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3.Sistema de ecuaciones. Sistemas equivalentes. Transformaciones básicas - Contenido educativo
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Bien, vamos a la explicación del punto 1.2 de la teoría del tema 1 de segundo de bachillerato, los sistemas de ecuaciones.
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Hemos visto ya en los anteriores que era una ecuación lineal de n incógnitas. Una consecución de ecuaciones lineales, de m ecuaciones lineales de n incógnitas, se llama un sistema, se dice que es un sistema de m ecuaciones y n incógnitas.
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¿De acuerdo? Bien, fijaros, es lineal, son sistemas de ecuaciones lineales, porque cada una de las ecuaciones son lineales. ¿Vale?
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En un sistema de ecuaciones de m ecuaciones y n incógnitas, m ecuaciones y n incógnitas, pues distinguimos diferentes partes.
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Por ejemplo, los coeficientes. Este es un coeficiente, como veis. El elemento A22, vamos a decir, que sería un número. ¿De acuerdo? Pues, fijaros, el primer numerito, ¿qué pensáis que indica?
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A la vista de... ¿qué indica el número? Imaginaos, el elemento 2, 3. A2, 3. ¿A qué hace referencia este elemento? ¿A qué hace referencia? Pues es el número que está multiplicando a la incógnita x sub 3, ¿lo veis?
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Y que se ubica en la ecuación segunda. Es decir, el primer numerito simboliza a la ecuación, la posición de la ecuación, y el segundo a la incógnita a la que está multiplicando dicho coeficiente.
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¿Se entiende? Por ejemplo, en mi sistema de ecuaciones como este, diríamos que es una ecuación, es un sistema de ecuaciones con dos ecuaciones y tres incógnitas.
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¿Sí o no? ¿Cuál sería el elemento A? 2, 2. ¿Cuánto valdría este elemento? Pues sería este de aquí, ¿no? Menos 3.
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¿Sí o no? El que ocupa la ecuación segunda y que está multiplicando a la segunda incógnita. ¿Se comprende o no? ¿Quién sería el elemento A13? ¿Cuánto vale ese elemento? Pues este vale menos 7.
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Este de aquí, el signo es importante de incluir. Bien, ¿se ve o no? Y a estos elementos de aquí se les llama términos independientes. ¿Por qué? Porque no están multiplicando a ninguna incógnita. ¿Vale?
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¿De acuerdo? Y este sería el elemento B1. ¿Quién es? El término independiente de la primera ecuación, que es menos 2. Y B2 sería 9. Aquí los tenéis.
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Pues bien, análogamente al concepto de ecuación equivalente tenemos el concepto de sistema equivalente de ecuaciones. ¿Cuándo dos sistemas de ecuaciones serán equivalentes? Cuando tienen las mismas soluciones.
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¿Sí o no? La cuestión importante que nos va a llevar aquí va a ser de qué manera puedo obtener sistemas de ecuaciones equivalentes. Esa cuestión va a ser importante.
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Fijaros que cuando resuelves ecuaciones normales, con una sola incógnita, lo que hacemos es sustituirlas por ecuaciones equivalentes cada vez más sencillas.
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Sencillas. ¿Sí o no? Por ejemplo, en una ecuación de este tipo, pues sabemos que es equivalente esta. ¿Sí o no? Es una ecuación equivalente. Tienen las mismas soluciones.
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Y, desde luego, estoy más cerca de la solución en esta que en esta. Son ecuaciones equivalentes. Resolver una ecuación, la técnica que venimos utilizando es sustituyendo, sustituimos una ecuación por ecuaciones equivalentes que tienen una expresión cada vez más sencilla y que se acercan a una expresión en la que la incógnita queda despejada.
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¿Sí o no? Bien. Por eso es importante el concepto de ecuación equivalente. Pero fijaros, lo que hacíamos en la ESO era, ¿qué tipo de operaciones le puedo hacer a una ecuación para que lo que obtenga sea una ecuación equivalente?
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Esa cuestión era importante.
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Pues lo que pasa de un lado al otro operando de la manera opuesta, entonces obtengo una ecuación equivalente, etcétera, etcétera.
