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Ecuaciones de grado 1 - Contenido educativo
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Hola, vamos a ver cómo, vamos a recordar cómo se hacían las ecuaciones de primer grado.
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Vamos a ver unos cuantos ejemplos que van a servir de base para todos los demás ejemplos siguientes,
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para todos los ejercicios que tenéis que hacer.
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Vamos a ver, lo primero de todo es entender que una ecuación de primer grado
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siempre se va a poder reducir a algo así de sencillo como esto,
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Un número a que multiplica a la variable x y eso tiene que ser igual a otro número b.
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También se suele decir que las ecuaciones de primer grado son ecuaciones que solo tienen polinomios de primer grado con la x elevado a 1,
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pero no es del todo cierto porque a veces se disfrazan de segundo grado ecuaciones que en realidad son de primer grado cuando se van aplicando las técnicas que tenemos para resolver ecuaciones.
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Resulta que en algún momento las x al cuadrado se cancelan, desaparecen y entonces se quedan sencillitas y esas son ecuaciones de primer grado.
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Repito, todas las que se puedan reducir a una forma de este tipo son ecuaciones de primer grado, en realidad.
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Vamos a ver unos cuantos ejemplos.
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Tenemos que resolver 3x más 4 igual a 2.
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¿Qué valor de la x hace que 3 por x y luego sumado 4 nos dé como resultado 2?
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Tenemos que recordar aquí la regla básica que es que lo que hagamos a un lado del igual tiene que ser lo mismo que lo que hagamos al otro lado del igual.
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A partir de aquí surgen las otras reglas que solemos recordar y que se suelen decir así muy rápidas pero hay que recordar exactamente de dónde vienen.
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Bien, fijaros en una cosa, yo he puesto aquí el menos 4. Este menos 4 lo que viene a decir es que a los dos lados del igual he restado 4.
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Entonces si, un segundito cambiando de aquí, fijaros en una cosa, si a 3x, ¿por qué se ha puesto? Perdón, un segundito que quería ponerlo en azul, exactamente.
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Si a 3x más 4 le resto 4, entonces más 4 menos 4 se queda como 3x. Y entonces esta parte, 3x más 4, se queda como estáis viendo aquí, 3x.
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Si al 2 del otro lado del igual le resto 4, tenemos esto otro de aquí. ¿Qué ocurre? Que esto es como si hubiera cogido el más 4 que está aquí y lo hubiera pasado al otro lado del igual restando, menos 4.
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Entonces fijaros que desaparece del primer miembro y aparece en el segundo miembro cambiado de signo. Nosotros solamente tendríamos que hacer este paso y de hecho normalmente tampoco se indica qué es lo que hacemos.
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Es decir, este más cuatro de aquí no suele ponerse, no suele indicarse. Y entonces, lo que realmente se suele decir abreviando, la idea es que lo que está sumando pasa al otro lado restando.
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De esta manera estamos diciendo lo mismo pero de una manera más rápida de entender, más rápida de comprender, pero siempre pensando que pasa restando porque en realidad a los dos lados del igual he restado 4.
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Lo mismo pasa con el 3 que se queda aquí. Ahora, una vez que hacemos las operaciones se queda que 3x es igual a menos 2. 3x igual a menos 2 es una ecuación equivalente a la primera.
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Pero ahora el 3 está multiplicando. Claro, esto ya no es como en el vídeo de introducción que era 3x igual a 6, no, ahora es 3x igual a menos 2.
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¿Qué número es ese? Bueno, pues si dividimos a los dos lados del igual, 3x entre 3 se queda como x.
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Y entonces la x, 3x, la x se queda sola, x. El menos 2, si lo dividimos entre 3, pues no se puede simplificar. Así que, de nuevo, tenemos aquí una fracción.
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No pasa nada, las fracciones forman parte de la vida del estudiante de matemáticas. Entonces, tampoco se suele poner por cuánto dividimos.
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Simplemente se dice aquello de que lo que está multiplicando la x pasa al otro lado dividiendo, pero es porque he dividido a los dos lados de la ecuación original, he dividido entre 3 y entonces he simplificado y me sale esto.
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3x entre 3 lo simplifico y me queda la x y al otro lado menos 2 entre 3 que no lo puedo simplificar y ya he encontrado la solución.
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es una fracción, menos 2 entre 3, menos 2 tercios, si lo multiplico por 3 y luego le sumo 4, me da 2. Lo podéis comprobar con una calculadora
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haciendo esta operación. 3 por menos 2 tercios, le sumáis 4 y ale, con una calculadora, a ver qué os sale. Si no os sale 4, mal asunto.
