Saltar navegación

Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.

2020_2021_MatemáticasII_0Modelo1_A2 - Contenido educativo

Ajuste de pantalla

El ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:

Subido el 24 de agosto de 2021 por Pablo Jesus T.

88 visualizaciones

Más información Transcripción

Descargar la transcripción

Buenos días, vamos a empezar con este vídeo sobre la EBAU de Madrid 00:00:13
en el modelo 1 que se publicó en septiembre, luego desapareció de la web y se publicó otro modelo por una legislación que salió 00:00:18
pero vamos, este era el modelo que se puso en septiembre 00:00:27
empezamos con un ejercicio de análisis 00:00:32
la opción A, el ejercicio 2 00:00:36
que lo tenemos ahí, es una función a trozos 00:00:40
en la que lo primero que nos piden es estudiar la continuidad y la derivabilidad en cero. 00:00:43
Recordad que yo siempre os hablo de que si nos dicen en general, pues hay que estudiar las ramas, 00:00:51
si nos dicen en un punto concreto, pues entonces nos podemos olvidar de las ramas. 00:00:59
Después nos pedirán los extremos relativos en un intervalo y en la rama de abajo 00:01:05
y finalmente una integral que también se hará en la rama de abajo, un ejercicio normal de análisis. 00:01:10
Nosotros podríamos ayudarnos con GeoGebra para hacer este ejercicio. 00:01:19
Ahí tenemos la función definida a trozos, en la que vemos la gráfica. 00:01:23
Claro, teniendo la función dibujada es todo más fácil, ¿verdad? 00:01:33
En la EBAU no nos dejan llevar geogebra, pero vamos que sabemos que la función de la rama a la izquierda de cero es un seno atenuado por x y en la derecha pues es un producto de x por una exponencial, lo cual produce esta curva tan típica también. 00:01:36
si nosotros quisiéramos estudiar la continuidad en cero 00:01:56
pues vemos que se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel 00:01:59
si movemos el punto A pues perfectamente se mueve 00:02:02
por ahí sin hacer ningún salto 00:02:08
por tanto es continua en cero 00:02:09
y también si trazamos la pendiente de la recta tangente 00:02:14
vemos que aquí se acerca a cero la derivada 00:02:18
y de repente pega un salto 00:02:21
en el dibujo hay un pico así que no va a ser derivable en 0 00:02:22
es más, si nosotros le pidiéramos a GeoGebra 00:02:26
claro, que nos dibujara la función derivada 00:02:29
pues vemos que aquí salta en 0 es 0 00:02:31
y en cuanto nos movemos a la derecha de 0 00:02:37
pues pega un salto que viene aquí 00:02:39
a este valor 54 y pico 00:02:41
que después veremos de dónde sale 00:02:43
y qué significa y por qué es así 00:02:47
Vale, entonces nosotros realmente lo que vamos a hacer es el ejercicio como hay que hacerla en la EBAU y por tanto pues vamos a empezar con nuestras cuentas. 00:02:49
Bien, para eso lo que vamos a hacer es estudiar la continuidad en x igual a cero, continuidad en x igual a cero, y para eso lo primero que vamos a ver es si existe el límite cuando x tiende a cero de f de x. 00:03:03
Para hacer este límite, obviamente necesitamos hacer los dos límites laterales 00:03:30
El límite cuando x tiende a 0 por la izquierda con la rama de la izquierda 00:03:36
1 menos seno de x partido por x 00:03:40
Y el límite cuando x tiende a 0 por la derecha 00:03:44
0 super más de x por elevado a 4 menos x4 00:03:47
Para hacer el primer límite lo podemos hacer de tres maneras 00:03:52