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Todo lo que ya sabéis.
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¿Sí o no?
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Pues la pregunta que nos vamos a hacer es, ¿qué tipo de operaciones le puedo hacer a un sistema de ecuaciones para obtener un sistema equivalente?
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Esa va a ser la manera de resolver el sistema.
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Llevándolo a una expresión más sencilla mediante transformaciones que me conserven el sistema equivalente.
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¿Se ha entendido?
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Vamos a ver, por tanto, qué tipo de movimientos, digamos, de transformaciones le puedo hacer a un sistema para obtener un sistema equivalente.
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Y veis aquí, en la teoría, las transformaciones que convierten un sistema en otro equivalente.
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Bien. Entonces, primera, fijaros, intercambiar en tres y dos ecuaciones, o sea, veis el ejemplo, cambio, la primera la pongo abajo y la bajo arriba, obtengo un sistema equivalente, claro.
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¿Sí o no? Bien. Segunda movimiento que me lleva a transformar un sistema en otro equivalente, pues multiplicar ambos miembros de una ecuación por un número.
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Por ejemplo, en esta primera ecuación lo he multiplicado por 2. Es equivalente la propia ecuación, por tanto el sistema resultante es equivalente. ¿Se entiende?
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Finalmente, el punto 3 sería añadir o suprimir una ecuación que sea combinación lineal de las demás.
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Esto de la combinación lineal, ¿sabéis qué es?
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Es multiplicar una combinación lineal de...
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Es un término general, en realidad, que le puedo aplicar a las ecuaciones.
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Si yo tengo una ecuación E1, E2, E3, voy a ir rápido porque suena el timbre. Una combinación lineal de estas tres ecuaciones sería, por ejemplo, alfa E1 más alfa E2 más alfa E3.
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Es decir, multiplicar cada una de las ecuaciones por un número y en lo resultante sumarlo
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¿Entendéis o no?
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Eso sería una combinación lineal de varias ecuaciones
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¿Vale?
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Es un término que se extiende también al concepto de vectores y en fin, ya veremos
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Pero bueno, entonces, claro, fijaros
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Yo, si sumo, por ejemplo, la primera ecuación con la segunda y la añado al sistema, me queda esto, ¿verdad? Esta ecuación de abajo es redundante respecto de las anteriores. Eso es lo que va a pasar.
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Bueno, es un sistema equivalente, este y este. ¿Por qué? Porque he añadido una ecuación que resulta de ser combinación lineal de las anteriores.
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¿Cuál es la combinación lineal? Si a esta ecuación la llamo E1 y a esta E2, pues E3, que es esta, la he obtenido como 1 por E1 más 1 por E2. Esto es una combinación lineal de E1 y E2. ¿Se ve o no?
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Y por tanto el sistema es equivalente. Es decir, cada vez que añada una ecuación que es combinación lineal de las otras, obtengo un sistema de ecuaciones equivalente. Esto es muy importante. ¿Vale?
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Fijaros, en esta es una ecuación, la que he añadido es una combinación lineal muy sencilla, pero podría haber añadido esta.
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2E1 menos 3E2, por ejemplo.
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Cualquiera de estas.
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Ya veremos que esta condición es la que nos va a llevar a...
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Bien, fijaos, el último movimiento es sustituir una ecuación por el resultado de sumarle una combinación ideal de las demás.
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Por ejemplo, sustituyo, fijaos, la primera ecuación ha quedado igual y la segunda la he sustituido por E2, la he sustituido por la suma de E1 más E2.
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¿Se ve? He sumado esta ecuación y esta y la meto en la tercera
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Es decir, si yo a una ecuación como esta le sumo una combinación lineal del resto con esta
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Obtengo un sistema de ecuaciones equivalente
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Veremos que esta es la operación clave para resolver un sistema de ecuaciones
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Es donde es el corazón del método de Gauss que veremos
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¿Vale? Esta última propiedad es fundamental.
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- Subido por:
- Jose S.
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- 22 de enero de 2021 - 12:56
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- IES BARRIO SIMANCAS
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