Saltar navegación

Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.

Factorización de Polinomios II - Contenido educativo

Ajuste de pantalla

El ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:

Subido el 12 de diciembre de 2020 por Yolanda A.

17 visualizaciones

Realizamos la factorización de polinomios sacando factor común, identificando identidades notables y resolviendo la ecuación de segundo grado asociada al polinomio.

Más información Transcripción

Descargar la transcripción

Hola, en el siguiente vídeo vamos a resolver el ejercicio que tenemos en pantalla. 00:00:03
Haya el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de P y de Q en cada paso. 00:00:10
Para realizar este ejercicio tenemos que recordar los pasos a seguir en la factorización de polinomios. 00:00:16
Los pasos a seguir en la factorización de polinomios eran los siguientes. 00:00:24
Primero tenía que ver si podía sacar factor común 00:00:29
Si podía, lo sacaba 00:00:35
Una vez que había sacado factor común a todo lo que pudiese 00:00:36
Me fijaba en el grado 00:00:39
Podía ocurrir que el grado fuese mayor o igual que 3 00:00:41
Y entonces tenía que realizar Ruffini 00:00:44
Recordad que si el polinomio es mónico 00:00:48
Las posibles raíces se encuentran entre los divisores del término independiente 00:00:51
Solamente voy a obtener con Ruffini raíces enteras. 00:00:56
Por lo tanto, en cuanto que el grado es 2, lo que me interesa es, o bien, identificar identidades notables que hace que vaya mucho más rápido. 00:01:02
Y si no puedo identificarla, entonces tengo que resolver la ecuación de segundo grado asociada al polinomio. 00:01:15
De aquí sacaré las raíces, sacando las raíces puedo construir los bárbaros. 00:01:22
Este es el sistema que vamos a seguir. 00:01:27
Para identificar identidades notables nos ponemos aquí un recordatorio de cómo eran. 00:01:32
Tenemos el cuadrado de una suma, el cuadrado de una resta y la suma por diferencia. 00:01:39
Nosotros vamos a encontrarnos en las segundas partes de los segundos miembros, 00:01:45
las expresiones que tenemos en los segundos miembros, y vamos a querer factorizarlos, 00:01:52
es decir, queremos descubrir con qué identidad notable se corresponde. 00:01:58
Con toda esta información comenzamos a resolver el ejercicio. 00:02:04
En el apartado A me dicen que p de x es x al cuadrado menos 9 y que q de x es x al cuadrado menos 6x más 9. 00:02:10
Para factorizar p de x, observo si puedo sacar factor común y veo que no. 00:02:30
El grado del polinomio es 2, así que voy a ver si puedo identificar con identidades notables. 00:02:37
De poder ser alguna identidad notable sería, es una diferencia de cuadrados. 00:02:43
Así que como x cuadrado es un cuadrado y 9 también, puedo afirmar que esto es x más 3 por x menos 3. 00:02:49
Para determinar la factorización de q de x tampoco puedo sacar factor común 00:03:02
porque no hay ningún factor que se repita en los tres sumando. 00:03:07
y si tengo que identificar con identidades notables, dado que tiene grado 2, es lo que me toca hacer, 00:03:13
tendría que ser con la primera o con la segunda, es decir, el cuadrado de una suma o el cuadrado de una diferencia. 00:03:19
Me fijo que el signo del término que tiene número y letra, número y x, es negativo, 00:03:26
así que de ser alguno de los dos tendría que ser el cuadrado de una diferencia. 00:03:34
Os lo hago aquí para que veáis. 00:03:41
Mirad, mi hipótesis es que a al cuadrado es x al cuadrado y que b al cuadrado es 9. 00:03:42
