Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.
Funciones cuadráticas (parábolas)
Ajuste de pantallaEl ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:
El segundo tipo de funciones que vamos a ver en este tema son las que llamamos funciones cuadráticas,
00:00:01
es decir, las que tienen forma de parábola. Están definidas como un polinomio de segundo grado.
00:00:07
Comenzamos con un chiste clásico y empezamos de verdad.
00:00:13
La parábola tipo, la que debemos conocer en profundidad, es la definida como y igual a x al cuadrado.
00:00:22
Esta parábola pasa por esos puntos que vemos ahí en la tabla, por el 0, 0, por el 1, 1, por el menos 1, 1, por el 2, 4, por el menos 2, 4.
00:00:29
Tiene eso que llamamos vértice en el punto 0, 0. Ahí es donde todo cambia.
00:00:40
Esta función es decreciente en menos infinito 0. Es creciente de 0 a más infinito. Es continua.
00:00:46
Tiene un mínimo en x igual a 0 y también es simétrica respecto al eje x igual a 0, al eje de las y.
00:00:53
Sobre esta podemos hacer muchas variaciones.
00:01:03
Por ejemplo, ahora vamos a variar el coeficiente, el número que va con x al cuadrado.
00:01:06
Lo llamamos a.
00:01:11
Como podemos ver en esta animación de Desmos, si a es 1, estamos con la función igual a x al cuadrado, la misma de antes.
00:01:15
Pero si vamos haciendo que a sea más grande, lo que ocurre es que la parábola se estrecha, se estiliza.
00:01:25
Ahora volvemos hacia atrás, a vuelve a ser 1.
00:01:34
Si a es 0, la función es y igual a 0, es la recta horizontal y igual a 0, el eje de las x.
00:01:38
Y si a es negativa, lo que ocurre es que la gráfica se abre hacia abajo, la parábola se abre hacia abajo,
00:01:45
y cuanto más negativo sea la a, pues más estilizada es la parábola.
00:01:51
O sea, en valor absoluto, si el valor absoluto de la a es mayor, la parábola es muy estilizada.
00:01:57
Vamos a hacer otra cosa ahora, vamos a desplazar la parábola.
00:02:07
Aquí tenemos y igual a x al cuadrado, igual que antes.
00:02:11
Ahora vamos a hacer y igual a x menos otra letra b al cuadrado.
00:02:16
Y vamos a ver qué ocurre. Hacemos que se mueva la b y vemos que para b igual a 1 la parábola se ha desplazado hacia la derecha.
00:02:22
Si volvemos hacia atrás a b igual a 0 sería la misma que teníamos, y igual a x al cuadrado.
00:02:32
Si desplazamos hacia la derecha, si b es 10, pues será igual a x menos 10 al cuadrado y está hacia la derecha.
00:02:37
Si hacemos que b sea negativo, la parábola se desplaza hacia la izquierda.
00:02:46
Vamos a ver qué ocurre ahora si sumamos un número a x al cuadrado
00:02:51
Vamos a escribir la función y igual a x al cuadrado más c
00:03:09
Si c es 1, pues estamos en y igual a x al cuadrado más 1, estamos por encima
00:03:13
Para c igual a 0 es la misma que antes
00:03:32
Y conforme c aumenta, la parábola sube hacia arriba
00:03:34
Si c disminuye, la parábola baja hacia abajo
00:03:38
O sea que c, ese número que hemos sumado, determina la altura de la parábola
00:03:42
hacia arriba o hacia abajo. Vamos a juntar ahora todas las posibilidades. Multiplicamos por un
00:03:47
coeficiente a, desplazamos hacia la izquierda o la derecha con el b y subimos o bajamos con la c.
00:03:58
Veamos qué ocurre. Si movemos la a ya sabemos que la parábola se hace más o menos estilizada,
00:04:05
se abre hacia arriba o hacia abajo. Si ahora movemos la b lo que ocurre es que nos desplazamos,
00:04:36
como sabíamos, de izquierda a derecha en función de si B es positiva o negativa.
00:04:42
Y la C es la que determina la altura, la parábola sube o baja en función del valor que le toque a la C.
00:04:47
¿Veis? Todo combinado hace que la parábola se mueva por todos sitios.
