Saltar navegación

Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.

EvAU Junio 2022 - Matemáticas II - Ejercicio A3 - Contenido educativo

Ajuste de pantalla

El ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:

Subido el 18 de agosto de 2023 por David M.

24 visualizaciones

Realizamos el ejercicio A3 de Matemáticas II EvAU junio 2022
Publicado también en, https://www.youtube.com/c/LaWebdelProfedeMates

Más información Transcripción

Descargar la transcripción

¡Suscribete! 00:00:00
y nos ponen dos ecuaciones, 2x menos y igual a 10, ya sabéis, que corresponden a dos planos, 00:00:39
x menos z igual a menos 90, que se van a cortar lógicamente en una recta. 00:00:45
Dicen en el apartado A que calculemos el vector director de R y la posición de la partícula 00:00:50
cuando su trayectoria incide con el plano z igual a 0. 00:00:56
En el apartado B se nos pide calcular la posición más próxima de la partícula al dispositivo láser. 00:01:01
Y en el apartado C se nos pide determinar el ángulo entre el plano de ecuación x más y igual a 2 y la recta R. 00:01:06
Vamos a empezar por la pregunta más fácil de todas, que es la del apartado A, ya que si queremos calcular un vector director de la recta R, bastará con multiplicar vectorialmente los vectores normales de los dos planos que conforman R. 00:01:14
¿De acuerdo? Entonces vamos a poner aquí que el primero de los vectores normales del primer plano que la conforma sería 2, menos 1, 0 y el segundo es 1, 0, menos 1. 00:01:34
Vamos a echar cuentas. Para el caso de la i sería menos 1 por menos 1 que es 1 y menos 0 es 1, o sea que sería i. 00:01:49
para el caso de la J sería 00:01:56
menos 2 menos 0 00:01:58
que sería menos 2, le cambiamos el signo y sería 00:02:00
más 2J, estamos desarrollando 00:02:02
por la primera fila 00:02:04
y el último de los 00:02:06
elementos, el de K, sería 00:02:08
2 por 0 es 0, más 1 es 1, o sea que sería 00:02:10
más K 00:02:12
o sea que el vector es 00:02:14
1, 2, 1 00:02:16
ya tenemos 00:02:19
un vector director de la recta R 00:02:20
para calcular la posición de la 00:02:22
partícula cuando su trayectoria incide con el plano z igual a cero lo único que tenemos que 00:02:24
hacer es resolver el sistema formado por la recta con sus dos ecuaciones con sus dos planos que la 00:02:28
definen y el plano z igual a cero eso es muy fácil porque claro si z es igual a cero entonces x es 00:02:35
menos 90 y si x es menos 90 entonces la ecuación de arriba lo que nos dice es que menos 180 menos 00:02:45
Y es igual a 10, así que la Y es menos 190. Así que la posición que nos están pidiendo 00:02:52
es X menos 90, Y sería menos 190 y Z 0. ¿Vale? Vamos ahora con el apartado B que dice que 00:03:04
calculemos la posición más próxima de la partícula al dispositivo láser o sea 00:03:22
que tenemos a nuestro punto p y una recta aquí que estará formada por los 00:03:27
dos planos vale entonces nos está pidiendo la distancia mínima en lo que 00:03:33
es la recta al punto del punto a la recta para ello lo que voy a calcular 00:03:37
primeramente es el plano perpendicular a r que pasa por p 00:03:41
cálculo el plano 00:03:47
y normal o perpendicular me da lo mismo a r y qué pasa porque vale que será un 00:03:51
plano que vamos a pintarle aquí no imagínate que sea pues así vale entonces 00:04:07
incide aquí 00:04:11
todo plano normal a la recta r tendrá por vector normal el vector director de 00:04:15
la recta R, con lo cual pi tiene que ser de la forma x más 2y más z igual a c. 00:04:20
Como pasa por el punto P111, entonces tiene que verificar su ecuación, el punto P1 más 00:04:31
2 más 1 tiene que ser c, de donde entonces la ecuación del plano pi es x más 2y más 00:04:40
z igual a 1 más 2 más 1, 4, ¿vale? 00:04:49
Con este plano, lo que podemos hacer ahora es intersecarlo con la recta R. 00:04:54
Intersecamos R con pi. 00:05:03
Es decir, R intersección pi, que le vamos a llamar Q, que va a ser este punto de aquí. 00:05:11
Para ello fijaros por ejemplo que las ecuaciones de la recta R podríamos pasarlas incluso a paramétricas muy fácil porque las dos tienen a x, sin embargo cada una de ellas tiene una letra diferente, una es la y y otra es la z, de tal modo que entonces podríamos decir que unas paramétricas de la recta R serían x igual a t y igual, fijaros en la primera ecuación, menos 10 más 2t, 00:05:17
Y en la segunda ecuación, fijaros que Z sería igual a 90 más X, o sea, 90 más T. 00:05:47
Entonces, sustituyendo las paramétricas de la recta R en la ecuación del plano, 00:05:56