O bien con la calculadora, o bien por infinitésimos, o lo que le gusta a todo el mundo, aunque hay que tener cuidado siempre con cómo se hace, que es lo vital. 00:03:57
Si lo hacemos con la calculadora, aquí lo tenemos, recordad que lo primero que hay que hacer es poner siempre la calculadora en modo radianes. 00:04:07
Veis la R ahí, en modo radianes, porque si no, no funciona si lo dejamos en grados. 00:04:16
Os recuerdo que en nuestra calculadora estándar se conseguía dando shift config, ahí sin menú, y unidad angular, y ahí podemos cambiar los grados, podemos volverlo a poner en lo que queramos. 00:04:21
Entonces, si nosotros hacemos el seno de 0,001, por ejemplo, entre 0,001, pues vemos que nos da que se acerca a 1. 00:04:36
El límite sería 1. 00:04:55
También lo podemos hacer por infinitésimos. 00:04:57
recordamos que los infinitésimos seno de x y x son infinitésimos en x0 00:04:59
y por tanto su límite va a ser 1 00:05:06
y por último lo podríamos hacer por lo vital 00:05:10
que tendríamos que hacer que el límite de seno de x partido por x 00:05:12
pues la derivada del numerador, la derivada del denominador 00:05:16
y lo vital dado que seno de x y x son continuas y derivables 00:05:20
pues estos dos límites valdrán lo mismo 00:05:24
y el de la derecha le sabemos hacer fácilmente, el coseno de 0 es 1, 1 entre 1, 1. 00:05:28
Así que lo hagamos como lo hagamos, sabemos que este límite va a ser 1 y por tanto 1 menos 1, 0. 00:05:34
El límite de abajo es trivial, cuando x tiende a 0, tengo 0 por algo, es 0, así que existe el límite y es 0. 00:05:44
Después tendríamos que ver si existe f de 0, f de x sub 0, en este caso f de 0, 00:05:53
que sí que existe porque hay un igual en las ramas. 00:05:59
Si nosotros miramos, pues vemos que hay un igual que está en la rama de abajo, 00:06:03
sustituimos la x por 0 y da 0. 00:06:06
Y por último, pues la tercera cuestión sería ver si esos dos límites, 00:06:10
o si el límite, perdón, cuando x tiende a 0 de f de x y f de 0 coincide. 00:06:16
El límite vale cero, la función vale cero, pues sí que coincide en cero igual a cero. 00:06:21
Por tanto, la función es continua en x igual a cero. 00:06:28
Ya tenemos la primera parte del apartado A. 00:06:34
Ahora vamos a estudiar la derivabilidad. 00:06:38
Antes vamos a comprobarlo en nuestro GeoGebra, 00:06:42
que tenemos aquí, como veis, la función, la rama de la izquierda, la rama de la derecha. 00:06:45
Le he dicho a GeoGebra que me hiciera el límite y me lo hace, da cero. 00:06:55
Pero realmente, si nosotros derivamos esta función pasando el x aquí, 00:06:58
pues me queda menos coseno de x más 1 partido por 1 00:07:03
y ahora es más fácil ver que el límite es cero. 00:07:06
El límite de la derecha es cero, f de cero es cero, todo perfecto, no hemos tenido ningún problema. 00:07:08
Vamos con la derivabilidad, decíamos, y para eso pues vamos a hacer la derivada. 00:07:15
Si nosotros definimos la función g de x como 1 menos seno de x partido por x, 00:07:20
pues la derivada sería la derivada de 1 es 0 y la derivada menos la derivada del cociente, 00:07:28
la derivada del primero por el segundo sin derivar, menos el primero por la derivada del segundo, 00:07:35
y partido todo por el denominador al cuadrado. 00:07:42
Esto, si metemos el menos que va dentro, pues lo normal es escribirlo así, ¿de acuerdo? 00:07:45
