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¿Cómo hacer un ejercicio de geometría EvAU con Geogebra? (2/4) - Contenido educativo

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Subido el 14 de enero de 2018 por Pablo Jesus T.

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Vamos con el apartado B, esto podría ser tan sencillo como en la entrada que escribiéramos cuál es la distancia recta recta entre R1 y R2, que ya vimos que se ponía con la tecla de subrayado, R1 y R2, pues aquí la tenemos, 0,41. 00:00:00
Así que la respuesta al apartado B. 00:00:29
Pero claro, esta no es la que tiene... no lo puede hacer así un alumno en la EBAU. 00:00:32
Entonces vamos a escribir la fórmula y de paso probamos ya con cosas de texto 00:00:38
de la distancia entre dos rectas que se cruzan. 00:00:43
La voy a escribir aquí. 00:00:48
Bien, esta ventanita que veis, pues primero pincháis aquí en avanzado para ver la vista previa 00:00:50
y vamos a empezar a escribir simplemente poniendo de igual, esto va a ser una fórmula látex 00:00:57
y vamos a escribir una fracción, entonces aquí nos pone el código látex de cómo se escribe una fracción 00:01:03
si estamos habituados a utilizar látex, conocemos una nomenclatura, no necesitamos venir aquí 00:01:12
podemos escribirlo directamente en la edición 00:01:18
Bueno, en el numerador, pues vamos a escribir, bueno, por fuera de todo, mejor, vamos a poner que hay que hacer el valor absoluto, ¿no? 00:01:21
Entonces, pues lo vamos a poner con esto, vale. 00:01:35
Vamos a seleccionar la barra derecha, control X, me voy al final, control V, 00:01:38
Y bueno, pues ya en vista previa voy viendo que he puesto las barras de valor absoluto. 00:01:46
Estaba diciendo que íbamos a poner el numerador, que sería el producto mixto. 00:01:54
Tengo aquí unas corchetes que irían cambiando de tamaño. 00:01:59
Si los quiero utilizar, de acuerdo, se pondrían exactamente igual, pero en vez de esta barra, corchete. 00:02:08
corchete, por cierto que si no quiero nada a la derecha por ejemplo para un sistema 00:02:13
se pone en one, no se deja como está 00:02:16
aunque en este caso tan sencillo vamos a poner simplemente 00:02:19
los corchetes normal con al gr y la tecla que está 00:02:24
a la derecha de la p, entonces vamos a poner el producto mixto 00:02:28
eso sí, el primer vector será pq, así que sí que voy a 00:02:32
querer utilizar esta orden de latex 00:02:36
override arrow 00:02:39
donde pone 00:02:42
xx, pues voy a poner pq 00:02:44
y detrás 00:02:46
vamos a poner 00:02:50
estamos en 00:02:54
numerador 00:02:59
u y v por cierto 00:03:03
por supuesto también les podemos poner con 00:03:05
su vector, aunque como solo es una letra 00:03:07
Podemos utilizar esta otra orden, vector, U, y ahora ya incluso podríamos simplemente poner barra invertida, vec, y entre llaves, pues sube. 00:03:09
Para ver cómo ha quedado, volvemos a ir a la vista previa. 00:03:29
como vemos se nos ha olvidado 00:03:32
cerrar el corchete 00:03:35
aquí 00:03:37
y ahora 00:03:40
nos faltaría el denominador 00:03:44
bueno 00:03:46
no sé por qué 00:03:48
se acaba de liar un poquito 00:03:52
vamos a ver 00:03:54
esto está bien 00:03:58
tiene que ser dentro del numerador 00:03:59
vale 00:04:02
lo había hecho mal yo 00:04:03
ahora pues el producto vectorial 00:04:05
de a por b 00:04:08
entonces 00:04:12
bueno, pues aquí pondríamos 00:04:14
u vectorial v 00:04:19
perdón, vec 00:04:23
y ahora 00:04:29
para poner el símbolo del vectorial 00:04:31
me voy a ir a este otro botón donde tengo 00:04:33