Como a y b tienen que ser positivos, deduzco aplicando raíces que a es x y que b es 3. 00:03:52
Para asegurarme de que mi hipótesis es real 00:04:03
tengo que coger el 6x y ver si es igual a 2ab 00:04:08
Bueno, pues 2ab será 2 por x y por 3 00:04:14
que efectivamente es 6x 00:04:20
Así que mi hipótesis es buena 00:04:24
Y aquí puedo decir que esto es ax menos b, 3 elevado al cuadrado. 00:04:25
Una vez que los tenemos factorizados, calculamos el mínimo común múltiplo de p de x y de q de x 00:04:35
como el producto de los factores comunes y no comunes al mayor exponente. 00:04:43
Comunes, x menos 3, mayor exponente con que aparece, 2. 00:04:50
No comunes, x más 3, porque solo está en la descomposición de p de x. 00:04:54
Para el máximo común divisor, ya sabemos que tendremos que coger los factores comunes elevados al menor de los exponentes con los que aparecen. 00:04:59
Así que el máximo común divisor será x más 3. 00:05:09
Seguimos con el apartado b. 00:05:14
En el apartado B tenemos que P de X será X al cubo menos 7X al cuadrado más 12X. 00:05:15
Mientras que Q de X me dicen que es X a la cuarta menos 3X al cubo menos 4X al cuadrado. 00:05:26
Bien, para factorizar p de x veo si puedo sacar factor común y efectivamente la x está en todos los términos. 00:05:41
Dividiendo x al cubo entre x me queda x cuadrado. 00:05:48
Dividiendo 7x cuadrado menos 7x cuadrado entre x me queda 7x. 00:05:52
Y dividiendo 12x entre x me queda 12. 00:05:59
Si quiero seguir factorizando, tendría que identificar el polinomio que queda entre paréntesis de grado 2 con identidades notables. 00:06:03
Pero dado que 12 no es un cuadrado perfecto, para sacar las raíces deberé utilizar la resolución de la ecuación asociada. 00:06:13
Así que resuelvo x al cuadrado menos 7x más 12 igual a 0, x será menos b más menos la raíz de b al cuadrado menos 4ac, 4 por 1 y por 12, partido de 2a. 00:06:25
Así que tenemos que x será igual a 7 más menos la raíz 49 menos 48, eso va a dar 1, así que x será 7 más menos 1 partido por 2, 00:06:54
que me quedará 8 medios, es decir, 4, y 6 medios, es decir, 3. 00:07:15
De la raíz x igual a 4 obtengo el factor x menos 4 00:07:24
y de la raíz x igual a 3 obtengo el factor x menos 3. 00:07:29
Y ya tengo la descomposición factorial. 00:07:34
Procediendo de igual manera con pu de x, saco factor común a todas las x que puedo, 00:07:38
que es un x cuadrado, me quedará x cuarta entre x cuadrado, me queda x cuadrado, 00:07:43
y menos 3x cubo entre x cuadrado me queda menos 3x y menos 4x cuadrado entre 4x me queda 4. 00:07:50
Quiero factorizar aquí, así que voy a tener que volver a intentar identificar con identidades notables, 00:07:58
porque el grado del polinomio es 2, no puedo, porque no me coinciden los signos. 00:08:07
Tendría que ser, los candidatos son el cuadrado de una suma o el cuadrado de una resta. 00:08:14
Pero no tengo ni todos los signos iguales, que entonces el candidato sería el cuadrado de una suma, 00:08:19
ni tengo dos signos iguales y uno desigual, que entonces el candidato sería el cuadrado de una resta. 00:08:25
Así que voy a tener que utilizar la resolución de la ecuación asociada. 00:08:31
La ecuación asociada será x al cuadrado menos 3x menos 4 igual a 0, así que aplicando la fórmula me quedará menos menos 3 más menos la raíz de menos 3 al cuadrado menos 4 por 1 y por menos 4. 00:08:36
Cuidado con que esta raya de la raíz llegue hasta el final 00:09:03
Así como la raya de la fracción 00:09:06
Partido por 2 00:09:10