Así que esa sería la derivada de g de x. 00:07:56
La derivada del denominador h de x, x por elevado a 4 menos x cuadrado, 00:08:00
Pues su derivada es la derivada de un producto, derivada del primero por el segundo sin derivar, más el primero por la derivada del segundo, que haríamos por la regla de la cadena, 00:08:07
de la exponencial y menos 2x. 00:08:23
Esto, si sacamos factor común elevado a 4 menos x cuadrado, 00:08:27
pues me queda 1 menos 2x cuadrado. 00:08:33
Ya tengo las dos derivadas. 00:08:36
Ahora puedo hacer el límite por la izquierda y por la derecha. 00:08:39
El límite cuando x tiende a 0 por la izquierda de esta función, 00:08:42
pues da 0 partido por 0. 00:08:47
Con lo cual tenemos un problema. 00:08:50
Podríamos descomponerlo en dos fracciones y hacerlo por infinitésimos, podríamos hacerlo con la calculadora y si lo queremos hacer por l'Hôpital pues tenemos el límite cuando x tiende a 0 por la izquierda, la derivada del numerador sería coseno de x menos la derivada del primero por el segundo sin derivar, menos más, porque es un producto, el primero por la derivada del segundo que sería menos seno de x. 00:08:52
recordad que ese menos seno 00:09:21
como no me lo pongáis 00:09:22
con un paréntesis 00:09:24
os voy a quitar 0,25 00:09:27
y la derivada del denominador que sería 2x 00:09:28
para que sea lo que quitar 00:09:31
se me va el coseno menos el coseno 00:09:33
y el límite cuando x tiende a 0 00:09:35
por la izquierda 00:09:38
el menos con el menos da más 00:09:39
daría x seno de x 00:09:42
partido por x cuadrado 00:09:44
simplificar una x 00:09:46
queda seno de x partido 00:09:50
perdón, he puesto por x cuadrado 00:09:53
por 2x 00:09:55
por 2x 00:09:56
al simplificar la x pues queda 00:09:59
esto y este límite 00:10:01
pues da 0 00:10:03
¿entendido? así que 00:10:05
por la izquierda se acerca a 0 00:10:08
ahora lo veremos con 00:10:09
GeoGebra, lo habíamos visto antes 00:10:11
lo volveremos a ver 00:10:13
y por la derecha pues al hacer el límite 00:10:14
cuando x tiende a 0 por la derecha de e elevado a 4 menos x cuadrado por 1 menos 2x cuadrado, 00:10:18
pues tenemos e elevado a 4 por 1, así que aquel cincuenta y tantos que teníamos sale de e elevado a 4, 00:10:26
De hecho, si nosotros hiciéramos el número e elevado a 4, pues veríamos que nos sale el 54,6 que veíamos antes en GeoGebra. 00:10:36
Así que la función no es derivable en x igual a 0. 00:10:54
De acuerdo, si lo vemos en GeoGebra, pues lo tenemos aquí, la derivada, habéis visto, GeoGebra la escribe así, pero vamos, es la que hemos puesto nosotros, el menos delante del paréntesis era seno de x menos x coseno de x, y la otra derivada sin sacar factor común. 00:11:01
El límite por la izquierda es 0, pero no se ve bien, pero si hacemos la derivada de numerador y denominador, pues no está lo que a nosotros. 00:11:32
Y el límite por la derecha es elevado a 4, que es lo que nos ha dado a nosotros. 00:11:39
Así que hemos contestado perfectamente ya al apartado A. 00:11:44
Vamos con el apartado B. 00:11:50
El apartado B dice, determina los extremos relativos de f de x en el intervalo abierto 0 infinito. 00:11:53
lógicamente en el intervalo abierto cero infinito significa a la derecha del cero 00:11:59
y por tanto con la función de abajo 00:12:10
como lo que quiero es calcular extremos relativos pues tengo que hacer la derivada 00:12:12
