le veo escrito así con puntos suspensivos, lo que hago es buscar qué cifra se repite y ponerle el gorrito. 00:37:05
A esta parte se le llama parte entera y a esta parte se le llama periodo. 00:37:12
¿Vale? Por si lo veis en el esquema de antes o lo veis en algún libro. 00:37:18
Yo voy a llamaros parte repetida, parte bajo el gorrito y parte no repetida. 00:37:24
Que os vais a acordar mejor. 00:37:28
Entonces, la idea aquí era, pongo el número entero sin la coma, igual que antes, 00:37:29
pero el número entero cuando he puesto el gorrito, no este de aquí, ¿vale? Este. 00:37:35
y le tengo que restar lo que no se repite 00:37:39
y lo que no se está repitiendo es el 2 00:37:43
y ahora dividíamos por tantos 9 00:37:46
como cifras tuviese el periodo 00:37:50
como cifras hubiese debajo del gorrito 00:37:52
pues como cifras debajo del gorrito solo hay una 00:37:54
solo pongo un 9 00:37:57
hasta ahí solo hemos hecho 00:37:58
el criterio que hemos dicho antes, ¿no? 00:38:14
Hago la cuenta y me queda 00:38:17
arriba y 9 abajo. 00:38:19
¿Esta fracción sería 00:38:23
la fracción generatriz? Pues no. 00:38:24
Porque se puede simplificar. 00:38:27
Y hemos dicho que la fracción generatriz 00:38:29
tiene que ser siempre irreducible. 00:38:30
¿Qué número se os ocurre 00:38:33
que divida al 21 y al 9 a la vez? 00:38:34
El 3. Aquí que se ve muy fácil, 00:38:36
pues no ando haciendo las factorizaciones. 00:38:38
Voy a tiro fijo 00:38:41
al que estoy viendo ya. 00:38:42
Lo puedo dividir los dos entre 3. Si divido arriba entre 3 me queda un 7, si divido abajo entre 3 me queda un 3. ¿Podría simplificar más? No, porque el 7 y el 3 son números primos, pues si son ya primos de por sí, en 3 también lo van a ser. 00:38:43
Pues entonces, esta es la fracción genétrica. En este caso, de ese 2,3333. Si hacéis la cuenta en la calculadora, digo 7 entre 3 a 2 y me sobra 1. Saco un decimal. 10 entre 3 a 3 y me sobra 1. Pongo otro 0. Entre 3 otra vez. Entre 3 otra vez. Y no paran de salirme 3 en la calculadora, ¿no? 00:38:59
Pues ahí tenemos el 2,33333 que hemos dicho. ¿Vale? Vamos a por los últimos, los periódicos mixtos. A ver, ¿me quieres dejar? ¿Vamos bien hasta aquí? ¿Este lo hemos entendido también ahora pasito a paso? 00:39:29
Sí. Periódicos mixtos. ¿Vale? Infinitos decimales que se van a repetir en algún momento, pero no se repiten justo al pasar la coma, sino que hay cifras que entre la coma y la repetición que no se repiten. 00:39:48
¿Dónde pondríamos el gorrito en este? 00:40:11
¿Qué es lo que se está repitiendo? 00:40:15
El 3 00:40:18
El 3, lo demás no 00:40:18
Entonces yo pondría el 2,21 00:40:20
Y ahora encima del 3 solamente es donde pongo el gorrito 00:40:22
Porque es el único que se repite 00:40:27
¿Vale? 00:40:29
Pues vamos a ver qué hacemos en este caso 00:40:32
Y en este caso decíamos 00:40:34
Como siempre 00:40:36
número entero sin la coma 00:40:38
ese paso es exactamente igual 00:40:40
en todos, y ahora 00:40:43
¿qué resto? lo que no se repite 00:40:44
¿y qué es lo que no se está repitiendo? 00:40:47
el 221 00:40:50
o sea, en vez de quedarme 00:40:51
con el rollo ese de resto 00:40:53
el anteperiodo, seguido del periodo 00:40:55
no sé qué, me quedo 00:40:57
con la idea de que lo que resto 00:40:59
