5.- Proyección de un vector sobre otro | Mediateca de EducaMadrid

un par de cositas más que os pueden ser útiles para hacer los ejercicios y con esto yo creo que 00:00:00

más o menos ya habríamos visto toda la teoría o todo lo más importante del tema 7. Si creo que 00:00:07

es necesario hacer alguna puntualización sobre algún ejercicio que os vaya mandando pues os lo 00:00:16

diré. Ahora en este vídeo vamos a ver lo que es la proyección de un vector sobre otro. Imaginaos 00:00:20

que tengo dos vectores, el vector u y el vector v 00:00:32

de los cuales conozco todos sus datos 00:00:37

también conozco el ángulo que forman 00:00:40

voy a llamar proyección de u sobre v 00:00:43

a la longitud del segmento 00:00:48

que voy a pintar aquí en rojo 00:00:52

a la longitud de este segmento 00:00:54

es a lo que le voy a llamar proyección de u 00:00:58

sobre V 00:01:01

¿cómo voy a calcular 00:01:03

esta proyección? 00:01:05

¿vale? 00:01:08

pues bueno, por construcción 00:01:09

tal y como he dicho 00:01:12

estoy trazando desde el extremo de una 00:01:13

perpendicular a V, luego estoy conformando aquí 00:01:16

un triángulo rectángulo 00:01:18

U sería la hipotenusa, esta línea 00:01:19

discontinua es un cateto y el otro cateto 00:01:21

es la proyección que quiero calcular 00:01:23

bueno, pues tengo ya todas las herramientas trigonométricas 00:01:25

necesarias para poder deducir 00:01:28

ese valor 00:01:30

puesto que lo que yo conozco es la hipotenusa 00:01:30

y lo que quiero conocer es un cateto 00:01:35

la razón trigonométrica que involucra hipotenusa y cateto contiguo 00:01:37

al ángulo que estoy considerando 00:01:41

desde luego es el coseno 00:01:43

entonces si yo me pongo a escribir 00:01:44

la definición de coseno 00:01:47

esto sería cateto contiguo 00:01:49

es decir, la proyección de u sobre v 00:01:51

entre hipotenusa 00:01:55

la hipotenusa no es u 00:01:57

es el módulo de u, lo que mide 00:01:58

Si yo despejo de aquí, la proyección de u sobre v va a ser lo mismo que u por el coseno de alfa, ¿vale? 00:02:00

Por el coseno que forma u con v. 00:02:11

Luego esto, eso es lo que voy a llamar proyección. 00:02:14

Pues en este caso ya, sabiendo esto, vamos a poder escribir el producto escalar de los vectores u y v de otra forma. 00:02:18

Vamos a poder escribir el producto de u y v, el producto escalar sabemos que es módulo de u por módulo de v por el coseno del ángulo que forman 00:02:25

Pero es que acabamos de ver que esto y esto es la proyección 00:02:34

Bueno, voy a ponerlo un poquito mejor para que lo veáis 00:02:38

¿Vale? Que por el coseno del ángulo que forman 00:02:40

Acabamos de ver que esto y esto, ¿vale? El producto de módulo de u por el coseno es la proyección 00:02:46

Luego yo puedo escribir tranquilamente el producto escalar como v, el módulo de uno de los dos vectores, en este caso v, por la proyección del otro sobre él. 00:02:52

Luego ya conozco tres formas de escribir el producto escalar, como módulo de u por el módulo de v por el coseno del ángulo que forman, 00:03:04

como el módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él, o si estoy hablando de bases ortonormales, 00:03:11

¿vale? bases ortonormales 00:03:17

si estoy hablando de bases ortonormales 00:03:20

yo lo puedo escribir como u sub 1 por v1 00:03:23

más u sub 2 por v2 00:03:26

siendo u sub 1, u sub 2 00:03:28

y v1, v2 00:03:29

las coordenadas de dichos vectores 00:03:31

en dichas bases ortonormales 00:03:33

bueno 00:03:35

y algunos se preguntarán 00:03:37