os recuerdo que la derivada de la función de la derecha que la hemos llamado antes h de x 00:12:17
era e elevado a 4 h' elevado a 4 menos x al cuadrado por 1 menos 2x al cuadrado. 00:12:24
Para hallar los extremos relativos, pues lo que vamos a hacer es simplemente igualarlo a 0 00:12:33
para hallar los candidatos a extremos relativos. 00:12:41
¿Vale? Entonces, la exponencial nunca puede ser 0, solo puede ser 0 el paréntesis, tendríamos 1 igual a 2x cuadrado, 1 medio igual a x cuadrado, x igual a más menos raíz de 2 partido por 2, o raíz de 1 medio, 00:12:50
y lógicamente la negativa no nos vale, así que el candidato es x igual a raíz de 2 partido por 2, ¿vale? 00:13:13
Para saber qué tipo de extremo relativo es, pues tenemos dos opciones. 00:13:30
Podemos hacer la segunda derivada y ver si da mayor o menor que 0 00:13:36
y podemos hacer si la primera derivada crece o decrece, ¿vale? 00:13:40
Entonces, si la función crece o decrece, la primera derivada es positiva o negativa, perdón. 00:13:51
Entonces vemos que h' de un número, esto es aproximadamente 0,7, ¿verdad? 00:13:58
porque la raíz cuadrada de 2 es como 41, si nosotros hacemos h' de 0,5, pues tendríamos 0,5 al cuadrado de 0,25 por 2, 0,5, 1 menos 0,5, 0,5 mayor que 0, 00:14:04
y por tanto la función está creciendo. 00:14:20
Si nosotros hacemos h' de 1, pues tendríamos 1 al cuadrado 1 por menos 2 menos 2, 00:14:24
1 menos 2 menos 1, por lo tanto está decreciendo. 00:14:32
Y por tanto, en este punto lo que va a haber es, si pasa de crecer a decrecer, un máximo relativo. 00:14:38
de acuerdo, ahí va a haber un máximo relativo 00:14:47
para hallar el punto 00:14:58
pues tendríamos que hacer f de raíz de 2 partido por 2 00:15:00
así que era un medio 00:15:04
o sea, raíz de un medio al cuadrado 00:15:07
un medio por 2 en la función 00:15:09
perdón, sería x 00:15:13
por e elevado a 4 menos x cuadrado 00:15:15
elevado a 4 menos x cuadrado 00:15:20
x cuadrado hemos dicho que es un medio 00:15:23
pues 7 medios 00:15:24
esta sería o también 00:15:26
si quisiéramos lo podríamos escribir 00:15:28
así 2 elevado a 7 00:15:30
he metido 00:15:32
el 2 dentro 00:15:34
y este sería 00:15:36
el valor 00:15:39
si lo queremos hacer con la calculadora 00:15:40
pues lo podríamos hacer pero 00:15:42
no es necesario 00:15:44
si queremos verlo 00:15:46
mejor 00:15:48
el punto entonces sería 00:15:51
vamos a ponerlo 00:15:53
raíz de 2 partido por 2 00:15:55
raíz 00:15:58
de 12 a la 7 00:15:59
vamos a ver si la pizarra 00:16:03
quiere escribir 00:16:06
pues no, no quiere 00:16:07
vamos a ponerlo más a la derecha 00:16:11
a la izquierda 00:16:14
sería así 00:16:15
si lo queremos 00:16:18
ver con GeoGebra 00:16:20
pues simplemente 00:16:22
voy a dar aquí 00:16:25
y tenemos efectivamente 00:16:28
igualamos 00:16:30
la derivada a cero 00:16:33
y nos salen estas dos 00:16:34
soluciones como hemos encontrado 00:16:37
y al sustituirlo a la función pues me da 00:16:38
lo que hemos 00:16:41
encontrado, este punto 00:16:42
aquí 00:16:44
sería el punto 00:16:46
que 00:16:49
hemos dicho 00:16:49
vale 00:16:51
Bien, pues ya tenemos la segunda parte del apartado b, el extremo relativo entre cero e infinito y nos queda la integral de cero a dos de f de x diferencial de x. 00:16:53
O sea, con el apartado c, la integral de 0 a 2 de f de x diferencial de x, que en realidad sería la integral de 0 a 2 de x por elevado a 4 menos x cuadrado diferencial de x, porque es la rama de la derecha. 00:17:10