siempre es lo que no se repite, lo que está 00:41:01
fuera del borracho, ¿vale? 00:41:03
y así me va a valer la misma idea 00:41:05
hay el mismo criterio para periódicos puros y para periódicos vistos, sin liar más la 00:41:07
madeja de lo que hay aquí. ¿Qué diferencia había entre los periódicos puros y los vistos? 00:41:12
El denominador. Porque aquí, además de los nueves que pongo, que son tantos como cifras 00:41:16
ahí debajo del gorrito, o sea, como cifras tienen el periodo, tengo que contar las cifras 00:41:24
¿Qué me he saltado desde la coma hasta ese gorrito? Como son dos cifras, son dos ceros. ¿Vale? Porque yo tendría que multiplicar a este número por 100 para convertirlo en periódico puro. Pues ese 100 que pongo para convertir este periódico mixto en puro es el 100 que tengo que quitar abajo como cuando en los decimales exactos movíamos la coma. ¿Vale? ¿Se entiende la idea? 00:41:31
que haceros la demostración de esto 00:41:56
pues es muy chula pero 00:41:59
perdemos mucho tiempo 00:42:01
no nos es práctico para nada más 00:42:02
hacemos la resta 00:42:05
3 menos 1 00:42:07
11 menos 2 00:42:09
9, me llevo una 00:42:12
12 menos 3 00:42:14
me llevo una 00:42:19
1 al 2 00:42:20
1 y abajo 00:42:22
en 900 00:42:23
¿Esta fracción sería la fracción generatriz o la puedo simplificar? 00:42:27
La puedes simplificar. 00:42:32
La puedo simplificar. Pues fijaos, ya que vamos viendo la historia. 00:42:33
Tengo que ser un poco cuco, dijimos. 00:42:37
Y el ser cuco es que me vaya al número más fácil de todos. 00:42:40
¿Quién es más fácil de ver sus factores? ¿El 1992 o el 900? 00:42:43
El 900. Pues yo voy al 900 y pienso antes de hacer nada. 00:42:47
¿Entre qué números puedo dividir al 900? 00:42:51
pues como es un número par 00:42:54
le puedo dividir entre 2 00:42:56
como acaba en 0 le puedo dividir entre 5 00:42:58
y como es un múltiplo de 3 00:43:00
la suma de sus filtros le podría dividir entre 3 00:43:03
o sea que los únicos 00:43:05
posibles divisores del 900 son 00:43:06
2, 3 y 5 00:43:08
pues con eso os voy a 00:43:10
probar, no voy a probar 00:43:12
con nadie más 00:43:14
a la hora de buscar esas 00:43:15
simplificaciones, ¿vale? 00:43:18
o sea que voy de antemano 00:43:20
pensando 00:43:22
cuáles me pueden dar buen resultado 00:43:23
y cuáles ya no van a valerme para nada 00:43:26
si divido entre 2 00:43:28
450 00:43:30
¿puedo dividir al de arriba entre 2? 00:43:31
pues sí, porque es par 00:43:34
pues vamos haciéndolo a la par 00:43:35
19 entre 2 a 9 me llevo 1 00:43:36
19 entre 2 a 9 me llevo 1 00:43:39
y 2 entre 2 a 6 00:43:41
ya tengo los dos primeros factores 00:43:43
que se me van a ir 00:43:45
digo el 450 00:43:46
¿le puedo seguir dividiendo entre 2? 00:43:49
porque sigue siendo par 00:43:51
Pues 225 00:43:52
¿Puedo seguir dividiendo también el 996 entre 2? 00:43:55
Pues sí, porque es par 00:43:58
Entonces 9 entre 2 a 4 00:43:59
Me sobra 1 00:44:02
19 entre 2 a 9 00:44:04
Me sobra 1 00:44:07
16 entre 2 a 8 00:44:08
Y vuelvo otra vez al más pequeño de los dos 00:44:10
225 00:44:13
Ya no le puedo seguir dividiendo entre 2 00:44:15
Bueno, me cargo los dos factores estos que han salido repetidos 00:44:17
No le puedo seguir dividiendo entre 2 00:44:19