montones de símbolos 00:04:35
y voy a poner esta x 00:04:37
para el vectorial 00:04:38
barra invertida 00:04:41
vec 00:04:44
bueno, pues ya 00:04:47
estaría bien si en vez de 00:04:50
vec, escribo vec 00:04:53
pero bueno, esto está mal 00:04:55
porque esto es un número y esto es un vector 00:04:57
es decir, realmente 00:04:58
voy a tener que poner 00:04:59
la orden left 00:05:02
izquierda de control x 00:05:04
dentro del numerador 00:05:06
y dentro del 00:05:09
denominador y la orden 00:05:12
right, derecha, lo mismo, había dicho 00:05:16
que a ver si me lo podía ahorrar pero no tendría sentido matemático 00:05:20
así que también pues aprendemos cosas así 00:05:24
tiene que ir dentro, ahora sí, y 00:05:27
dentro, ahora sí, bien 00:05:31
el valor absoluto del producto mixto entre el valor absoluto del producto 00:05:36
editorial. Ya tenemos la fórmula que queremos. Otro día estudiaremos esta pestañita que 00:05:39
es fundamental para hacer textos dinámicos. ¿Ok? Bueno, me puedo ir a configuración 00:05:45
y poner el texto este en un tamaño grande y en color marrón oscuro. ¿De acuerdo? Y 00:05:52
ya tenemos nuestra fórmula que ahora si no queremos que se mueva bajo ningún concepto 00:06:02
Pues la podemos fijar a la pantalla y poner como objeto sujetado. 00:06:07
Y aunque muevamos al gráfico, esta fórmula no va a cambiar. 00:06:11
Y bueno, pues así necesitamos el producto mixto y el producto vectorial. 00:06:15
Pero resulta que el producto mixto lo hemos hecho aquí. 00:06:21
Cuando hicimos el determinante para ver que se cruzaban, de paso, es el resultado de ese determinante, es el producto mixto. 00:06:26
y el volumen del paralelepípedo, pues sería 3. 00:06:37
Si yo ahora hago el producto vectorial de u por v, 00:06:40
con lo cual voy a hacer un determinante, 00:06:44
y jk, el vector u, que sería, pusimos 1, 4, 2, 00:06:48
y el vector v, 1, 1, menos 1, 00:07:04
pues hemos puesto mal algo 00:07:10
se me olvidó una coma 00:07:15
vale, pues ahora hacemos el determinante 00:07:17
de la línea 17 00:07:23
dólar 17 en mi caso 00:07:25
y este es el denominador 00:07:29
por supuesto que ahora podemos calcular 00:07:35
su módulo con la orden longitud 00:07:39
De un vector, pues yo digo longitud, y ahora entre paréntesis, paréntesis, menos 6,3, menos 3. 00:07:43
Y ahí nos ha salido 3 raíz de 6. 00:07:59
Entonces, si escribimos valor absoluto de la línea 16, perdón, 16 entre el valor absoluto, 00:08:02
igualdría de la línea 19, que tal y como la hemos escrito nosotros no hubiera podido salir negativa, 00:08:20
ya que hemos hallado la longitud del vector, pues nos sale el resultado de la distancia, 00:08:36
que es 1 partido raíz de 6, parece que tiene un poco más de significado que nuestro 0,41. 00:08:43
En cualquier caso, si queremos saber en decimales cuánto es, pues simplemente dando aquí al igual, vamos a ver que nos lo va a hacer la línea 20 en decimales. 00:08:50
Bueno, parece que no lo ha aproximado, vamos a volverlo a hacer, pero ahora con este otro botón que aproxima, y ese sí que nos sale el 0,41. 00:09:04
Como veis, hemos salido a la distancia con esta fórmula. 00:09:18
Aquí los alumnos se quedarían ya conformes, porque es en el fondo lo que haría en un papel. 00:09:22
Pero claro, nosotros les hemos contado que es el volumen de un paralelepípedo partido por la superficie de un área. 00:09:29
Y que entonces, lógicamente, si dividimos volumen entre la base, pues nos va a salir la altura. 00:09:37
¿De acuerdo? Un volumen que se define entre los vectores u, v y pq. 00:09:42