00:04:55
Pero lo que nos vamos a encontrar de forma general es que la parábola va a venir dada por una fórmula
00:05:06
igual a a por x cuadrado más bx más c, en la forma en la que conocemos también la ecuación
00:05:11
de segundo grado. Vamos a ver cómo influye cada coeficiente. La a, igual que antes, determina
00:05:17
cómo se abre la parábola hacia arriba o hacia abajo, más estilizada o menos. La b
00:05:37
genera un desplazamiento que es hacia la izquierda o hacia la derecha, pero también un poco
00:05:44
hacia arriba y hacia abajo. Y la c igual que antes hace que la parábola suba o baje. Si las combinamos
00:05:52
todas pues volvemos a obtener muchas parábolas distintas. Vamos a ver ahora si nos dan una
00:06:09
función cuadrática cómo haríamos su representación gráfica. En primer lugar tenemos que buscar ese
00:06:28
punto que hemos llamado vértice donde todo cambia. En este ejemplo que tenemos aquí de igual a x
00:06:36
cuadrado más 6x más 5, la a sería 1, la b es 6 y la c es 5. Pues para averiguar la
00:06:42
primera coordenada del vértice, la x, lo que hacemos es menos b partido por 2a. En
00:06:50
este caso sería menos 6 partido por 2 por 1, o sea menos 6 entre 2, es decir, menos
00:06:57
3. El vértice está en x igual a menos 3. Pero ¿cuál es su segunda coordenada? Sustituimos
00:07:04
menos 3 en la fórmula que define la parábola y en este caso nos sale menos 4. El vértice es el punto
00:07:10
menos 3 menos 4. ¿Cómo seguimos? Pues vamos a dar valores pero no los valores que nosotros queramos
00:07:18
sino vamos a dar valores que rodeen al vértice. Por ejemplo en nuestro caso como el vértice es el
00:07:27
punto menos 3 4 vamos a rodear al menos 3. Damos uno a la izquierda el menos 4, otro a la derecha
00:07:34
el menos 2, otro a la izquierda el menos 5, otro a la derecha el menos 1, otro a la izquierda
00:07:41
el menos 6, otro a la derecha el 0. Para calcular la y de cada valor de x sustituimos en la
00:07:47
fórmula la que define a la parábola y obtenemos esos valores, los que vienen definidos en
00:07:54
esa tabla. Cuando los tenemos los localizamos en la gráfica y ya vemos que tiene forma
00:08:01
de parábola. Otro dato importante son los puntos de corte con los ejes. Con el eje de las x lo que
00:08:07
hacemos es obligar a que y sea 0. Por tanto resolvemos esa ecuación de segundo grado x cuadrado
00:08:17
más 6x más 5 igual a 0. Aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado y nos salen dos
00:08:24
soluciones. En este caso menos 5 y menos 1. Pasa por los puntos menos 5, 0 y menos 1, 0. Estos ya
00:08:31
los teníamos, nos habían salido antes pero podría ser que no nos hubieran salido. Para encontrar el
00:08:40
punto de corte con el eje y hacemos x igual a 0. Sustituimos x igual a 0 en la fórmula y nos sale
00:08:47
el punto 05 que también lo teníamos ya antes. Con todos estos puntos tenemos información suficiente
00:08:54
para dibujar la parábola. Lo que hacemos es unirlo despacito para que nos quede con forma de parábola.
00:09:05
No son tramos rectos sino que son tramos curvos. Los unimos y la gráfica que nos queda es algo así.
00:09:13
Una característica que podemos observar en todas las funciones cuadráticas, en todas las parábolas
00:09:20
Es que todas son simétricas respecto a un eje
00:09:29
¿Qué eje? Pues el eje que representa la recta vertical que pasa por el vértice
00:09:32
En el caso de la parábola que nosotros hemos dibujado, como el vértice era el punto , la recta vertical es la recta x igual a , es el eje de simetría de esta parábola
00:09:37
- Materias:
- Matemáticas
- Autor/es:
- Alejandro Gallardo Lozano
- Subido por:
- Alejandro G.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial
- Visualizaciones:
- 50
- Fecha:
- 11 de marzo de 2018 - 8:01
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- CPR INF-PRI-SEC RAFAELA YBARRA
- Duración:
- 09′ 55″
- Relación de aspecto:
- 4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
- Resolución:
- 960x720 píxeles
- Tamaño:
- 35.56 MBytes