Así que x será a 3 más menos la raíz de 9 más 16 00:09:11
Partido por 2 00:09:20
Fijaos, ¿por qué más 16? 00:09:24
Porque tengo que hacer la regla de los signos 00:09:25
Menos por menos, más 00:09:27
Así que me quedará 00:09:29
3 más menos la raíz de 25 00:09:30
partido por 2 00:09:34
que será 3 más menos 5 00:09:36
partido por 2 00:09:40
8 partido por 2 que me da de raíz 4 00:09:42
y menos 2 partido por 2 que me da de raíz menos 1 00:09:46
tengo el x cuadrado 00:09:51
de la raíz x igual a 4 me queda el factor x menos 4 00:09:53
y de la raíz x igual a menos 1 me queda el factor 00:09:57
x más 1. Vamos a calcular ahora el mínimo común múltiplo de p de x y de q de x que será comunes la 00:10:00
x al mayor exponente cuadrado más comunes x menos 4 y no comunes x menos 3 y x más 1. El x menos 4 00:10:16
lo he puesto con el mayor exponente con el que aparece, si os queda tiempo podéis, máximo común divisor, 00:10:30
si os queda tiempo podéis realizar los productos y decir el polinomio que quede, 00:10:40
lo que no puede faltar es esta expresión de producto de polinomios y reducciones. 00:10:45
Bien, el máximo común divisor será sólo comunes al menor exponente. 00:10:53
Aquí es muy fácil realizar el producto y ya estaría. 00:10:57
El último apartado es muy sencillo, mirad. 00:11:03
Me dicen que p de x es x por x menos 3 al cuadrado por x más 5 00:11:07
y me dicen que q de x es x al cubo por x menos 3 00:11:17
y por x cuadrado más x más 2. 00:11:25
Observad que p de x me lo han dado factorizado. 00:11:32
Muchas veces los alumnos, ante esta situación, 00:11:37
bueno, la inseguridad les puede 00:11:41
y ante la necesidad de tener un polinomio que factorizar, 00:11:44
se ponen a multiplicar. 00:11:50
Aquí me están haciendo el trabajo hecho. 00:11:51
Me están dando el trabajo hecho. 00:11:54
Entonces tengo que reflexionar antes de ponerme a buscar un polinomio que factorizar. 00:11:55
A veces ya me lo hacen. 00:12:02
El Q de X es más difícil de... no es tan claro que esté factorizado. 00:12:04
¿Por qué? Porque tengo un polinomio de grado 2. 00:12:09
Efectivamente este polinomio de grado 2 es irreducible. 00:12:11
Si intento resolver la ecuación de grado 2 asociada, 00:12:15
Ahora me va a quedar que el discriminante, o sea, lo que está dentro de la raíz, va a ser menor que cero. 00:12:19
Y eso va a hacer que no tenga solución el polinomio, solución real. 00:12:38
así que tendré que decir en el momento en el que me di cuenta que esta ecuación asociada no tiene solución 00:12:45
ya puedo decir que esto es un polinomio irreducible 00:12:55
en estas condiciones el mínimo común múltiplo de p de x y q de x 00:12:59
será factores comunes la x mayor exponente con que aparece el 3 00:13:05
El x menos 3 también es común, mayor exponente con que aparece es el 2. 00:13:11
Voy a tener que borrar aquí. 00:13:16
Borrado esto, continuamos. 00:13:24
Y tendremos no comunes x más 5 y x al cuadrado más x más 2. 00:13:27
Máximo común divisor de p de x y q de x me quedará factores comunes al menor exponente. 00:13:37
Aquí sí que resolver o operar aquí es más fácil. 00:13:47
Bien, pues este es el ejercicio 5. 00:13:54
Autor/es:
Yolanda A.
Subido por:
Yolanda A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
17
Fecha:
12 de diciembre de 2020 - 14:20
Visibilidad:
Público
Centro:
IES MATEO ALEMAN
Duración:
13′ 59″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
98.78 MBytes

Del mismo autor…

Ver más del mismo autor

EducaMadrid, Plataforma Educativa de la Comunidad de Madrid

Plataforma Educativa EducaMadrid