Así que vamos a hacer esto gráfico, aunque para el problema de selectividad nunca valdría, 00:09:50
pero sí para que los chicos se lo terminen de creer de una determinada vez. 00:09:56
Entonces vamos a hacer un prisma en el que cogemos el último, porque vamos a dar un montón de puntos, 00:10:00
en realidad vamos a hacer 5 puntos, 4 del polígono y 1 de la altura. 00:10:08
Nuestro primer punto va a ser P, a partir de ahí vamos a pintar el prisma, el segundo va a ser P más U, coma, el tercero va a ser P más U más V, 00:10:14
ya vemos que ahí ya podríamos incluso tener un polígono, pero lo vamos a cerrar con P más V, ¿de acuerdo? 00:10:27
Para tener los cuatro lados del polígono correctamente y finalmente pues lo vamos a poner con P más vector, punto inicial, punto final, PQ, ¿de acuerdo? 00:10:38
entonces ahí como veis 00:10:57
pues ha aparecido 00:10:59
nuestro 00:11:02
para el píldoro 00:11:03
le voy a dar a enter 00:11:06
y ya lo tenemos dibujado 00:11:08
además 00:11:10
da la casualidad que 00:11:12
todos 00:11:13
nos ha pintado también todas las aristas 00:11:14
y todas las caras 00:11:18
que hicieran falta 00:11:19
ha llamado a nuestro prisma F 00:11:20
como podéis ver aquí 00:11:24
Y bueno, ya tenemos el volumen 00:11:26
Una de las caras sería el lado 00:11:31
Por cierto, vamos a aprender una cosa nueva 00:11:33
Como habéis visto, en la vista algebraica se han ido poniendo todas las cosas en orden de construcción 00:11:36
Lo cual en general puede ser una buena opción 00:11:43
Pero yo ahora quiero quitar el nombre de todas las aristas 00:11:46
Tengo dos opciones 00:11:49
Con la tecla mayúsculas o control podría pinchar en arista, irme hasta la última arista, con la tecla mayúsculas pulsada, la que está debajo del block mayús, por supuesto, lo que otros llaman shift o maze, y veis que me deja, aunque yo quiera, me selecciona la cara 1 y la cara 2. 00:11:51
no he sido capaz, desde luego, de seleccionarlas de otra manera 00:12:15
y esta arista no me la ha cogido 00:12:19
voy a volver a intentarlo, pero me da la impresión 00:12:24
están mezcladas las aristas, unas por debajo, otras por encima 00:12:27
bueno, entonces vamos a hacer el truco que os iba a decir 00:12:30
vamos a ir aquí 00:12:33
pinchamos aquí, con lo cual nos sale este menú 00:12:36
y ahora pinchamos en tipo de objeto 00:12:39
Eso lo que ha hecho es, vamos a verlo desde arriba, agrupar todas las construcciones algebraicas por tipo de objeto. 00:12:43
Y eso me va a permitir, por ejemplo, pues cuando yo pincho aquí sobre la palabra segmento, que todos los segmentos sean seleccionados. 00:12:50
Que era lo que quería. De momento no tengo más segmentos que las aristas y me viene de película para ahora dar botón derecho configuración y decir que la etiqueta no sea visible. 00:13:00
Habéis visto lo que ha pasado? Maravilloso, ¿verdad? Se nos ha quitado de golpe todas las etiquetas. Y de paso, bueno, podemos volver después si queremos a que nos lo vuelva a poner por el orden de construcción y tener aquí abajo las caras. 00:13:11
Lo último que construimos fue el prisma. Por cierto, que la cara 1 debería ser el polígono P, P más U, P más U más V y PV, que es la base, el 7,35. 00:13:29
De tal manera que si yo ahora me voy a configuración, lo pongo por ejemplo en un color verde llamativo, pues acabo de hacer que la base y el paralelepípedo sean visibles. 00:13:43
Cada uno puede quererlo mostrar a sus alumnos de una determinada manera, pero ya tengo el paralelepípedo y su base. 00:14:02
y entonces, bueno, pues ahora realmente 00:14:10
sí que se lo pueden creer, siempre que 00:14:15