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Bueno, ¿qué pasa cuando tenemos aquí otra ecuación donde algo está restando y luego multiplicando la x?
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Bueno, pues aquí al estar restando el menos 3 yo lo quiero eliminar este menos 3 porque no es semejante, igual que aquí el más 4, no son semejantes, entonces esto no lo puedo sumar hasta que no conozca el valor de la x.
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Por tanto, como no son semejantes y no se pueden sumar, yo lo que quiero es quitar este menos 3.
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Entonces sumo 3 a los dos lados de la ecuación.
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2x menos 3 le sumo 3 y el menos 3 con más 3 se queda en 0 y se queda esto en 2x, que es lo que pasa aquí.
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2x menos 3 le sumo 3, me queda 2x.
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Y si a 5 le sumo 3 porque hago a los dos lados del igual, hago la misma operación,
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eso me queda 2x igual a 8.
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¿Qué es lo que ha pasado realmente?
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Es como si hubiéramos cogido este menos 3 y lo hubiéramos pasado al otro lado sumando.
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Estaba restando, pasa sumando.
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Lo que está restando a un lado del igual pasa sumando al otro lado del igual.
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pero es simple y llanamente porque realmente estamos, como se dice, sumando a los dos lados la misma cantidad, a los dos lados de la ecuación.
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Tened en cuenta que aunque hemos sumado a los dos lados de la ecuación un 3, eso no se suele poner, no se suele indicar.
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Si lo indicáis, estupendo, pero hay que indicarlo como hago yo, encima de la flecha. Estoy sumando más 3 a los dos lados del igual y pasa el menos 3, pasa al otro lado sumando.
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Pasa lo mismo con el 2 que está aquí multiplicando, que me molesta, digamos, por decirlo de alguna forma.
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Entonces quiero quitarlo para dejar la x sola, x igualada a un número, al que sea.
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Entonces divido a los dos lados del igual entre 2.
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2x entre, perdón, que se ha quedado esto, a ver, sí, ahora.
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2x entre 2, se simplifican los 2es y me queda solamente la x.
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Resultado, pues que tengo que x es igual a 8 medios, es decir, que una vez simplificada, o mejor dicho, hecha la división porque 8 entre 2 es exacto, me queda 4.
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Y este es el resultado de mi operación, de mi ecuación.
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¿Qué ocurre? Que esto de nuevo no se pone, no suele ponerse, esto es una cuenta de sucio por supuesto, así que nada, y nos quedaría de esta manera.
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Fijaros que yo pongo flechas porque estoy haciendo operaciones a los dos lados del igual, entonces no es igual, 2x menos 3 no es igual a 2x,
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Lo he transformado y por eso no se pueden poner, donde hay flechas no se pueden poner iguales. Los he transformado haciendo a los dos lados del igual la misma operación y me van saliendo ecuaciones que son distintas pero que son equivalentes porque tienen la misma solución.
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Entonces estas flechas no se pueden sustituir por iguales. Así que no lo hagáis en los exámenes.
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Bueno, con estos ejemplos vamos a ir un poco más rápido. Fijaros en una cosa, me molesta este 5, entendiendo que me molesta porque no lo puedo sumar con el que tiene x, así que lo quiero pasar al otro lado y resto 5 a los dos lados del igual.
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Entonces este 5 de aquí menos 5 se va, desaparece y entonces me queda 10 menos 5. Como veis es como que resulta que el 5 que estaba sumando pasa al otro lado restando.
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¿Qué pasa cuando tengo un número negativo multiplicando la x?
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Bueno, pues divido entre ese número negativo con su signo y todo.
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Entonces, a la hora de multiplicar, lo que nos queda es, a la hora de multiplicar, perdón, de dividir, lo que nos queda es menos 4x entre menos 4.
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4 entre 4 es 1, así que esto se queda x. Es como que el menos 4 ha pasado al otro lado porque si divido el 5 entre menos 4 me queda 5 entre menos 4.
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Como sabéis no se puede dejar una fracción con el signo menos abajo, entonces se deja menos 5 cuartos, así como está puesto aquí.
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Esto de aquí, de nuevo, no se pone. No es necesario ponerlo. Si lo ponéis, estupendo. Mucho mejor para vosotros incluso si tenéis que corregir porque os hayáis perdido.