podremos calcular el parámetro T y ese nos llevará ya al punto Q. 00:06:05
O sea, hacemos X más 2Y más Z igual a 4. 00:06:09
A ver, ¿cuál es el punto de R que verifica esto? 00:06:17
Que sería T más menos 20, vamos a multiplicarle por 2, más 4T, más la Z, que sería más 90, más T, igual a 4. 00:06:19
O sea, que sería T más T, 2T, 2T y 4T, 6T. 00:06:36
en cuanto a números, menos 20 más 90 sería 00:06:42
70, lo pasamos para el otro lado, menos 70 es más 4 00:06:46
menos 60 es 6, o sea que la T es 00:06:50
menos 11, esta T es la que nos va a dar 00:06:54
en las paramétricas de R, el punto Q 00:06:58
por lo tanto, R intersección pi 00:07:01
que es el punto Q, tendrá por coordenadas 00:07:09
T, que sería menos 11, menos 10 más 2 por menos 11, que sería menos 22, menos 11, menos 32, y 90 menos 11, que sería 70 y 9. 00:07:13
Una vez que hemos calculado el punto Q, que es el punto de mínima distancia entre R y P, la distancia entre R y P será la misma que la distancia entre P y Q, es decir, vamos a hacer el módulo del vector PQ. 00:07:31
La distancia entre R y P será la misma que la distancia entre Q y P. 00:07:45
O sea, el módulo del vector PQ, por ejemplo. 00:08:06
¿Qué vector es PQ? 00:08:11
Pues a las coordenadas de Q le restamos las coordenadas de P. 00:08:14
Menos 11, menos 1, menos 12 00:08:18
Menos 32, menos 1, menos 33 00:08:22
Y 79 menos 1, 78 00:08:25
O sea, que esto va a ser la raíz cuadrada 00:08:29
De menos 12 al cuadrado 00:08:33
Más menos 33 al cuadrado 00:08:37
Y más 78 al cuadrado 00:08:41
Eso va a ser la raíz cuadrada de 7.317 00:08:45
O sea que más o menos esto lo que viene a ser es 85,539,54 unidades 00:08:51
Esa es la distancia entre R y P 00:09:05
Por lo tanto si nos piden la distancia más cercana de la recta R al punto P 00:09:08
podremos decir que ese es el punto q que es menos 11 menos 32 79 y si nos 00:09:13
pidieran que no nos lo han pedido la distancia es 85 54 aproximadamente la 00:09:19
última pregunta es la pregunta que dice determine el ángulo entre el plano de 00:09:26
ecuación x más igual a 2 y la recta r para ello entonces lo que vamos a hacer 00:09:30
es utilizar al producto escalar el plano que nos dicen es x más igual a 2 y 00:09:35
Y nuestra recta tenía como vector director apartado A el 1, 2, 1. 00:09:43
Imaginaos que tenemos aquí el plano, aquí la recta incidiendo, y quieren este ángulo de aquí. 00:09:50
Por lo que vamos a hacer es calcularnos el ángulo complementario. 00:09:59
esto va a ser el vector normal al plano pi prima, vamos a llamarle pi prima 00:10:04
y vamos a calcular este de aquí, que va a llamarse beta 00:10:11
para ello lo que tengo que hacer entonces es calcularme el ángulo 00:10:18
que forman el vector director de la recta R y el vector normal de la recta pi prima 00:10:23
que ese es, ya lo sabéis todos, es 1, 1, 0 00:10:29
Vale, entonces el coseno de beta sería igual al producto escalar de 1, 2, 1 por 1, 1, 0 partido de los módulos, ¿verdad? 00:10:36
de 1, 2, 1 por 1, 1, 0. 00:10:52
O sea, esto va a ser 1 por 1 más 2 por 1 más 1 por 0. 00:10:59
Y en la parte de abajo, raíz cuadrada de 1 al cuadrado más 2 al cuadrado más 1 al cuadrado. 00:11:09
Y en el otro, 1 al cuadrado, más 1 al cuadrado, más 0 al cuadrado 00:11:18
¿Esto qué da? 00:11:24
Esto da, en la parte de abajo da raíz de 6 por la raíz de 2 00:11:25
Y en la parte de arriba sería 1 por 1, que es 1, más 2 y más 0, o sea que sería 3 00:11:31
Así que el coseno de beta es 3 partido de la raíz de 12 00:11:36
¿Cuánto es beta? 00:11:44
Pues beta es el arco cuyo coseno es 3 partido de la raíz de 12 00:11:45
Eso da un ángulo de 30 grados 00:11:53
Con lo cual, alfa, que es el ángulo que nosotros queremos 00:11:55
Es 90 menos 30, que es 60 grados 00:11:58
Así que el ángulo que nos han pedido, que es este de aquí 00:12:03
Ese es 60 grados 00:12:06
Esa es la solución, ¿vale? 00:12:09
bueno pues hasta aquí el ejercicio A3 00:12:12
de la convocatoria ordinaria de Madrid 00:12:15
EBAO 2022 00:12:17
y os espero en un nuevo vídeo 00:12:19
aquí en la web del Proce de Mates 00:12:21
un saludo 00:12:23
¡Suscríbete al canal! 00:12:42
Idioma/s:
es
Autor/es:
David (El Profe de Mates)
Subido por:
David M.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
24
Fecha:
18 de agosto de 2023 - 12:41
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ROSA CHACEL
Duración:
12′ 59″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
554.25 MBytes

Del mismo autor…

Ver más del mismo autor

EducaMadrid, Plataforma Educativa de la Comunidad de Madrid

Plataforma Educativa EducaMadrid