primero vaya a Prisma, que es F 00:14:17
y tiene de volumen 3 00:14:21
después vaya a cara 1 00:14:24
que tiene de superficie 7,35 00:14:27
y yo le diga, a ver, hazme 00:14:30
F entre cara 1 00:14:33
le doy a Enter 00:14:36
y me dice que F entre cara 1 es 0,41, que es el resultado que nos ha dado la herramienta CAS 00:14:39
o incluso el número que nos había dado la orden distancia de R1 a R2. 00:14:47
Con lo cual hemos cerrado el círculo, valga la expresión, de cómo se calcula la distancia entre dos rectas. 00:14:53
pero no ahora valdría solo con esto 00:15:02
porque ahora podríamos querer en el mismo ejercicio 00:15:05
hacerlo de una tercera manera 00:15:09
que sería hallar la recta que es perpendicular a la roja y al azul 00:15:11
y a partir de ahí calcular los dos puntos de corte 00:15:17
con las rectas roja y azul R1 y R2 00:15:22
y a partir de ahí otra vez calcular la distancia 00:15:24
Voy a ocultar el prisma, como nos ha puesto ahí unos puntitos A, B y C, el para entenderse también les quito. 00:15:31
Ya está el dibujo limpio y vamos a empezar con lo que os he dicho. 00:15:40
Así que lo primero que voy a hacer es la línea 18 del CAS, la voy a dividir por menos 2. 00:15:46
Cuidado con no mezclar las dos entradas 00:15:52
La voy a dividir entre menos 2 00:15:56
Perdón, entre menos 3 00:16:00
Simplemente pues para que me salga el vector 2 menos 1, 1 00:16:02
Recordamos que este vector es el perpendicular 00:16:07
Simultáneamente a u y a v 00:16:09
Y entonces pues vamos a hacer el plano que contiene a p 00:16:11
Al vector u y a este vector 00:16:14
Entonces ponemos las ecuaciones de un plano 00:16:19
nos vamos de una matriz 00:16:22
pero con el plano 00:16:26
la ecuación del plano 00:16:29
que os acordáis 00:16:30
estoy buscando P 00:16:31
era 0 menos 1, 0 00:16:32
así que aquí simplemente escribiría 00:16:34
si me deja 00:16:38
vamos a empezar otra vez 00:16:40
x, y más 1, 0 00:16:43
es decir, a x y z 00:16:48
perdón, z 00:16:51
A X, Y y Z le he restado el punto P 00:16:51
0, menos 1, 0 00:16:55
Ahora voy a poner el vector U 00:16:57
Que si no me acuerdo era 00:17:01
A ver si aquí sí que lo podemos ver 00:17:07
Era el 1, 4, 2 00:17:09
¿Verdad? 00:17:13
El 1, 4, 2, efectivamente 00:17:17
1,4,2 00:17:19
y por último 00:17:26
para que me salga simplificado 00:17:27
porque podría haber jugado con 00:17:29
menos 6, 3, menos 3 00:17:30
pero bueno, voy a poner 2, menos 1, 1 00:17:32
¿de acuerdo? 00:17:36
entonces ya tengo esa matriz 00:17:39
que si hago el determinante 00:17:42
de dólar 23 00:17:45
y lo igualo a 0, pues me debería proporcionar, aquí el igual a 0 por fuera, 00:17:50
me debería proporcionar la ecuación del plano. 00:17:59
Ahí está. 00:18:03
Podemos incluso dividirlo todo también por 3. 00:18:05
La voy a escribir aquí dividida por 3. 00:18:08
2X más Y menos 3Z más 1, igual a 0. 00:18:10
Bueno, pues ese plano deberíamos ver que efectivamente contiene a la recta R1, 00:18:25
se ve perfectamente así, y es perpendicular a R2. 00:18:35
Yo creo que aquí es la manera más fácil de verlo, 00:18:39
a ver quién es capaz de hacer este tipo de cosas en una pizarra, ¿de acuerdo? 00:18:41
Y que los chicos lo puedan ver, desde luego, no con esta facilidad. 00:18:49
Vamos ahora a hacer la otra, con lo cual, antes de empezar, si recordamos lo que era Q, 00:18:54
Q nos dio el punto 1, 0, 0 00:19:01
Y vector 1, 1, menos 1 00:19:09
1, 0, 0 y 1, 1, menos 1 00:19:12
Entonces ponemos X menos 1 y Z 00:19:15
Y vector 1, 1, menos 1 00:19:22
Y por supuesto, como tercer vector, el 2 menos 1, 1 00:19:28