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Mucho mejor si ponéis las transformaciones que hacéis. Bueno, ¿qué pasa cuando tenemos varias cosas que trasladar de un lado para otro?
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Entonces, fijaros en una cosa.
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Lo que hacemos es que si tengo un número que pasar al otro lado, resto ese número, pero lo hago a los dos lados del igual.
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Más 2 menos 2 fuera desaparece y aparece 6 menos 2, porque resto menos 2, resto 2 en los dos lados del igual.
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La x esta que está aquí también yo la quiero pasar al otro lado y entonces esta x resto x a los dos lados del igual.
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Entonces fijaros, lo que he hecho en realidad es esto.
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A ver, perdón. Yo cojo y tengo 3x más 2, le resto 2 y le resto x. Menos 2 más 2 o más 2 menos 2 fuera y la x se restaría.
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Es verdad que podría ya restar directamente y pasar directamente de aquí a este paso de aquí. Podríamos pasar.
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Pero no se suele hacer así, se suele hacer como en dos pasos, es decir, como si la x pasara al otro lado restando y el 2 pasara al otro lado restando.
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Lo que está sumando pasa al otro lado restando y esto es lo que se suele hacer.
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Y efectivamente, normalmente no se pone lo que se hace, pero repito, si lo ponéis, estupendamente.
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De esta forma se queda 3x menos x igual a 2x, 6 menos 2 igual a 4 y si divido entre 2 a los dos lados es como si el 2 que está multiplicando pasa dividiendo y entonces tengo aquí 4 entre 2 que es una división exacta y queda igual a 2.
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De la misma manera, 8x está aquí molestando, resto a los dos lados del igual y entonces al restar a los dos lados del igual, 7x menos 8x y luego 8x más 5, si le quito 8x, 8x desaparece de este lado del igual.
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Así que esto sería lo que ocurre, que el 8x que está sumando pasa al otro lado cambiado de signo, menos 8x.
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7 menos 8x es menos 1x, el 1 recordad que no se pone, claro el menos x no es x, entonces tiene que quedar como x, fijaros arriba en los casos anteriores ha quedado la x sola, menos x no es x.
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Así que tengo que quitarle el signo dividiendo entre menos 1 a un lado y al otro lado del igual. Entonces menos x entre menos 1 es x y 5 entre menos 1 es menos 5.
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Y nos quedaría de esta manera, perfecto, perfecto. ¿Qué pasa cuando tengo una fracción x partido por 3 igual a 2? Pues nada, multiplico por este denominador que tengo aquí.
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Y entonces al multiplicar por este denominador lo que nos queda es que se simplifica. Acordaos de una cosa, si yo tengo x tercios y lo multiplico por 3,
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3 entre 3 o lo que es lo mismo, 3x entre 3, eso nos deja una x y al otro lado 2 por 3, tengo que multiplicar a los dos lados del igual por 3
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y entonces aquí no hace falta hacer más operaciones, ninguna, porque 2 por 3 es 6, con lo cual ya hemos terminado.
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Bueno, ¿qué pasa cuando la cosa se va complicando con fracciones y demás?
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Bueno, pues este 4 que está aquí dividiendo, multiplicando a los dos lados del igual es como si pasara al otro lado multiplicando.
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El 4 pasaría al otro lado multiplicando, pero multiplicando a todo el segundo miembro.
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Entonces hay que poner paréntesis.
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Y entonces aquí tenemos una ecuación de primer grado con paréntesis.
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¿Cómo se resuelven las que tienen paréntesis? Pues nada, se aplica la propiedad distributiva cuando haya que aplicarla.
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4 por 2x es 8x, 4 por 2 es 8 y me queda que x es igual a 8x más 8, que se parece a alguna de las anteriores.
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El 8x lo paso al otro lado de la ecuación, recordad que es como si restara 8x a los dos lados del igual, el 8x pasa entonces al otro lado, se queda así.
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Y al restar x menos 8x me queda menos 7x. El menos 7 dividiendo a los dos lados del igual entre menos 7 es como si el menos 7 que está multiplicando la x pasara dividiendo al otro lado del igual.
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Está multiplicando, pasa dividiendo con su signo. Entonces 8 entre menos 7 no se deja así, menos 8 séptimos, es decir que la x es menos 8 séptimos.
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Bueno, y ya terminamos con estos dos ejemplos. Vamos a ver, un caso muy común es aquí hacer las cosas mal en el ejercicio este 8 que he llamado 8.
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Al ver esto, porque mucha gente se precipita y en lugar de coger y pasar el 3 al otro lado lo que quiere es quitar el 2 antes que nada.