Esta integral, pues la vamos a resolver, es una integral definida, que la vamos a resolver por la regla de Barre. 00:17:33
¿De acuerdo? Es el método habitual que utilizamos en segundo de bachillerato para calcular integrales definidas. 00:17:41
Es decir, primero calculamos la integral indefinida y luego hacemos primitiva de 2 menos primitiva de 0. 00:17:46
¿Vale? 00:17:54
simplemente lo que vamos a hacer es multiplicar y dividir por menos 2 00:17:55
de tal manera que tendríamos la integral de 0 a 2 de menos 1 medio por menos 2 00:18:03
esto sería 1 pero el menos 2 lo multiplico por la x 00:18:14
menos 2x por e elevado a 4 menos x cuadrado diferencial de x 00:18:17
Y esto, el menos 1 medio, le puedo sacar fuera de la integral, porque es una constante, me quedaría la integral de 0 a 2, ahora tendría e elevado a 4 menos x cuadrado, donde 4 menos x cuadrado, a ver, lo quería poner en rojo, si ha puesto en rojo, sí, 00:18:24
4 menos x cuadrado es lo que vamos a llamar 1 00:18:48
y menos 2x diferencial de x sería diferencial de u 00:18:53
así que tenemos elevado a u por diferencial de u cuya integral es elevado a u 00:19:02
así de fácil y entonces tenemos menos un medio de elevado a u entre 0 y 2 00:19:08
simplemente, pues esto sería menos un medio 00:19:18
y ahora ya hacemos la regla de barro 00:19:23
corchete, sustituimos por 2 00:19:24
4 menos 4, 0 00:19:28
elevado a 0, 1 00:19:30
y sustituimos por 0, elevado a 4 00:19:32
y por tanto, pues me queda 00:19:36
elevado a 4, menos 1 00:19:40
partido por 2 00:19:42
ese es el valor de la integral que me piden en el apartado C 00:19:44
vamos a verlo con GeoGebra 00:19:50
aquí tenemos la integral 00:19:52
si le decimos íntegranos la función 00:19:59
automáticamente ahí nos hemos visto 00:20:01
como hemos hecho la integral 00:20:03
casi inmediata como las llamo yo 00:20:05
sustituimos por 2 00:20:09
sustituimos por 0 00:20:12
y restamos 00:20:14
y aquí tenemos nuestra solución 00:20:15
yo la dejaría así 00:20:17
pero si alguno está 00:20:21
obsesionado con los números 00:20:22
pues da 26,8 00:20:24
que también otra manera de verlo 00:20:25
es decirle a GeoGebra 00:20:27
que nos haga la integral 00:20:28
directamente 00:20:30
y nos va a proporcionar el número 00:20:31
y con esto 00:20:34
pues 00:20:35
no estabais viéndolo 00:20:37
aquí lo tenéis 00:20:39
el 26,8 00:20:43
y con esto pues hemos terminado 00:20:45
el ejercicio 00:20:49
ya simplemente nos falta mirar otra vez 00:20:51
el enunciado porque a veces 00:20:55
se nos puede olvidar algo 00:20:57
hemos calculado la continuidad que sí, la derivabilidad que no 00:21:00
el extremo relativo que era raíz de 2 partido por 2 00:21:04
raíz de 2 elevado a 7 partido por 2 00:21:07
un máximo relativo 00:21:09
y la integral que nos ha dado ya la 4 menos 1 00:21:11
partido por 2 00:21:14
así que el ejercicio está terminado 00:21:16
Autor/es:
Pablo J. Triviño Rodríguez
Subido por:
Pablo Jesus T.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
88
Fecha:
24 de agosto de 2021 - 19:55
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JOSÉ GARCÍA NIETO
Duración:
21′ 20″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
170.77 MBytes

Del mismo autor…

Ver más del mismo autor

EducaMadrid, Plataforma Educativa de la Comunidad de Madrid

Plataforma Educativa EducaMadrid