¿De acuerdo? 00:19:33
Bueno, seguramente esté bien 00:19:39
Ponemos determinante, lo vamos a ver enseguida 00:19:42
Porque $25, un tic a la derecha, igual a 0 00:19:45
Y me ha salido ese plano, que le voy a dividir por menos 3 00:19:52
Sería y más z igual a 0 00:19:58
Y más z igual a 0 00:19:59
Y bueno, pues yo creo que se ve espectacularmente que también es perpendicular, contiene a la recta R2 roja y a la vez es perpendicular a R1, ¿de acuerdo? 00:20:02
Bueno, pues ahora vamos a ocultar esos dos planos y vamos a poner, vamos a llamar, por ejemplo, R3 a esta recta perpendicular, que se haría con interseca, pues, H e I, que son los nombres, como tengo encima, lo estoy viendo aquí, de los dos planos. 00:20:21
así que, vale, algo escrito mal 00:20:49
no es I, sino es L 00:20:54
se ve que I, J y K ya los ha utilizado 00:20:58
y entonces es L, bueno, nos la ha dibujado en naranja 00:21:02
muy bien 00:21:06
nos ha dado punto y vector 00:21:10
por cierto, aquí vemos que corta 00:21:13
aunque no se ve, aquí ya sí que tendríamos 00:21:18
o podríamos acercarnos bien para ver realmente que corta a las dos rectas, ¿no? 00:21:20
Hay muchas maneras de irlo viendo. 00:21:30
Bueno, pues ahora podemos incluso definir los puntos interseca R1 con R3, 00:21:34
ahora que lo tenemos así tan en grande, nos acaba de poner el punto que le ha llamado D, 00:21:46
y si doy a la tecla de subir pues pongo R2 con R3 para que me dé el otro punto 00:21:53
los puntos de IE que he seleccionado ahora con la tecla de control 00:22:07
simultáneamente para ponerlos en un determinado color 00:22:11
si queréis los podemos poner en un negro bastante fuerte y un poquito más gordos 00:22:16
y bueno, pues ahí se ven los puntos D y E 00:22:24
como corta las dos rectas 00:22:31
y es tan sencillo como que si ahora hago la distancia de D a E 00:22:34
bueno, podríamos hallar el vector D, E 00:22:40
bueno, las coordenadas de D y de E 00:22:45
nos las ha hallado en decimales 00:22:48
pero todos somos tan listos que esto vemos que es un sexto 00:22:51
menos un tercio, un tercio 00:22:55
y un medio menos un medio, un medio 00:22:58
no sería muy complicado 00:23:00
calcular el vector 00:23:01
y la raíz cuadrada 00:23:03
para saber la longitud 00:23:05
pero si simplemente 00:23:07
pues se lo decimos ya 00:23:08
que haya la distancia 00:23:12
de D a E 00:23:13
de los puntos D a E 00:23:16
pues vamos a ver que nos da 00:23:23
0.41 y nos vamos 00:23:24
a conformar con esto 00:23:26
sin necesidad de hacer los vectores 00:23:29
pero vamos, que no sería ya mucho más complicado 00:23:31
pero el vídeo se va extendiendo 00:23:34
una última cosita sería 00:23:36
volver a visualizar el prisma 00:23:39
y comprobar 00:23:43
mirad que bien, que bonito, que fácil 00:23:47
que lo que teníamos 00:23:50
el segmento que acabamos de calcular 00:23:54
de la altura del 00:23:57
del prisma, de acuerdo con la cara verde y la altura en perpendicular, obviamente, del prisma. 00:24:00
Vamos, aquí se ve perfecto, con lo cual demostramos que efectivamente la fórmula se puede calcular así. 00:24:11
Y ahora ya sí que hemos terminado. 00:24:21
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Pablo J. Triviño Rodríguez
Subido por:
Pablo Jesus T.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
58
Fecha:
14 de enero de 2018 - 19:44
Visibilidad:
Público
Enlace Relacionado:
https://www.geogebra.org/m/qTkX29AX
Centro:
IES CARMEN CONDE
Duración:
24′ 24″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
85.30 MBytes

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