Pienso en el siguiente número 00:44:21
Primo, ¿le puedo dividir entre 3? 00:44:23
Pues sí, porque la suma de sus cifras 00:44:28
5 y 2, 7 y 2, 9 es múltiplo de 3 00:44:30
Pues voy a dividir entre 3 00:44:34
Y si divido entre 3 00:44:36
Me queda 7 por 3, 21 00:44:39
Me llevo 1 con el 5, 15 00:44:41
Y 15 entre 3 es 5 00:44:44
¿Puedo dividir este entre 3? 00:44:45
Pues 8 y 9, 17 00:44:48
Y 4, 21 00:44:50
O sea que también es divisible entre 3. Pues vamos a por él y me cargo esos 3. 4 entre 3 a 1, 19 entre 3 a 6, me llevo 1 y 6. El 75, ¿le puedo seguir dividiendo entre 3? Pues sí, porque 7 y 5 son 12, que es múltiplo de 3. 00:44:52
ahora el 166 00:45:15
le puedo dividir entre 3 00:45:18
6 y 6, 12 y 1, 13 00:45:19
nada, ya no pruebo 00:45:21
con el 3 porque aunque me valga 00:45:23
para el 75, no me va a valer 00:45:25
para el 166 y voy a hacer trabajo 00:45:27
lo tonto, pienso en el siguiente divisor 00:45:29
del 75, que sería el 5 00:45:31
puesto que acaba en 5 00:45:34
pero el 5 00:45:35
divide al 166 00:45:37
no, porque no acaba en 5 00:45:39
pues no pruebo nada más 00:45:41
aquí me he quedado 00:45:43
digo en el numerador me queda 00:45:44
un 166 00:45:46
y en el denominador un 75 00:45:48
y eso ya sé que no lo voy a poder 00:45:51
volver a simplificar más 00:45:52
entonces esta es mi fracción irreducible 00:45:54
luego si es mi fracción 00:45:56
irreducible es la 00:45:59
generatriz 00:46:00
¿Vista la idea? 00:46:01
Sí 00:46:10
¿Vista? 00:46:10
Bueno, pues lo dejo aquí que no da tiempo a más 00:46:12
Repasadlo bien 00:46:15
y tenéis ya puestos los ejercicios del siguiente 00:46:18
tema. De esto, ¿no? 00:46:21
De esto, sí. ¿Cuáles corresponderían 00:46:22
a esto? Pues me parece 00:46:25
que el 1, el 2 y el 3, creo que son. 00:46:26
El 1, que es que calculeis 00:46:29
las fracciones generatrices. 00:46:31
El segundo, que busquéis fracciones 00:46:32
irreducibles. O sea, y el 3 00:46:34
me parece que es... 00:46:36
Bueno, el 3 ya no sé si es como un denominador. 00:46:38
El 1 y el 2 seguro que los podéis hacer. 00:46:41
Intentadlos hacer para que me digáis el martes 00:46:43
qué dudas 00:46:45
o si han salido o no han salido, ¿vale? 00:46:46
Si no son todos, por lo menos 00:46:49
un par de ellos 00:46:50
para que veáis el proceso, ¿vale? 00:46:52
Perfecto. Miráis 00:46:55
el paso a paso este que hemos hecho aquí 00:46:56
que por eso os lo quería escribir 00:46:58
después de ver el resumen para que 00:47:00
os sirva como guía para lo otro, ¿vale? 00:47:02
¿De acuerdo? Muy bien. 00:47:05
Bueno, pues venga, buena tarde. 00:47:07
Igual. Hasta el lunes, querida. 00:47:09
Hasta el martes. Chao. 00:47:10
Hasta el lunes en Ciencias. 00:47:12
Bueno, es verdad, es verdad. 00:47:15
hasta el martes 00:47:16
pensando esto 00:47:18
muy bien, hasta luego 00:47:19
adiós 00:47:21
Autor/es:
Ángel Luis Sánchez Sánchez
Subido por:
Angel Luis S.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
35
Fecha:
17 de octubre de 2024 - 9:50
Visibilidad:
Público
Centro:
CEPAPUB ORCASITAS
Duración:
47′ 27″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
657.68 MBytes

Del mismo autor…

Ver más del mismo autor

EducaMadrid, Plataforma Educativa de la Comunidad de Madrid

Plataforma Educativa EducaMadrid