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Entonces un error muy común a la hora de hacer este ejercicio es decir, multiplico todo por 2, pero el 2 que está dividiendo aquí lo paso al otro lado multiplicando.
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Y entonces hacen esto, dejan el 3 sin multiplicar y multiplican todo lo demás, 3x por 2 se queda en 6x y 1 por 2 se queda en 2.
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Esto está mal por culpa de este.
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¿Qué es lo que hay que hacer si yo quisiera hacer eso?
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Si yo quisiera hacer esto, lo que tendría que hacer es multiplicar por 2 los dos lados del igual.
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Es decir, lo que tengo que hacer es todo esto por 2 y al otro lado todo eso por 2.
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3x más 1 por 2.
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Y entonces así es como se quitan las fracciones, pero esto es complicado, por eso se aconseja mejor la otra parte, la que está arriba, como veis.
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Perdonadme que quite todo esto que he escrito y ya pasamos a esto de aquí arriba.
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Vamos a ver, ¿cómo decirlo? Lo primero quitar este 3, así que pasaría al otro lado, si está sumando pasa restando, recordad que es porque he restado a los dos lados del igual menos 3, así que hacemos la operación 1 menos 3 es menos 2.
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Entonces ahora el 2 que está dividiendo, multiplico a los dos lados del igual y quedaría 2x entre 2. Este 2 que está dividiendo pasa al otro lado multiplicando. Al multiplicar por 2 se me queda de esta manera que veis aquí, con paréntesis.
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Entonces tenemos que aplicar la propiedad distributiva y se queda multiplicando a 3x y a menos 2. 6x menos 4. El 6x está sumando, está positivo. No es que el que está restando es el 4. 6x está positivo.
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Pasa al otro lado cambiado de signo, x menos 6x igual a menos 4.
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Se hace la operación x menos 6x es menos 5x y ahora el 5 menos 5 que está multiplicando pasa dividiendo al otro lado,
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que es como dividir entre menos 5 a los dos lados de la ecuación y entonces tenemos menos entre menos más positivo.
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Bueno, ¿qué pasa cuando tenemos dos fracciones igualadas?
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Pues podemos multiplicar por 2 y por 3, las dos cosas, pero es una forma de hablar y también se puede entender muy bien de la siguiente manera que es
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tenemos una igualdad entre dos fracciones, cuando dos fracciones eran iguales, eran equivalentes, cuando al multiplicar en cruz nos daba lo mismo.
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Entonces este 3 que está dividiendo pasa multiplicando al otro lado y este 2 que está dividiendo pasa multiplicando al otro lado.
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El 3 multiplica x más 1 y el 2 multiplica 3x menos 1.
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Ya está.
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Pasa uno que está dividiendo pasa multiplicando y otro que está dividiendo también pasa multiplicando al otro lado.
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Quitamos paréntesis aplicando la propiedad distributiva.
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Luego pues restamos el 3 y restamos menos 6 que es lo mismo que decir el 3 que está sumando pasa restando al otro lado y el 6x que está positivo sumando pasa al otro lado cambiado de signo, restando.
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Es verdad que el menos 2 es un menos pero es que el menos va con el 2, es el menos 2, es el 2 el que está restando, no 6x, 6x es positivo, está sumando.
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Bueno, entonces 3x menos 6x es menos 3x, menos 2 menos 3 es menos 5.
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Entonces, aunque es verdad que dividimos a los dos lados del igual entre menos 3, también lo podemos resumir diciendo menos 3 pasa al otro lado, pues dividiendo.
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¿Lo dejamos así? ¿Menos 5 entre menos 3? No, es igual que aquí arriba.
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No lo dejaríamos así. Entonces, ¿qué hacemos? Pues hacemos lo siguiente. Menos entre menos es más. Evidentemente los signos más no se ponen, pero si en un examen has puesto los signos menos, pones una rayita así vertical y arreglado. Más 5 entre más 3 y acabado.
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Bueno, hemos terminado este vídeo que es un poco largo, pero es que había muchos casos que ver. Gracias.
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- Idioma/s:
- Autor/es:
- Manuel Moreno Sastre
- Subido por:
- Manuel M.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 32
- Fecha:
- 14 de febrero de 2021 - 21:00
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES GLORIA FUERTES ALCOBENDAS
- Duración:
- 21′ 42″
- Relación de aspecto:
- 2.41:1
- Resolución:
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- Tamaño:
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